2024-2025学年高中数学第二章概率单元质量评估2课时作业含解析新人教B版选修2-3

其次章单元质量评估(二)eq\o(\s\up7(时间：120分钟总分：150分),\s\do5())第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分)1．某射手射击所得环数ξ的分布列如下：ξ78910Px0.10.3y已知ξ的数学期望E(ξ)＝8.9，则y的值为(B)A．0.2B．0.4C．0.6D．0.8解析：∵E(ξ)＝7x＋8×0.1＋9×0.3＋10y＝7(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y，∴7.7＋3y＝8.9，∴y＝0.4.2．若X的分布列为X01P0.5a则D(X)等于(B)A．0.8B．0.25C．0.4D．0.2解析：由题意知0.5＋a＝1，E(X)＝0×0.5＋a＝a＝0.5，所以D(X)＝0.25.3．已知某人每天早晨乘坐的某一班次公共汽车准时到站的概率为eq\f(3,5)，则他在3天乘车中，此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为(C)A.eq\f(36,125)B.eq\f(54,125)C.eq\f(81,125)D.eq\f(27,125)解析：设此班次公共汽车准时到站的天数为随机变量X，则此班次公共汽车至少有2天准时到站的概率为P(X＝2)＋P(X＝3)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2×eq\f(2,5)＋Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))3＝eq\f(81,125).4．设随机变量X～N(μ，σ2)，且P(X<c)＝P(X>c)，则c的值为(C)A．0B．1C．μD.eq\f(μ,2)解析：因为P(X<c)＝P(X>c)，由正态曲线的对称性知μ＝c.5．将三颗骰子各掷一次，记事务A＝“三个点数都不同”，B＝“至少出现一个6点”，则条件概率P(A|B)，P(B|A)分别是(A)A.eq\f(60,91)，eq\f(1,2) B.eq\f(1,2)，eq\f(60,91)C.eq\f(5,18)，eq\f(60,91) D.eq\f(91,216)，eq\f(1,2)解析：由题意得事务A包含的基本领件个数为6×5×4＝120，事务B包含的基本领件个数为63－53＝91，在B发生的条件下A发生包含的基本领件个数为Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)＝60，在A发生的条件下B发生包含的基本领件个数为Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,5)＝60，所以P(A|B)＝eq\f(60,91)，P(B|A)＝eq\f(60,120)＝eq\f(1,2).故正确答案为A.6．箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球．从箱中一次摸出两个球，登记号码后放回，假如两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是(B)A.eq\f(16,625)B.eq\f(96,625)C.eq\f(624,625)D.eq\f(4,625)解析：若摸出的两球中含有4，必获奖，有5种情形；若摸出的两球是2,6，也能获奖．故获奖的情形共6种，获奖的概率为eq\f(6,C\o\al(2,6))＝eq\f(2,5).现有4人参与摸奖，恰有3人获奖的概率是Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,5)))3×eq\f(3,5)＝eq\f(96,625).7．已知X的分布列为X123Peq\f(1,6)eq\f(2,3)eq\f(1,6)且Y＝aX＋3，E(Y)＝eq\f(7,3)，则a为(C)A．－1B．－eq\f(1,2)C．－eq\f(1,3)D．－eq\f(1,4)解析：E(X)＝1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(2,3)＋3×eq\f(1,6)＝2，由Y＝aX＋3，得E(Y)＝aE(X)＋3.所以eq\f(7,3)＝2a＋3，解得a＝－eq\f(1,3).8．已知变量x听从正态分布N(4，σ2)，且P(x>2)＝0.6，则P(x>6)＝(A)A．0.4B．0.3C．0.2D．0.1解析：因为P(x>2)＝0.6，所以P(x<2)＝1－0.6＝0.4.因为N(4，σ2)，所以此正态曲线关于x＝4对称，所以P(x>6)＝P(x<2)＝0.4.故选A.9．设由“0”，“1”组成的三位数组中，若用A表示“其次位数字为‘0’的事务”，用B表示“第一位数字为‘0’的事务”，则P(A|B)等于(C)A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(1,8)解析：因为P(B)＝eq\f(1×2×2,2×2×2)＝eq\f(1,2)，P(A∩B)＝eq\f(1×1×2,2×2×2)＝eq\f(1,4)，所以P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB)＝eq\f(1,2).10．把10个骰子全部投出，设出现6点的骰子的个数为X，则P(X≤2)＝(D)A．Ceq\o\al(2,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))8B．Ceq\o\al(1,10)×eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))9＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))10C．Ceq\o\al(1,10)×eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))9＋Ceq\o\al(2,10)×eq\f(1,6)2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))8D．以上都不对解析：P(X≤2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＋P(X＝2)＝Ceq\o\al(0,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))10＋Ceq\o\al(1,10)×eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))9＋Ceq\o\al(2,10)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,6)))8.11．已知随机变量X～B(6,0.4)，则当η＝－2X＋1时，D(η)＝(C)A．－1.88B．－2.88C．5.76D．6.76解析：由已知D(X)＝6×0.4×0.6＝1.44，则D(η)＝4D(X)＝4×1.44＝5.76.12．一台机器生产某种产品，假如生产一件甲等品可获利50元，生产一件乙等品可获利30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6,0.3和0.1，则这台机器每生产一件产品，平均预期可获利(B)A．39元 B．37元C．20元 D.eq\f(100,3)元解析：ξ的分布列为ξ5030－20P0.60.30.1∴E(ξ)＝50×0.6＋30×0.3＋(－20)×0.1＝37元，故选B.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为eq\f(1,70)，eq\f(1,69)，eq\f(1,68)，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为eq\f(3,70).解析：加工出来的零件的合格品率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,70)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,69)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,68)))＝eq\f(67,70)，所以次品率为1－eq\f(67,70)＝eq\f(3,70).14．已知正态总体的数据落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等，那么这个正态总体的数学期望为1.解析：区间(－3，－1)和区间(3,5)关于x＝1对称(－1的对称点是3，－3的对称点是5)，所以正态分布的数学期望就是1.15．假如一个随机变量ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(15，\f(1,2)))，则使得P(ξ＝k)取得最大值的k的值为7,8.解析：P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,15)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))15，则只需Ceq\o\al(k,15)最大即可，此时k＝7,8.16．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的运用寿命(单位：小时)均听从正态分布N(1000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的运用寿命超过1000小时的概率为eq\f(3,8).解析：设元件1,2,3的运用寿命超过1000小时的事务分别记为A，B，C，明显P(A)＝P(B)＝P(C)＝eq\f(1,2)，所以该部件的运用寿命超过1000的事务为(Aeq\x\to(B)＋eq\x\to(A)B＋AB)C.所以该部件的运用寿命超过1000小时的概率为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)))×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最终结果不得分，共70分)17．(10分)设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的．(1)求进入商场的1位顾客至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率；(2)记ξ表示进入商场的3位顾客中至少购买甲、乙两种商品中的一种的人数，求ξ的分布列及期望．解：(1)由题可得，至少购买甲、乙两种商品中的一种的概率为p＝1－(1－0.5)(1－0.6)＝0.8.(2)ξ可能的取值有0,1,2,3，p(ξ＝0)＝(1－0.8)3＝0.008，p(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)(1－0.8)20.8＝0.096，p(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)(1－0.8)10.82＝0.384，p(ξ＝3)＝0.83＝0.512.故ξ的分布列为ξ0123p0.0080.0960.3840.512ξ的数学期望E(ξ)＝3×0.8＝2.4.18．(12分)某同学参与3门课程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成果的概率为eq\f(4,5)，其次、第三门课程取得优秀成果的概率分别为p，q(p>q)，且不同课程是否取得优秀成果相互独立．记ξ为该生取得优秀成果的课程数，其分布列为ξ0123Peq\f(6,125)abeq\f(24,125)(1)求该生至少有1门课程取得优秀成果的概率；(2)求p，q的值；(3)求数学期望E(ξ)．解：记事务Ai表示“该生第i门课程取得优秀成果”，i＝1,2,3.由题意知P(A1)＝eq\f(4,5)，P(A2)＝p，P(A3)＝q.(1)由于事务“该生至少有1门课程取得优秀成果”与事务“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成果的概率是1－P(ξ＝0)＝1－eq\f(6,125)＝eq\f(119,125).(2)由题意知P(ξ＝0)＝P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＝eq\f(1,5)(1－p)(1－q)＝eq\f(6,125)，P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＝eq\f(4,5)pq＝eq\f(24,125).整理得pq＝eq\f(6,25)，p＋q＝1.由p>q，可得p＝eq\f(3,5)，q＝eq\f(2,5).(3)由题意知a＝P(ξ＝1)＝P(A1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3)＋P(eq\x\to(A)1A2eq\x\to(A)3)＋P(eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3)＝eq\f(4,5)(1－p)(1－q)＋eq\f(1,5)p(1－q)＋eq\f(1,5)(1－p)q＝eq\f(37,125)，b＝P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝eq\f(58,125).所以E(ξ)＝0×P(ξ＝0)＋1×P(ξ＝1)＋2×P(ξ＝2)＋3×P(ξ＝3)＝eq\f(9,5).19．(12分)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．(注：若三个数a，b，c满意a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P＝eq\f(C\o\al(3,4)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,84).(2)X的全部可能值为1,2,3，且P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,5)＋C\o\al(3,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(17,42)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)C\o\al(1,2)＋C\o\al(2,3)C\o\al(1,6)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(43,84)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(1,7),C\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，故X的分布列为X123Peq\f(17,42)eq\f(43,84)eq\f(1,12)从而E(X)＝1×eq\f(17,42)＋2×eq\f(43,84)＋3×eq\f(1,12)＝eq\f(47,28).20．(12分)一家面包房依据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在将来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在将来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．解：(1)设A1表示事务“日销售量不低于100个”，A2表示事务“日销售量低于50个”，B表示事务“在将来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6，P(A2)＝0.003×50＝0.15，P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108.(2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)·(1－0.6)3＝0.064，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·0.6(1－0.6)2＝0.288，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)·0.62(1－0.6)＝0.432，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)·0.63＝0.216.分布列为X0123P0.0640.2880.4320.216因为X～B(3,0.6)，所以期望E(X)＝3×0.6＝1.8，方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72.21．(12分)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品胜利的概率分别为eq\f(2,3)和eq\f(3,5).现支配甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立．(1)求至少有一种新产品研发胜利的概率；(2)若新产品A研发胜利，预料企业可获利润120万元；若新产品B研发胜利，预料企业可获利润100万元．求该企业可获利润的分布列和数学期望．解：记E＝{甲组研发新产品胜利}，F＝{乙组研发新产品胜利}．由题设知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(E))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\x\to(F))＝eq\f(2,5)，且事务E与F，E与eq\x\to(F)，eq\x\to(E)与F，eq\x\to(E)与eq\x\to(F)都相互独立．(1)记H＝{至少有一种新产品研发胜利}，则eq\x\to(H)＝eq\x\to(E)eq\x\to(F)，于是P(eq\x\to(H))＝P(eq\x\to(E))P(eq\x\to(F))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率为P(H)＝1－P(eq\x\to(H))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).(2)设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0,100,120,220.因P(X＝0)＝P(eq\x\to(E)eq\x\to(F))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq\x\to(E)F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,15)，P(X＝120)＝P(Eeq\x\to(F))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,15)，故所求的分布列为X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(3,15)eq\f(4,15)eq\f(6,15)数学期望为E(X)＝0×eq\f(2,15)＋100×eq\f(3,15)＋120×eq\f(4,15)＋220×eq\f(6,15)＝eq\f(300＋480＋1320,15)＝eq\f(2100,15)＝140.22．(12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需运用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需运用设备相互独立．(1)求同一工作日至少3人需运用设备的概率；(2)X表示同一工作日需运用设备的