2023年高考数学一轮复习讲义-复数

§5.5复数

【考试要求】1.通过方程的解，认识复数2理解复数的代数表示及其几何意义，理解两个复数

相等的含义.3.掌握复数的四则运算，了解复数加、减运算的几何意义.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.复数的有关概念

(1)复数的定义：形如。+历(a,6GR)的数叫做复数，其中二是实部，生是虚部，i为虚数单

位.

(2)复数的分类：

复数z=a+6i(a,6GR)

Error!

(3)复数相等：

abi~~c+且b='d(a，b,。，dGR).

(4)共辗复数：

a+bi与c+di互为共物复数Oq=c,b=—d(a,b,c,d£R).

(5)复数的模：

向量OZ的模叫做复数z=q+bi的模或绝对值，记作回土包或囿，即匕|=|q+bi|=、/a2+b2(a,

b£R).

2.复数的几何意义

--对应

(1)复数2=〃+bi(a,---，复平面内的点Z(a,b).

••咐应.―►

(2)复数Z=Q+M(Q,&eR).-------^平面向量OZ.

3.复数的四则运算

(1)复数的加、减、乘、除运算法则:

设4=a+bi,22=c+di(。，b,c,d£R),则

①加法：Z]+z?=(Q+bi)+(c+di)=Q+c)+(b+mi；

②减法：Z]-z?=(Q+历)一(c+di)=(Q-c)+(b-(7)i；

zz

③乘法：x'2=(。+6i)•(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

zia+bi(a+bi)(c—di)ac+bdbc-ad

④除法:­=­1~；=-----------=-------1------i(c+diW0).

Z2c+di(c+di)(c—di)C2-\-diC2~\~d2

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ/Z?可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即OZ=OZi+

0Z2,Z1Z2=OZ2—0Z1.

【常用结论】

1+i1—i

I.(l±i)2=±2i；—=i；—=-i.

1-1l+i

2.—b+qi=i(Q+bi)(。，b£R).

3.i4«=l,i4〃+i=i,i4〃+2=­l,i4〃+3=—i(〃£N).

4.14n+i4»+1+i4«+2+i4w+3=O(72N).

5.复数z的方程在复平面上表示的图形

(l)aW|z|〈b表示以原点O为圆心，以〃和力为半径的两圆所夹的圆环；

(2)匕一(a+bi)|=r0>0)表示以(〃，6)为圆心，/为半径的圆.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“J”或“X”)

(1)复数Z=a-历(a,bCR)中，虚部为6.(X)

(2)复数可以比较大小.(X)

⑶已知z=a+6i(a,66R),当。=0时，复数z为纯虚数.(X)

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的

模.

(V)

【教材改编题

1.已知复数z满足(2+i)z=l—i,其中i是虚数单位，贝必在复平面内对应的点位子)

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案D

2.复数z=(3+i)(l—4i),则复数z的实部与虚部之和是

答案一4

解析z=(3+i)(l—4i)=3—12i+i+4=7—11i,故实部和虚部之和为7—11=-4.

3.若z=(加2+加一6)+(m—2)i为纯虚数，则实数w的值为L

答案一3

■探究核心题型

题型一复数的概念

例1(1)(2021•浙江)已知建R,(l+〃i)i=3+i(i为虚数单位)，则。等于(

A.-1B.1C.-3D.3

答案C

解析方法一因为(l+oi)i=—a+i=3+i,所以一。=3,解得。=—3.

3+i

方法二因为(1+〃i)i=3+i,所以1+山=—；—=1—3i,所以〃=—3.

i

(2)(2022•新余模拟)若复数z满足芸口白=l—i,则复数日的虚部为()

2~1

A.iB.-iC.1D.-1

答案C

解析•••上蛆=1-i,

2—1

••.z(l+i)(-i)=(2-i)(l-i),

*'•z(l—i)=(2—i)(l—i),

**.z—2—i,

二曰=2+i,

的虚部为i.

【教师备选】

1.(2020•全国III)若g(l+i)=l—i,则z等于()

A.1-iB.1+iC.-iD.i

答案D

解析因为曰===—=—i,

i+i(i+i)(i-i)

所以z=i.

2.(2020・全国I)若z=1+i,则|Z2—2Z|等于()

A.0B.1C.\5D.2

答案D

解析方法一z2—2z=(l+i)2—2(l+i)=—2,

|z2—2z|=|—2|=2.

方法二|z2-2z|=|(l+i)2-2(l+i)|

=|(l+i)(-l+i)|=|l+i|-|-l+i|=2.

思维升华解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只

需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为。+历(a,6GR)的形式，以确定实部和虚部.

X

跟踪训练1(1)(2022•衡水中学模拟)已知工=1—贞，其中x,y是实数，i是虚数单位，则

x+ji的共轨复数为(

A.2+iB.2-i

C.l+2iD.l-2i

答案B

由币=L",得:

XX

即----

22

Error!

解得x=2,y—1,

x+yi—2+i,

・•・其共轲复数为2—i.

(2)已知z=l—3i,贝1口一耳=.

答案\"5

解析；Z=1—3i,.,忠=l+3i,

.,国一i=1+3i—i=l+2i,

/.i|="\/12+22=、+.

题型二复数的四则运算

例2(1)(2021・新高考全国I)已知z=2—i,则z田+i)等于()

A.6-2iB.4-2i

C.6+2iD.4+2i

答案C

解析因为z=2—i,

所以二(日+i)=(2—i)(2+2i)=6+2i.

(2)(多选)设z/z2,Z3为复数，Z]#0.下列命题中正确的是()

A.若匕2尸片|,

B-若2声2=2昌，则4=Z3

C.若&=Z3，则区巳尸区内

D.若Z[Z2=|zj2,则Z]=Z2

答案BC

解析由=知A错误；

2/2=2自，则z/z2—Z3)=0,又Z]WO,所以Z2=Z3,故B正确;

区匐=昆呵|,上色尸耳网,

又a=Z3,所以局=园=引，故C正确,

令Z]=i,z2=—i,满足2巳=区]|2,不满足Z]=Z2,故D错误.

【教师备选】

2~i

1.(2020•新高考全国I)不；等于()

1十21

A.1B.-1C.iD.-i

答案D

解析

1+21(l+2i)(l-2i)5

2.在数学中，记表达式ad—6c为由匕)所确定的二阶行列式.若在复数域内，4=l+i,

2+i71721

ZZ=

2=-j->3B,'则当z3z：=,T时’的虚部为-

答案一2

解析依题意知，2:=Z1Z4-Z2Z3，

因为z3=^>

_2+i_(2+i)(l+i)_l+3i

_tLZc，

21-i22

5

所以Z2Z3=R2=¥

51

因此有(1+i)z4~-=--i9

即(1+%=3—i,

故立Z4=3—Ri(T3-Ti)(^l-i=)L2L

所以Z4的虚部是一2.

思维升华(1)复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.

(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共辗复数.

跟踪训练2(1)(2021•全国乙卷)设iz=4+3i,则z等于()

A.-3-4iB.-3+4iC.3—4iD.3+4i

答案C

4+3i(4+3i)(—i)

解析方法一(转化为复数除法运算)因为iz=4+3i,所以z=^———"=

1O

-4i-3i2

------------=3-4i.

一i2

方法二(利用复数的代数形殁2=。+6即，b£R),则由iz=4+3i,可得i(o+bi)=4+3i,

即一N+〃i=4+3i,所以Error!

即Error!所以z=3—4i.

方法三(巧用同乘技巧)因为访=4+3i,所以iz・i=(4+3i)・i,所以一z=4i—3,

所以z=3—4.

i2023„

(2)若z=＞；~；,贝旭=_______;z+§=_________.

111

„1111

z+^=-----i+—I—i=1.

2222

题型三复数的几何意义

例3(1)(2021・新高考全国II)复数二在复平面内对应的点所在的象限为()

1-31

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案A/、

2—i(2—i)(l+3i)5+5i1+i\1/

解析-L—2==所以该复数在复平面内对应的点为,该点

1—311010222

在第一象限.

(2)(2020•全国H)设复数Zjz2满足肉|=同=2,Z]+z2=、/3+i,则肉-22|=.

；

答案2V3

解析方法一设Z]—Z2=a+bi,a,Z?£R,

因为z1+z2=-\/3+b

所以2Z]=(、Q+a)+(l+b)i,

2z1—(\/3—«)+(1—b)L

因为网|=同=2,所以|2Z]|=|2zJ=4,

所以、^\/3+。)2+(1+6)2=4,①

一。)2+(1—6)2=4,②

①2+②2,得02+62=12.

所以|z「Z2尸，。2+历=2/.

方法二设复数Z],Z2在复平面内分别对应向量己，而，

则Zi+z2对应向量&+6k

由题意知QN|=Q2|=|。/+。8|=2,

如图所示，以。4,。2为邻边作平行四边形O4C3,

OA

则Z]—Z2对应向量易，

S-\OA\=\AC\=\OC\=2,

可得应(|=2|S|sin60°=2\/3.

故无一Z2l=|A4|=2、/3.

【教师备选】

1.(2020•北京)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2),贝！]i-z等于()

A.l+2iB.-2+iC.l-2iD.-2-i

答案B

解析由题意知，z=l+2i,

.,.i・z=i(l+2i)=-2+i.

2.(2019•全国I)设复数z满足|z—i|=l,z在复平面内对应的点为(x,y),贝l]()

A.(x+l)2+y2=lB.(x~l)2+j/2=1

C.%2+(y—1)2=1D.%2+(y+l)2=l

答案C

解析Tz在复平面内对应的点为(x,y),

.\z=x-\-yi(x,y£R).

•・,|z—i|=l,：.\x+(y~l)i\=l,

.*.x2+(y—1)2=1.

思维升华由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几

何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

―►叶

跟踪训练3(1)如图，若向量OZ对应的复数为z,贝帖+-表示的复数为()

C.3-iD.3+i

答案D

444(1+i)

解析由题图可得Z(l,—1),即z=l—i,所以zH■-=1—i+-—；=1—i+--------------=1—i

zl-i(l-i)(l+i)

4+4i

~\--------=1—i+2+2i=3+i.

2

(2)设复数z满足条件团=1,那么匕+2、,2+i|的最大值是()

A.3B.2-^3

C.l+2、5D.4

答案D

解析|z|=l表示单位圆上的点,那么|z+27'2+i|表示单位圆上的点至U点(一2、/2,—1)的距

离，求最大值转化为点(一2、万，一1)到原点的距离加上圆的半径.因为点(一2、方，—1)到原

点的距离为3,所以所求最大值为4.

拓展视野

复数的三角形式

b

在如图的复平面中,r-、/抽+上,”-(aWO).

a

任何一个复数z=a+历都可以表示成z=r(cos0+isin①的形式.其中，r是复数z的模；6是

以x轴的非负半轴为始边，向量0Z所在射线(射线。2)为终边的角，叫做复数z=a+6i的辐

角.

我们把《cose+isin。)叫做复数的三角形式.

对应于复数的三角形式，把z=q+6i叫做复数的代数形式.

复数乘、除运算的三角表示：

已知复数4=々(cos+isin耳)，

z?=r2(cos%+isin%)，贝U

2产2=r1r2[cos(01+3)+isin(4+%)].

zin

—二一[cos(。-8)+isin(。-6>)].

i(\兀兀/)(\兀71)/

例1(1)cos-+isin-X3cos7+isin7等于()

2266

答案C

\

兀

X3-71-

解析cos-+isin-co6+ri6

i-/2\2/兀

k-

I

=3cos--1--+isin6

262兀）

2兀

—3cos---bisin-

33

-A―►715兀一►

(2)(多选)把复数Z]与z2对应的向量CM,分别按逆时针方向旋转]和了后，重合于向量0M

且模相等，已知z2=—1—、/名，则复数Z1的代数式和它的辐角分别是()

Ll3兀f-l3TL

A.一\/2—、/2i,—B.-\./2+v2i,—

C.一—一6，:D.-y/2+y/2i,当

答案BD/、

\兀R)

解析由题意可知zcos7+isin-

<44

15兀5TI/

—cos---Fisin-，

\57i5兀.

cos-y+isin于

则Z[=

7171

cos-r+isin7

4、4

1+i(l+i)(l—i)

22

cos——Fisin-，

44

可知Z1对应的坐标为（一-\/2）,则它的辐角主值为I，

l-3兀3K1IK

故可以作为复数一\，2+、/2i的辐角的是---\~2kn,kGZ,当左=1时，---\-2TI-----.

444

兀71

（3）复数z=cos—+isin丁是方程X5—。=0的一个根，那么a的值等于（）

答案B/、

\7171/

解析由题意得，a=cos—+isin—5

71711

—cos—+isin—=—\~----i.

3322

例2(多选)已知i为虚数单位，Z1=v2(cos60°+isin60°),z2=2x2(sin300-icos30°),则

AN的三角形式不为下列选项的有()

A.4(cos90°+isin90°)

B.4(cos30°+isin30°)

C.4(cos300-isin30°)

D.4(cos0°+isin0°)

答案ABC

解析,••z2=2\/2(sin30°-icos30°)

=2、2(cos300°+isin300°),

；.Z/Z2=、/2(COS60°+isin60°)-2x/2(cos300°+isin300°)=4(cos360°+isin360°).

课时精练

C基础保分练

L（2022•福州模拟）已知i是虚数单位,则％=i”是％=—1"的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案A

解析i是虚数单位，则i2=—1,%=i"是％2=—1”的充分条件;

由Q2=—1,得Q=±i,

故“Q=i”是“Q2=—1"的不必要条件；

故“Q=i”是“〃2=—1”的充分不必要条件.

2.设复数Z],Z?在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z]=3—i,则2产2等于（）

A.-10B.10C.-8D.8

答案A

解析・・2]=3—i,Z],z2在复平面内所对应的点关于虚轴对称，

・,・2产2=—9—l=T0.

3.(2022・长春实验中学模拟)若复数z的共钝复数为阻满足g・(l+2i)=l—i,则复数z的虚部

为()

33

A-B.—i

55

33

C.-iD.—

55

答案A

解析3(l+2i)=l—i,

l-i_(l-i)(l-2i)

“l+2i(l+2i)(l-2i)

-l-3i13

=----=——i,

555

13

/.z=-----1i,

55

3

•••复数z的虚部为

4.已知i是虚数单位，则复数z=i2023+i(i—1)在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案C

解析因为z=i2023+i(i—1)=-i—1—i=-1—2i,所以复数z在复平面内对应的点是(一1,

-2),位于第三象限.

5.(2022・潍坊模拟)在复数范围内，已知0,q为实数，1—i是关于龙的方程X2+px+q=0的

一个根，则p+q等于()

A.2B.1C.0D.-1

答案C

解析因为1—i是关于x的方程x2+px+g=0的一个根，则1+i是方程X2+川+«=0的另

一根，由根与系数的关系可得Error!

解得〃=-2,q—2,

所以p+q=0.

6.(多选)(2022•苏州模拟)若复数z满足(l+i>z=5+3i(其中i是虚数单位)，则()

A.z的虚部为一i

B.z的模为、/17

C.z的共朝复数为4-i

D.z在复平面内对应的点位于第四象限

答案BD

解析由(l+i>z=5+3i得

5+3i(5+3i)(l—i)8—2i.

z­­------=------------------=-------=4——i,

l+i(l+i)(l-i)2，

所以z的虚部为一1,A错误；

z的模为、/42+(—1)2=、/17,B正确；

z的共轲复数为4+i,C错误；z在复平面内对应的点为(4,—1),位于第四象限，D正确.

la+i7

7.若z=(a—7'2)+出为纯虚数，其中aGR,则^―=

1+ai

答案一i

解析Yz为纯虚数，，Error!

=、/'，，

a+ii\/2—i(\,2—i)(l—\/2i)

1+ai1+、2(1+v12i)(l—\/2i)

-3i

=-----=—i.

3

8.(2022・温州模拟)已知复数z=a+bi(〃,b£R,i为虚数单位),且±=3+2i,则a=

1-i

b=.

答案51

解析由z=a+Z?i(a,b£R,i为虚数单位),

则曰=a—bi,

01+i

所以"；~

1112

a~\~ba-b

——i=3+2i,

2

a~\~ba~b

故----=3,------=2,所以q=5,b=l.

22

—6

9.当实数加为何值时，复数z=----------+(加2—2加)i为①实数；②虚数；③纯虚数.

m

解①当Error!

即加=2时，复数z是实数.

②当加2—2加中0,且加#0,

即mW。且加W2时，复数2是虚数.

③当Error!

即加=—3时，复数z是纯虚数.

10.如图所示，在平行四边形Q/5C中，顶点O,A,。分别表示0,3+2i,-2+4i,试求:

(1)40,5C所表示的复数;

(2)对角线8所表示的复数;

(3)8点对应的复数.

解(i)・・・/3=-3Z

・'•/O所表不的复数为一3一2i,

"：BC=AO,

所表不的复数为-3—2i.

⑵•.,8=a一62,.•.海所表示的复数为

(3+2i)-(—2+4i)=5—2i.

⑶d=S+元，

08所表示的复数为

(3+2i)+(-2+4i)=l+6i,

.♦.8所对应的复数为l+6i.

C技能提升练

11.(多选)欧拉公式exi=cosx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定

义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地

位，被誉为数学中的天桥，依据欧拉公式，下列选项正确的是()

A.复数e2i对应的点位于第二象限

B.e》为纯虚数

exi1

C.复数「一的模长等于-

V3+i2

D.e》的共辗复数为；一

22

答案ABC

解析对于A,e2i=cos2+isin2,

71

因为一<2<R,

2

即cos2<0,sin2>0,复数e2i对应的点位于第二象限，A正确;

%兀兀号为纯虚数，正确;

对于B,^2=cos-+isin-=i,eB

22

exicosx+isinx

对于C,一丁=——.

、/3+i-\/3+i

(cosx+isinx)(-\/3—i)

(S+i)(S—i)

3cosx+sinx、/3sincosx.

~4~~1

工m阳e-Ti3cosx+sinx)(，?sinx-cosx)_1

于7E仔\-/=3+-i=J------4------叶------4-------2~~2>

C正确；

,%兀兀\/31

对于D,86=cos--Hisin-=——-H--i,

6622

51

其共扼复数为二一-i,D不正确.

22

12.(多选)(2022•武汉模拟)下列说法正确的是()

A.若阂=2,则z-日=4

B.若复数ZjZ2满足|Z]+z2尸匕]—z2],则泞2=0

C.若复数z的平方是纯虚数，则复数z的实部和虚部相等

D.ZWl”是“复数z=(a—1)+(°2—l)i(aGR)是虚数”的必要不充分条件

答案AD

解析若闾=2,贝1]Z0=|Z|2=4,故A正确；

设2]=%+”(4，々eR),

Z=fl+a

22M2-%吨

由匕心尸匕―Z2I，

可得月