2023年高考数学一轮复习：空间向量的概念与运算

空间向量的概念与运算

【考试要求】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正

交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其

坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向

量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理.

-落实主干知识］

【知识梳理】

1.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共线向量

表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

(或平行向量)

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a,b(b#O),a〃b的充要条件是存在实数入，使a

=入b.

(2)共面向量定理：如果两个向量a,b不共线，那么向量p与向量a,b共面的充要条件是

存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb.

⑶空间向量基本定理

如果三个向量a,b,c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,

z),使得p=xa+yb+zc,{a,b,c}叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律

(1)数量积

非零向量a,b的数量积a•b=|a||b|cos(a,b).

⑵空间向量的坐标表示及其应用

设a=(a/气，a>b=(%b/b).

向量表示坐标表示

a•bab+ab+ab

数量积—t-i2—§3—8

a=入ba=、b,a=Ab,

共线—t----12-----2

(bWO,入£R)a3=入b3

a•b=0

垂直ab+ab+ab=0

(aWO,bWO)—!"t2-23—3

模｛和+出+球

|a|*123

a•bcos(a,b)=

夹角余cos(a,b)~r-rrv

|a||b|ab+ab+ab

弦值—1，1223，3

(aWO,bWO)%+用+”•

4.空间位置关系的向量表示

（1）直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线1平行或重合，则称

此向量a为直线1的方向向量.

（2）平面的法向量：直线l，a,取直线1的方向向量a,则向量a为平面a的法向量.

⑶空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

1//In〃non=(XeR)

直线L，12的方向向量分别为3121212

1±1n±n=n•n=0

121212

直线1的方向向量为n,平面a的法1//an±m<=>n•m=0

向量为m,l（ta1±an〃mon=入m(入£R)

a//

n〃mon=入m(入£R)

6

平面a,0的法向量分别为n,m

a±

n_Lmon•m=0

0

【常用结论】

1.在平面中，A,B,C三点共线的充要条件是：应=xOB+yn（其中x+y=l）,0为平面内

任意一点.

2.在空间中，P,A,B,C四点共面的充要条件是：昨=xOUy施+z应（其中x+y+z=l）,

0为空间中任意一点.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确（请在括号中打“J”或“X”）

⑴直线的方向向量是唯一确定的.（X）

⑵若直线a的方向向量和平面a的法向量平行，则a〃a.（X）

2

(3)在空间直角坐标系中，在Oyz平面上的点的坐标一定是(0,b,c).(V)

⑷若a・b〈0,则〈a,b)是钝角.(X)

【教材改编题］

1.若{a,b,c}为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是()

A.{a,a+b,a—b}

B.{b,a+b,a—b)

C.{c,a+b,a—b}

D.{a+b,a—b,a+2b}

答案C

解析VXa+lib(X,PGR)与a,b共面.

AA,B,D不正确.

2.如图，在平行六面体ABCD-A吃D,中,M为A£与BR的交点.若Ma,AD=b,AA

则下列向量中与两相等的向量是()

„c,

1

布一」上大

AB

A1―L,—r—,—r*D-1

2222

11,,11,

C.-2a-2b+cD-2a-2b+c

答案A

解析由题意，根据向量运算的几何运算法则，

BM=Blf+O=AT+1(AD-AB)

iii2

=c+1(b—a)

=-|a+|b+c.

3.设直线I」12的方向向量分别为a=(-2,2,1),b=(32,m),若则m=-----------.

答案10

解析

VI1±12,.\a±b,

・\a•b=-6—4+m=0,.\m=10.

3

题型一空间向量的线性运算

例1如图所示，在平行六面体ABCD—ABCD中，设肃=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别

11111

是AAjBC,CR的中点，试用a,b,c表示以下各向量：

(1)AP；(2)AN；(3)MP+NT.

11

解⑴：p是cp,的中点，

.".AP=AT+AT=Ar+O+DT

111111

=AT+通+杭

i2

1一

=a+c+5AB

=a+c+；b.

⑵・・・N是BC的中点，

/.AN=O+AB+BN

11

l->

——a+b+-BC

=—a+b+jlD

=—a+b+-c.

⑶是AA|的中点，

.-.MP=MA+AP=|AI+AP

=—1a+(a+c+|b)

f+c.

又而=前+记=|BC+AT

ii2i

=：而+而=：c+a.

2i2

4

.,.MP+NT=(ja+|b+cj+^|c+a

3,1,,3

=2a+2b+2C-

【教师备选】

如图，在三棱锥0—ABC中，M,N分另ij是0A,BC的中点，G是4ABC的重心，用基向量血，0B,

应表示褚，则下列表示正确的是()

A.i0A+M+10C

4/J

B.10A+10B+10C

C.-ioA+ioB+joC

D.i0A+^0B+10C

答案D

1O1o

解析MG=MA+AG=^0A+-AN=-0A+-(0N-0A)

=^+l1OB+OC-0A

=-10A+10B+10C.

633

0G=0M+MG=i6A-70A+10B+|oC=10A+1oB+10C.

2633333

思维升华用基向量表示指定向量的方法

(1)结合已知向量和所求向量观察图形.

(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.

(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.

跟踪训练1(1)(2022•宁波模拟)如图，在三棱锥0—ABC中，点P,Q分别是0A,BC的中

点，点D为线段PQ上一点，且丽=2而，若记应=a,OB=b,0C=c,则而等于()

5

A.Ta+—b+—c

633

1,L1111.1

C.-a+-b+-cD-3a+3b+6C

3b3

答案A

i9

解析OD=OP+PD=-OA+-PQ

乙o

=^OA+j(OQ-OP)

=1OA+TX|(OB+OC)-1X|OA

=：a+Jb+：c.

b33

⑵在正方体ABCD—ABCD中，点F是侧面CDDC的中心，若靠=xA5+yAB+z肃，则x—y

1111111

+z等于（）

13

A.-B.IC.-D.2

答案B

解析AF=AD+DF=AD+HW+Fc)

2iii

=AD+i(AT+AB)

2i-

=AD+j(AT+AB)

6

=通+押+北,

1

y

则x=l,-21z=-,则X—y+z=l.

题型二空间向量基本定理及其应用

例2已知A,B,C三点不共线，对平面ABC外的任一点0,若点M满足血=〈(应+施+穴).

⑴判断葩，MB,前三个向量是否共面；

⑵判断点M是否在平面ABC内.

解⑴由题知颓+谅+%=3而，

所以前一瓶=(0M-0B)+(0M-0C),

即薪=丽+而=-MB-MC,

所以逾，MB,蓝共面.

⑵方法一由(1)知，MA,MB,筋共面且基线过同一点M,

所以M,A,B,C四点共面，从而点M在平面ABC内.

方法二因为锄=<(福+施+位)

U

=^0A+10B+10C,

U<J0

又因为1,

uoO

所以M,A,B,C四点共面，从而M在平面ABC内.

【教师备选】

如图所示，已知斜三棱柱ABC—A月Q,点M,N分别在AQ和BC上，且满足疝1=1<r，BN=

kBC(O^k^l).判断向量浦是否与向量说，码共面.

解因为晶=kl^,BN=kBC,

所以菰1=通+磋+的

=k-CA+AB+kBC

1

7

=k(Cl+BC)+AB=k(Cl+FC)+AB

1111

=kO+AB

1

=AB-kM=AB-k(AT+AB)

11

=(l-k)AB-kAT,

所以由共面向量定理知向量漉与向量磋，画共面.

思维升华证明空间四点P,M,A,B共面的方法

(l)MP=xMA+yMB；

(2)对空间任一点0,0P=0M+xMA+yMB；

(3)对空间任一点0,0P=x0M+y0A+z0B(x+y+z=1)；

⑷的〃疝(或前〃旗或丽〃丽.

跟踪训练2(1)(多选)(2022•武汉质检)下列说法中正确的是()

A.⑶一|b|=|a+b]是a,b共线的充要条件

B.若说，说共线，则AB〃CD

911

c.A,B,C三点不共线，对空间任意一点0,若许＞=7^+6而+封，则P,A,B,C四点共

4oo

面

D.若P,A,B,C为空间四点，且有两=入的十口曲(诙，而不共线)，则入+口=1是人，B,

C三点共线的充要条件

答案CD

解析由|a|—|b|=|a+b|,可得向量a,b的方向相反，此时向量a,b共线，反之，当向

量a,b同向时，不能得到|a|-Jb|=|a+b],所以A不正确；

若屈，说共线，则AB〃CD或A,B,C,D四点共线，所以B不正确；

由A,B,C三点不共线，对空间任意一点0,

若苏=源+:施+抗，

4oo

Q11

因为彳+§+d=L

4oo

可得P,A,B,C四点共面，故C正确；

若P,A,B,C为空间四点，

且有的=人海+口而(丽，位不共线)，

当入+口=1时，即口=1一人，

8

可得PA—PC=X(PB+CP),

即画=XCB,

所以A,B,C三点共线，反之也成立，即入+口=1是A,B,C三点共线的充要条件，所以

D正确.

(2)已知A,B,C三点不共线，点0为平面ABC外任意一点，若点M满足⑪=1位+的+|威,

555

则点M(填“属于”或“不属于")平面ABC.

智案

属

于

解析

：•OM

122

+

5-+■5-5--

AM,A,B,C四点共面.

即点Me平面ABC.

题型三空间向量数量积及其应用

例3如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,

AD,CD的中点，计算:

(1)EF-BA.

⑵求异面直线AG和CE所成角的余弦值.

IB设AB=a,AC=b,AD=c.

\-/\-g-O

7\b,/a)60

111

丽

2--2-C-2-

r/1

----

兽

BAa,EF'.BA

11

c--

2a4-

11

一1.—

(2)AG=-(AC+AD)2-

2c

9

OT=CA+AE=-b+^a,

一一AG«CE

cos(AG,CE)=--------

|AG||CE|

22

gx亚3,

2*2

由于异面直线所成角的范围是［o,Y

9

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为I

【教师备选】

已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2,则丽•PN

的取值范围为（）

A」0,41B.10,21C.11,41D.1I,21

答案B

解析设正方体内切球的球心为0,

贝！］OM=ON=1,

PM•PN=（间+而）•（的+而）=m+ro•（而+而）+0M•0N,

•；MN为球。的直径，

.,.OM+ON=O,0M-ON=-L

.-.PM.PN=PO2-1,

又P在正方体表面上移动，

•••当P为正方体顶点时，।P0।最大，最大值为斓；当P为内切球与正方体的切点时，।P0

最小，最小值为1,

P0=—1G10,2-1,

即丽•的的取值范围为［。，21.

思维升华由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|,|b|和〈a,b）,a与

b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a・b计算准确.

10

跟踪训练3如图所示，在四棱柱ABCD嵋CR中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条

棱长都为1,且两两夹角为60°.

(1)求AQ的长；

⑵求证：AC±BD；

⑶求B)与AC夹角的余弦值.

(1)解记AB=a,AD=b,AAi=c,

贝|a|=|b|=|c|=1,

(a,b)=(b,c)=<c,a)=60

1

/.a•b=b•c=c•a

2'

|AC](a+b+c)2

=H2+b2+c2+2(a•b+b•c+c•a)

fill)

=1+1+1+2X(尹/引—6,

・・.|码|=/，即AQ的长为

⑵证明YA]=a+b+c,BD=b—a,

AC•BD=(a+b+c),(b—a)

1

=a•b+|b12+b•c—|a|2—a•b—a•c=0.

/.AC*±BD,AAC±BD.

11

(3)解BD=b+c—a,AC=a+b,

1

\P£\=yj3,

BD：•AC=(b+c—a)•(a+b)

=b2—az+a•c+b•c=l.

W-AC

cos〈BD,AC〉

1|BD；IIACI6

•••AC与BR夹角的余弦值为半.

11

题型四向量法证明平行、垂直

例4如图，在四棱锥P—ABCD中,PA，底面ABCD,AD±AB,AB//DC,AD=DC=AP=2,AB

=1,点E为棱PC的中点.证明：

(1)BE±DC；

(2)BE〃平面PAD；

⑶平面PCD,平面PAD.

证明依题意，以点A为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,O,O),C(2,2,0),

D(0,2,0),P(0,0,2).由E为棱PC的中点,得E(l,1,1).

⑴帝=(0,1,1),

DC=(2,0,0),

故帝•前=0,

所以BELDC.

⑵因为ABJ_AD,又PAJ_平面ABCD,

ABc平面ABCD,

所以AB_LPA,PAAAD=A,PA,ADu平面PAD,

所以AB,平面PAD,

所以丽=(1,0,0)为平面PAD的一个法向量,

而BE•AB=(0,1,1),(1,0,0)=0,

所以BELAB,

又BEC平面PAD,

所以BE〃平面PAD.

⑶由⑵知平面PAD的法向量通=(1,0,0),

丽=(0,2,-2),

DC=⑵0,0),

12

设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,z),

n•PD=O,

贝『一

、n,DC=O,

令y=l,可得n=(0,1,1)为平面PCD的一个法向量.

且n•AB=(0,1,1)•(1,0,0)=0,

所以n±AB.

所以平面PADJ_平面PCD.

【教师备选】

如图，已知RJ_平面ABC,AB=AC=3,BC=,巩=木,BB〔=2巾，点E和F

分别为BC和Af的中点.

(1)求证：EF〃平面ABBA；

11

⑵求证：平面AEAJ平面BC斗.

证明因为AB=AC,E为BC的中点，所以AELBC.

因为AAJ平面ABC,AA/7BB,

所以以过E作平行于BB|的垂线为z轴，Ec,EA所在直线分别为x轴、y轴,

建立如图所示的空间直角坐标系.

:

By

因为AB=3,BE=4，

所以AE=2,

13

所以E(O,O,O),(；(/，0,0),

A(0,2,0),

B(一4，0,0),BJ—、,0,2巾).

AAi=（0,0,巾）.

设平面AARB的一个法向量为n=（x,y,z）,

n,AB=0,

则<

、n•AA>=0,

1

Ix=-2,

取jy=V§,

所以L

々7z=0,lz=o,

所以n=(—2,0).

因为曲•n=^X(—2)+1义小+乎><0=0,

所以由，n.

又EFC平面ABBA,

ii

所以EF〃平面ARBA.

⑵因为EC,平面AEAj

所以前=（/，0,0）为平面AEA1的一个法向量.

又EA,平面BCB,

1

所以前=（0,2,0）为平面BCB1的一个法向量.

因为疣•a=0,所以前a国，

故平面AEAL平面BCB.

11

思维升华（1）利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系（尽可能利用垂直

条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素）.

（2）向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关

定理.

跟踪训练4如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面PAD,底面

14

ABCD,且PA=PD=^AD,设E,F分别为PC,BD的中点.

/耍

求证：（1）EF〃平面PAD；

⑵平面PABL平面PDC.

证明（1）如图，取AD的中点0,连接OP,0F.

因为PA=PD,所以POLAD.

又侧面PADJ_底面ABCD,平面PADC平面ABCD=AD,POc平面PAD,

所以P（U平面ABCD.

又0,F分别为AD,BD的中点，

所以OF//AB.

又四边形ABCD是正方形，

所以OFXAD.

因为PA=PD=-^-AD,

所以PALPD,OP=OA=|.

如图，以0为坐标原点，OA,OF,OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

则Ag,0,0）,F（0,I，oj,

因为E为PC的中点,

易知平面PAD的一个法向量为

笳=(0,oj,

15

,一(aa)一一(a)(aa)

因为EF=5，0,­J,OF•EF=|^O,oj七‘。,一J

且EFC平面PAD,所以EF〃平面PAD.

.一,f(aa、

⑵因为PA=g0,--J,

CD=(0,—a,0),

———「aa'

所以PA・CD=(5，0,--J•(0,—a,0)=0,

所以潘，说，

所以PALCD.

又PAJ_PD,PDnCD=D,PD,CDu平面PDC,

所以PAJ_平面PDC,又PAc平面PAB,所以平面PABJ_平面PDC.

课时精练

。基础保分练

1.已知a=(2,L—3),b=(0,—3,2),c=(—2,1,2),则a・(b+c)等于()

A.18B.-18C.3>/2D.-3^2

答案B

解析因为b+c=(—2,-2,4),

所以a•(b+c)=—4—2—12=—18.

2.已知空间任意一点。和不共线的三点A,B,C,若用=xOA+yg+zn(x,y,zeR),则

“x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的()

A.必要不充分条件

B.充分不必要条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

答案B

解析由x+y+z=l,得P,A,B,C四点共面，

当P,A,B,C四点共面时，x+y+z=l,显然不止2,—3,2.

故"x=2,y=-3,z=2”是“P,A,B,C四点共面”的充分不必要条件.

3.已知空间向量a=(1,0,1),b=(1,1,n),且a・b=3,则向量a与b的夹角为()

16

答案A

解析由题意，a・b=l+0+n=3,

解得n=2,

又|a|=#1+0+1=隹,|b|=/+1+4=

什…、a•b3击

所以cos(a,b)=i|nr=-j=---尸=言-,

|a||b|巾乂邓2

又〈a,b)£[0,兀],

it

所以a与b的夹角为

6

4.直线1的一个方向向量为(2,1,1),平面a的一个法向量为(4,2,2),则()

A.1〃a

B.11a

C.1〃a或lua

D.1与a的位置关系不能判断

答案B

解析直线1的一个方向向量为(2,1,1),平面a的一个法向量为(4,2,2),

显然它们共线，所以l_La.

5.(多选)已知空间岂点A点,0,3),B(-l,1,4),C(2,-1,3),若硅〃就,且向|=#1,

则点P的坐标为()

A.(4,-2,2)B.(—2,2,4)

C.(—4,2,—2)D.(2,—2,4)

答案AB

解析因为B(—1,1,4),C(2,-1,3),

所以BC=(3,—2,—1),

因为通〃疣，

所以可设而=入就=(3人，一2人，一人)，

因为|AP|3入2-j--2入2-|--X,

解得入=±1,

所以AP=(3,—2,—1)或AP=(―3,2,1),

设点P(x,y,z),则而=(x—1,y,z—3),

17

x—1=3,x—1=—3,

所以jy=—2,或Jy=2,

、z—3=-1.z—3=1,

x=4,x=—2,

解得1y=—2,或1y=2,

、z=2、z=4.

所以点P的坐标为(4,—2,2)或(-2,2,4).

6.(多选)已知空间中三点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-l,3,1),则下列结论正确的有()

A.屈与近是共线向量

B.与通共线的单位向量是(1,1,0)

c.屈与血夹角的余弦值是一卑

D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)

答案CD

解析对于A,AB=(2,l,0),AC=(-1,2,1),不存在实数人,使得融=入蓝，

所以而与碇不是共线向量，所以A错误；

对于B,因为融=(2,1,0),所以与硅共线的单位向量为砰，害oj或1―手，一(，o)

所以B错误；

对于C,向量融=(2,1,0),BC=(—3,1,1),

2削|

所以C正确；

对于D,设平面ABC的法向量是n=(x,y,z),

因为硅=(2,1,0),AC=(-1,2,1),

n•AB=0,2x+y=0,

所以‘一

—x+2y+z=0.

、n,AC=0,

令x=l,则n=(l,—2,5),所以D正确.

7.已知a=(x,1,1),b=(—2,2,y),a•b=0,则2x—y=

答案2

解析因为a=(x,1,1),b=(—2,2,y),a•b=0,所以-2x+2+y=0,2x—y=2.

18

8.已知点A(—1,1,0),Bd,2,0),C(-2,-1,0),D(3,4,0),则疝在面上的投影向量为

答案1I°)

解析由已知得砧=(2,1,0),加=(5,5,0),

AAB•CD=2X5+1X5+O=15,

又@|=4，

...磋在画上的投影向量为

辿色.包_正义工L—3说—但301

|CD|5小义5地一1产—62,

9.如图所示，在直三棱柱ABC—ARQ中，CA=CB=1,ZBCA=90°,棱八々=2,M,N分别

是邛，外的中点.

(1)求瓯的长；

(2)求cos〈照，码〉的值；

(3)求证：ABXCM.

⑴解以C为坐标原点，CA,CB,CQ所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

如图.

B(0,1,0),N(l,0,1),

/.BN=(1,—1,1),

/.|BN=\hz+—12+12=^.

(2)解VA(l,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),

BJO,1,2),

/.BT=(1,-1,2),码=(0,1,2),

19

.,.BT-CB^=3,IBT1=^/6,\~CB\=y[5.

BA~»WA/30

cos<BT,而〉

11IBTIICTI10'

⑶证明•.£(0,0,2),；，2

A^B=(—1,1,—2),"^1=(；,0

.•邓.印=—；+g+o=o.

ABXTTM,

11

AABXCM.

ii

10.如图，在四棱锥p—ABCD中，PD,底面ABCD,底面ABCD为正方形，PD=DC,E,F分别是

AB,PB的中点.

⑴求证：EFXCD；

⑵在平面PAD内求一点G,使GF,平面PCB.

⑴证明如图，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间

直角坐标系,

设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),

C(0,a,0),

E(a,I，0),P(0,0,a),

(aa研

%，2-2)-

EF=|^—0,-j,DC=(0,a,0).

因为丽•流=0,

20

所以由，即EFLCD.

⑵解设G(x,0,z),

—「aaa、

!!JFG=^X--,z--J,

CB=(a,0,0),CP=(0,—a,a),

若使GF,平面PCB,则需前・CB=0,

且南•序=0,

,―>—►(aaa?\

由FG・CB=(x—z—•(a,0,0)

=a(x—1=0,倚x=i

,—>(aaa?\、

由FG•CP=|^x—z—习•(0,—a,a)

=5+a1z—引=0,得z=0.

所以G点坐标为g,0,0),

即G为AD的中点时，GF,平面PCB.

C技能提升练

11.(多选)(2022•山东百师联盟大联考)下面四个结论正确的是()

A.向量a,b(aW0,bWO),若a_Lb,贝"a•b=0

—13

B.若空间四个点P,A,B,C,PC=-PA+-PB,则A,B,C三点共线

3

C.已知向量a=(1,1,x),b=(—3,x,9),若x〈正，则(a,b)为钝角

D.任意向量a,b,c满足(a•b)•c=a•(b•c)

答案AB

解析由向量垂直的充要条件可得A正确；

".,PC=ipA+|pB,

..卡一扔=|丽—河

BPAC=3CB,

...A,B,C三点共线，故B正确；

当x=-3时，两个向量共线，夹角为口，故C错误;

21

由于向量的数量积运算不满足结合律，故D错误.

12.（多选）（2022•重庆市第七中学月考）给出下列命题，其中为假命题的是（）

A.已知n为平面a的一个法向量，m为直线1的一个方向向量，若nj_m,则1〃a

2JI

B.已知n为平面a的一个法向量，m为直线1的一个方向向量，若〈n,m）=—,则1与

JI

a所成角为W

C.若两个不同的平面a,8的法向量分别为u,v,且u=（l,2,-2）,v=（-2,—4,4）,

则a〃8

D.已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,y,z使得

p=xa+yb+zc

答案AD

解析对于A,由题意可得l〃a或lua,故A错误；

12兀

对于B,由图象可得，ZCAD=—,

JIJI

则NDAB=W，所以/ADB-,

JI

根据线面角的定义可得，1与a所成角为甲故B正确;

对于C,因为u=—'=一；(—2,-4,4)

=(1,2,-2),

所以u〃v,故。〃8,故C正确;

对于D,当空间的三个向量a,b,c不共面时，对于空间的任意一个向量p,总存在实数x,

y,z使得p=xa+yb+zc,故D错误.

13.（2022•杭州模拟）在棱长为1的正方体ABCD—AFfR中，E,F分别为AR,的中点,

贝!IcosZEAF=；EF=.

22

答案-史

口耒52

解析如图，以A为坐标原点，AB,AD,AA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角

坐标系,

•••正方体棱长为1,

t1

AE»2-2

cos-

亚

AIF_.亚5

AFIX

IAE22

2

.•.CosZEAF=-)

14.如图，已知四棱柱ABCD—ARCR的底面AF£D1为平行四边形，E为棱AB的中点，AF=1

AD,AG=2GT,AQ与平面EFG交于点M