2023年高中数学苏教版必修 三角函数 知识点总结

高中数学苏教版必修4三角函数知识点总结

一、角的I概念和弧度制：

(1)在直角坐标系内讨论角：

角的顶点在原点，始边在X轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的

角。若角时终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。

(2)①与a角终边相似的角的集合：｛分|，=360°左+a,左eZ｝或｛分|分=2版•+%左eZ｝

与a角终边在同一条直线上的角的集合：；

与a角终边有关x轴对称时角时集合：；

与a角终边有关y轴对称时角时集合：；

与a角终边有关y=x轴对称的角的集合：；

②某些特殊角集合的表达：

终边在坐标轴上角的集合：；

终边在一、三象限的平分线上角的集合：；

终边在二、四象限的平分线上角的集合：；

终边在四个象限的平分线上角的集合：；

(3)区间角改I表达：

①象限角：第一象限角：;第三象限角：;

第一、三象限角：;

②写出图中所示的区间角：

(4)对的理解角:

要对时理解“0°~90°间时角”=；

“第一象限时角“二；”锐角"二

“不不小于90°时角”=；

(5)由e的终边所在的象限，通过来判断一所在的象限。

2

来判断上OL所在的象限

3

(6)弧度制：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；任一

已知角a的弧度数的绝对值|«|=’，其中/为以角a作为圆心角时所对圆弧时长,

r

厂为圆的半径。注意钟表指针所转过的角是负角。

(7)弧长公式：;半径公式：;

扇形面积公式：;

二、任意角的三角函数：

(1)任意角的三角函数定义：

以角a的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴建立直角坐标系，在角a的终边上任取一种

异于原点的I点P(x,y),点尸到原点时距离记为r,贝!|sina=；cosa=；

tana=；cottz=；seca=；csca=；

如：角。日勺终边上一点(a,-,则cosa+2sina=。注意r>0

(2)在图中画出角a的正弦线、余弦线、正切线；

比较%£(0,1),sinx,tanx,x的大小关系：

(3)特殊角的三角函数值：

717171713乃

a07t

~677~2~2

sin。

COS

tana

cot。

三、同角三角曲数的关东与诱导公式:

(1)同角三角函数的关系

倒数关系商数关系

平方关系

sin。

=tan6Z

11

2222COS6U

sin6Z+cosCf=1,l+tanClf=?,l+cot6Z=.?

cosasiria

作用：巴知禁角的一种三角曲数值，求它的其他各三角函数值。

(2)诱导公式：

2kn+«=>«：，

兀+a=a：,

—a=a：,

7i—a=a：,

2兀一a今a、,

n

—2Foca：

网

2

网

2

诱导公式可用概括为：

TC3兀

2K7r±a,-a,—±a,7r±a,——土。的三角函数奇变偶不变，符号看象限。的三角函数

22-----------------------------------------►

作用：”去负——脱周——化钱”，是对三角的数式进行角变换的基本

思绪.即运用三角的数的J奇偶性将负角的三角函敷变为正角的J三角舀散

——去负；运用三角函数的周期性将任意角的）三角翦教化为角度在区间

[0°,360°）或[0。,180。）内的）三角翦数——脱周；运用诱导公式将上述三角

函数化为铳角三角函数----化钱.

（3）同角三角函数的关系与诱导公式的运用:

①已知某角的一种三角函数值，求它的其他各三角函数值。

注意：用平方关系，有两个成果，一般可通过已知角所在的象限加以取舍,或分象限加以

讨论。

②求任意角的三角函数值。

环节:

公式二、

四、五、

③已知三角函数值求角：注意：所得的解不是唯一的，而是有无数多种.

环节：①确定角e所在的I象限;

②如函数值为正，先求出对应的锐角必；如函数值为负，先求出与其绝对值对

应改I锐角由；

③根据角a所在的象限，得出。〜2"间的角一一假如适合已知条件的角在第二限；

则它是1；假如在第三或第四象限，则它是〃+/或2

④假如规定适合条件的所有角，再运用终边相似的角的体现式写出适合条件的所有

角的集合。

37c

如tana=m,贝Usini=,cosa=；sin(--a)-；

cot(———CC)—o

注意：巧用勾股数求三角曲数值可提高解题速度：C3,4,5J；(6,8,10J；(5,12,13)；

(8,15,17J；

8、三角的数图像和性质

1.周期函数定义

定义对于函数/(x),假如存在一种不为零时常数T,使得当x取定义域内的每一种

值时，/(x+T)=/(x)都成立，那么就把函数/(x)叫做周期函数，不为零时常数T

叫做这个函数的周期.

请你判断下列函数的周期

y=sinxy=cosxy=\cosx\y=cos|x|

y=|sinx|y=tanxy=tan|x|y=|tanx|y=sin|X|

k兀

例求四数f(x)=3sin(《兀+§)(左70)的周期。并求最小时正整数k,使他的周期不不

小于1

解•.•尸火sin（3x+（p）（其中RWO,3WO）的周期为—

.仁2兀=10兀

电F

依题意，ovtwi,即。＜坐W1,...阳三ICk使这个不等式成立的最小正整数为

32.

注意理解函数周期这个概念，要注意不是所有的周期函数均有最小正周期，如常函数

f（x）=c（C为常数）是周期函数，其周期是异于零的实数，但没有最小正周期.

结论：如函数/（尤+幻=/（尤-4对于任意的江区，那么函数f（x）日勺周

期T=2k；如函数/（x+Q=/（左—x）对于任意的reR,那么函数f（x）

日勺对称轴是.包「二左

时，Jm叠=L

(0

当r=2kn——

2『min——]

时9JlTlJ1.

奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数

周期性T=^T=2TLL乳r=n

有界性有界有界无界无界

在［2而i--,

在［(211)71,

在(而-y,

单调性2加+1］上都2如上都是增函在(帆加+

①卤都是减函

数，

是噌函数，加+/)内都

gz)在［2册,数

在［2脉+,(2fc+l)n］±是增函数

都是减函敛

2加+:］上都

是减函数

3o图像改J平移

对函数y=/sin(3x+(p)+k(力>0,3>0,(pWO,3WO),其图象取]基本变换有:

(1)振幅变换(纵向伸缩变换)：是由/时变化引起的.4>1,伸长；/<1,缩短.

(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由3的变化引起的.3>1,缩短；3<1,伸长.

(3)相位变换(横向平移变换)：是由。日勺变化引起的.(p>0,左移；(p<0,右移.

(4)上下平移(纵向平移变换)：是由A的变化引起的.k>0,上移；A<0,下移

四、三角曲致公式：

两角和与差的三角函数关系

倍角公式

sin((1±0)=sinOCcos/3±cosCL-sin/3

sin2a=2sinCLcosCL

cos(a±[3)=cosacos/3干sinO-sin0cos2a=cos2(X-sin2CL

积化和差公式

sinCC-cos/?=—[sin(OC+/3)+sin(a-夕)]

cosa-sin(3=—[sin((X+J3)-sin(OC-J3)]

cosCC-cos/3=—[cos(a+§)+cos((X-

—6-----书---------------6?-f-------a0

升幕公式

和差化积公式

C2a

l+cos6Z=2COS一

.a+)3oc—/32

sina+sinD=ZSin----------COS----------

22

l-cosa=2sin2一

sin"in夕=2cos"々ina-P2

2,.oca、2

1土sina=(sin—土LcOS一)

„-a+Ba—B22

cosa+cosp=2cos----------cos----------

22l=sin2a+cos2a

〃c.a+B.a—B

coscccosp-2sinsin.aa

22sindr=2sin—cos—

..............1222

sina・cosasin2a降幕公式

tana-cota=-2cot2CLl-cos2a

sin2CC=------------

2

C2a

l+cos6Z=2COS一1+cos2a

2cos2a-------------

c•2a2

l-cosdf=2sin一

2「a____2,_____

aa

sin—±cos—

三倍角公遂sin3^=3sin^-4sin30；cos36=4cos36-3cose；

五.三角恒等变换:

三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵

活运用三角公式，掌握运算，化简的措施和技能.常用的数学思想措施技巧如下:

(1)角的变换:在三角化简，求值，证明中，体现式中往往出现较多的相异角，可根据角与角

之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使

问题获解，对角的变形如：

(yaa3戊

①2a是e的二倍；4。是2a的二倍；a是3的二倍；3是竺的二倍；3a是卫的二

2242

倍；3n是上CL的二倍；7七1±2a是7工1土a的二倍。

3624

30。7T7T

②15°=45°—30°=60"—45°=工；问：sin—=；cos—=；

21212

③a=(a+尸)一尸；@^-+a=^--(^--a)；

⑤2a=(a+夕)+(a-尸)=(?+a)--a)；等等

(2)—函数名称变换:三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中正余弦是

基础，一般化切、割为弦，变异名为同名。

(3)赏数代换:在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，例如常

数“1”时代换变形有：

1=sin2«+cos2a=sec2«-tan2a=tanacota=sin900=tan45°

(4)属的变换:降塞是三角变换时常用措施，对次数较高的三角函数式，一般采用降塞处理的