2024-2025学年新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式课时作业含解析新人教A版必修第一册

PAGE8-其次章一元二次函数、方程和不等式考试时间120分钟，满分150分．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题正确的是(D)A．若a>b，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．若a>b>0，c>d，则a·c>b·dC．若a>b，则a·c2>b·c2D．若a·c2>b·c2，则a>b[解析]由题意，对于选项A中，当a>0>b时，此时eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，所以A是错误的；对于选项B中，当0>c>d时，此时不等式不肯定成立，所以B是错误的；对于选项C中，当c＝0时，不等式不成立，所以C是错误的．依据不等式的性质，可得若ac2>bc2时，则a>b是成立的，所以D是正确的．2．若集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2,x－1)≤0))))，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝(C)A．{x|－2≤x<2} B．{x|－1<x≤1}C．{x|－1<x<1} D．{x|－1<x<2}[解析]由题意，A＝{x|eq\f(x＋2,x－1)≤0}＝{x|－2≤x<1}，B＝{x|－1<x<2}，则A∩B＝{x|－1<x<1}．3．设A＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)，其中a，b是正实数，且a≠b，B＝－x2＋4x－2，则A与B的大小关系是(B)A．A≥B B．A>BC．A<B D．A≤B[解析]因为a，b都是正实数，且a≠b，所以A＝eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)>2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝2，即A>2，B＝－x2＋4x－2＝－(x2－4x＋4)＋2＝－(x－2)2＋2≤2，即B≤2，所以A>B．4．已知2x＋3y＝3，若x，y均为正数，则eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是(C)A．eq\f(5,3) B．eq\f(8,3)C．8 D．24[解析]因为2x＋3y＝3，x，y均为正数，则eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)＝eq\f(1,3)(eq\f(3,x)＋eq\f(2,y))(2x＋3y)＝eq\f(1,3)(12＋eq\f(9y,x)＋eq\f(4x,y))≥eq\f(12＋2\r(\f(9y,x)·\f(4x,y)),3)＝8，当且仅当eq\f(9y,x)＝eq\f(4x,y)且2x＋3y＝3，即x＝eq\f(3,4)，y＝eq\f(1,2)时取等号，所以eq\f(3,x)＋eq\f(2,y)的最小值是8.5．若不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，则实数a的取值范围是(D)A．{a|－16<a<0} B．{a|－16<a≤0}C．{a|a<0} D．{a|－8<a<8}[解析]不等式4x2＋ax＋4>0的解集为R，所以Δ＝a2－4×4×4<0，解得－8<a<8，所以实数a的取值范围是{a|－8<a<8}．6．当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立，则实数m的取值范围是(A)A．{m|m<6} B．{m|m≤6}C．{m|m≥6} D．{m|m>6}[解析]当x>0时，不等式x2－mx＋9>0恒成立⇔当x>0时，不等式m<x＋eq\f(9,x)恒成立⇔m<(x＋eq\f(9,x))min，当x>0时，x＋eq\f(9,x)≥2eq\r(x·\f(9,x))＝6(当且仅当x＝3时取“＝”)，因此(x＋eq\f(9,x))min＝6，所以m<6.7．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式S＝eq\r(pp－ap－bp－c)求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满意a＋b＝12，c＝8，则此三角形面积的最大值为(C)A．4eq\r(5) B．4eq\r(15)C．8eq\r(5) D．8eq\r(15)[解析]由题意，p＝10，S＝eq\r(1010－a10－b10－c)＝eq\r(2010－a10－b)≤eq\r(20)·eq\f(10－a＋10－b,2)＝8eq\r(5)，当且仅当a＝b＝6时取等号，所以此三角形面积的最大值为8eq\r(5).8．已知关于x的不等式eq\f(1,a)x2＋bx＋c<0(ab>1)的解集为空集，则T＝eq\f(1,2ab－1)＋eq\f(ab＋2c,ab－1)的最小值为(D)A．eq\r(3) B．2C．2eq\r(3) D．4[解析]易知a>0，则原不等式的解集为空集等价于x2＋abx＋ac<0的解集为空集，所以Δ＝a2b2－4ac≤0⇒4ac≥a2b2，所以T＝eq\f(1＋2ab＋4ac,2ab－1)≥eq\f(1＋2ab＋a2b2,2ab－1)＝eq\f(ab－12＋4ab－1＋4,2ab－1)＝eq\f(1,2)[(ab－1)＋eq\f(4,ab－1)＋4]≥eq\f(1,2)×(4＋4)＝4，当且仅当ab－1＝eq\f(4,ab－1)，即ab＝3时，等号成立．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9．已知不等式ax2＋bx＋c>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<2))))，则下列结论正确的是(BCD)A．a>0 B．b>0C．c>0 D．a＋b＋c>0[解析]因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<2))))，故相应的二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，所以a<0，故A错误；易知2和－eq\f(1,2)是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则有eq\f(c,a)＝－1<0，－eq\f(b,a)＝eq\f(3,2)>0，又a<0，故b>0，c>0，故BC正确；由二次函数的图象可知f(1)＝a＋b＋c>0，f(－1)＝a－b＋c<0，故D正确，故选BCD．10．使不等式x2－x－6<0成立的充分不必要条件是(AC)A．－2<x<0 B．－3<x<2C．0<x<3 D．－2<x<4[解析]由x2－x－6<0得－2<x<3，若使不等式x2－x－6<0成立的充分不必要条件，则对应范围是{x|－2<x<3}的真子集，故选AC．11．设a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式恒成立的是(CD)A．a2>ab B．a2<b2C．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D．a3<b3[解析]对于A，当a＝2，b＝3时，a<b，但22<2×3，故A中不等式不恒成立；对于B，当a＝－2，b＝1时，a<b，但(－2)2>12，故B中不等式不恒成立；对于C，eq\f(1,ab2)－eq\f(1,a2b)＝eq\f(a－b,ab2)<0恒成立，故C中不等式恒成立；对于D，a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)[(a＋eq\f(1,2)b)2＋eq\f(3,4)b2]，∵a<b，∴a－b<0，又(a＋eq\f(1,2)b)2＋eq\f(3,4)b2>0，∴a3<b3，故D中不等式恒成立，故选CD．12．设a、b是正实数，下列不等式中正确的是(BD)A．eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b) B．a>|a－b|－bC．a2＋b2>4ab－3b2 D．ab＋eq\f(2,ab)>2[解析]对于A，eq\r(ab)>eq\f(2ab,a＋b)⇒1>eq\f(2\r(ab),a＋b)⇒eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)，当a＝b>0时，不等式不成立，故A中不等式错误；对于B，a＋b>|a－b|⇒a>|a－b|－b，故B中不等式正确；对于C，a2＋b2>4ab－3b2⇒a2＋4b2－4ab>0⇒(a－2b)2>0，当a＝2b时，不等式不成立，故C中不等式错误；对于D，ab＋eq\f(2,ab)≥2eq\r(2)>2，故D中不等式正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．若x∈{x|x>1}，则y＝3x＋eq\f(1,x－1)的最小值是__3＋2eq\r(3)__.[解析]∵x>1，∴x－1>0，因此y＝3x＋eq\f(1,x－1)＝3(x－1)＋eq\f(1,x－1)＋3≥2eq\r(3x－1·\f(1,x－1))＋3＝3＋2eq\r(3)，当且仅当3(x－1)＝eq\f(1,x－1)，即x＝eq\f(\r(3),3)＋1时取等号，因此y＝3x＋eq\f(1,x－1)的最小值是3＋2eq\r(3).14．不等式ax2＋5x＋c>0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)<x<\f(1,2)))))，则a＝__－6__，c＝__－1__.[解析]由题意知a<0，且不等式对应方程的两个根分别为eq\f(1,3)，eq\f(1,2)，依据根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(5,a)＝\f(1,3)＋\f(1,2)，,\f(c,a)＝\f(1,3)×\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－6，,c＝－1.))15．已知a>b>0，且m＝eq\f(1,aa－b)，n＝a2＋eq\f(1,ab)，则m＋n的最小值是__4__.[解析]由已知可得，a>b>0，所以m＋n＝eq\f(1,a2－ab)＋a2＋eq\f(1,ab)＝eq\f(1,a2－ab)＋(a2－ab)＋eq\f(1,ab)＋ab≥4，当且仅当a＝eq\r(2)，b＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立．16．已知a>b，不等式ax2＋2x＋b≥0对一切实数x恒成立．存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋b＝0成立，则eq\f(a2＋b2,a－b)的最小值为__2eq\r(2)__.[解析]已知不等式ax2＋2x＋b≥0对一切实数x恒成立，当a＝0时，2x＋b≥0，不符合题意；当a≠0时，依题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,4－4ab≤0))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,ab≥1.))又存在x0∈R，使axeq\o\al(2,0)＋2x0＋b＝0成立，∴4－4ab≥0⇒ab≤1，因此ab＝1，且a>0，从而b>0，又a－b>0，∴eq\f(a2＋b2,a－b)＝eq\f(a－b2＋2ab,a－b)＝(a－b)＋eq\f(2,a－b)≥2eq\r(2)，当且仅当a－b＝eq\r(2)，即a＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)，b＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)时，等号成立．四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知关于x的不等式(k2＋4k－5)·x2＋4(1－k)x＋3>0的解集为R，求实数k的取值范围．[解析]当k2＋4k－5＝0时，k＝1或k＝－5.若k＝1，则原不等式为3>0，恒成立，符合题意；若k＝－5，原不等式为24x＋3>0，不恒成立，不符合题意．当k2＋4k－5≠0时，依题意得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k2＋4k－5>0，,161－k2－4k2＋4k－5×3<0，))解得1<k<19.因此，1≤k<19.故实数k的取值范围为{k|1≤k<19}．18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝3mx2＋mx－2(m∈R)．(1)当m＝1时，解不等式f(x)>0；(2)若关于x的不等式f(x)<0的解集为R，求实数m的取值范围．[解析](1)当m＝1时，f(x)＝3x2＋x－2.由f(x)>0可得3x2＋x－2>0，解可得x>eq\f(2,3)或x<－1，故不等式的解集为{x|x>eq\f(2,3)或x<－1}．(2)因为不等式f(x)<0的解集为R，所以3mx2＋mx－2<0恒成立．①m＝0时，－2<0恒成立，符合题意，②m≠0时，依据二次函数的性质可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m<0，,Δ＝m2＋24m<0，))解得－24<m<0，综上可得，实数m的取值范围为{m|－24<m≤0}．19．(本小题满分12分)已知函数y＝eq\r(ax2＋2ax＋1)的定义域为R.(1)求a的取值范围；(2)解关于x的不等式x2－x－a2＋a<0.[解析](1)因为函数y＝eq\r(ax2＋2ax＋1)的定义域为R，所以ax2＋2ax＋1≥0恒成立．①当a＝0时，1≥0恒成立；②当a≠0时，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝4a2－4a≤0，))解得0<a≤1.综上，a的取值范围为{a|0≤a≤1}．(2)由x2－x－a2＋a<0得(x－a)[x－(1－a)]<0.因为0≤a≤1，所以①当1－a>a，即0≤a<eq\f(1,2)时，a<x<1－a；②当1－a＝a，即a＝eq\f(1,2)时，(x－eq\f(1,2))2<0，不等式无解；③当1－a<a，即eq\f(1,2)<a≤1时，1－a<x<a.综上所述，当0≤a<eq\f(1,2)时，解集为{x|a<x<1－a}；当a＝eq\f(1,2)时，解集为∅，当eq\f(1,2)<a≤1时，解集为{x|1－a<x<a}．20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－2x－8，g(x)＝2x2－4x－16，(1)求不等式g(x)<0的解集；(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m＋2)x－m－15成立，求实数m的取值范围．[解析](1)g(x)＝2x2－4x－16<0，所以(2x＋4)(x－4)<0，所以－2<x<4，所以不等式g(x)<0的解集为{x|－2<x<4}．(2)因为f(x)＝x2－2x－8，当x>2时，f(x)≥(m＋2)x－m－15恒成立，所以x2－2x－8≥(m＋2)x－m－15，即x2－4x＋7≥m(x－1)．因为对一切x>2，均有不等式eq\f(x2－4x＋7,x－1)≥m成立，而eq\f(x2－4x＋7,x－1)＝(x－1)＋eq\f(4,x－1)－2≥2eq\r(x－1×\f(4,x－1))－2＝2(当且仅当x＝3时等号成立)，所以实数m的取值范围是{m|m≤2}．21．(本小题满分12分)已知某公司生产某款手机的年固定成本为400万元，每生产1万部还需另投入160万元．设公司一年内共生产该款手机x(x≥40)万部并且全部销售完，每万部的收入为R(x)万元，且R(x)＝eq\f(74000,x)－eq\f(400000,x2).(1)写出年利润W(万元)关于年产量x(万部)的函数关系式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润．[解析](1)由题意，可得年利润W关于年产量x的函数关系式为W＝xR(x)－(160x＋400)＝x(eq\f(74000,x)－eq\f(400000,x2))－(160x＋400)＝74000－eq\f(400000,x)－1