高中数学讲义（人教B版2019必修四）第04讲专题正弦定理与余弦定理的综合应用

9.2正弦定理与余弦定理的应用TOC\o"13"\h\u题型1利用正余弦定理判断三角形形状 2题型2多三角形问题 8◆类型1三角形角平分线 8◆类型2三角形中线 14◆类型3一般型 21◆类型4四边形型 24题型3面积周长相关取值范围问题 27◆类型1基本不等式法 27◆类型2正弦定理与三角函数法 35◆类型3二次函数法 44知识点一．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)使用条件1.两角一边求角2.两边对应角1.三边求角2.两边一角求边注意：上表中A为锐角时，a<bsinA，无解．A为钝角或直角时，a＝b，a<b均无解．知识点二..三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．常用结论1．三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2).2．三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sinC.(2)cos(A＋B)＝－cosC.(3)sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2).(4)coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2).3．三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB.4．三角形中的大角对大边在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.题型1利用正余弦定理判断三角形形状【方法总结】(1)判断三角形形状的方法①化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系．②化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．(2)三角形面积计算问题要适当选用公式，可以根据正弦定理和余弦定理进行边角互化．【例题1】（2021春·吉林白城·高一校考阶段练习）若(a+b+cA．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】化简a+b+cb+c−a【详解】由a+b+化简得b2所以由余弦定理得cosA因为A∈0,π因为sinA所以由正余弦定理角化边得a=2b⋅所以b=所以△ABC故选：B【变式11】1．（2023春·四川内江·高一四川省内江市第六中学校考开学考试）已知△ABC的内角A，BA．若acosA=B．若acosA=C．若bcosC+cosD．若a2+b【答案】A【分析】由正弦定理化边为角变形判断AB，举特例判断C，由余弦定理及锐角三角形的定义判断D．【详解】由正弦定理asinA=bsinB=csin若acosA=bcosA,B∈(0,π)，则2A=2B或例如b=3，C=π3，Ba2+b2−c2故选：A．【点睛】易错点睛：本题考查三角形形状的判断，解题时利用正弦定理、余弦定理进行边角转换后再进行变形判断是常用方法，解题时注意三角函数性质的正确应用，如选项B，在由sin2A=sin2B【变式11】2．（2022·高一课时练习）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosAA．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】A【分析】由余弦定理得到a2b2+c【详解】∵cosA∴acos由余弦定理可得：a×整理可得：a2∵ba∴b2由①②得c2∴该三角形是直角三角形.故选：A【变式11】3．（2022春·吉林长春·高一长春吉大附中实验学校校考期末）在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,bA．等边三角形 B．钝角三角形C．有一个角是π6的直角三角形 【答案】A【分析】由向量共线的坐标运算可得acosB2=bcosA【详解】∵向量m=(a,cosA2由正弦定理得：sinA∴2sinA2cos∵0<A2<π2，0<B2同理可得B=∴△ABC故选：A．【变式11】4．（2023·高一课时练习）在△ABC中，sinC=【答案】直角三角形【分析】利用正弦定理和余弦定理化简已知条件，得到c2=a【详解】因为sin据正、余弦定理得：c=∴b即ab化简得：ac∴(a∴即c2所以△ABC故答案为：直角三角形.【变式11】5.在△ABC中，若(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，判断△ABC的形状.【答案】△ABC为直角三角形或等腰三角形【解析】∵(a－c·cosB)·sinB＝(b－c·cosA)·sinA，∴由余弦定理可得：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c·\f(a2＋c2－b2,2ac)))·b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－c·\f(b2＋c2－a2,2bc)))·a，整理得：(a2＋b2－c2)b2＝(a2＋b2－c2)a2，即(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a2＋b2－c2＝0或a2＝b2.∴a2＋b2＝c2或a＝b.故△ABC为直角三角形或等腰三角形【变式11】6．(多选)（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，角A,B,A．若A>B，则sinA>sinB C．asinA=b+c【答案】ACD【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和三角形的面积公式，比例的等比性质的应用判断结论.【详解】对于A，若A>B，所以a>b，利用正弦定理可得对于B，由于acosB=bcosA，利用正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB，整理得1对于C，由正弦定理asinA=对于D，由于tanA所以tan=−tanC因为0<A,B,C故选：ACD.【变式11】7．（2023·高一课时练习）在△ABC中，已知2(1)求A；(2)若sinB+sinC【答案】(1)2π(2)△ABC【分析】(1)由正弦定理边化角，再结合余弦定理，可求出角A的余弦值.(2)利用三角形内角和关系计算出B、C角,根据角度判断三角形形状.【详解】（1）由正弦定理得2a∵余弦定理a∴2bc=−4bc而A为三角形内角，∴A（2）△ABC中，A+B+∴sinB因为π3<B+π∴△ABC题型2多三角形问题【方法总结】（1）在多三角形中，隐含条件是邻补角∠ADC与∠ADB，邻补角的正弦值相等，余弦值互为相反数；（2）三角形外找关系，三角形内用定理。◆类型1三角形角平分线【例题21】（2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足2cb=1+tanAtanA．23 B．32 C．1【答案】A【分析】由条件及三角形中角的关系，结合正弦定理先求出角A，由三角形的内角平分线定理可得AB=2AC，然后在△ACM，△ABM中，分别利用余弦定理结合∠BMA【详解】由条件有：2sinC又sin(A+B即cosA=12由AM为∠CAB的角平分线，则ABAC=则∠CAM在△ACM中，cos∠即AC在在△ACM中，在△ABM中，由∠BMA+∠化简得到：AM将②代入①可得：AM=将③代入②可得：CM=3所以AM故选：A【变式21】1．（2022春·江苏苏州·高一校联考期末）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足(1)求角C；(2)CD是∠ACB的角平分线，若CD=433【答案】(1)C=(2)c【分析】（1）先由正弦定理得ab+c+b（2）先由面积求得ab=8，再由角平分线得ADBD=ba，结合平面向量得CD【详解】（1）由正弦定理得ab+c+b化简得a2+b2−c2（2）由面积公式得12absinC=12即ADBD=b所以CD2=a整理得163=3a2b2由（1）知c2=a【变式21】2．（2022·全国·高一假期作业）在△ABC中，内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且满足bcos(1)求A的大小；(2)若a=23，【答案】(1)2π(2)155【分析】（1）利用正弦定理边角互化，再由三角恒等变换化简即可求出角A；（2）由数量积公式可得bc，再由余弦定理求出b+c，根据三角形面积公式利用【详解】（1）因为bcos∴sinB因为B∈0,π所以sinA2=2sin∴cosA所以A2=π（2）由BA⋅AC=∴bc=3，又a∴a2可得b+∵S△∴12所以AD=【变式21】3．（2022春·江苏苏州·高一校考期末）如图，设△ABC中的角A，B，C所对的边是a，b，c，AD为∠BAC的角平分线，已知AB=1，AD=34AB+14AC，AB|AB(1)求边BC的长度；(2)当AG⋅EF=【答案】(1)7(2)9【分析】（1）根据AB|AB|⋅AC|AC|=（2）设AE=λAB，AF=μAC，AG=kAD（0≤λ，μ，k≤1），根据△AEF的面积是△ABC面积的一半，可得λμ【详解】（1）解：由AB|AB|因为A∈(0,π)因为AD为∠BAC的角平分线，所以BD所以BD=AD=又AD=34AB+因为a2所以BC=（2）解：设AE=λAB，AF=μAC，AG=因为△AEF的面积是△所以12所以λμ=AB⋅由AD=34因为E，F，G三点共线，所以1k=3所以AG=又EF=所以AG==27因为AG⋅EF=4528由①②解得λ=12所以k=因为AD=所以AD所以AD=由AG=47所以S△◆类型2三角形中线【例题22】（2022春·河南驻马店·高一统考期末）设△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为△ABC的边BC上的中线，且b=4，c=2，【答案】11【分析】先求出sin∠BAD，然后在△ABD和△ADC分别利用正弦定理，结合sin∠ADB=sin∠ADC可得sin∠CAD【详解】因为cos∠BAD=6所以sin∠BAD在△ABD中，由正弦定理得BDa2在△ADC中，由正弦定理得BDa2因为sin∠ADB所以两式相除，得sin∠CAD因为0<∠BAC<π所以cos∠CAD所以sin∠=3所以S△故答案为：11【变式22】1．（2022春·北京·高一清华附中校考期末）△ABC中，已知3cosπ3−(1)求∠B(2)从以下三个条件中选择两个，使△ABC存在且唯一确定，并求AC和BD条件①：a2−b2+【答案】(1)B(2)选择条件②和条件③；AC=14,【分析】（1）利用三角恒等变换对已知等式进行化简，即可求解；（2）根据（1）的结果，利用余弦定理可判断条件①错误；根据条件②和条件③，利用三角形面积公式可得c=10，利用余弦定理可得b=14，在△ABC中，利用正弦定理可得sinA=33【详解】（1）解：因为3cos则3cos31又0<B<π，解得：B（2）解：由（1）得∠ABC又余弦定理得：cos∠ABC=a而条件①中a2−b由条件②a=6，条件③S△ABC由余弦定理可得b2=a在△ABC中，由正弦定理可得asinA又0<A<π因为BD为AC边上的中线，所以AD=在△ABD中，由余弦定理可得BD2故AC=14,【变式22】2．（2022春·福建泉州·高一统考期末）在①asin2B=bsin△ABC三个内角A,B(1)求角B的大小；(2)若D为边AC的中点，且a=3,注：如果选择多个方案分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)B(2)BD【分析】（1）若选①：由正弦定理把边化为角即可求解；若选②：由正弦定理把边化为角再结合三角恒等变换求解即可；若选③：由正弦定理把角化为边，再结合余弦定理求解即可；（2）由余弦定理求解即可(1)若选①：asin2B=由正弦定理，可得2sinA因为A,所以cosB因为B∈所以B=若选②：由正弦定理，可得2sin移项得2sin即2sinC又因为C∈0,π所以cosB=1若选③：由正弦定理，可得a2由余弦定理，可得cosB因为B∈所以B(2)由余弦定理，可得b2=因为D为边AC的中点，所以AD=在△ABD中，由余弦定理，可得cos∠在△BCD中，由余弦定理，可得cos∠因为∠ADB+∠BDC即AD解得BD【变式22】3．（2022春·福建龙岩·高一统考期末）在△ABC中A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(1)求C的大小；(2)若c=2bcosB，_____，求在“①CA⋅CB=−2；②周长为4+23；③【答案】(1)2π(2)3【分析】（1）先由正弦定理得c2−b（2）先由c=2bcosB结合正弦定理求得B=π6，A(1)由正弦定理得c2−b2=a2(2)由正弦定理得sinC=2sinBcosB，即sin2B=32若选①，CA⋅CB=CA⋅CBcosC=−2即BM2=1+4−2×1×4×若选②，由asinA=bsin可得a=b=2，由余弦定理可得BM2若选③，由12absinC=34ab=即BM2=1+4−2×1×4×【变式22】4．（2022春·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）在△ABC中，若AC=23，A=【答案】答案见解析.【分析】如果选择条件①或者③，可以分析得到三角形的解不唯一；如果选择条件②：先求出c=2【详解】解：如果选择条件①：由正弦定理得212=所以三角形有两解，与已知不相符，所以舍去；如果选择条件②：由题得12由余弦定理得a=12+4−2×23所以BC边上的中线AD=所以BC边上的中线长为7.如果选择条件③：由题得a2由a+c=6−2所以该三角形无解，与已知不相符.【变式22】5．（多选）（2022春·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2，BC边上的中线A．AB⋅AC=3 B．b2+【答案】ABC【分析】利用向量的数量积公式,余弦定理及基本不等式对各个选项进行判断即可.【详解】∵AB⋅∵cos∠ADC∴b=2A由余弦定理及基本不等式得cosA=b2+c2−42bc≥2bc−42bc=1−2bc故选:ABC◆类型3一般型【例题23】如图，在△中，是边上的点，且，，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设，则，，，在中，由余弦定理得，则，在中，由正弦定理得，解得．【变式23】1.已知，，．

点为延长线上一点，，连结，则的面积是____，=____．【答案】，【解析】由余弦定理可得，，由所以，．因为，所以，所以，．【变式23】2.如图中，已知点D在BC边上，ADAC，，，，则的长为_______________．【答案】【解析】∵∴根据余弦定理可得，．【变式23】3.在中，，，，点在线段上，若，则____，________.【解析】在直角三角形ABC中，QUOTEAB=4，QUOTEBC=3，QUOTEAC=5，QUOTEsinC=45，在QUOTE△BCD中QUOTE322=BDsinC可得QUOTEBD=1225；，QUOTEsin∠CBD=sin(135∘C)=22(cosC+sinC)=22×(45+35)=7210，所以QUOTEcos∠ABD=cos(90∘∠CBD)=sin∠CBD=7210.【变式23】4.在①;②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在中，角的对边分别为，已知，.(1)求;(2)如图，为边上一点，，求的面积【解析】若选择条件①，则答案为:(1)在中，由正弦定理得，因为，所以，所以，因为，所以.(2)解法1:设，易知在中由余弦定理得:，解得.所以在中，所以，所以，所以解法2:因为，所以，因为所以，所以因为为锐角，所以又所以所以若选择条件②，则答案为:(1)因为，所以，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，则，所以.(2)同选择①◆类型4四边形型【例题24】在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.如图，在平面四边形中，，，______，，求.【答案】见解析【解析】选择①：所以；由余弦定理可得，所以选择②设，则，，在中，即所以在中，，即所以.所以，解得，又，所以，所以.【变式24】1.在平面四边形中，，，，．(1)求；【答案】（1）25【解析】(1)在中，由正弦定理得．由题设知，，所以．由题设知，，所以．(2)由题设及(1)知，．在中，由余弦定理得．所以．【变式24】2.如图，在平面四边形中，，，，，．（1）求的长；（2）求的长．【答案】(1)；(2)【解析】（1）在中，，则，又由正弦定理，得（2）在中，，则，又即是等腰三角形，得.由余弦定理，得所以.在中，由余弦定理，得所以.【变式24】3.（2023秋·浙江杭州·高一浙江省杭州第二中学校考期末）为了迎接亚运会，滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB长为4km，四边形的另外两个顶点C，D设计在以AB为直径的半圆O上.记∠COB(1)为了观赏效果，需要保证∠COD=π3，若薰衣草的种植面积不能少于(2)若BC=AD，求当α为何值时，四边形ABCD的周长最大，并求出此最大值.【答案】(1)π(2)α=【分析】（1）由SABCD=S（2）由BC=AD得到∠AOD=∠COB=α【详解】（1）解：SABCD=2sinα由题意，3+2sin(α因为0<α<π解得π6（2）由BC=AD可知，∠AOD故AB+=4+8sinα从而四边形ABCD周长最大值是10km，当且仅当sinα2=题型3面积周长相关取值范围问题◆类型1基本不等式法【例题31】（2023·全国·高一专题练习）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知△ABC的外接圆面积为16π，且cos【答案】8【分析】设△ABC的外接圆的半径为R，由题意求出R，再由同角三角函数的平方公式和正、余弦定理可求出B，再由均值不等式即可求出a【详解】设△ABC的外接圆的半径为R．∵△ABC的外接圆面积为∴16π=πR2，解得R∴1−sin2C即c2+a2−b2解得B=2π∴(a+c当且仅当a=故答案为：8.【变式31】1．（多选）（2022春·吉林长春·高一长春市实验中学校考期末）已知H为△ABC的垂心，面积为S，a=bA．B=60° B．S=33 C．b【答案】ABC【分析】对于A，由正弦定理边化角，结合三角形的内角和以及三角恒等变换即可求出角B；对于B，根据已知条件将BH⋅BC=6转化为BA⋅BC=6，运用数量积公式求出ac=12，再根据面积公式求出△ABC的面积；对于C，根据余弦定理以及重要不等式即可求解；对于D，取AC的中点【详解】依题意，如图所示，对于A，∵a=b∵A+B∴sin180°−B+∵sinC≠0，∴cosB=1对于B，∵BH⋅BC=6，∵H为△ABC的垂心，∴AH⋅∴BA⋅BC∴S对于C，由余弦定理得，b2当且仅当a=c=2对于D，取AC的中点D，连接BD，则BC+假设BH=13BC+又∵BH⊥AC，AD∴△ABC故选：ABC.【变式31】2．（多选）（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，角A,B,CA．若A=π4，则a=C．△ABC周长有最大值12 D．△ABC【答案】ABC【分析】对于ABC，根据正，余弦定理，基本不等式，即可解决；对于D，由正弦定理得S△【详解】对于A，B=60°,b=4，所以a=对于B，由正弦定理得bsinB=因为a>所以该三角形有两解，故B正确；对于C，由b216=a所以a+c≤8对于D，由432=故S=====由于A∈(无最小值，所以△ABC面积无最小值，有最大值为4故选：ABC【变式31】3．（2023·全国·高一专题练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设3(1)求B；(2)若△ABC的面积等于3，求△【答案】(1)B(2)4+2【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再根据辅助角公式及三角函数即可得解；（2）由题意可得ac＝4，再利用余弦定理结合基本不等式即可得出答案.【详解】（1）解：因为3b所以3sin因为sinA所以3sin所以2sinB∵B∈(0,π)，所以B所以B−π6（2）解：依题意3ac所以a+c≥2又由余弦定理得b2∴b≥2所以△ABC的周长最小值为4+2【变式31】4.（2022春·浙江杭州·高一杭十四中校考期中）在①cos2B+2cos2B已知△ABC的内角A,B(1)求角B；(2)若b=1，且△ABC的面积S∈0,3【答案】(1)B(2)2,【分析】（1）选①：由余弦的二倍角公式化简可求cosB的值，结合角B的范围即可求角B选②：由切化弦结合正弦定理化边为角可求cosB的值，结合角B的范围即可求角B选③：由sinA+B=sinC（2）根据三角形面积公式可得ac∈0,1（1）选①：∵cos2B+2cos2B∴cosB=1∵B∈0,π，∴cosB选②：∵2bsinA=a即2sinB∵A,B∈0,π，∴∴cosB=12，∵选③：由内角和定理得：sinA∴(a由正弦定理边角互化得：(a−c∴cosB=a2+（2）由题意S=12acsin由（1）B=π3，余弦定理可得a2+c2−b即△ABC的周长l的取值范围为【变式31】5．（2022春·浙江金华·高一浙江金华第一中学校考阶段练习）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a(1)求角A的值；(2)若a=2，求△【答案】(1)A=(2)(4,6].【分析】（1）利用向量垂直关系的坐标表示，余弦定理化简、计算作答.（2）由（1）中信息，利用均值不等式求解作答.（1）因m=(2cosC,c2−b),n=(a2,1)，且m（2）由（1）知，4=a2=b2+c2−bc=(b【变式31】6.（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考期末）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(1)求角C；(2)若c=23，求【答案】(1)π(2)4【分析】（1）由正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）由余弦定理、基本不等式计算可得.【详解】（1）解：由正弦定理asinA=bsin所以由余弦定理得cosC又C∈0,π（2）解：因为c=23，C=则a+b2−2ab即a+b24≤12所以a+b的最大值为【变式31】7．（2022春·黑龙江佳木斯·高一建三江分局第一中学校考期末）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b=23，(1)求角B的大小；(2)若AD是BAC的内角平分线，当△ABC面积最大时，求AD的长．【答案】(1)2π3(2)6．【分析】（1）根据正弦定理先角化边，然后由余弦定理即可解出；（2）由（1）知，B=2π3，根据三角形的面积公式S=12ac【详解】（1）因为sin2A+由余弦定理得cosB=a2+（2）在△ABC中，由余弦定理得b则12=a2+∵a>0，c>0，∴当且仅当a=c=2所以S△此时，∠BAC在△ABD中，∠由正弦定理得ADsin◆类型2正弦定理与三角函数法【例题32】在△ABC中，若C＝2B，则eq\f(c,b)的取值范围为________.【答案】(1，2)【解析】因为A＋B＋C＝π，C＝2B，所以A＝π－3B>0，所以0<B<eq\f(π,3)，所以eq\f(1,2)<cosB<1.因为eq\f(c,b)＝eq\f(sinC,sinB)＝eq\f(sin2B,sinB)＝2cosB，所以1<2cosB<2，故1<eq\f(c,b)<2.【变式32】1．（2022春·河南洛阳·高一统考期末）在△ABC中，A，B，C分别为△ABC三边a，b，c所对的角，若cosB+3A．1 B．3 C．2 D．2【答案】D【分析】根据已知条件求得B,b，再利用正弦定理将角化边，将问题转化为求【详解】cosB+3sinB=2得在△ABCcos所以b=32sin故当A+π6=π2故选：D【变式32】2．（多选）（2023·全国·高一专题练习）在锐角三角形ABC中，a,b,c分别是角A,A．C=π3 B．A∈π6【答案】AB【分析】利用正弦定理与余弦定理化简等式，即可求出C=π3，结合△ABC为锐角三角形，即可得出π6<A<π【详解】由正弦定理及已知可得a2由余弦定理可得cosC因为C∈0,π所以asin故a==4sinA因为0<A<π2，所以π所以sinA+π因为0<B<π2，故选：AB．【变式32】3．（2022春·江苏苏州·高一统考期末）已知锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△A．1,2 B．0,3 C．1,3 D．0,2【答案】A【分析】根据面积公式，余弦定理和题干条件得到c=a−2ccosB，结合正弦定理得到B=2C，由【详解】因为S=12即b2所以ac+整理得：ac=因为a>0所以c=由正弦定理得：sinC因为sinA所以sinC因为△ABC所以B−所以C=B−由B∈0,π因为a=所以cosB解得：k∈故选：A【点睛】三角形相关的边的取值范围问题，通常转化为角，利用三角函数恒等变换及三角函数的值域等求出边的取值范围，或利用基本不等式进行求解.【变式32】4．（2022春·广西桂林·高一校考期末）在锐角△ABC中，a,b,c(1)求角A；(2)若a=2，求b【答案】(1)π(2)2【分析】（1）利用正弦定理边角互化，结合三角恒等变换即可求解；（2）利用正弦定理可得b+c=asin【详解】（1）因为△ABC中2b−由正弦定理得2sinB所以2sinB又因为锐角△ABC，sinB≠0所以cosA=1（2）由正弦定理可得：b+c=asinAsin因为△ABC是锐角三角形A=π解得π6<B所以sinB所以b+【变式32】5．（2023·全国·高一专题练习）在①a+acosC=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，且S△(1)求角C的值；(2)求a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．【答案】(1)C(2)2【分析】（1）选择条件①，则利用正弦定理化简已知条件，从而求得C.选择条件②，则利用余弦定理化简已知条件，从而求得C.选择条件③，则利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，从而求得C.（2）利用三角形的面积公式求得ab，结合正弦定理，用tanB表示出a2并求得a2【详解】（1）选择条件①．∵a+∴由正弦定理，得sinA∵0<A<π∴1+cosC=3即32sinC∵0<C<π2,−选择条件②．由a+b+∴a2则由余弦定理，得cosC∵0<C<π选择条件③．∵A+B+结合a−bsin由正弦定理，得a−ba则由余弦定理，得cosC∵0<C<π（2）∵S△ABC=∵△ABC为锐角三角形，且C∴A=2π3又0<B<π2，∴由正弦定理asinA=∴a2∴2<a2<8，∴2【变式32】6．（2022春·天津河东·高一统考期中）已知△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b(1)求A的值；(2)若a=3，求△【答案】(1)π(2)6,9【分析】（1）由向量平行的坐标运算可整理求得cosA，由此可得A（2）利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换知识可化简得到b+c=6sinB+π6【详解】（1）∵m//n，∴∴b2+c2−a（2）由正弦定理得：bsinB=csin∴b+c∵B∈0,2π3，∴a+b+c【变式32】7．（2022春·辽宁沈阳·高一新民市第一高级中学校考阶段练习）已知三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c(1)求角B的大小；(2)若b=23，求【答案】(1)B(2)4【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再利用内角和定理两角和的正弦定理化简求角B（2）由正弦定理，可得a+c=4sinA+4sin（1）由已知及正弦定理，得2sinC∵C=180∘化简，得sinA∵sinA≠0，∴cosB=1（2）由已知及正弦定理，得bsin即a=4sinA,c=4sinC．从而a+因为0<A<2π3当A=π3时，a【变式32】8．（2023·全国·高一专题练习）在△ABC中，BC=3AC，∠BAC=π3，点D与点B分别在直线A．3 B．33 C．3 D．【答案】B【分析】根据已知条件可以判断△ABC是直角三角形，且随着∠ADC的变化△ABC三条边的长度也会随着发生改变，因此先根据余弦定理和正弦定理确定∠ADC与边的变化关系，再构造一个关于BD边的三角形，根据【详解】由BC=3AC⇒BCAC=设AC=x，BC=得AC2由正弦定理得ADsin∠ACD=连接BD，在△BCD中，由余弦定理，得B当θ=π2+故选:B【点睛】思路点睛：可变动图形与某一变量的变化关系引出的求边求角类问题（以本题为例）：①确定变动图形的变化规律：如上题△ABC②确定图形变化与某个变量的联系：∠ADC变化→AC发生变化→△③找到有直接联系的两个变量的数学关系，然后推广到整体变化上：此处最为困难，需要学生根据已知条件活用所学的数学知识.◆类