2024-2025学年江西省宜春市高二上册11月月考数学检测试卷（附解析）

2024-2025学年江西省宜春市高二上学期11月月考数学检测试卷一．单选题（5分×8=40分）1.已知是关于x的方程的一个根，，则（）A.0 B.2 C.1 D.4【正确答案】D【分析】根据实系数一元二次方程根的性质，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】因为是关于x的方程的一个根，，所以是关于x的方程的一个根，于是有，故选：D2.已知直线和直线，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据的充要条件求得或，再由充分条件、必要条件的概念得解.【详解】若，则，解得或．若，则直线，直线，可知；若，则直线，直线，可知，综上所述：或．所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A3.设是虚数单位，是复数的共轭复数，若，则=A. B. C. D.【正确答案】A【详解】令，由即所以故选择A【考点定位】考查复数的运算，共轭复数的概念，以及复数相等问题.4.已知点，若直线与线段AB相交，则a的取值范围是（）A. B.C D.【正确答案】D【分析】由已知可得直线过定点，求得，，数形结合可求的取值范围.【详解】由直线方程，可知直线过定点，，，作出示意图如图所示：直线与线段相交，则可得或，解得或，所以的取值范围是.故选：D.5.若点在直线上，则点到点的距离之和的最小值为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】求出点关于直线对称的点为，则，由两点间距离公式计算，可得答案.【详解】由已知，设关于直线的对称点为，则解得，即，所以．故选：B.6.如图，在直三棱柱中，，点为侧棱上的动点．当最小时，三棱锥的体积为（）A.1 B. C. D.【正确答案】C【分析】如图，将直三棱柱展开成矩形，连结交于，此时最小，则，利用等体积法和棱锥的体积公式计算即可求解.【详解】将直三棱柱展开成矩形，如下图，连接，交于，此时最小，∵，则，而，由且都在面，则面，又，则面，即面，点为侧棱上的动点，当最小时，即，得，又为直角三角形，此时三棱锥的体积为：.故选：C7.如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为（）A. B. C. D.【正确答案】B【分析】利用空间几何体及球的特征确定球心，结合球体体积公式计算即可.【详解】因为底面，底面，即，根据题意可知为等边三角形，为直角三角形，而，则，取的中点，连接，所以，易知，则，所以三棱锥的外接球的球心为F，，∴该外接球的体积为.故选：B8.如图，若P是棱长为2的正方体的表面上一个动点，则下列结论正确的是（）A.当P在平面内运动时，四棱锥的体积变化B.当P在线段上运动时，与所成角的取值范围是C.使直线与平面所成的角为45°的点P的轨迹长度为D.若F是棱的中点，当P在底面内运动，且满足平面时，长度的最小值是【正确答案】D【分析】对A，点P在平面内运动时，四棱锥的底面积和高均不变，所以体积不变；对B，D，建系利用向量法求解；对C，根据线面角的定义，讨论点在各个表面的情况求解得答案.【详解】对于A，因为底面正方形的面积不变，点P到平面的距离为正方体棱长，所以四棱锥的体积不变，故A错误；对于B，如图①，以D为坐标原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，可得，，.设，，则，.设直线与所成角为θ，则，因为，当时，可得，所以；当时，，所以，所以异面直线与所成角的取值范围是，所以B错误；对于C，已知直线与平面所成的角为45°，若点P在平面和平面内，因为，最大，点P仅在点；若点P在平面内，则点P的轨迹长度是；若点P在平面内，则点P的轨迹长度是；若点P在平面内，作平面，如图②所示，因为，所以.因为，所以，所以，所以点P的轨迹是以点A1为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点P的轨迹长度为.综上，点P的轨迹总长度为，故C错误；对于D，如图③，由前面建系得，，，，设，，，则，，.设平面的法向量为，则，令，则，所以.因为平面，所以，可得，所以，当时，等号成立，故D正确．故选：D.二．多选题（6分×3=18分）9.下列结论正确的有（）A.直线恒过定点B.直线的倾斜角的取值范围是C.经过点，的直线方程均可用表示D.直线和都经过点，则过两点，直线方程为【正确答案】ACD【分析】对于A：将直线方程化为点斜式方程即可判断；对于B：首先求出斜率范围，进而得到倾斜角范围；对于C：利用两点式即可判断；对于D：将点代入两个方程分析两个方程的即可判断.【详解】对于A，直线，即，直线恒过定点，故A正确；对于B，直线的斜率，设直线的倾斜角为，则,所以，故B错误；对于C，经过点，的直线方程均可用表示，故C正确；对于D，直线和都经过点，则所以点，的直线方程为上，故D正确.故选：ACD.10.下面四个结论正确的是（）A.已知向量，，若，则为钝角B.已知，，则向量在向量上投影向量是C.若直线经过第三象限，则，D.已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面【正确答案】BD【分析】取可得，进而得到A错误；由投影向量的计算可得B正确；令可得C错误；由空间向量共面定理可得D正确；【详解】对于A，当时，，，，此时为，故A错误；对于B，向量在向量上的投影向量为，故B正确；对于C，令，则直线为，且经过第三象限，但此时，故C错误；对于D，因为，，所以由向量共面定理的推论可得，，，四点共面，故D正确；故选：BD.11.在正三棱柱中，，点满足，则下列说法正确的是（）A.当时，点在棱上B.当时，点到平面的距离为定值C.当时，点在以的中点为端点的线段上D.当时，平面【正确答案】BCD【分析】对于A，由即可判断；对于B，由和平面即可判断；对于C，分别取和的中点和，由即即可判断；对于D，先求证平面，接着即可求证平面，进而即可求证平面.【详解】对于A，当时，，又，所以即，又，所以三点共线，故点在上，故A错误；对于B，当时，，又，所以即，又，所以三点共线，故点在棱上，由三棱柱性质可得平面，所以点到平面的距离为定值，故B正确；对于C，当时，取的中点的中点，所以且，，即，所以即，又，所以三点共线，故在线段上，故C正确；对于D，当时，点为的中点，连接，由题为正三角形，所以，又由正三棱柱性质可知，因为，平面，所以平面，又平面，所以，因为，所以，又，所以，所以，所以，设与相交于点O，则，即，又，平面，所以平面，因为平面，所以，由正方形性质可知，又，平面，所以平面，故D正确.故选：BCD.思路点睛：对于求证平面，可先由和得平面，从而得，接着求证得平面，进而，再结合即可得证平面.三．填空题（5分×3=15分）12.已知直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，则直线的方程为________．【正确答案】或【分析】分截距为和截距不为两种情况讨论，再分别利用直线的点斜式和截距式，即可求解.【详解】因为直线经过点，且在轴上的截距是在轴上截距的两倍，当截距时，斜率为，此时直线方程为，即，当截距不为时，由题可设直线方程为，又直线过点，所以，得到，故直线方程为，即，故或.13.过定点且倾斜角是直线倾斜角的两倍的直线方程为________.【正确答案】【分析】由已知直线的斜率，利用正弦的二倍角公式得到所求直线的斜率，点斜式求出直线方程.【详解】直线的斜率为，设直线的倾斜角为，可得，即可得，所以所求直线的斜率为，所求直线方程为，即，故答案为.14.已知矩形，，，沿对角线将折起，使得，则二面角的余弦值是__________________【正确答案】##-0.5【分析】过和分别作，，根据向量垂直的性质，利用向量数量积进行转化求解即可．【详解】过和分别作，，，，，，，则，即，，，，，二面角的余弦值为，故答案为.四．解答题（13分+15分+15分+17分+17分=77分）15.（1）经过点，且与直线垂直的直线一般式方程.（2）求过点，且与直线平行的直线的一般式方程；（3）求过点，且在轴上的截距与在轴上的截距之和为2的直线斜率.【正确答案】（1）；（2）；（3）或.【分析】（1）（2）根据给定条件，设出直线方程，再利用待定系数法求出直线方程.（3）根据给定条件，利用直线方程的截距式，再利用待定系数法求出直线的横纵截距，进而求出直线的斜率.【详解】（1）设与直线垂直的直线方程为，又该直线过点，则，解得，所以所求直线方程为.（2）设与直线平行的直线方程为，又该直线过点，则，解得，所以所求直线方程为.（3）显然直线不过原点，设其方程为，则，整理得，即，因此，解得，而直线，即，其斜率，所以所求直线的斜率为或.16.已知一条动直线，（1）求直线恒过的定点的坐标；（2）若直线不经过第二象限，求m的取值范围；（3）若直线与x、y轴的正半轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，的面积为6，求直线的方程.【正确答案】（1）（2）（3）【分析】（1）将直线整理成直线系方程，求出定点坐标即可；（2）由直线不经过第二象限，分类整合求出m的取值范围即可.（3）由题意设出直线的截距式方程，代入定点，解出方程再化成一般式即可.【小问1详解】由题意，整理得，所以不管取何值时，直线恒过定点的坐标满足方程组，解得，即【小问2详解】由上问可知直线恒过定点，当，直线斜率不存在时，此时直线是，显然满足题意；当时，由直线不经过第二象限，直线与轴有交点时，则纵截距小于或等于零即可，令，则，即，解得；综上所述：【小问3详解】设直线方程为，则，由直线恒过定点，得，由整理得：，解得或，所以直线方程为：或，即或，又直线的斜率，所以不合题意，则直线方程为.17.如图，在三棱柱中，平面，为线段上的一点．（1）求证:平面；（2）求直线与直线所成角的余弦值；（3）若直线与平面所成角为，求点到平面的距离．【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）【分析】（1）借助线面平行的性质定理推导即可得；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算公式可得，即可得其所成角的余弦值；（3）利用空间向量夹角公式可确定点位置，再结合空间点到面距离公式进行求解即可.【小问1详解】连接，由三棱柱性质可得平面平面，又平面，故平面；【小问2详解】因为平面，平面，所以，而，故两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系：则，连接，则，由，故，故直线与直线所成角的余弦值为；【小问3详解】设，，则，设平面的法向量为，有，令，则，，即，因为直线与平面所成角为，所以，解得，即，因为，所以点到平面的距离为.18.如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，．（1）证明：平面平面；（2）若点T是的中点，点M是的中点，求点P到平面的距离．（3）点是线段CD上的动点，上是否存在一点M，使平面，若存在，求出M点坐标，若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）证明过程见解析（2）（3）【分析】（1）先证明，继而证明，即可证明平面，从而根据面面垂直的判定定理证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案.（3）设，，进而表示出，，由题意列出关于的方程组求解即可.【小问1详解】由平面，平面，平面，得，，与底面所成角为．所以三角形为等腰直角三角形，．又由四边形是直角梯形，，可知，所以为等腰直角三角形，而，故．在直角梯形中，过C作，垂足为E，则四边形为正方形，可知．所以，在等腰直角三角形中，．则有，所以．又因为，，平面，平面．所以平面．因为平面，所以平面平面．【小问2详解】以A为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A0,0,0，P0,0,1，B1,0,0，，因为T是的中点，点M是的中点，所以，．设平面的法向量为，，，则，得，取，则，得平面的一个法向量为，而,所以点P到平面的距离为．【小问3详解】设，注意到A0,0,0，所以，所以，设，注意到P0,0,1，所以，因为A0,0,0，B1,0,0，所以若平面，则当且仅当，即当且仅当，此时，综上所述，当且仅当重合，此时存在，使平面.关键点点睛：第三问的关键在于知道若平面，则当且仅当，从而只需引入两个参数，分别表示出，由此即可顺利得解.19.如图1，是边长为3的等边三角形，点、分别在线段、上，，，沿将折起到的位置，使得，如图2．（1）求证：平面平面；（2）若点在线段上，且，，求直线与平面所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，判断线段上是否存在点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】（1）证明见解析（2）（3）存在，．【分析】（1）由余弦定理得到，由勾股定理逆定理得，，得到线面垂直，证明出面面垂直；（2）由余弦定理得到，由等体积法求出点到平面的距离，求出直线与平面所成角的正弦值；（3），得到，线面平