2024-2025学年湖北省黄冈市蕲春县高二上册10月月考数学检测试题（附解析）

2024-2025学年湖北省黄冈市蕲春县高二上学期10月月考数学检测试题一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.直线的倾斜角是（

）A．π4 B． C． D．【正确答案】C2.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（

）A．至少有一个红球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是黑球C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球【正确答案】D从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，可能为：1红1黑、2红、2黑，对于A：至少有一个红球包括1红1黑、2红，与都是黑球是对立事件，不符合题意，故选项A不正确；对于B：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，与都是黑球不是互斥事件，不符合题意，故选项B不正确；对于C：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，至少有1个红球包括1红1黑、2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意，故选项C不正确；对于D：恰有1个黑球与恰有2个黑球是互斥事件而不是对立事件，符合题意，故选项D正确；故选：D.3．已知点，，，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（

）A．，3 B．，2 C．1，3 D．，2【正确答案】D【详解】因为，，，所以，，因为A，B，C三点共线，所以存在实数，使，所以，所以，解得.故选：D4．下列命题中正确的是（

）A．点关于平面对称的点的坐标是B．若直线l的方向向量为，平面的法向量为，则C．若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为D．已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则4．C【分析】由空间点关于平面的对称点的特点可判断A；由向量的数量积的性质可判断B；由线面角的定义可判断C；由共面向量定理可判断D.【详解】对于A，点关于平面对称的点的坐标是，A选项错误；对于B，若直线l的方向向量为，平面的法向量为，，有，则或，B选项错误；对于C，若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角为，则直线l与平面所成的角为，C选项正确；对于D，已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则，解得，D选项错误.故选：C.5.已知直线的倾斜角满足，则的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【正确答案】C函数在上单调递增，又，，故的取值范围是.故选：C6.如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段的中点．直线到平面的距离为（）．A. B. C. D.【详解】平面,平面,平面,因此直线到平面的距离等于点到平面的距离，如图，以点为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴，所在的直线为轴，建立直角坐标系.则设平面的法向量为，则，令，则设点到平面的距离为，则故直线到平面的距离为.7．袋子中有大小、形状、质地完全相同的4个小球，分别写有“风”、“展”、“红”、“旗”四个字，若有放回地从袋子中任意摸出一个小球，直到写有“红”、“旗”的两个球都摸到就停止摸球.利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，用1，2，3，4分别代表“风”、“展”、“红”、“旗”这四个字，以每三个随机数为一组，表示摸球三次的结果，经随机模拟产生了以下20组随机数：411

231

324

412

112

443

213

144

331

123114

142

111

344

312

334

223

122

113

133由此可以估计，恰好在第三次就停止摸球的概率为（

）A． B． C． D．【正确答案】B由题得恰好在第三次就停止摸球的随机数有：324，443，334，共有3个.由古典概型的概率公式得恰好在第三次就停止摸球的概率为.故选：B8.如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，，于点，，，若，，，则（）A. B. C. D.【详解】由题意可知，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使，所以，所以，所以，所以．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知向量，，，则下列结论正确的是（

）A．向量与向量的夹角为π6B．C．向量在向量上的投影向量为D．向量与向量，共面9．BD【详解】因为，所以，可得，则向量与向量的夹角为，故A错误；因为，所以，即B正确；根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为，所以C错误；由向量，，，可知，向量与向量，共面，所以D正确.故选：ABD10.甲罐中有3个红球、2个白球，乙罐中有4个红球、1个白球，先从甲罐中随机取出1个球放入乙罐，分别以事件A1，A2表示由甲罐中取出的球是红球、白球的事件，再从乙罐中随机取出1个球，以事件B表示从乙罐中取出的球是红球的事件，下列命题正确的是()A．事件A1，A2互斥B．事件B与事件A1相互独立C．P(A1B)＝eq\f(1,2)D．P(B)＝eq\f(23,30)【正确答案】ACD根据题意画出树状图，得到有关事件的样本点数，所以事件A1，A2不可能同时发生，故彼此互斥，故A正确；P(A1)＝eq\f(18,30)＝eq\f(3,5)，P(A2)＝eq\f(12,30)＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(15＋8,30)＝eq\f(23,30)，P(A1B)＝eq\f(15,30)＝eq\f(1,2)，故C正确，D正确；因为P(A1B)＝eq\f(1,2)，P(A1)P(B)＝eq\f(3,5)×eq\f(23,30)＝eq\f(23,50)，则P(A1B)≠P(A1)P(B)，事件B与事件A1不独立，故B错误．11.如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（）A直线平面B.三棱锥的体积为定值C.异面直线与所成角的取值范围是D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【详解】对于A，连接，，，，平面，，同理，，，直线平面，故A正确；对于B，∥，平面，平面，∥平面，点在线段上运动，点到平面的距离为定值，又的面积为定值，利用等体积法知三棱锥的体积为定值，故B正确；对于C，∥，异面直线与所成的角即为与所成的角，当点位于点时，与所成的角为，当点位于的中点时，平面，，，此时，与所成的角为，异面直线与所成角的取值范围是，故C错误；对于D，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，，则，，，，，，设平面的法向量，则，即，令，得，所以，直线与平面所成角的正弦值为：，当时，直线与平面所成角的正弦值取得最大值，最大值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知A,B是相互独立事件,且,,则.【正确答案】∵，，∴，.又∵A，B是相互独立事件，∴和也为相互独立事件，∴，故答案为.13.已知向量a=1,t,−1,b=2,1,1，若与的夹角为60°【正确答案】214.如图，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD，ABEF互相垂直，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，则线段MN最短为________．14.eq\f(\r(2),2)解析建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)．因为CM＝BN＝a(0<a<eq\r(2))，且四边形ABCD，ABEF为正方形，所以Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，0，1－\f(\r(2),2)a），Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a，0），所以eq\o(MN,\s\up6(→）＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)a，\f(\r(2),2)a－1）.所以|eq\o(MN,\s\up6(→）|＝eq\r(a2－\r(2)a＋1)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2）)2＋\f(1,2），即MN的长为eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(\r(2),2）)2＋\f(1,2）.当a＝eq\f(\r(2),2)时，|eq\o(MN,\s\up6(→）|min＝eq\f(\r(2),2)，即M，N分别为AC，BF的中点时，MN的长最小，最小值为eq\f(\r(2),2).解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（2024·高二·全国·课后作业）已知三角形ABC三个顶点坐标分别为.(1)求直线的斜率和倾斜角；(2)求BC边上的中线所在直线的方程.（1）由斜率公式得直线的斜率为，记倾斜角为，则，因为，所以直线的倾斜角为.（2）y=95x16.已知空间三点．（1）求以为邻边的平行四边形的面积；（2）设，若四点共面，求的值．【详解】（1）因为，所以，，，.．（2），四点共面，

存在唯一一对实数，使得，

，解得，．17.如图，已知平面，底面为正方形，，M，N分别为，的中点.

(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值.【正确答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，空间向量法证明直线与法向量平行，即可证明结论成立；（2）建立空间直角坐标系，求出直线的方法向量，以及平面的一个法向量，计算向量夹角余弦值，即可得出结果；【详解】（1）以为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，

则,，，设平面的一个法向量为，则，取，得，因为，所以平面；（2），，设平面的一个法向量为，则，取，得，设直线与平面所成角为，则直线与平面所成角的正弦值为：．18．为普及消防安全知识，某学校组织相关知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，，甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响.(1)甲在比赛中恰好赢一轮的概率；(2)从甲、乙两人中选1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(3)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率.【正确答案】(1)(2)派甲参赛获胜的概率更大(3)【分析】（1）根据独立事件的乘法公式计算即可；（2）利用独立事件的乘法公式分别求出甲乙赢的概率，据此即可得出结论；（3）先求出两人都没有赢得比赛，再根据对立事件的概率公式即可得解.（1）设“甲在第一轮比赛中胜出”，“甲在第二轮比赛中胜出”，“乙在第一轮比赛中胜出”，“乙在第二轮比赛中胜出”，则，，，相互独立，且，，，，设“甲在比赛中恰好赢一轮”则；（2）因为在两轮比赛中均胜出赢得比赛，则“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，所以，，因为，所以派甲参赛获胜的概率更大；（3）设“甲赢得比赛”，“乙赢得比赛”，于是“两人中至少有一人赢得比赛”，由（2）知，，所以，，所以.19.如图：在直三棱柱中，，，，M是的中点，N是的中点．(1)求证：∥平面；(2)求：平面BC1M与平面A1(3)在线段上是否存在点P，使得点P到平面MBC的距离为，若存在求此时的值，若不存在请说明理由．【正确答案】(1)证明见解析(2)2(3)存在，【分析】（1）取中点D，连接DN、，证明四边形为平行四边形，得，从而可得证线面平行；（2）分别以为轴，建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角；（3）用空间向