2024-2025学年高中数学第一章数列1.2等差数列1.2.1第2课时等差数列的性质及应用课时作业含解析北师大版必修5

PAGEPAGE4课时作业4等差数列的性质及应用时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．已知a＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))，b＝eq\f(1,\r(3)－\r(2))，则a，b的等差中项为(A)A.eq\r(3) B.eq\r(2)C.eq\f(1,\r(3)) D.eq\f(1,\r(2))解析：设等差中项为x，由等差中项的定义知，2x＝a＋b＝eq\f(1,\r(3)＋\r(2))＋eq\f(1,\r(3)－\r(2))＝(eq\r(3)－eq\r(2))＋(eq\r(3)＋eq\r(2))＝2eq\r(3)，∴x＝eq\r(3)，故选A.2．若等差数列{an}的公差为d，则{3an}是(B)A．公差为d的等差数列B．公差为3d的等差数列C．非等差数列D．无法确定解析：设bn＝3an，则bn＋1－bn＝3an＋1－3an＝3(an＋1－an)＝3d.3．在等差数列{an}中，a1＋a9＝10，则a5的值为(A)A．5 B．6C．8 D．10解析：本题考查等差数列的基本性质等差中项．由等差中项知2a5＝a1＋a9＝10，所以a5＝5，故选A.4．数列{an}中，a3＝2，a5＝1，假如数列{eq\f(1,an＋1)}是等差数列，则a11＝(B)A.eq\f(1,11) B．0C．－eq\f(1,13) D．－eq\f(1,7)解析：∵{eq\f(1,an＋1)}是等差数列，设公差为d，则eq\f(1,a5＋1)－eq\f(1,a3＋1)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,3)＝eq\f(1,6)＝2d，∴d＝eq\f(1,12)，∴eq\f(1,a11＋1)＝eq\f(1,a5＋1)＋6d＝eq\f(1,2)＋6×eq\f(1,12)＝1，∴a11＝0.5．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(B)A．－1 B．1C．3 D．7解析：设数列{an}公差为d，∵a1＋a3＋a5＝105，∴3a3＝105.∴a3＝35.同理，由a2＋a4＋a6＝99得a4＝33，∴d＝a4－a3＝－2.a20＝a4＋16d＝33＋16×(－2)＝1.6．下列命题中正确的是(C)A．若a，b，c成等差数列，则a2，b2，c2成等差数列B．若a，b，c成等差数列，则log2a，log2b，log2c成等差数列C．若a，b，c成等差数列，则a＋2，b＋2，c＋2成等差数列D．若a，b，c成等差数列，则2a,2b,2c成等差数列解析：∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c，∴2b＋4＝a＋c＋4，即2(b＋2)＝(a＋2)＋(c＋2)，∴a＋2，b＋2，c＋2成等差数列．7．若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有(D)(1){an＋3}；(2){aeq\o\al(2,n)}；(3){an＋1－an}；(4){2an}；(5){2an＋n}．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：依据等差数列的定义推断，若{an}是等差数列，则{an＋3}，{an＋1－an}，{2an}，{2an＋n}均为等差数列，而{aeq\o\al(2,n)}不肯定是等差数列．8．在各项均为正数的等差数列{an}中，若an＋1－aeq\o\al(2,n)＋an－1＝0(n≥2)，则a3n等于(D)A．－2 B．0C．1 D．2解析：由等差中项的定义知an＋1＋an－1＝2an，结合条件得aeq\o\al(2,n)＝2an，又an>0，所以an＝2，即数列{an}为常数列，故a3n＝an＝2，选D.二、填空题9．在等差数列{an}中，a3＋a11＝40，则a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10的值为60.解析：视察下标，利用性质即可．利用性质可得a4＋a10＝a5＋a9＝a6＋a8＝2a7＝a3＋a11＝40⇒a7＝20，从而a4－a5＋a6＋a7＋a8－a9＋a10＝3a7＝60.10．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为eq\f(67,66)升．解析：设此等差数列为{an}，公差为d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a7＋a8＋a9＝4，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋21d＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(13,22)，,d＝\f(7,66).))∴a5＝a1＋4d＝eq\f(13,22)＋4×eq\f(7,66)＝eq\f(67,66).11．已知数列{an}中，a1＝－1，an＋1·an＝an＋1－an，则数列{an}的通项公式an＝－eq\f(1,n).解析：eq\f(1,an)－eq\f(1,an＋1)＝1，eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝－1，eq\f(1,a1)＝－1，{eq\f(1,an)}是以－1为首项，以－1为公差的等差数列，eq\f(1,an)＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，an＝－eq\f(1,n).三、解答题12．已知5个数成等差数列，它们的和为25，它们的平方和为165，求这5个数．解：解法一：设5个数依次为a，a＋d，a＋2d，a＋3d，a＋4d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋a＋d＋a＋2d＋a＋3d＋,a＋4d＝25，,a2＋(a＋d)2＋(a＋2d)2＋(a＋3d)2,＋(a＋4d)2＝165，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2d＝5，,a2＋6d2＋4ad＝33，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝2，,a＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(d＝－2，,a＝9.))∴5个数依次为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.解法二：设这5个数依次为a－2d，a－d，a，a＋d，a＋2d，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－2d＋a－d＋a＋a＋d＋a＋2d＝25，,(a－2d)2＋(a－d)2＋a2＋(a＋d)2,＋(a＋2d)2＝165，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,5a2＋10d2＝165，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝5，,d＝±2.))故这5个数依次为1,3,5,7,9或9,7,5,3,1.13．一个等差数列的首项是8，公差是3；另一个等差数列的首项是12，公差是4，这两个数列有公共项吗？假如有，求出最小的公共项，并指出它分别是两个数列的第几项．解：首项是8，公差是3的等差数列的通项公式为an＝3n＋5；首项是12，公差是4的等差数列的通项公式为bm＝4m＋8.依据公共项的意义，就是两项相等，令an＝bm，即n＝eq\f(4m,3)＋1，该方程有正整数解时，m＝3k，k为正整数，令k＝1，得m＝3，则n＝5，因此这两个数列有最小的公共项为20，分别是第一个数列的第5项，其次个数列的第3项．——实力提升类——14．假如有穷数列a1，a2，…，am(m为正整数)满意条件：a1＝am，a2＝am－1，…，am＝a1，那么称其为“对称”数列．例如数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在21项的“对称”数列{cn}中，c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，则c2＝19.解析：因为c11，c12，…，c21是以1为首项，2为公差的等差数列，所以c20＝c11＋9d＝1＋9×2＝19.又{cn}为21项的“对称”数列，所以c2＝c20＝19.15．已知f(x)是定义在非零自然数集上的函数，当x为奇数时，有f(x＋1)－f(x)＝1，当x为偶数时，有f(x＋1)－f(x)＝3，且f(1)＋f(2)＝5.(1)求证：f(1)，f(3)，…，f(2n－1)(n∈N＋)成等差数列；(2)求f(n)的解析式．解：(1)证明：当x为奇数时，x＋1为偶数，代入已知等式有f(x＋1)－f(x)＝1，①f(x＋2)－f(x＋1)＝3.②①＋②得f(x＋2)－f(x)＝4为常数．又因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(1＋1)－f(1)＝1，,f(1)＋f(2)＝5，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f(1)＝2，,f(2)＝3.))所以f(1)，f(3)，f(5)，…，f(2n－1)(n∈N＋)构成首项为2，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，当n为奇数时，f(n＋2)－f(n)＝4，f(1)＝2，所以当n＝2k－1时，f(n)＝f(2k－1)＝2＋(k－1)×4＝2n.