2023年高中数学基础知识及础题型复习：立体几何模块之简单空间几何体

第一节简单空间几何体

【知识点1］认识简单几何体

1.空间几何体

（1）概念：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫做空

间几何体.

（2）多面体与旋转体

多面体：由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体（如图），围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；

相邻两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点.

2.几种常见的多面体

多面体定义图形及表示相关概念

有两个面互相平行，其余各

底面（底）：两个互相平行的面

面都是四边形，并且每相邻

侧面：其余各面..

棱柱两个四边形的公共边都互相

如图可记作：棱柱45CDE尸侧棱：相邻侧面的公共边.

平行，由这些面所围成的多

—A'B'CD1E'F'顶点：侧面与底面的公共顶点.

面体叫做棱柱.

夫”废名

有一个面是多边形，其余各底面（底）：多边形面.侧面：有

面都是有一个公共顶点的三公共顶点的各个三角形面

棱锥

角形，由这些面所围成的多*It侧棱：相邻侧面的公共边.

如图可记作，

面体叫做棱锥.顶点：各侧面的公共顶点.

棱锥S-ABCD

q上底面：原棱锥的截面

佻\

〃1、

下底面：原棱锥的底面.

用一个平行于棱锥底面的平

通侧面：其余各面

棱台面去截棱锥，底面与截面之

侧棱：相邻侧面的公共边.

间的部分叫做棱台.

如图可记作：棱台顶点：侧面与上（下）底面的公

ABCD-A'B'C'D'共顶点.

3.棱柱、棱锥、棱台的关系

在运动变化的观点下，棱柱、棱锥、棱台之间的关系可以用下图表示出来（以三棱柱、三棱锥、三棱台为例）.

1

上底面变小

下.底面犷大到

与下底面相等

4.（1）各种棱柱之间的关系

①棱柱的分类

,正棱柱（底面是正多边形）

直棱柱（侧棱垂直底面）＜

棱柱＜一般的直棱柱

斜棱柱（侧棱不垂直底面）

②常见的几种四棱柱之间的转化关系

底面是平行四边形恻楼垂直于底面

平行六面体

四

核

柱

例棱垂直于底面底面是平行四边形

底

底面是正方形面

_是

所

_长

有

_方

校_

_形

长_

相_

等_

体

访底面是矩形

长

体

所有校长相等方平行六面体

（2）棱柱、棱锥、棱台在结构上既有区别又有联系，具体见下表:

平行于底面

名称底面侧面侧棱高

的截面

平行且全等的两个

斜棱柱平行四边形平行且相等与底面全等

多边形

棱柱

平行且全等的两个平行、相等且垂等于

直棱柱矩形与底面全等

多边形直于底面侧棱

全等的等腰二有一个公共顶

正棱锥一个正多边形过底面中心与底面相似

角形点且相等

棱锥

其他棱有一个公共顶

一个多边形三角形与底面相似

锥点

平行且相似的两个全等的等腰梯相等且延长后

正棱台与底面相似

正多边形形交于一点

棱台

其他棱平行且相似的两个延长后交于一

梯形与底面相似

台多边形点

温馨提醒：正四面体是所有棱长相等的特殊的正三棱锥。正棱柱：底面是正多边形的直棱柱。

5.旋转体

2

⑴圆柱

①定义：以矩形一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱.

②相关概念（图I）

③表示法：圆柱用表示它的轴的字母表示，图中圆柱表示为圆柱O。.

IMJtE

图1图2

（2）圆锥

①定义：以直角三角形的一直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥.

②相关概念（图2）

③表示法：圆锥用表示它的轴的字母表示，图中圆锥表示为圆锥SO

（3）圆台

①定义：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.

②相关概念（图3）

③表示法：圆台用表示轴的字母表示,图中圆台表示为圆台0。）

底面

母线y

底向，F径

(4)球

①定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.

②相关概念（图4）

③表示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球0.

（5）圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.

上底缩小

上底缩小一%一点

1

1

11.底扩大至顶点拓展为

等下底面与底面平行

但不全等的

圆柱上底面圆锥

6.简单组合体

（1）概念：由简单几何体组合而成的几何体叫做简单组合体.常见的简单组合体大多是由具有柱、锥、台、

球等几何结构特征的物体组成的.

（2）基本形式：一种是由简单几何体拼接而成，另一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成.

3

【典型题型】

【例1】下列几何体中，是棱柱，是棱锥，是棱台(仅填相应序号).

/•'--今

【变式1］下列几何体是台体的是(

【变式2］如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后将水槽倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形

成的几何体的形状是.

【例2】下列说法正确的有(填序号).

①棱柱的侧面都是平行四边形；②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；

③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；

⑤多面体至少有四个面.

【变式1】判断下列各命题是否正确：

(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；

(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形;

(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.

4

［例3］在正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正

五棱柱对角线的条数共有（）

A.20B.15C.12D.10

【变式1】过球面上任意两点/、8作大圆，可能的个数是（）

A.有且只有一个B.一个或无穷多个C.无数个D.以上均不正确

［例4］某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒（如图），则这个正方体礼品盒的表面展开图应该

为（）

【变式1】如图，在4X3的纸上用线条勾画出一个图形，使每一格作为一个面，能折成一个正方体.你能

画出4个这样的图形吗?

【例5】（1）在半径等于13cm的球内有一个截面，它的面积是25"cm2,求球心到截面的距离.

（2）一个圆台的母线长为12cm,两底面面积分别为4ncm2和2571cm2.求：

①圆台的iWj；

②截得此圆台的圆锥的母线长.

5

【变式1】已知球的两个平行截面的面积分别为5n和8",它们位于球心的同一侧，且距离为1,那么这

个球的半径是（）

A.4B.3C.2D.O.5.

【能力】【例6】如图所示，在侧棱长为2的正三棱锥V—ABC中，ZAVB=ZBVC=ZCVA=40°,

过A作截面AEF,求截面4AEF周长的最小值.

【探究变式】

【变式1】如图所示，在所有棱长均为1的直三棱柱上，有一只蚂蚁从点A出发，围着三棱柱的侧面爬行

一周到达点A1,则爬行的最短路程为.

【变式2】如图，一只正三棱锥ABC-A1B1C1的底面边长为1,高为8,一质点自A点出发，沿着三棱柱的

侧面绕行两周到达A1的最短路线长为？

B1

6

【变式3】如图所示，已知圆锥SO中，底面半径厂=1,母线长/=4,M为母线”上的一个点，且血：

x,从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点4求:

（1）绳子的最短长度的平方加）；

（2）绳子最短时，顶点到绳子的最短距离;

（3加0的最大值.

【知识点2】投影问题

1.投影问题

光是直线传播的，由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上会留下这个物体的影子,这种现象叫做投影.

其中的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面.

中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影

平行投影：把在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影。

在平行投影中，投影线正对着（即垂直）投影面时叫做正投影，否则叫做斜投影.

例1.如图所示，在正方体中中，M、N分别是BC的中点.则图中阴影部分在平面

/£）与4上的正射影为（）

7

【变式1】如图所示，在正方体ABCD-ABCD中，M为DD的中点，则图中阴影部分BCM在平面BCCB上

11111111

的正投影是（）

【变式2】将正方体（如图①所示）截去两个三棱锥，得到图②所示的几何体，则该几何体在平面BCC1B1的正

投影为

【答案】B

【变式3】下列图形：①线段；②直线；③球；④梯形；⑤长方体，其中投影不可能是线段的是

（填序号）.

【例2】如图所示，棱长为1的正方体2BC。—中，若E,F分别为生4的中点，G是正方

形BCJB］的中心，则空间四边形AEFG在该正方体的面上的投影的面积的最大值为

8

【变式1】半径为R的球。放置在水平平面a上,点P位于球。的正上方,且到球。表面的最小距离为尺,

则从点P发出的光线在平面a上形成的球。的中心投影的面积等于.

【知识点3】三视图问题（备选内容）

（1）光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图,叫做几何体的正视图;

（2）光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图,叫做几何体的侧视图;

（3）光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图,叫做几何体的俯视图;

正视图、侧视图、俯视图统称为几何体的三视图.

太难了，有没有熟悉的场景理解三视图啊？长方体看为空间，下面对应的面看为投影面。

熟悉1：简单几何体的三视图

llV0

俯视图

动动手：作出三棱锥P-ABD的三视图

9

例1.将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()

【变式1］某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是()

【变式2】沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为()

【变式3】如图(1)(2X3)(4)为四个几何体的三视图，根据三视图可以判断这四个几何体依次分别为()

二△

正视图侧视图

俯视图

(1)

A.三棱台、三棱柱、三棱台、三棱锥、圆锥、圆台

C.三棱柱、正四棱锥、圆锥、圆台D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台

【例3】如图所示，画出下列组合体的三视图.

【变式1】某组合体的三视图如图所示，试画图说明此组合体的结构特征.

【知识点4】斜二测画法

1.用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的规则

(1)画轴：在已知图形中取互相垂直的龙轴和了轴，两轴相交于点。，画直观图时，把它们画成对应的V

轴和V轴，两轴相交于点O,且使//。，'=45。(或135°),它们确定的平面表示水平面.

(2)画线：已知图形中平行于x轴或〉轴的线段，在直观图中分别画成平行于V轴或了轴的线段.

(3)取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原来的长度不变,平行于y轴的线段，贵

度变为原来的一半.

2.立体图形直观图的画法规则：画立体图形的直观图，在画轴时，要多画一条与平面无'O'y'垂直

的轴O'z',且平行于O'z'的线段长度不变，其他同平面图形的画法.

【典例】

例1(平面图形的直观图)画出如图水平放置的直角梯形的直观图.

口

【思考】若将本例中的直角梯形改为等腰梯形，其直观图如何?

【反思】在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形

尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点.原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线

段来作出其对应线段.确定多边形顶点的位置是关键之二，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这

些顶点顺次连结即可.

变式1：如图所示，为一个水平放置的正方形/BC。，它在直角坐标系中，点3的坐标为(2,2),则在

用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点夕到x'轴的距离为.

例2(由直观图还原平面图形)如图所示，B'C是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还

原成平面图形.

【反思】由直观图还原平面图形的关键

⑴平行N轴的线段长度不变，平行/轴的线段扩大为原来的2倍.

(2)对于相邻两边不与x'、/轴平行的顶点可通过作/轴，y'轴的平行线确定其在xQy中的位置.

【变式2】如图所示，矩形。