常州高三三月一模数学试卷

常州高三三月一模数学试卷一、选择题

1.若函数f(x)=ax^2+bx+c的图像开口向上，且顶点坐标为(-1,2)，则a、b、c的取值范围分别是（）。

A.a>0,b任意，c任意

B.a>0,b任意，c任意

C.a>0,b任意，c任意

D.a>0,b任意，c任意

2.在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，∠C=105°，若BC=2，则AC的长度为（）。

A.2√3

B.2√2

C.2√6

D.2√3

3.已知数列{an}的通项公式为an=2^n-1，则数列的前n项和S_n等于（）。

A.2^n-n

B.2^n+n

C.2^n-n-1

D.2^n+n-1

4.若复数z=a+bi（a、b为实数），且|z|=√5，则z的取值范围为（）。

A.a^2+b^2=5

B.a^2+b^2=10

C.a^2+b^2=25

D.a^2+b^2=50

5.在直角坐标系中，点P(2,3)关于直线y=x的对称点为（）。

A.(-3,2)

B.(2,-3)

C.(-2,3)

D.(3,-2)

6.若函数f(x)=x^3-3x+2在区间[0,1]上的最大值为2，则f'(x)在区间[0,1]上的取值范围是（）。

A.f'(x)≤0

B.f'(x)≥0

C.f'(x)>0

D.f'(x)<0

7.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)^n*n，则数列的前n项和S_n等于（）。

A.n

B.-n

C.n^2

D.-n^2

8.若复数z=a+bi（a、b为实数），且arg(z)=π/2，则z的取值范围为（）。

A.a^2+b^2=1

B.a^2+b^2=4

C.a^2+b^2=9

D.a^2+b^2=16

9.在直角坐标系中，直线y=2x+1与圆x^2+y^2=1的位置关系是（）。

A.相交

B.相切

C.相离

D.重合

10.若函数f(x)=x^2-4x+3在区间[1,3]上的最小值为-2，则f'(x)在区间[1,3]上的取值范围是（）。

A.f'(x)≤0

B.f'(x)≥0

C.f'(x)>0

D.f'(x)<0

二、判断题

1.若一个二次函数的图像开口向上，则其顶点坐标一定在x轴上方。（）

2.在△ABC中，若AB=AC，则△ABC一定是等边三角形。（）

3.数列{an}的通项公式为an=3^n，则该数列的前n项和S_n是等比数列。（）

4.复数z=a+bi（a、b为实数），若arg(z)=π/2，则z一定是纯虚数。（）

5.在直角坐标系中，若直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2相切，则k^2+1=r^2。（）

三、填空题

1.函数f(x)=x^2-4x+3的图像的顶点坐标是______，对称轴方程是______。

2.在△ABC中，已知∠A=60°，AB=6，AC=8，则BC的长度是______。

3.数列{an}的通项公式为an=n^2+1，则该数列的前5项和S_5是______。

4.复数z=3+4i的模长是______，它的辐角是______。

5.直线y=2x-3与圆x^2+y^2=25的位置关系是______，圆心到直线的距离是______。

四、简答题

1.简述二次函数图像的性质，并举例说明如何通过二次函数的标准式f(x)=a(x-h)^2+k来确定其图像的顶点坐标、开口方向和对称轴。

2.请解释等比数列的定义，并给出一个等比数列的例子。同时，说明如何计算等比数列的前n项和。

3.简要说明复数的概念，包括实部、虚部和模长。并解释如何通过复数的三角形式来表示复数，并计算复数的辐角。

4.请解释直线与圆的位置关系的判定方法。给出一个具体的例子，说明如何判断直线y=kx+b与圆x^2+y^2=r^2是相交、相切还是相离。

5.简述数列极限的概念，并举例说明如何判断一个数列是否收敛。同时，解释数列收敛的必要条件。

五、计算题

1.计算函数f(x)=x^3-3x+2在x=1处的导数值。

2.已知数列{an}的通项公式为an=3^n-2^n，求该数列的前10项和S_10。

3.计算复数z=2-3i的模长和辐角。

4.解下列方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y=8\\

3x-2y=1

\end{cases}

\]

5.已知函数f(x)=x^2+4x+3，求函数在区间[-2,1]上的最大值和最小值。

六、案例分析题

1.案例背景：某学校为了提高学生的数学成绩，决定开展一次数学竞赛活动。竞赛题目包括选择题、填空题、简答题和计算题。以下是竞赛中的一道简答题题目：

简答题：请解释函数的极值点与函数图像的凹凸性的关系，并举例说明。

案例分析：分析这道题目在数学竞赛中的应用，以及它对学生数学思维和能力的考察。

2.案例背景：在高中数学教学中，教师经常使用数列的概念来讲解数列的性质和求和问题。以下是一个数列教学案例：

案例描述：教师讲解等比数列的求和公式，并要求学生通过观察数列的通项公式和前几项，推导出等比数列的求和公式。

案例分析：分析这个教学案例中教师使用的教学方法，以及这种方法对学生理解和掌握数列求和公式的帮助。同时，讨论如何通过这个案例提高学生的数学推理能力和抽象思维能力。

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一批产品，每件产品需要经过两个工序加工。第一个工序每件产品需要2小时，第二个工序每件产品需要3小时。如果工厂每天有8小时的工作时间，且两个工序可以同时进行，那么每天最多能生产多少件产品？

2.应用题：一个储蓄账户的年利率为5%，复利计算。某人存入10000元，3年后取出，利息是多少？如果此人选择将利息继续存入账户，5年后账户中的总额是多少？

3.应用题：一个三角形ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AB=10cm。求三角形ABC的周长。

4.应用题：一辆汽车以60km/h的速度行驶，刹车后以每秒减5m/s的加速度减速，直到停止。问汽车从开始刹车到完全停止所需的时间是多少？如果汽车的初始速度是90km/h，那么刹车距离会是多少？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题

1.B.a>0,b任意，c任意

2.A.2√3

3.C.2^n-n-1

4.A.a^2+b^2=5

5.C.(-2,3)

6.C.f'(x)>0

7.C.n^2

8.C.a^2+b^2=9

9.B.相切

10.A.f'(x)≤0

二、判断题

1.×

2.×

3.×

4.×

5.×

三、填空题

1.顶点坐标是(2,-1)，对称轴方程是x=2。

2.BC的长度是4√3。

3.该数列的前5项和S_5是390。

4.复数z的模长是5，它的辐角是-π/3。

5.直线与圆的位置关系是相切，圆心到直线的距离是4。

四、简答题

1.二次函数图像的性质包括：开口向上或向下，顶点坐标，对称轴，与x轴的交点等。例如，对于函数f(x)=(x-1)^2+3，顶点坐标是(1,3)，开口向上，对称轴是x=1。

2.等比数列的定义是：从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数q（q≠0）。例如，数列1,2,4,8,16...是一个等比数列，公比q=2。等比数列的前n项和可以用公式S_n=a_1*(1-q^n)/(1-q)来计算。

3.复数由实部和虚部组成，实部表示复数的实数部分，虚部表示复数的虚数部分。复数z的模长是|z|=√(a^2+b^2)，其中a是实部，b是虚部。复数的辐角是复数在复平面上的角度，可以通过反正切函数arg(z)来计算。

4.直线与圆的位置关系可以通过比较直线到圆心的距离与圆的半径来判断。如果距离小于半径，则相交；如果距离等于半径，则相切；如果距离大于半径，则相离。例如，直线y=2x+1与圆x^2+y^2=1相交，因为直线到圆心的距离小于圆的半径。

5.数列极限的概念是指当n趋向于无穷大时，数列{an}的项an趋向于某个确定的值L。如果对于任意小的正数ε，都存在一个正整数N，使得当n>N时，|an-L|<ε，则称数列{an}收敛于L。

五、计算题

1.f'(x)=3x^2-3，在x=1处的导数值为f'(1)=3*1^2-3=0。

2.S_10=3^10-2^10=59049-1024=57925。

3.|z|=√(2^2+3^2)=√13，arg(z)=arctan(-3/2)=-π/3。

4.解方程组得到x=2，y=1。

5.函数在区间[-2,1]上的最大值为f(-2)=(-2)^2+4*(-2)+3=4，最小值为f(1)=1^2+4*1+3=8。

七、应用题

1.每个工序同时进行，每天能生产的产品数为8/(2+3)=8/5=1.6，即每天最多能生产1件产品。

2.利息=10000*5%*3=1500元，5年后的总额=10000+1500*(1+5*5%)=15000元。

3.AC=AB*sin(∠BAC)=10*sin(105°)≈10*0.9659=9.659cm，周长=AB+AC+BC=10+8+9.659≈27.659cm。

4.刹车时间=初始速度/减速度=60*1000/5=12000秒，刹车距离=(初始速度^2)/(2*减速度)=(60*1000)^2/(2*5)=36000000/10=3600000m。

5.刹车时间=90*1000/5=18000秒，刹车距离=(90*1000)^2/(2*5)=81000000/10=8100000m。

知识点总结：

1.二次函数和导数

2.数列和数列求和

3.复数和复数的三角形式

4.直线与圆的位置关系

5.数列极限

6.应用题解决方法

题型知识点详解及示例：

1.选择题：考察对基本概念和公式的理解和应用，如二次函数的性质、数列的定义、复数的模长和辐角