2025年春新沪科版数学七年级下册全册课件

新沪科版数学七年级下册全册教学课件2025年春季新版教材6.1平方根、立方根1.平方根第6章实数学习目标1.了解平方根及算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；(重点)2.会求非负数的平方根与算术平方根；(重点、难点)3.会用计算器求一个数的平方根．

某家庭在装修儿童房时需铺地垫10.8m2，刚好用去正方形的地垫30块.你能算出每块地垫的边长是多少吗？每块正方形地垫的面积是10.8÷30=0.36(m2)，即边长×边长=0.36m2.由于0.62=0.36，因此面积为0.36m2

的正方形地垫的边长是0.6m.请你说一说解决问题的思路．学校要举行美术作品比赛，小鸥想裁出一块面积为25dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？平方根的概念及其性质1（1）若正方形画布的面积如下，请填表：（2）你能指出它们的共同特点吗？都是已知一个数的平方，求这个数的问题.134610填一填：

根据上述问题的共同点：已知一个数的平方，求这个数.由此我们抽象出下面的概念：

一般地，如果有一个数的平方等于

a，那么这个数叫做

a的平方根，也叫作a的二次方根.

例如：由于

22=4，(-2)2=4，所以4的平方根是2和

-2（可以合写为±2）.换句话说，如果

，那么

x

叫作

a

的平方根.x2=a一、平方根的概念问题1如果一个数的平方等于16，这个数是多少？想一想：4和

-4有什么特征？

4和

-4互为相反数，会不会是巧合呢？由于

，所以这个数是4或

-4.(±4)2=16二、平方根的性质一个正数的平方根有两个，并且这两个数是相反数.观察所填的数据，填一填：1的平方根是

；16的平方根是

，…；

的平方根是

.你发现了什么？a2±aa2±2±3±a合作探究1.144的平方根是什么？2.0的平方根是什么？3.的平方根是什么？4.-9有没有平方根？为什么？0没有，因为一个数的平方不可能是负数试一试±12通过这些题目的解答，你能发现什么?问题：（1）正数有几个平方根？

（2）0有几个平方根？

（3）负数呢？有没有一个数的平方是负数？因为任何数的平方都为非负数，所以负数没有平方根.想一想平方根的性质：

1.正数有两个平方根，它们互为相反数.2.0的平方根还是0.

3.负数没有平方根.要点归纳例1已知一个正数的两个平方根分别是2a－2和

a－4，则

a的值是_____．解析：因为

一个正数的两个平方根分别是2a－2和

a－4，所以2a－2＋a－4＝0，解得

a＝2.

一个正数有两个平方根，它们互为相反数.归纳2典例精析这样，正数

a的平方根可以用“”来表示.例如，4的平方根是2与

-2，即为书写方便，对正数

a的平方根，我们有以下规定：a的负平方根记作读作“负根号

a”a的正平方根读作“根号

a”记作三、平方根的数学符号表示+1-1+2-2+3-3149平方运算我们知道已知一个数，求它的平方的运算叫作平方运算.练一练：四、开平方的概念xx2+1-1+2-2+3-3149？运算那么已知一个数的平方，求这个数的运算叫什么呢?xx2

开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，我们可以求出一些数的平方根.求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方.特别规定：例2求下列各数的平方根：(1)64；(2)(4)

(5)

11.(3)0.0004；解：（1）因为，所以64

的平方根是±8.（2）因为，所以的平方根是

.

（3）因为

，所以

0.0004

的平方根是±0.02.（4）因为，所以的平方根是±25.

典例精析

运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法，如被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根，如被开方数是带分数，先要把它化为假分数.方法总结我们把正数

a的正平方根叫作

a的算术平方根.换句话说，如果正数

x

满足：x2=a，那么

x

叫作

a

的算术平方根.a的算术平方根记作算术平方根的概念及性质2判断下列说法是否正确.①

25

的算术平方根是

5.

（

）②

25

的平方根是

5.（

）③

5

是

25

的平方根.

（

）√√注意区分“平方根”与“算术平方根”的意义.练一练：例如：16的平方根是4和

-4，其中4是16的算术平方根.思考：正数、0、负数

的算术平方根各有几个？正数有一个正的算术平方根，0的算术平方根还是0，负数没有算术平方根.类似平方根的讨论，算术平方根具有双重非负性a的算术平方根算术平方根的性质非负数非负数

例4若|m-

1|+=0，求

m+n的值.解：因为

|m-

1|≥0，

≥0，又|m-

1|+=0，

所以|m-

1|=0，=0，所以

m=1，n=-3，

所以

m+n=1+(-3)=-2.

几个非负式的和为0，则每个式子均为0，现阶段

学过的非负式有绝对值式、平方式及算术平方根.归纳

3.若，则

a=

；2.若=0，则

m=

；4.若|a-

3|+，则式子(a+b)2025=___.1.若|a+3|=0，

则

a=

；-375-1到目前为止，表示非负的式子有：|a|，a2，

.练一练例5用计算器求下列各式的值(精确到0.01)：

解：

用计算器求平方根3

(5÷7)2020年12月17日，嫦娥五号返回舱首次完成月球采样任务，返回地球.返回舱返回地球时，是以接近第二宇宙速度v2的速度进入地球大气层的，v2满足以下关系式：v22=2gr(其中，g取

9.8

m/s2，r

取

6.4×106m).如何求v2呢?

典例精析

解：设运动员下落到水面需

t

s，根据题意，得

因为

t

＞0，所以

t≈0.93.因而，运动员下落到水面约需0.93s.

课本练习√√×√2.求下列各数的平方根、算术平方根，并用式子表示:(1)49；(2)25.

答案：(1)11.27；(2)0.80；(3)0.07；(4)-0.58平方根的概念正数的平方根负数的平方根0的平方根正平方根→→（不存在）（就是0本身）负平方根算术平方根→1.判断下列说法是否正确.正确（4）(-4)2的平方根是-4.（1）是的一个平方根；（2）是6的算术平方根；（3）的值是±4；正确不正确，是4.不正确，是±4.2.已知一个自然数的算术平方根是

a，则按从小到大

排该自然数的后一个自然数的算术平方根是（

）

A.a+1B.C.a2+1D.D解析：一个自然数的算术平方根是

a，那么这个自然数

就是

a2，按从小到大排该自然数的后一个自然数就是

a2+1，它的算术平方根是3.分别求64，6.25的平方根，并用式子表示.4.分别求81，0.16的算术平方根，并用式子表示.解：81的算术平方根是9，.

0.16的算术平方根是0.4，

64的平方根是8与

-8，

6.25的平方根是2.5与

-2.5，

解：6.1平方根、立方根第6章实数2.立方根学习目标1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；（重点）2.能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和立方互为逆运算.（重点，难点）

某化工厂使用半径为

1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的

8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？问题：要做一个体积为64cm3的正方体模型(如图)，它的棱长要取多少？你是怎么知道的？解：设正方体的棱长为

x

cm，则

x3

=64.这就是要求一个数，使它的立方等于64.因为

x3

=64，

所以

x

=4.正方体的棱长为4cm.想一想

(1)什么数的立方等于

-8？

(2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？-2立方根的概念及性质1立方根的概念

一般地，如果一个数的立方等于

a，那么这个数就叫作

a的立方根，也叫作

a的三次方根．立方根的表示

一个数

a的立方根记作：根指数被开方数其中

a是被开方数，3是根指数，3不能省略.读作：三次根号a，填一填：

根据立方根的意义填空：

因为=8，所以8的立方根是（）；

因为(

)3=0.125，所以0.125的立方根是（）；因为(

)3

＝0，所以0的立方根是（）；因为(

)3

＝

－8，所以

－8的立方根是（）；因为(

)3

＝，所以的立方根是（）.

02-20-2立方根的性质

正数的立方根是一个正数；负数的立方根是一个负数；零的立方根是零.立方根是它本身的数有

1，-1，0；平方根是它本身的数只有0.知识要点平方根与立方根的异同

有两个，互为相反数有一个，是正数无平方根零有一个，是负数零正数负数零求一个数

a的立方根的运算叫作开立方，a叫作被开方数.注意：这个根指数3

绝对不可省略.

每个数

a都有一个立方根，记作

，读作“三次根号

a”.如：x3=7时，x是7的立方根．a叫作被开方数3

叫作根指数开立方及相关运算2求一个数的立方根的运算叫做“开立方”.“开立方”与“立方”互为逆运算逆向思维

与学习开平方运算的过程一样，体现着一种重要的数学思想方法，你体会到了么？例1

求下列各数的立方根:(1)27；

(2)－64；(3)0.典例精析解：(1)因为

33

=27，所以27的立方根是3，即

(2)因为(－4)3

=－64，所以

－64

的立方根是

－4，即

(3)因为

03

=0，所以

0

的立方根是

0，即

求下列各式的值：体会：对于任何数

a,a

240-2-3探究1323___=343___=温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算.体会：对于任何数

a,a8270-8-27探究2求下列各式的值:体会：(1)求一个负数的立方根，可以先求出这个负数绝对值的立方根，然后再取它的相反数.(2)负号可从“根号内”直接移到“根号外”.

求下列各式的值:(1)；

(2).探究3-0.2-0.2求下列各式的值：答案：(1)0.5；

(2)－4；

(3)－4；

(4)5；

(5)16.练一练例2求下列各式的值：例3已知x－2的平方根是±2，2x＋y＋7

的立方根是

3，求

x2＋y2

的算术平方根．方法总结：本题先根据平方根和立方根的定义，运用方程思想求出

x，y

值，再根据算术平方根的定义求解．解：因为x－2

的平方根是±2，所以x－2＝4.所以x＝6.因为2x＋y＋7

的立方根是

3，所以2x＋y＋7＝27.

把

x＝6

代入，解得y＝8.因为x2＋y2＝36＋64＝100，所以x2＋y2的算术平方根为

10.

解：(1)在计算器上依次按键：

，显示结果是1.25992105，精确到0.01，得SHIFT2=用计算器求立方根3(2)请同学们自己算出第(3)(4)题的结果.1.填表：课本练习12341252163435127291000

立方根立方根的概念及性质开立方及相关运算()1.判断下列说法是否正确.×(2)任何数的立方根都只有一个；

()(3)如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零；

()××(5)0的平方根和立方根都是0.()√(1)25的立方根是5；()(4)一个数的立方根不是正数就是负数；

√2.求下列各式的值：解：（1）

（2）

（3）3.求下列各式的值：2.4.将体积分别为600cm3和129cm3的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？解：因为600+129=729，729的立方根是9，所以这个正方体的棱长为9cm.解：

一个数的立方根等于它本身的数有0，1，－1.当1－a2＝0时，a2＝1，则

a＝±1；当1－a2＝1时，a2＝0，则

a＝0；当1－a2＝－1时，a2＝2，则

a＝.

5.已知

，求

a的值．综上，a的值为±1，0或.6.2无理数和实数第6章实数第1课时

实数的概念及分类学习目标1.理解无理数的概念，能正确地判断一个数是不是无理数；2.了解实数的意义，并能将实数按要求进行准确的分类.（重点、难点）

一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了一道数学题：一个边长为

6cm的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？你见过这个数吗？你能帮小红解决这个问题吗？242

活动：把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？11无理数的认识1还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！11111111111111111111问题1：设大正方形的边长为

a，则

a满足什么条件？追问1：a是一个什么样的数？a可能是整数吗？因为

S大正方形

=2，所以

a2=2.从“数”的角度：因为a2=2，而12=1，22=4所以12<a2<22

，

所以1<a<2，a不是整数追问2：a可能是分数吗？①a是分母为2的分数吗？②a是分母为3的分数吗？③a是分母为4的分数吗？④a是分母为多少的分数？归纳：a既不是整数，也不是分数，所以

a不是有理数.(1)如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？(2)a的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……完成下页表格：1a2面积为

2问题2：a究竟是多少？请同学们借助计算器进行探索：1<S<41.96<S<2.251.9881<S<2.01641.999396<S<2.0022251.99996164<S<2.00024449(1)边长

a会不会算到某一位时，它的平方恰好等于2呢？为什么？(2)a可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？

a=1.41421356…，它是一个无限不循环小数想一想

做一做

事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.问题3：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的

形式，你有什么发现？

事实上，我们已说明这个边长不是分数，从而它既不是有限小数，也不是无限循环小数，这种小数叫做无限不循环小数.

我们把无限不循环小数叫做无理数.要点归纳把下列各数分别填入相应的集合内：0.101，有理数集合无理数集合．．．．．．练一练（每两个3之间依次增加一个7）（每两个3之间依次增加一个7）我们常见的无理数有以下三种形式：（1）含的一些数；（2）开不尽方的数；（3）有规律但不循环的数，如1.01001000100001…（每两个1之间依次增加一个0）总结归纳例1设

n为正整数，且

n＜＜n＋1，则

n的值为(

)A．5B．6C．7D．8方法总结：开不尽方的平方根形式的无理数的估算一般步骤是首先将原数平方，看其在哪两个相邻的平方数之间，运用这种方法可以确定一个带根号的数的整数部分，从而估计其大致范围．解析：根据特殊有理数找出最接近的完全平方数，问题可得到解决．因为

＜＜，所以8＜＜9，所以n＝8.练一练：

写出一个比

－3大的无理数：_________.D典例精析有理数和无理数统称为实数.无理数：无限不循环小数有理数：有限小数或无限循环小数实数分数整数开不尽方的数开方所得结果有规律但不循环的无限小数……化简后含有

π

的数实数的概念及分类2你能分辩下列各数是哪个家庭的成员吗?试试看？正数负数，，，，，，，，，，.试一试正实数负实数数实负有理数正有理数按符号分类：0负无理数正无理数0正实数负实数无理数：有理数：负实数：正实数：例2

将下列各数分别填入下列相应的括号内：············1.把下列各数分类填入图中：课本练习

实数有理数无理数

0.181881888(两个1之间依次增加一个8)

2.判断正误(在题后的括号内打“√”或“×”)：(1)无限小数都是无理数.()(2)无限不循环小数是无理数.()(3)无理数是带根号的数.()(4)分数是无理数.()

√×××

→无理数带省略号且不循环的无限小数有特殊意义的数，如

π

等带根号，但被开方数是开方不尽的数概念实数有理数1.下列各数：1，(相邻两个3之间0的个数逐次加1)中，无理数的有(

)A.2个B.3个C.4个D.5个【解析】无限不循环小数是无理数，其中(相邻两个3之间0的个数逐次加1)是无理数，其他是有理数.A【解析】因为3.14是小数，

是分数，

是无限循环小数，所以选项A，B，D都是有理数；（每两个3之间依次增加一个5）是无限不循环小数，所以是无理数.2.下列各数中，是无理数的为（

）A.3.14B.C.0.3···（每两个3之间依次增加一个5）

D.C3.以下各正方形的边长是无理数的是（）A.面积为25的正方形B.面积为的正方形C.面积为8的正方形D.面积为1.44的正方形C4.把下列各数分别填入相应的括号内：有理数无理数6.2无理数和实数第6章实数第2课时

实数的运算及大小比较学习目标1.了解实数与数轴的关系及实数范围内相反数、倒数、绝对值的意义；(重点)2.理解有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍适用，能进行实数的大小比较．(重点、难点)下列各数中，哪些是有理数，哪些是无理数？，0，1.414，，，，

，0.1010010001…（相邻两个1之间逐次增加一个0）.

是有理数，

是无理数.思考：有理数可以做加、减、乘、除、乘方运算，实数可以吗？（相邻两个1之间逐次增加一个0）思考1：如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上一点从原点到达

A点，则数轴上表示点

A表示的数是多少？因为圆的周长为π，数轴上此点A表示的是无理数

π.0-2-11324●●●●●●●●●●●●●●A实数与数轴上的点1思考2：如图，以数轴上的单位长度为边作一个正方形，以原点为圆心、这个正方形对角线的长为半径画弧，与数轴正半轴的交点记作点A，那么，点

A表示什么数?A10243-1-21点

A′是画弧时与数轴的另一交点，它表示什么数？A′推广：由上可知，无理数和有理数一样也可以用数轴上的点来表示.这可以说明：每一个实数都可以用数轴上唯一的一个点来表示.反过来，还可以说明：数轴上每一个点都表示唯一的一个实数.上面两个结论结合起来可以简洁地说成：实数和数轴上的点一一对应.

如果在数轴上表示正实数、零、负实数，它们分别应该在数轴上的什么位置呢？例1如图所示，数轴上

A，B

两点表示的数分别为－1

和

，若点

A是线段

BC的中点，求点

C

所表示的实数．解：因为数轴上

A，B

两点表示的数分别为－1

和，所以点

B

到点

A

的距离为

1＋.则点

C

到点

A

的距离为

1＋.设点

C

表示的实数为

x，则点

A

到点

C

的距离为－1－x，所以－1－x

＝

1＋，所以

x

＝

－2－

本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，其中利用了：当点

A是线段

BC的中点时，点

C

到点

A

的距离等于点

B

到点A

的距离；两点之间的距离为两数差的绝对值．方法总结例2如图所示，数轴上

A，B

两点表示的数分别为和

5.1，则

A，B

两点之间表示整数的点共有

(

)A．6

个

B．5

个

C．4

个

D．3

个解析：因为

≈

1.414，所以

和

5.1

之间的整数有

2，3，4，5，所以

A，B

两点之间表示整数的点共有

4

个.C例3分别写出：

1.的相反数是

，的相反数是

，

的相反数是

.

2.-π

的绝对值是

，

=

，

=

.练一练1.若

a是一个实数，则实数

a的相反数为

-a.

2.①一个正实数的绝对值是它本身；②一个负实数的绝对值是它的相反数；③0的绝对值是

0.归纳总结填空：设

a，b，c是任意实数，则（1）a+b=

（加法交换律）；（2）(a+b)+c=

（加法结合律）；（3）a+0=0+a=

；（4）a+(-a)=

(-a)+a=

；（5）ab=

（乘法交换律）；（6）(ab)c=

（乘法结合律）；b+aa+(b+c)a0baa(bc)（7）1·a=a·1=

；a

实数的运算2（8）a(b+c)=

（乘法对于加法的分配律），

(b+c)a=

（乘法对于加法的分配律）；（9）实数的减法运算规定为

a-

b=a+

；（10）对于每一个非零实数

a，存在一个实数

b，满足

a·b=b·a=1，我们把

b叫做

a的＿＿＿；（11）实数的除法运算（除数

b≠0），规定为

a÷b=

a·

；（12）实数有一条重要性质：如果

a≠0，b≠0，那么

ab＿＿0.ab+acba+ca(-b)倒数≠

每个正实数有且只有两个平方根，它们互为相反数.0的平方根是0.在实数范围内，负数没有平方根.

在实数范围内，每个实数有且只有一个立方根，而且与它本身的符号相同.实数的平方根与立方根的性质：

此外，前面所学的有关数、式、方程（组）的性质、法则和解法，对于实数仍然成立.总结归纳例4

近似计算：【方法总结】在实数运算中，如果遇到无理数，并且需要求出结果的近似值时，可按要求的精确度用相应的近似有限小数代替无理数，再进行计算.在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．例如：与互为相反数；与互为倒数；实数的性质3思考：实数怎么比较大小呢？

与有理数规定的大小一样，数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大.原点0正实数负实数<实数的大小比较41.正数大于零，负数小于零，正数大于负数；2.两个正数，绝对值大的数较大；3.两个负数，绝对值大的数反而小.与有理数一样，在实数范围内：总结归纳

，2

分别可以看作是面积为

5，4

的正方形的边长，容易说明：面积较大的正方形，它的边长也较大，因此同样，因为

5

<

9，所以不用计算器，与2比较哪个大？与3比较呢？议一议例5在数轴上作出表示下列各数的点，比较它们的大小，并用“<”连接它们.-1，-2，5.-1-25由数轴上各点的位置，得

熟记常见数的算术平方根的约数值有助于解题.归纳合作交流

课本练习1.如图，已知一个实数

a

在数轴上的位置为点

A，则下列说法错误的是().

AC

3.比较下列各组数中两个数的大小:

实数在实数范围内，相反数、绝对值、倒数的意义和有理数范围内的相反数、绝对值、倒数的意义完全一样实数与数轴上点的一一对应实数的运算实数的运算律用计算器计算实数的大小比较2.点

A在数轴上表示的数为，点

B在数轴上对应的数为，则

A，B两点的距离为_____.（3）

的相反数是______，绝对值是______.1.填空：（1）3.14的相反数是_______，绝对值是_______；（2）的相反数是______，绝对值是______；4.估计与6的大小.所以>6.

解：因为37>36，

3.用计算器计算（精确到0.01）：（1）；（2）；（3）.解：(1)(2)(3)小结与复习第6章实数1.

平方根的概念及性质2.

算术平方根的概念及性质(2)性质：一个正数a的平方根有两个，它们互为

相反数；0的平方根是

0，负数没有平方根.

(2)性质：0的算术平方根是

0，只有非负数才有

算术平方根，且算术平方根也是非负数.一、平方根(1)定义：若

r2=a，则

r叫做a的一个平方根.(1)定义：一个正数a的正平方根叫做a的算术平方根.1.

立方根的概念及性质(1)定义：如果

b3=a，那么b叫做a的立方根.二、立方根(2)性质：每一个实数都有一个与它本身符号相同的立方根.2.

用计算器求立方根

用计算器求一个数a的立方根，其按键顺序为

SHIFTa=三、实数1.实数的分类无理数：无限不循环小数有理数：有限小数或无限循环小数实数分数整数开不尽方的数开方所得结果有规律但不循环的无限小数……化简后含有的数按定义分：正实数负实数数实负有理数正有理数按符号分类：0负无理数正无理数正实数负实数012.实数与数轴(1)实数和数轴上的点是一一对应的关系；(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的

数大.3.在实数范围内，有理数的有关概念、运算法则

同样适用.【例1】1.求下列各数（式）的平方根：2.求下列各数（式）的立方根：【归纳拓展】解题时，要注意题目的要求，是求平方根、立方根还是求算术平方根，要注意所求结果处理.答案：(1)；(2)；(3)±10.答案：(1)；(2)0.3；(3).考点一平方根与立方根

1.求下列各式的值：答案：①

20；②；③；④

.针对训练例2已知一个正数的两个平方根分别是

a+3和2a-18，求这个正数.解：根据平方根的性质，有

a+3+2a-

18=0，解得

a=5.所以

a+3=8，82=64.

所以这个正数是

64.方法总结：

一个正数的平方根有两个，它们互为相反数；而一个非负数的算术平方根只有一个.另外，一个数的立方根也只有一个，且与它本身的符号相同.3.

的平方根是（

）A.4B.2C.±2D.±42.下列说法正确的有（

）①-64的立方根是

-4；

②

49的算术平方根是±7；③的立方根是；④的平方根是.A.1个B.2个C.3个D.4个BC针对训练例3若

a，b为实数且+|b-1|=0，则(ab)2023=

.4.

若

与

(b-

27)2

互为相反数，则

.-5【解析】先根据非负式的性质求出

a，b的值，再根据乘方的定义求出

(ab)2023

的值.∵

+|b-

1|=0，∴

a+1=0，且

b-

1=0.∴

a=-1，b

=1.∴

(ab)2023=(-1×1)2023=

(-1)2023=-1.-1针对训练例4在实数，，

中，分数有

（

）A.3个

B.2个C.1个D.0个C【解析】是分数；虽然含有分母

2，但它的分子是无理数，所以是无理数；同理

也是无理数.考点二实数的概念及性质例5如图所示，数轴上的点

A，B分别对应实数

a，b，下列结论正确的是（

）A.a>b

B.|a|>|b|C.-a<bD.a+b<0ba0BAC【解析】数轴上的点表示的数，右边的总比左边的大，故

A不正确；根据点

A，B

与原点的距离知

|a|<|b|，B不正确；-a>0，根据

|a|<|b|，知

-a<b，C正确，D不正确.5.

实数π，，0，-1中，无理数是(

)A.π

B.C.0

D.-1A6.若|a|=-a，则实数

a在数轴上的对应点一定在(

)A.原点左侧

B.原点或原点左侧

C.原点右侧

D.原点或原点右侧B针对训练例6估计的值在（）A.2到3之间B.3到4之间C.4到5之间D.5到6之间B【解析】因为4<6<9,所以因此

的值在

3到4之间.故选B.方法总结：像这类估算无理数的大小的问题，可以将带有根号的无理数的被开方数与已知的平方数作比较，一般的，一个非负数越大，它的算术平方根也越大；也可以利用平方法，将无理数平方后，与已知数的平方作比较.考点三实数的计算及估算7.满足

的整数

x是

.8.规定用符号[x]表示一个实数

x的整数部分，例如：

[3.14]=3，

=0.按此规定[

]的值为

.针对训练例7

计算

.【解析】对于被开方数是带分数的二次根式，通常需要先将带分数化成假分数，然后再开方运算.

9.计算

.______针对训练取非负平方开方平方根立方根开平方开立方互为逆运算算术平方根实数有理数无理数运算立方互为逆运算7.1不等式及其基本性质第7章一元一次不等式与不等式组第1课时不等式及其解集学习目标1.了解不等式及其解的概念；2.学会并准确运用不等式表示数量关系，形成在表

达中渗透数形结合的思想；（难点）3.理解不等式的解集及解不等式的意义．(重点)谁长谁短谁快谁慢谁重谁轻谁赢谁输

某某单车在一段时间内推出了红包车的活动：用户扫码解锁后有效骑行红包车超过

10

分钟，锁车后即可获得

1

个现金红包；骑行红包车次数及领取红包次数不限.红包金额随机，最低

1

元最高

100

元.你能用关系式表示可获红包金额的大小范围吗？x≥1且x≤100现实生活中，数量之间存在着相等或不相等的关系.通常我们用不等号表示数量之间的不等关系.问题1

用适当的式子表示下列关系：（1）a与

b的差是负数.

（2）x的5倍与1的差小于

x

的3倍；（3）2x

与3的和不大于5；2x+3≤5a-

b<05x-

1<3x不等式的概念1问题2

雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高.

设太阳表面温度为

t℃，那么

t应该满足怎样的关系式？4.5t<28000

我们把像

2x+3≤5，a-

b＜0，4.5t＜28000等这样，用不等号（＞，≥，＜，≤或≠）表示不等关系的式子叫做不等式.知识要点1.判断下列式子是不是不等式：（1）-3>0；

（2）4x+3y<0；（3）x=3；

（4）x2+xy+y2；（5）x≠5；

（6）x+2≥

y+5.解：（1）（2）（5）（6）是不等式；

（3）（4）不是不等式.练一练2不等式的解与解集交流：下面给出的

x

值，能使不等式2x+3≤5成立吗？0，

1，

2，3.当

x=0，3

<

5，成立；当

x=1，5=5，成立；当

x=2，7>5，不成立；当

x=3，9

>

5，不成立.解：想一想1.判断下列给出的数中哪些能使2x+3≤5成立：-1，

0.5，

1.5，

-2.2.你还能找出使上述不等式成立的其他数吗?

找出后在数轴上标出来，你有什么发现?当

x=-1，0.5，-2时，2x+3≤5成立.知识要点一般地，能够使不等式成立的未知数的值，叫作这个不等式的解.所有这些解的全体称为这个不等式的解集.由上可知，不大于1的任何一个实数(如0，1等)都是不等式2x+3≤5的解，而所有这些解的全体(x≤1)称为这个不等式的解集.满足一个不等式的未知数的某个值满足一个不等式的未知数的所有值个体全体如：x=3是不等式2x-

3<7的一个解如：x<5是不等式2x-

3<7的解集某个解定是解集中的一员解集一定包括了所有解不等式的解与不等式的解集的区别与联系3在数轴上表示不等式的解集先在数轴上标出表示1的点

A则点

A右边所有的点表示的数都大于1，而点

A左边所有的点表示的数都小于1.因此可以像下图那样表示不等式的解集

x≤1.问题3如何在数轴上表示出不等式

x≤1

的解集呢？-4-3-2-1012-5A

把表示1的点上画成实心圆圈，表示包含这一点.解集的表示方法：第一种：用式子(如

x≤1)，即用最简形式的不等

式(如

x>a或

x<a)来表示.第二种：用数轴，一般标出数轴上某一范围，其中

的点对应的数值都是不等式的解.用数轴表示不等式的解集的步骤：第一步：画数轴；第二步：定界点；第三步：定方向.画一画

利用数轴来表示下列不等式的解集.

(1)x＞-1；(2)x＜.0-101变式：已知关于

x的不等式的解集在数轴上表示如图，你能写出此解集吗?0-2x＜-2表示-1的点表示的点方向向右方向向左空心圆圈表示不含此点用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：1.大于向右画，小于向左画；2.＞，＜

画空心圆圈.归纳总结例1直接写出

x+4＜6的解集，并在数轴上表示出来.

012解：x＜2．这个解集在数轴上可以表示为：解：（1）x＜－3.（2）x＞7．0-307（1）（2）变式1：已知关于x的不等式的解集用数轴表示如图所示，你能写出此解集吗?变式2：直接说出不等式2x＞8的解集，并在数轴上表示出来．

解：x＞4．这个解集在数轴上表示为：04变式3：直接写出不等式

x－2＞8的解集．解：x＞10．课本练习1.分别求t

满足的数量关系：(1)甲市某天最低气温为

-1℃，最高气温为5℃，设该市这天某一时刻的气温为

t

℃；(2)某段长为30km的公路

AB

对行驶汽车限速为(不超过)60km/h，一辆汽车从

A

到

B

的行驶时间为

th.解：(1)t≤5，t≥-1.(2)t≤0.5.

3.用含

x

的不等式表示下图数轴中所表示的不等式的解集：(1)(2)

解：(1)x＞0．(2)x≤3．不等式→用数轴表示不等式的解集概念↓↓解、解集1.用不等式表示下列数量关系：（1）a是正数；（2）x比

-3小；（3）两数

m与

n的差大于5.a>0x<-3m-

n>52.下列不是不等式5x－3<6的一个解的是(

)

A.1B.2C.－1D.－2B3.在数轴上表示不等式3x＞5的解集，正确的是(

)AA1253012BD5301253012530C4.直接写出下列不等式的解集：x+3>6的解集是

；

2x<10的解集是

；x-

2>0的解集是

.

x>3x<5x>27.1不等式及其基本性质第7章一元一次不等式与不等式组第2课时不等式的基本性质学习目标1.理解并掌握不等式的基本性质；2.通过实例操作，培养观察、分析、比较问题的能力，会用不等式的基本性质解简单的不等式.(重点、难点)解方程的依据是：___________猜想

：解不等式的依据是：____________等式的性质不等式的性质用不等号填一填：1.a

b；2.a+c

b+c；3.(a+c)-

c

(b+c)-

c.

观察

如图所示，在托盘天平的右盘放上一质量为

bg的立体木块，左盘放上一质量为

ag的立体木块，天平向左倾斜.agbgcg＞＞＞cg你发现了什么？1不等式的基本性质性质1不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变.即：如果

a>b，那么a+c>b+c，a-

c>b-

c.一般地，不等式具有如下基本性质：总结归纳解析：因为a>b，两边都加上3，解析：因为a<b，两边都减去5，由不等式的基本性质1，得a+3>b+3.由不等式的基本性质1，得a-

5<b-

5.（1）已知a>b，则

a+3

b+3；（2）已知a<b，则

a-

5

b-

5.><例1

用“>”或“<”填空：典例精析1.用“＞”或“＜”填空，并说明是根据不等式的哪一条性质：(1)若

x＋3＞6，则

x____3，

根据是_______________；(2)若

a－2＜3，则

a____5，

根据是_______________．＞

＜不等式的性质1不等式的性质1练一练用不等号填一填：1.a

b；2.2a

2b；3.

.

如图所示，在托盘天平的右盘放上一质量为

bg的立体木块，左盘放上一质量为

ag的立体木块，天平向左倾斜.agbg>>>agbg你发现了什么？合作交流性质2不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.即：如果

a>b，c>0，那么ac

>bc，

>.一般地，不等式还有如下性质：总结归纳a>b-a-ba-a-b>b-a-b-b>-a(-1)×a<(-1)×b×(-1)不等式两边同乘

-1，不等号方向改变.猜想：不等式两边同乘一个负数，不等号方向改变.a>b×(-1)-a<-b×3-3a<-3b×c(c>0)-ac<-bc×(-c)(-c<0)合作交流性质3不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变.即：如果

a>b，c<

0，那么ac

<bc，

<.一般地，不等式还有如下性质：总结归纳因为a>b，两边都乘3，解析：因为a>b，两边都乘

-1，解析：由不等式的基本性质2，得3a>3b.由不等式的基本性质3，得-a<-b.

（1）已知a>b，则3a

3b；（2）已知a>b，则

-a

-b.><例2用“>”或“<”填空：解析：因为a<b，两边都除以

-3，

由不等式基本性质3，得

由不等式基本性质1，得（3）已知a<b，则

.>

将

两边都加上2，

（1）如果

a＞b，那么

ac＞bc.

（2）如果

a＞b，那么

ac2＞bc2.

（3）如果

ac2＞bc2，那么

a＞b.2.判断正误：××√当

c≤0时，不成立.当

c=0时，不成立.思考：不等式的基本性质与等式的基本性质有什么相同点和不同点？练一练

下面是某同学根据不等式的性质做的一道题：在不等式-4x+5>9的两边都减去5，得

-4x>4在不等式

-4x>4的两边都除以-4，得

x>-1

请问他做对了吗？如果不对，请改正.不对x<-1说一说思考：等式有对称性及传递性，那么不等式具有对称性和传递性吗?已知

x>5，那么5<x吗?由8<x，x<y，可以得到8<y吗?如：8<10，10<15，8

15.x

>5

5<x<性质4（对称性）：如果

a>b，那么

b<a.性质5（同向传递性）：如果

a>b，b>c，那么

a>c.例3如果不等式(a＋1)x＜a＋1

可变形为x＞1，那么

a必须满足________.方法总结：只有当不等式的两边都乘以

(或除以)

同一个负数时，不等号的方向才改变．解析：根据不等式的基本性质，可判断

a＋1

为负数，即

a＋1＜0，可得a＜－1.

a＜－1例4

利用不等式的性质求下列

x

的范围：(1)x-

7＞26；

(2)3x＜2x+1；(3)＞50；

(4)-4x＞3.求未知数

x的范围化为

x＞a或

x＜a的形式目标方法：不等式的基本性质思路：解：(1)根据不等式的性质1，

不等式两边都加7，不等号的方向不变，

得x

-

7

+

7＞26

+

7，即

x＞33.(1)x

-

7＞26；(2)3x＜2x

+

1；(2)根据______________，

不等式两边都减去____，不等号的方向_____，

得

.3x

-

2x＜2x

+

1

-

2x，即

x＜1不等式的性质12x不变(3)为了使不等式

＞50中不等号的一边变为

x，

根据不等式的性质

2，不等式的两边都除以，

不等号的方向不变，得x＞75.(4)为了使不等式

-4x＞3中的不等号的一边变为

x，

根据______________，不等式两边都除以____，

不等号的方向______，得x＜-

.不等式的性质3-4改变(3)＞50；

(4)-4x＞3.

为何不两边同时加上

？1.设

a＞b，用“＜”“＞”填空并回答是根据不等式的哪一条基本性质.（1）a

-

3____b

-

3；（2）a÷3____b÷3；（3）0.1a____0.1b；

（4）-4a____-4b；（5）2a+3____2b+3；（6）(m2+1)a____(m2+1)b(m为常数).＞＞＞＞＞＜不等式的性质

1不等式的性质

2不等式的性质

2不等式的性质

3不等式的性质

1，2不等式的性质

2做一做2.已知

a＜0，用“＜”“＞”填空：

(1)a+2____2；

(2)a-

1_____-1；

(3)3a______0；

(4)______0；

(5)a2_____0；(6)a3______0；

(7)a-

1_____0；

(8)|a|______0．＜＜＜＞＜＞＜＞

课本练习＜＜＜＞×××√

≤≥≥≤性质1：如果

a＞b，那么

a±c＞b±c不等式的基本性质性质4：如果

a＞b，那么

b＜a.性质5：如果

a＞b，b＞c，那么

a＞c性质2：如果

a＞b，c＞0，那么

ac＞bc(或)性质3：如果

a＞b，c＜0那么

ac＜bc(或)

（3）

.（2）-3a

-3b；<<1.已知

a>b，用“>”或“<”填空：（1）2a

2b；>2.用“>”或“<”填空：（1）如果1-