专题15-导数综合练习(文)(解析版)

专题15导数综合练习一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。每小题给出的四个选项中，第1-10题只有一项符合题目要求，第11-12题有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）1．如图，函数是可导函数，直线：是曲线在处的切线，令，是的导函数，则()。A、B、C、D、【答案】B【解析】由图可知曲线在处切线的斜率为，且直线必过点和，则，即，又，，，又，∴，故选B。2．已知函数在上单调递增，则()。A、且B、且C、且D、且【答案】A【解析】，则恒成立，则，无要求，故选A。3．已知函数的图像如右图所示[其中是函数的导函数]，则的图像大致是下面四个图像中的()。A、B、C、D、【答案】C【解析】①，，②，，③，，④，，故选C。4．已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是()。A、B、C、D、【答案】D【解析】定义域为，，在上不单调，则在上有解，此方程可化为，，∴方程的两解不可能都大于，从而它在上只有一解，充要条件是，解得或，∴D是要求的一个充分不必要条件，故选D。5．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为()。A、B、C、D、【答案】C【解析】令，则，故在上单调递增。又，故当时，，即，故选C。6．已知函数，曲线在处的切线的方程为，则切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】由得，则，得，由得加，即，∴切线的方程为，令，得到，令，得到，所求三角形面积为，故选B。7．设，若，恒成立，则实数的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】将不等式变形为，当时，不等式恒成立；当时，不等式变形为，记，则，而，因此在上单调递增，故，∴，故，∴的取值范围是，故选A。8．已知函数是偶函数，则不等式的解集为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由特殊的奇偶函数可知，∴，当时，，∴在上单调递增，又为偶函数，∴在上单调递减，∴可化成，两边平方得，即，解得，选A。9．已知函数EQEQ，，若，使得()成立，则的取值范围是()。A、B、C、D、【答案】B【解析】，当时，单调递减；当时，单调递增；∴，∵，故，又(当且仅当时等号成立)，∴，∵，故可化为，解得，故选B。10．若存在斜率为()的直线与曲线与都相切，则实数的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】设直线与、的切点分别为、，则由，，得，解得，∴两切点重合，即，∴，依题意在上有解，令()，则，当时，单调递增，当时，单调递减，∴，当时，∴，即，故选A。11．若函数的图像上存在直线平行的切线，则实数的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】的定义域为，，∵函数存在直线平行的切线，∴方程在区间上有解，即在区间上有解，∴，若直线与曲线相切，设切点，则，解得，此时，综上实数的取值范围为，故选A。12．若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】显然，不是函数的零点，令，得，构造函数，，则，令得到，令得到且，画出函数的图象，如图所示，可知当时，直线与的图象不可能有两个交点，当且时取得最小值，∴，当时，的图象与直线有两个不同的交点，即函数恰有两个不同的零点，∴的取值范围为，故选B。二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上）13．曲线在处的切线方程为。【答案】【解析】由求导可得，故在处切线斜率为，∴切线方程为。14．已知函数()，若直线与曲线相切，则。【答案】【解析】，设切点为，则切线斜率为，故，即，故，令()，则，∴当时，故在上单调递减，当时，故在上单调递增，15．函数，若函数有个零点，则实数的取值范围是。【答案】或【解析】画出函数的图像，如图示：若函数有个零点，只需求与图像交点，也就是分别画出(如图)与(一条水平直线)，结合图像：或。16．已知函数，若曲线上存在点，使得，则实数的取值范围是。【答案】【解析】∵点在曲线上，则，又∵，则在上是单调递增函数，则为一一对应函数，设，则，则，则当时，，∴，，设，，则在上是单调递增函数，∴，即，则实数的取值范围是。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知函数()。(1)若，求在上的最小值和最大值；(2)若在上是增函数，求实数的取值范围。【解析】(1)的定义域为，，1分由得，解得，∴，2分令，即，解得或，3分极小值∴在上的最小值是，最大值是；5分(2)由题意得：在区间上恒成立，∴，7分又当时，是增函数，其最小值为，∴，9分即实数的取值范围是。10分18．（12分）设函数。(1)证明：在单调递减，在单调递增；(2)若对于任意，都有，求的取值范围。【解析】(1)证明：的定义域为，，1分若，当时，，当时，，3分若，当时，，当时，，5分∴综上，在单调递减，在单调递增；6分(2)由(1)知对于，在单调递减，在单调递增，∴在处取最小值，∴的充要条件是，即①，8分设函数，则，当时，当时，故在单调递减，在单调递增，又，，故当时，10分当时，，，即①式成立，当时，由的单调性可得，即，①式不成立，当时，由的单调性可得，即，①式不成立，综上，的取值范围是。12分19．（12分）已知函数()。(1)若，函数在区间上的最小值为，求的值；(2)设，若函数有极值，求实数的取值范围。【解析】(1)的定义域为，，1分若，则恒成立，∴在上单调递增，2分∴函数在区间上的最小值为，则；4分(2)由题意得：()，的定义域为，5分则，而，当且仅当时取等号，6分分两种情况：①当时，对任意，恒成立，此时无极值，7分②当时，令，方程有两根，，，8分∴有两个根，，9分当时，，在区间上单调递减，当或时，在区间和上单调递增，从而在处取极大值，在处取极小值，11分综上，若函数有极值，则实数的取值范围为。12分20．（12分）已知函数，，其中是自然对数的底数。(1)判断函数在内的零点的个数，并说明理由；(2)，，使得成立，试求实数的取值范围；【解析】(1)函数在内的零点的个数为，理由如下：1分∵，∴，∵，，3分∴函数在上单调递增，∵，，4分根据函数零点存在性定理得函数在内的零点的个数为；5分(2)∵，∴，∴，6分∴，当时，，函数在上单调递增，7分∴，∵，∴，8分∵，∴，，，∴，10分∴函数在上单调递减，∴，∴，11分∴，∴实数的取值范围为。12分21．（12分）已知函数。(1)讨论的单调性；(2)求证：当时，对都有。【解析】(1)∵，其定义域为，∴，，1分当时，即时，恒成立，∴在上单调递增，2分当时，即时，有两个根为：、，，3分∴当和时，，单调递增，4分当时，，单调递减；5分(2)由(1)知，当时，，在上单调递增，∵对有，不妨设，∵在上单调递增，∴，则原式可以转化为，7分即有，即证，设，，9分则，，当时，单调递增，，∵，∴，10分当时，单调递增，∴，即，同理可证，即，则原不等式得证。12分22．（12分）已知函数。(1)当时，判断函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，求正整数的最小值。【解析】(1)当时，，定义域为，则，1分设，定义域为，则，2分令得，当时，则在上单调递增，当时，则在上单调递减，则在处取极大值也是最大值，，4分故当时，恒成立，当且仅当时取等号，∴在设单调递减；5分(2)若()有两个极值点，即()有两个极值点，即有两个异号零