苏科版七年级数学下册同步讲义 72 探索平行线的性质

第7章平面图形的认识（二）

7.2探索平行线的性质

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课程标准课标解读

1.掌握平行线的性质定理：两条平行直线

被第三条直线所载，同位角相等。了解平

行线性质定理的证明。1.能够证明平行线的性质定理；

探索并证明平行线的性质定理：两条平行2.能够利用平行线的性质定理证明角相等。

直线被第三条直线所截，内错角相等（或

同旁内角互补）。

鳖知识精讲

知识点01两直线平行，同位角相等

如图，两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；即两直线平行，同位角相等。

即：a//b=>Z1=Z5,Z2=Z6,Z3=Z7,Z4=Z8；

【即学即练1】（填写结果或理由）

如图，己知直线a〃方，Z4=60°,求Nl,Z3的度数.

ak

bA2

43

解：・・・a〃/，（已知）

・•・Z1=Z2（）

又・//2=/4（）

Z4=60°（已知）

AZ1=Z4=1（等量代换）

又1・N3+N4=180°

・•・Z3=°.

【答案】两直线平行，同位角相等；对顶角相等；60；120.

【分析】读懂每一步推理过程，即可完成.

【解析】9：a//b（已知）

AZ1=Z2（两直线平行，同位角相等）

又*・N2=N4（对顶角相等）

Z4=60°（已知）

・・・/1=/4=60。（等量代换）

又,:Z3+Z4=180°（补角的定义）

・・・/3;1800-Z4=120

故答案为：两直线平行，同位角相等；对顶角相等：60；120

知识点02两直线平行，内错角相等，同旁内角互补

如图:

性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；即两直线平行，内错角相等。

性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；即两直线平行，同旁内角互补。

【微点拨】

性质图形几何符号语言

'.'AB/7CD

两直线平行，同位角相等A2B

.'.Z3=Z2

yr---------

•「AB〃CD

两直线平行，内错角相等

.'.Z1=Z2

ClD

•「AB〃CD

两直线平行，同旁内角互补

N4+N2=180°

【即学即练3】完成F面的证明如图.

已知：AD"EF,N1=N2,求证：AD平分/BAC.

证明：•:AD"EF(),

・・.N2=(),

Zl=().

VZ1=Z2(己知)，

:./BAD=NCAD().

即4〃平分/例C.

【答案】已知；/CA"两直线平行，同位角相等；/BAD,两直线平行，内错角相等；等量代换.

【分析】根据平行线的性质进行推理即可解答.

【解析】解：•・•/〃〃斯（已知）,

・・・/2=/。“（两直线平行，同位角相等），

N1=N8仞（两直线平行，内错角相等），

VZ1=Z2（己知），

・•・NCAD=/次〃（等量代换）,

即.4〃平分/创。（角平分线的定义）.

【即学即练4】完成推理填空.填写推理理由：

如图："HAD,Zl=Z2,N8AC'=7（r,把求ZAG。的过程填写完整.

c

EF//AD（已知）

AZ2=,（）,

XVZI=Z2,（）.

AZ1=Z3,（等量代换）

AB//,（）.

A^BAC+____=180°,（）.

XVN曲C=70。，

:.ZAGD=.

【答案】Z3；两直线平行，同位角相等；已知；GD；内错角相等，两直线平行；NDGA；两直线平行,

同旁内角互补；110°.

【分析】根据平行线的性质得/2二/3,等量代换得N1=N3,所以A8〃GD,再根据平行线的性质得

NBAC+NDGA=180。,又因为N84C=70。，即可得N4G£>=110°.

【解析】解：TE/WA。，

・・・/2=/3（两直线平行，同位角相等），

又：N1=N2,（已知），

AZ1=Z3,（等量代换），

AAB//GD,（内错角相等，两直线平行），

・・・N84C+NZX7A=180。，（两直线平行,同旁内角互补）,

又,:NBAC=70。，

ZAGD=110°,

[A能力拓展

考法01根据平行线的性质求角

【典例1】如图，ABA.MN,CD上MN,垂足分别是G,”，直线EQ分别交入4,CO于点G,F.

（1）和NHGE相等的角有；

(2)若NOE=120。，求NMGE的度数.

【答案】(1)ZAGF,4GFD,乙CFQ：(2)30°

【分析】(1)先证明小〃机M即可得到//汨庐N/%4,4EFD=4AGF,4AG24CFQ,由此即可得到答案;

(2)先证明AB//MN,即可得到Z4GF=60°,则ZBGE=60"，ZMGE=90°-/BGE=30°.

【解析】解：(1)•:ABLMN,CD1MN,

••・乙/侬/以上90°,

:・/EF人EGB,/EFD=4AGF,NAGQ4CFQ,

4EG1仁乙AGF=4GFIA4CFQ,

故答案为：ZAGF,NGFD,NCFQ；

(2)VAB1MN,CDA.MN,

••・乙代斯/加上90°,

...AB//CD,

・'.ZCFE+Z^GF=180".

又丁ZCFE=120°,

・•・ZAGF=60°,

XVNEGB=ZAGF

・•・N8G£=60"

JNMGE=900-NBGE=30".

考法02根据平行线判定与性质证明

【典例2】直线A8〃C。，直线EF分别交48、CD于点M、N,NP平分NMM）.

（1）如图1,若MR平分/EMB,则MR与NP的位置关系是.

（2）如图2,若MR平分/AMN,则MR与NP有怎样的位置关系？请说明理由.

（3）如图3,若MR平分4两，则砂与NP有怎样的位置关系？请说明理由.

图1图2图3

【答案】（1）MR〃NP；⑵MR〃NP、理由见解析；（3）MR上NP,理由见解析

【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等可得NEMB=NEM）,根据角平分线的意义可得

/EMR=”MB,NENP=-END,进而可得NEMR=NENQ,即可判断MR〃NP：

22

（2）根据两直线平行，内错角相等，角平分线的意义可得N£MR=N£NP,即可判断MR〃/VP；

（3）设MRdN交于点Q,过点。作QG/7AB根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线的意义，可得

N8MR+N/WO=90。，进而可得/MQN=90。，进而判断MR_LNP.

【解析】（1）如题图1,-AB//CD

;2EMB="ND

MR平分NEMB,NP平%4MND.

NEMR=-ZEMB/ENP=-Z.END

22

:"EMR=/ENP

••MR〃NP,

(2)如题图2,vAB//CD

:.ZAMN=ZEND

平分/4MN,NP平分/MND.

：.NRMN=-乙AMN,ZENP=-ZEND

22

：.ZRMN=4ENP

二.MR〃NP；

（3）如图，、设MR、PN文于点、Q,过点。作QG〃/W

AB//CD

:.NBMN+NEND=18。。,QG//CD

；.NMQG=/BMR,NGQN=ZPND

YMR平分"MN,NP平分乙MND.

/BMR=-NBMN/PND=-4END

22

：.NBMR+/PND=90。

NMQN=/MQG+NNQG=90°

・••MR1NP；

羔务层提分

题组A基础过关练

1.如图所示，直线点力、6在直线人上，点。、〃在直线，上，若△4阳的面积为S,△力劭的面

积为S,则（）

A.S>SB.5=SD.不确定

【答案】B

【分析】由题意根据两平行线间的距离处处相等，可知△4%和△川切等底等高，结合三角形的面积公式从

而进行分析即可.

【脩析】解：因为小〃乙，所以。、〃两点到心的距离相等，即△力第和△/1劭的高相等.同时△48。和

有共同的底月8所以它们的面积相等.故选：B.

2.如图，将矩形纸条ABC'D折叠,折痕为EF,折叠后点C,〃分别落在点C,1）'处，〃'少与利交于点G.已

知N4G"=26°,则Na的度数是（）

A.77°B.64°C.26°D.87°

【答案】A

【分析】本题首先根据/笈沙=26°,可以得出N/!ERN而"=26°，由折叠可知/a=N⑸必，由此即可

求出Na=77°.

【解析】解：由图可知：AD//BC

"AEG=NBGD'=26°,

即：Z6^154°,

由折叠可知：Na=//7：〃

AZa=lzG£D=77°

2

故选：A.

3.如图，直线如经过点4DE//BC,N8=45°,Zl=65°,则N2=()

DE

A.65°B.70°

【答案】B

【分析】由/•〃比；可得：/D4B=/8=45。,再利用平角的含义可得答案.

【解析】解：TDE//BC,NQ45°,Zl=65°,

NOA8=N8=45。,

/.Z2=l80°-NDAB-Zl=70°,

故选：B.

4.如图，一条型水管中月皮/①芳/后75°,则NC应该等干（)

AB

D

A.75°B.95°C.105°I).125°

【答案】C

【分析】直接根据平行线的性质即可得出结论.

【解析】解：:/步〃。?，/比75°,

AZ01800-ZB=180°-75°=105°.

故选:C.

5.如图，/必和勿相交于点。，则下列结论正确的是（)

A.Z1=Z2B./2=/3C.Z3=Z4I).N4+Z5180°

【答案】A

【分析】根据对顶角、平行线的性质判断即可.

【解析】解：尔•・•/】与N2是对顶角，

・・・/1=/2,故此选项符合题意；

乐•・•切与⑦不平行，

•••N2WN3,故此选项不符合题意；

C、YAD与%不平行，

・・・/3#/4,故此选项不符合题意；

〃、•・F。与〃。不平行，

・・・N4+N5#180°,故此选项不符合题意.

故选:A.

6.N1和N2是同旁内角，Zl=75°,那么N2等于().

A.75°B.105°C.75。或105。D.大小不定

【答案】D

【分析】根据同旁内角的定义：两条直线被第三条直线所截，若两个角都在两直线之间，且在第三条直线

的同侧，那么这一对角就是同旁内角，进行求解即可.

【解析】解：•・•题目并未告诉，/I和N2是属于两条平行线被载的同旁内角，

・・・/2的度数大小不能确定，

故选D.

7.一副直角三角板如图所示投放，它们的直角顶点重合于点O：CO//AB,则N3OD=()

A.30°B.45°

【答案】C

【分析】由力//C0得出/力3/仞a即可得出/伙

【解析】解：・.AB//CO,

：.ZOAB=ZAOC=(^°

.\ZBOC=600+90°=150°

•/ZAOC+Z.DOA=ZDOA+ZBOD=90°

...Z40C=407）=60。

故选：C.

8.如图，已知ABUCD//PN,ZL4BC=50°,ZCP7V=150°,则/BCP的度数为（）

A.10°B.20°

【答案】B

【分析】先根据平行线的性质，匕得N8CZ）=NA8C=50。，NCPN+NPCD=180。，得到NPCD=30°,即

nJ得至I」ZBCP=/BCD-ZPCD.

【解析】解：VABHCD,ZABC=50°,

・•・ZBCD=ZABC=50°,

CD/IPN,

：.KPN+/PCD=180。，

NCPN=150。,

Z.ZPC£>=30°,

・•・/BCP=/BCD-/PCD=50°-30°=20°.

故选:B.

9.下列说法正确的个数是（）

（1）过直线外一点有且只有一条直线与己知直线平行.

（2）在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

（3）内错角相等

（4）平行于同一条直线的两直线平行

（5）同位角相等，两直线平行

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【分析】根据平行公理的推论、垂线的性质、平行线的性质和判定即可解答.

【解析】解：（1）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，（1）正确;

（2）在同一个平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，（2）正确:

（3）两直线平行时，内错角才相等，（3）错误；

（4）平行于同一条直线的两条直线平行，（4）正确；

（5）同位角相等，两直线平行，（5）正确；

正确的有4个,

故选：C.

10.如图，点少在如的延长线上，不能由力/，〃勿推导出的结论是（）

A.444BCE

C./.DAOZ.ACBI).N8+N及第=180°

【答案】C

【分析】根据平行线的性质定理求解判断即可得解.

【解析】黑：•：ABHCD,

二/庐/及方，

ZBA（=ZACD,

NB+NB处180°,

故A,B,D不符合题意,

由仍〃必，不能推导出/力右N/I6故C符合题意,

故选：C.

题组B能力提升练

1.下列说法中正确的有（）

①一条直线的平行线只有一条.

②过一点与已知直线平行的直线只有一条.

③因为c//d,所以a〃4

④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】A

【分析】根据平行线的性质，平行线的判定判断即可.

【解析】•・•一条直线的平行线有无数条，

・•・①的说法不止确；

•・•经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，

・•・②的说法不正确，④的说法正确；

,:b,c//d,无法判定a〃d

・•・③的说法不正确.

只有一个是正确的，

故选A,

2.如图，点打在8c的延长线匕下列条件中不能判断A8〃CQ的是()

A.Z1=Z2B.Z3=Z4

C.Z5=ZABCI).ZA+ZADC=180°

【答案】B

【分析】根据内错角相等、同位角相等和同旁内角互补得出两直线平行，对各小题进行逐一判断即可.

【解析】解：A、Z1=Z2,能判定A8//CD,不符合题意；B、Z3=Z4,不能判定A8//CO,符合题意;

C、Z5=ZABC,能判定A8〃CD,不符合题意：D、ZA+ZADC=180°,能判定A8//CO,不符合题意;

故选:B.

3.在同一平面内，若与的两边分别平行，且N4比N〃的3倍少40。，则N4的度数为()

A.20°B.55°C.20°或125°I).20°或55°

【答案】C

【分析】根据N/1与N8的两边分别平行，可得两个角大小相等或互补，因此分两种情况，分别求/A得度

数.

【解析】解：•・•两个角的两边分别平行,

・•・这两个角大小相等或互补，

①这两个角大小相等，如下图所示:

由题意得，/4=3/岳43°,

・•・//!=/庐20°,

②这两个角互补，如下图所示：

由题意得，Z4+ZB=I8O°,44=3/8-40°,

ZB=55°,NA=125。,

综上所述，N/1的度数为20°或125°,

故选:C.

4.一副直角三角板叠放如图所示，现将含45。角的三角板固定不动，把含30°角的三角板绕直角顶点按每秒

15。的速度沿逆时针方向匀速旋转一周，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为（）

A.5秒或7秒B.5秒或19秒C.5秒或17秒D.7秒或19秒

【答案】I）

【分析】依据两块三角板的斜边平行，即可得到旋转角的度数，再依据旋转的速度，即可得到三角板旋转

运动的时间.

【解析】解：如图，

BD

当斜边HR/ZT时，4CFE=NB=6C0,

：,4BED=600-45°=15°,

，旋转角为90°+15°=105°,

105°+15°=7；

如图，将△4比'继续逆时针旋转180°,可得斜边力'夕//用

此时，旋转角为105°+180°=285°,

285°+15°=19；

综上所述，当两块三角板的斜边平行时，则三角板旋转运动的时间为7秒或19秒,

故选D.

5.如图，AB//CD,OE平分NBOC,OF1OE,OPLCD,ZABO=40°,有下列结论：①/AOE=70。；

②OF平分NBOD；®ZPOE=ZBOF；®ZPOB=2ZDOF.其中正确结论的个数为（）

A.1个B.2个

【答案】C

【分析】由于49〃⑶，则/月加=/拉笫=40°,利用平角等于得到/〃值=140。，再根据角平分线定义得

到N应应=70°；利用6FJ_/可计算出/久火=20°,则N88/枚M,即郎平分/久切；利用欢1

CD,可计算出N/Y应=20°,\N"PO£=NBOF；根据N/OT=70°-N/Y应=50°,4DOF=20°,可知④不

正确.

【解析】解：・・・/坦〃5,

・•・//!仇/=/〃〃〃=40°,

：・4BOC=180°Y0°=140°,

,：QE平分4BOC,

・•・/伙应=gxi40°=70°；所以①正确；

'：OFLOE,

・・・N砌'=90°,

:./BOF=9VTO°=20°,

:ZBOF=W/BOD,所以②正确；

•・•QPLCD,

・・・/。8=90°,

：•NPOE=900-NEOC=20°,

:"POE=4BOF;所以③正确；

・・・NW=70°YP()E=5G,

而/以尸=20°,所以④错误.

故选C.

6.已知：如图AB//EF,BCA.CD,则N。，4。，N7之间的关系是()

A.N/?=Na+NyB.Na+N〃+N7=18()

C.Na+N6一々=90D.Z/?+Z/-Za=90

【答案】C

【分析】分别过C、〃作4,的平行线CV和〃M由平行线的性质可得到最终结果.

【解析】如图，分别过。、〃作18的平行线◎/和〃V,

ABEF、

：.ABCM\DNEF,

:.乙a=NBCM,NMCD=4NDC,£NDE=Z/,

BC1CD,

NBCD=NBCM+NMCD=Na+ZNDC

=Na+//?—NNDE=90°,

Na+/〃—//=90。，

故选：C.

7.如图：AB//CI）,OE平•分乙BOC,OF1OE,OPLCD,/力/切=40°,则下列结论：①。'平分/的〃；②4POE

=4BOF；③/BOE=10°；④N,仍=2/仇归其中结论正确的序号是（）

A.®®®B.①②④C.①③④I).①②③④

【答案】A

【分析】根据初〃⑦可得/加介N/仍340°,利用平角得到/他140°,再根据角平分线的定义得到N

阳心70°,则③正确；利用OP1CD,AB//CD,/ABC40。，可得NA6比50°,/比后20°,/尸6氏20°，

进而可得OF平分NB0D,则①正确；由NE如=70°,/PO氏50°,N产出20°,由/B0六NP0『/POB=20°,

进而可得NA2伊NW冗则②正确；由②可知N/Y炉50°,ZFO沪20°,则④不正确.

【解析】③*：AB"CD,

%N/1给4()°,

AZ0^=180°-40°=140°,

又二•应1平分N仇忆

A^BOE=-ZCOB=-X140°=70°,

22

故③正确;

&：OPLCD,

・・・N/W=90°,

又VAB〃CD,

:・/BPC9y,

又TNABO=40°,

.•・/%9=90°-40°=50°,

"B0F=/P06/P0B=7y-50°=20°,

乙FOD=400-20°=20°,

:.QF平分/BOD,

故①正确；

②1•/£妙70°,/尸吹90°-40°=50°,

:.乙POE=10°-50°=20°,

又,：4BOgZPO64POB^O。-50°=20°,

:・/PO打4BOF,

故②正确；

④由①可知/尸〃片90°-40°=50°,

NA6g0°-20°=20°,

故/夕纺壬2NDOF,

故④不正确.

故结论正确的是①

故选A.

8.一副直角三角板如图放置，其中/尸=/力曲=90°,ZP=45°,NQ60°,AB//DC,则/C4E的度数

为（）

A.25°B.20°C.15°D.10°

【答案】C

【分析】利用平行线的性质和给出的已知数据即可求出NC4E的度数.

【解析】解：•・•/b=90。，ZD=45°,

二NDEF=45。,

•.­ZAC5=90°,4=60。，

ZBAC=30°,

AB//DC,

:./BAE=/DEF=45。,

二/CAE=NfiAE-ZR4C=45°-30°=15°,

故选:C.

9.如图，ADUBC,延长阴至点E,连接以NEW和2制9的角平分线交于点只下列三个结

论：

①/〃〃（刀；②/力3=g/仍少/应力；③若NQ60°,NAPC=70°,则/P=80°.其中结论正确的个数

有（）

A.0B.1C.2I）.3

【答案】D

【分析】①根据平行线的性质与判定即可判断；

②/力%=/必4/£,而/史W/川〃4E=4ECD,即可判断；

③利用平行线的性质和角平分线定义即可判断.

【解析】解：,:AD"BC,

・・・/加分/8=180”，

■:4B=ND,

・•・/胡外Ni9=180',

:.ABHCD、故①正确；

,:ABHCD,

:.乙ECD=乙3

,:EP冲分乙EAD,

:.AEAP=3NEAD

■:4A0C=4EA也4E,

:.<A0C=^4EADy/ECD,故②正确;

・・・/偌9=/2=60",

,:CP平分/ECD,

・・・N£gg/aZ=30°,

VZJ/^=70°,』AOE=/COP,

：,AEAP=W,

•••加平分/分〃，

:./EAD=2/EAP=8Q°,

'：ABHCD,

：.ZD=ZEAD=SO°,故③正确；

故选：D.

10.如图，直线杯〃MV,点A,8分别是EF,MN上的动点，点G在MM上，ZACB=m°,ZAGB和NCBN

的角平分线交于点。，若/。=52。，则机的值为（）.

N

A.70B.74C.76D.80

【答案】C

【分析】先由平行线的性质得到/月〃=/5+/1+/2,再由三角形内角和定理和角平分线的定义求出加

即可.

【解析】解：过。作CH//MN,

A

E

・・・N6=N5,Z7=Z1+Z2,

VZJ6y7=Z6+Z7,

・•・/力归N5+N1+N2,

VZZ>=520,

・・・/l+N5+N3=180°-52°=128°,

由题意可得以为乙4"的角平分线，劭为N血V的角平分线，

AZ1=Z2,N3=N4,

:.优=Nl+N2+N5=2Nl+/5,N4=Nl+N1+52°,

/.Z3=Z4=Zl+52°,

・・・Nl+N5+N3=Nl+N5+Nl+52°=2Zl+Z5+52°=tn+52°,

：.a°+52°=128°,

:.优=76°.

故选：C.

题组c培优拔尖练

1.如图，CDHAB,5C平分NAC£>,C/平分NACG,ZBAC=50°,Z1=Z2,则下列结论：①CB上CF,

②Nl=65。，③ZACE=2N4,④N3=2N4.其中正确的是（）

A.®©®B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】B

【分析】根据角平分线的性质可得NAC8=g/AC。，NAb=244CG,,再利用平角定义可得/比六90°,

22

进而可得①正确；首先计算出/月⑦的度数，再利用平行线的性质可得N2的度数，从而可得/I的度数;

利用三角形内角和计算出N3的度数，然后计算出的度数，可分析出③错误；根据N3和N4的度数

可得④正确.

【解析】解:如图,

AZACB=-Z.ACD,ZACF=-ZACG,

22

vZJ^+ZJ^ISO0,

AZJ6RZJ6i9=90°,

ACBLCF,故①正确，

'：CI)//AB,N/白50°,

AZJ^50°,

・•・/力叱/4=25°,

・・・/力吠90°-25°=65°,

・・・N8叱65°,

•；CD//AB,

••・N2=N4偿65°,

VZ1=Z2,

AZ1=65°,故②正确；

♦:/BCA650,

・・・/力止65°,

VZ1=Z2=65°,

AZ3=50°,

・•・/月阳5°,

・••③N/1庐2N4错误；

VZ4=25°,Z3=50°,

・・・N3=2N4,故④正确,

故选：B.

2.如图，将一条两边沿互相平行的纸带折叠.设N1为x度，用关于工的代数式表示。，则表示正确的是（)

A.«=120°--.rB.a=90°--x

22

C.a-60°+—xD.a=45°+—x

22

【答案】B

【分析】利用平行线的性质以及翻折不变性解决问题即可.

【解析】

解：如图，QAB//CD,

•・・将一条上下两边互相平行的纸带折叠

Z3=Z4=-(1800-Z5)=90°-\,

22

：.Za=Z3=900--x,

2

故选：B.

3.如图，£在线段的的延长线上，AEAD=AD,4B=4D,EF"HC,连/交4〃于G,的余角比/

DGH大,16°,4为线段回上一点，连Q7,使NO伤/，在//1G4内部有射线GMGV平分/凡K,则下

列结论：①47〃6G②G4平分N47Q⑤NC十/及1G十NA0r=18。°；④/机冰的角度为定值且定值为16°,

其中正确结论的个数有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】B

【分析】根据平行线的判定定理得到川9〃比，故①正确；由平行线的性质得到N/R祚NXG,等量代换得到

乙AG烂乙CGK,求得酸平分N/1GG故②正确；延长〃交力〃于R延长加交力〃于0,根据平行线的性质

和三角形外角的性质得到■/曲仆N戊於180°；故③正确：根据题意列方程得到NR冰/免年37°,设

4AG由a,/MGK=B,得到乙4%=。+£,根据角平分线的定义即可得到结论.

【解析】解：TN加介N〃，N比N〃，

：.4EAD=4B,

・•・/〃〃"£故①正确；

・•・/AG器/CKG,

,:乙CKG-4CGK,

；・ZAGK=ZCGK,

・•・％平分N/1GG故②正确：

延长"交/切于化延长。/交〃于0,

'：EF"CH,

:"EPT/CQP、

•・•/西/研N必G,

:"CQG-/E+/EAG,

•：ED”BC,

:・/HCK+NCQG=\8G,

・•・/£+/口制//180°；故③正确；

•••//胡的余角比/%?/大16°,

/.900-4FGA-4DGt^\60,

♦：/FG花/DGH,

/.9O0-2Z/^=16°,

:.乙FGA=4DGH=37",

设/力6生。，NM#?，

:.Z.AGK=a”,

YGK平令/AGC,

:ZCG器2AGQ。+£,

■:GM平分乙卜GC,

・•・/FGAf=/CGM,

・•・/FGA+/AG用/MGK,/CGK,

A37°+”£+a+£,

:.8=18.5°,

・•・/林讣=18.5°,故④错误，

故选：B.

4.如图，为等腰直角三角形(/力=N4=45°,20490°),△©为等边三角形(NO=NP=

/6勿=60°),满足优>如，△况〃绕点。从射线比,与射线3重合的位置开始，逆时针旋转，旋转的角

度为a(00<a<360°),下列说法正确的是()

A.当a=15°时，DC//AB

B.当纥£[8时，a=450

C.当边如马边划在同一直线上时，直线ZT与直线力?相交形成的锐角为15°

D.整个旋转过程，共有10个位置使得△勿夕与△龙》有一条边平行

【答案】A

【分析】设/与/切交点为MOD与AB交点为N,当a=15°时，可得/。网上a+/力=60°,可证〃。〃

ABx当％J_/由时，a+Z/l=90°,可得a=30°；当边切与边切在同一直线上时，应分两种情况，则直

线%与直线18相交形成的锐角也有两种情况：整个旋转过程，因3、OB、OD、都有交点，只有/伊和

切存在平行，根据图形的对称性可判断有两个位置使得△勿6与△打刀有一条边平行.

【解析】解：设%与月8交点为M勿与4?交点为A；

当a=15。时，/〃MV=a+/力=50。,

Azm-zc

C.DC//AB,

故A正确：

当笫_L四时，a+Z/f=90°或a-180°=90°-N力,

・•・a=45°或225°,

故B错误；

当边必与边切在同一直线上时，应分两种情况，

则直线用与直线/由相交形成的锐角也有两种情况，

故C错误；

整个旋转过程，因冗、OB、0D、物都有交点，只有18和切存在平行,

根据图形的对■称性可判断有两个位置使得△由8与△口刀有一条边平行,

故D错误；

故选A.

5.为了亮化某景点，石家庄市在两条笔直且互相平行的景观道业V、Q〃上分别放置力、6两盏激光灯，如图

所示.月灯发出的光束自加逆时针旋转至朋，便立即回转，〃灯发出的光束自除逆时针旋转至偌便立即回

转，两灯不间断照射，力灯每秒转动30°,8灯每秒转动10°,笈灯先转动2秒，力灯才开始转动，当8灯

光束第一次到达刈之前，两灯的光束互相平行时力灯旋转的时间是（）

A.1或6秒13.8.5秒C.1或&5秒D.2或6秒

【答案】C

【分析】设A灯旋转的时间为/秒，求出/的取值范围为0<Y16,再分①0VY6,②6<Y12和③12<Y16

三种情况，先分别求出NM4M'和/P4P'的度数，再根据平行线的性质可得NMWNP8/L由此建立方

程，解方程即可得.

【解析】解：设A灯旋转的时间为/秒，

A灯光束第一次到达4N所需时间为第=6秒，8灯光束第一次到达8Q所需时间为带=18秒，

B灯先转动2秒，A灯才开始转动，

.\0</<18-2,BP0<r<16,

由握意，分以下三种情况：

①如图，当0</<6时，AM7/BP,

NMAM'=30。，,NPBP'=10°(r+2),

.MN!/PQ,AM,1/BP,,

/MAM'=Nl,4PBP=Zl,

/./M4M'=NPBP,即30。"10。”+2),

解得f=1,符合题设；

NM4M'=180。-30°(r-6)=360°-30%NPBP=10°(Z+2),

cMN!/PQ,AM'//BP,,

/./MAM'+N2=180°,NP8P'+Z2=18O°,

/.ZMW=/PBP,即360°-30c7=io<>(r+2),

解得r=8.5符合题设：

③如图，当12<YI6时，AM'HBP',

AMAM'=30°a-12）=30°r-360°,NPBP=10°（r+2）,

同理可得：NMAM，=NPBP,即30°"360。=10。（，+2）,

解得/=19>16,不符题设，舍去；

综上，A灯旋转的时间为1秒或8.5秒，

故选：C.

6.如图，AB//CD,点反尸在直线加上（夕在£的右侧），点。在直线切上，EFLFG,垂足为E必为线段

仔、上的一动点，连接0，GM,乙%/与/力/仁的角平分线交与点Q,且点。在直线月H⑦之间的区域，下

列结论：①/力册NCg90°；②N/1小2N/W=270°；③若NJ%产=2/。％则3N/I所/机K=270°；

④若/MGF=nZCGF,则/力哥'+」-NMK=90°.正确的个数是（）

〃+1

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【分析】①过点〃作及/〃的利用平行线的性质以及已知即可证明；

②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到N3=2N2,NC尸2/1+/3=180。，结合①的结论即可证明;

③由已知得到乙盼6-3/。6人结合①的结论即可证明；

④由已知得到乙盼O=（"D/Q不，结合①的结论即可证明.

【解析】解：①过点尸作"〃/区如图：

*：AB//CD,：,AB//FH//CD,

:./AE片/EFH,4CGF=/GFH,

VEFLFG,段/EFG=/EF小/GFIU900,

・•・/力丽/呼=90°,故①正确；

②•：AB〃CD,PQ平•分乙APG,GQ平分4FGP,

4FGQ=A,

AZ3=Z/1^Z2=2Z2,

Z6Z；aZWZl+Z3=Z6^2Zl+Z3=180o,

即2N1=18(T-2/2-/g

A2Z2+2Z1=18O°-4CGF,

•・・N〃g80°YN2+N1),

.•・2N於360°-2(Z2+Z1)=363°-(180°-/谢=180°+ZCGF,

:・/AEF+2NPQG=NAEF28G0+/CG户180°+90°=270°,故②正确；

@：4VGF=2/CGF,

・•・2VGC=34CGF,

A^AAEPrAMGC=3Z/l^-3ZCGF=3(ZAEF+ZCGP)=3x90°=270°；

3/AER/MGC=270。,故③正确；

®V4MGF=n/CGF,

・•・AMGC=("DZCGF,即ZCGF=~/MGC,

〃+l

♦：/AEF+/CG六9。0,

・•・/力身乙盼。=90°,故④正确.

〃+1

综上，①②③④都正确，共4个,

故选：A.

7.如图，AB〃CD,RE平分乙REB、月月平分NAW,若设NA浙x°,4P、FD=y°则NA=度（用

x,y的代数式表示），若月£平分/月曲，PF平分/PFD,可得NA,PE平分/REB,P、F平分/PFD,可得

NA…，依次平分下去，则/只=________度.

【答案】（x+y）

【分析】过点A、作直线如〃力8可得ZP\EB=/MP\E=x0,搬〃CD,利用平行线的性质可求得N"Q

4EPd"4FP\\i=x0+y°；然后过点月作直线GH〃AB,同理可得

+y°），以此类推：/4=［（*。+T。）,

y。），即可求解.

又,：AB〃CD,

:„CD.

:./P\FD=/FP\M=y°.

:/ERF=NEPMNFP\M=x"+/；

过点月作直线。/〃力8

,：P#平■分4BEP\,PF平分乙DFP、,

：,N娱=-4BER=-x°,£DFP*=-/*=-y'

22122212

同理：/EP,『=4BEP?+4DFP?=-x0+-yQ=-(x°+y°),

222

i11

以此类推：Z/^=-(x°+y°),Z/^=-(x°+y°),.......,ZJ：=-(x。+y。1

0t41

/］、，1

故答案为：-（犬+p。）.

J）

8.将一副三角板如图1所示摆放，直线GHMMN,现将三角板打飨绕点力以每秒1°的速度顺时斜旋转，

同时三角板叱绕点〃以每秒2°的速度顺时针旋转，设时间为［秒，如图2,ABAH=e,^FDM=2e,

且0W/W150,若边形与三角板的一条直角边（边/DF）平行时，则所有满足条件的1的值为一.

【答案】30或120

【分析】根据题意得/切。=/为机/刈。=£°+30°,ZFDM=2e,（1）如图1,当"7/86'时，延长力。

交儿V于点只分两种情况讨论：①如在」加上方时，②应在业V下方时，4FDP=2t。-180°,列式求解即

可；（2）当比、//〃时，延长然交楸'于点/,①加'在拗上方时，180°-2r0,②航在网，下方时,

4FDN=180°-2t°,列式求解即可.

【解析】解：由题意得，^HAC=ABAf^ABAC=t°+30°,/FD\f=2t：

（1）如图1,当班7/阳时，延长”交拗,于点R

①DE在..晚上方时,

•：DEHBC,DELDF,ACLBC,

：.APHDF,

・•・/FDM=/MPA,

'：MNHGH,

乙MFA=/HAC,

:./FDM=/HAC,

即2〃=t0+30°,

・•・z=30,

②朦在树，下方时，^FDP=2t°-180°,

•：DEMBC,DEVDF,ACLBC,

：,APIIDF,

；・AFDP=/MPA,

二帆7/G〃，

・•・2MPA=Z//4C

：.^FDP=^HAa

即2£°-180°=t°+30°,

・・・t=210(不符合题意，舍去)，

(2)当比7/小时，延长力。交楸于点/,

■:DFHBCACLBC,

:・A1HDF,

AZ/-WZJ//J=90°,

•・•拗7/G”,

・•・/HAC,

:・/FD2/HAC=9Q0,

即180°-2t°+/+30°=90°,

；・1=120,

②所在秘'下方时，/FDN=180°-2t°,

•：DFHBC,ACLBQDELDF,

：.ACHDE,

:・/A/M=4MDE,

VW/67/,

・•・/收A=ZHAC,

:.AEDM=ZHAC,

即2£°-180°=f+30°,

A?=210(不符合题意,舍去)，

综上所述：所有满足条件的t的值为30或120.

故答案为：30或120.

9.如图，已知N1+N7I叱180°,4=N2,求证：Z:\FC

证明：•・•/1+4依180°

:.CD//EF(,)

VZA=Z2・•・()

(,)

:.AB//CD//EF(,)

力=,NC=,

(,)

'：NAFE:NEFO/AFC,工=

【答案】同旁内角互补两直线平行；/出〃切；同位角相等，两直线平行；两条直线都与笫三