2024-2025学年高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2第2课时组合的应用学案含解析新人教A版选修2-3

PAGE第2课时组合的应用[目标]1.理解组合的概念，会利用组合数公式解决组合问题.2.能够解决组合、排列的综合问题．[重点]1.求解组合的应用问题.2.求解排列与组合的综合应用题．[难点]排列与组合的综合应用．学问点组合的实际应用[填一填]1．无限制条件的组合问题无约束条件的组合问题，只需依据组合的定义，干脆列出组合数即可，留意分清元素的总个数及取出元素的个数．有时还需分清完成一件事是须要分类还是分步．2．有限制条件的组合问题解答有限制条件的组合应用题的基本方法是“干脆法”和“间接法(解除法)”．(1)用干脆法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”“特殊位置优先支配”的原则．(2)选择间接法的原则是“正难则反”，也就是若正面问题分类较多、较困难或计算量较大，不妨从反面问题入手，试试看是否简捷些，特殊是涉及“至多”“至少”等组合问题时更是如此．此时，正确理解“都不是”“不都是”“至多”“至少”等词语的准确含义是解决这些组合问题的关键．[答一答]1．如何解决组合中的“含”与“不含”问题？提示：这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满意，其余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反面入手，找寻问题的突破口，即采纳间接法．2．如何解决组合中的“至多”或“至少”问题？提示：一般采纳干脆法或间接法．若干脆法状况较困难，则考虑间接法．3．如何处理组合中的几何问题？提示：在处理几何问题中的组合应用问题时，应先明确几何中的点、线、面及构型，明确平面图形和立体图形中的点、线、面之间的关系，将几何问题抽象成组合问题来解决．排列组合综合问题求解策略1．区分排列与组合：在解决排列组合综合性问题时，必需深刻理解排列与组合的概念，能够娴熟确定问题是排列问题还是组合问题，牢记排列数、组合数计算公式与组合数性质．简单产生的错误是重复和遗漏计数．2．附加条件的排列组合问题的处理策略：①以元素为主，特殊元素优先考虑；②以位置为主，特殊位置优先考虑；③间接法，暂不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不符合要求的部分．3．解答排列组合综合性问题的整体思路：一般思路方法是先选元素(组合)，后排列．按元素的性质“分类”和按事务发生的连续过程“分步”．总的来说是：①整体分类；②局部分步；③辩证地看元素的位置；④一些详细问题要把它抽象成组合模型.类型一无限制条件的组合问题【例1】某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位挚友，每位挚友1本，则不同的赠送方法共有()A．4种 B．10种C．18种 D．20种【解析】从2本同样的画册，3本同样的集邮册中取出4本有两种取法：第一种：从2本画册中取出1本，将3本集邮册全部取出；其次种：将2本画册全部取出，从3本集邮册中取出2本．由于画册是相同的，集邮册也是相同的，因此第一种取法中只需从4位挚友中选出1人赠送画册，其余的赠送集邮册，有Ceq\o\al(1,4)＝4(种)赠送方法；其次种取法中只需从4位挚友中选取2人赠送画册，其余的赠送集邮册，有Ceq\o\al(2,4)＝6(种)赠送方法．因此共有4＋6＝10(种)赠送方法．【答案】B将实际问题合理转化为组合模型，才能应用组合数公式，同时留意分步和分类两原理的应用.若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有(D)A．60种 B．63种C．65种 D．66种解析：分三种状况：(1)4个都是偶数；(2)两个为偶数，两个为奇数；(3)4个都是奇数．故共有Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,5)＋Ceq\o\al(4,5)＝66(种)．故选D.类型二有限制条件的组合问题【例2】某医科高校的学生中，有男生12名、女生8名在某市人民医院实习，现从中选派5名参与青年志愿者医疗队．(1)某男生甲与某女生乙必需参与，共有多少种不同的选法？(2)甲、乙均不能参与，有多少种选法？(3)甲、乙二人至少有一人参与，有多少种选法？(4)医疗队中男生和女生都至少有一名，有多少种选法？【解】(1)只需从其他18人中选3人即可，共有Ceq\o\al(3,18)＝816(种)．(2)只需从其他18人中选5人即可，共有Ceq\o\al(5,18)＝8568(种)．(3)分两类：甲、乙中只有一人参与，则有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,18)种选法；甲、乙两人都参与，则有Ceq\o\al(3,18)种选法．故共有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,18)＋Ceq\o\al(3,18)＝6936(种)．(4)方法1：(干脆法)男生和女生都至少有一名的选法可分为四类：1男4女；2男3女；3男2女；4男1女．所以共有Ceq\o\al(1,12)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(2,12)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(3,12)·Ceq\o\al(2,8)＋Ceq\o\al(4,12)·Ceq\o\al(1,8)＝14656(种)．方法2：(间接法)由总数中减去5名都是男生和5名都是女生的选法种数，得Ceq\o\al(5,20)－(Ceq\o\al(5,8)＋Ceq\o\al(5,12))＝14656(种)．解决“含与不含”问题常用优先法来解，“至多至少”问题常采纳干脆分类法或间接解除法来求解，在选取元素时留意“搭配原则”，肯定要做到“不重不漏”.课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长．现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生当选；(2)两名队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选．解：(1)一名女生，四名男生．故共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＝350(种)．(2)将两名队长作为一类，其他11人作为一类，故共有Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝165(种)．(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长．故共有：Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,11)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,11)＝825(种)，或采纳解除法：Ceq\o\al(5,13)－Ceq\o\al(5,11)＝825(种)．(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生．故选法为：Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,8)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(4,8)＋Ceq\o\al(5,8)＝966(种)．类型三几何组合应用题【例3】在∠MON的边OM上有5个异于O点的点，ON上有4个异于O点的点，以这10个点(含O)为顶点，可以得到多少个三角形？【分析】要想组成三角形需找不在同始终线上的三点．因为O为射线OM与射线ON的公共点，所以对O取与不取需进行探讨．【解】解法1：(干脆法)分几种状况考虑：以O为顶点的三角形中，另外两个顶点必需分别在OM、ON上，所以有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)个；O不为顶点的三角形中，两个顶点在OM上，一个顶点在ON上的有Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)个；一个顶点在OM上，两个顶点在ON上的有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)个．因为这是分类问题，所以用分类加法计数原理，共有Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)＝5×4＋10×4＋5×6＝90个．解法2：(间接法)先不考虑共线顶点的问题，从10个不同元素中任取3个点的组合数是Ceq\o\al(3,10)，但其中OM上的6个点(含O)中任取3个点不能得到三角形，ON上的5个点(含O)中任取3个点也不能得到三角形，所以共可以得到(Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,5))个三角形，即Ceq\o\al(3,10)－Ceq\o\al(3,6)－Ceq\o\al(3,5)＝120－20－10＝90个．解法3：把O看成是OM边上的点，先从OM上的6个点(含O)中取两点，ON上的4点(不含O)中取一点，有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)个三角形，再从OM上的5点(不含O)中取一点，从ON上的4点(不含O)中取两点，可得Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)个三角形，所以共有Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(1,5)·Ceq\o\al(2,4)＝15×4＋5×6＝90个三角形．在四棱锥P­ABCD中，顶点为P，从其他的顶点和各棱的中点中取3个，使它们和点P在同一平面上，不同的取法有(C)A．40种 B．48种C．56种 D．62种解析：满意要求的点的取法可分为3类：第1类，在四棱锥的每个侧面上除点P外任取3点，有4Ceq\o\al(3,5)种取法；第2类，在两个对角面上除点P外任取3点，有2Ceq\o\al(3,4)种取法；第3类，过点P的四条棱中，每一条棱上的两点和与这条棱异面的两条棱的中点也共面，有4Ceq\o\al(1,2)种取法．所以，满意题意的不同取法共有4Ceq\o\al(3,5)＋2Ceq\o\al(3,4)＋4Ceq\o\al(1,2)＝56(种)，选C.1．分组安排问题的求解策略【例4】有6本不同的书，按下列安排方式安排，则共有多少种不同的安排方式？(1)分成三组，每组分别有1本，2本，3本；(2)分给甲、乙、丙三人，其中一个人1本，一个人2本，一个人3本；(3)分成三组，每组都是2本；(4)分给甲、乙、丙三人，每人2本．【思路分析】解题的关键是要搞清事务是否与依次有关，对于平均分组问题要留意依次，避开计数的重复或遗漏．【解】(1)分三步：先选一本有Ceq\o\al(1,6)种选法，再从余下的5本中选两本有Ceq\o\al(2,5)种选法，最终余下的三本全选有Ceq\o\al(3,3)种选法．由分步乘法计数原理知，安排方式共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)＝60种．(2)由于甲、乙、丙是不同的三个人，在(1)问的基础上，还应考虑再安排问题．因此，安排方式共有Ceq\o\al(1,6)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(3,3)·Aeq\o\al(3,3)＝360种．(3)先分三组，有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种分法，但是这里面出现了重复，不妨记六本书为A，B，C，D，E，F，若第一组取了A，B，其次组取了C，D，第三组取了E，F，则该种方法记为(AB，CD，EF)，但Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(2,2)种分法中还有(AB，EF，CD)，(CD，AB，EF)，(CD，EF，AB)，(EF，CD，AB)，(EF，AB，CD)，共Aeq\o\al(3,3)种状况，而这Aeq\o\al(3,3)种状况只能作为一种分法，故安排方式有eq\f(C\o\al(2,6)·C\o\al(2,4)·C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15种．(4)在(3)问的基础上再安排即可，共有安排方式eq\f(C\o\al(2,6)·C\o\al(2,4)·C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝90种．【解后反思】本题是一道非常典型的“分组安排”问题，它的每一个小题都是一种类型，我们要仔细领悟．计数时常有下面的结论：“无对象的匀称安排”问题，只需按“有对象的匀称安排”问题列式后，再除以组数的全排列数，对于“无对象的非匀称安排”与“有对象的非匀称安排”问题，前者只需分步完成，后者先分组，后排列．某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要支配到该年级的两个班级且每班支配2名，则不同的支配方案种数有(D)A．6种 B．24种C．180种 D．90种解析：先把4名学生分两组有eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(2,2))＝3(种)，然后再把这两组给这6个班中的两个班有Aeq\o\al(2,6)＝30(种)，依据分步乘法计数原理得不同的支配方案种数有3×30＝90(种)．2．排列与组合的综合应用【例5】某艺校在一天的6节课中随机支配语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节，则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为_________(用数字作答)．【思路分析】分别计算课表上相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课和6节课随机排列的基本领件数，则概率易求．【解】相邻两节文化课之间分别间隔1节艺术课有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)种排法，三节文化课相邻有Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(4,4)种排法，三节文化课中两节相邻，与另一节之间间隔1节艺术课有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,2)种排法．故在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为eq\f(2A\o\al(3,3)A\o\al(3,3)＋A\o\al(3,3)A\o\al(4,4)＋C\o\al(2,3)A\o\al(2,2)A\o\al(3,3)C\o\al(1,3)A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(3,5).【解后反思】组合与排列的综合问题是高考重点考查的内容之一，题目有肯定的难度，求解时留意分清是组合问题还是排列问题，依据“先选后排”的原则进行．两人进行乒乓球竞赛，先赢3局者获胜，决出输赢为止，则全部可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不怜悯形)共有(C)A．10种 B．15种C．20种 D．30种解析：需依据竞赛的局数进行分类探讨．由题意可分3类：第1类，恰好打3局，共有2种情形；第2类，恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)＝6种情形；第3类，恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝12种情形．故全部可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种.1．从6名女生、4名男生中，按性别采纳分层抽样的方法抽取5名学生组成课外小组，则不同的抽取方法种数为(A)A．Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4) B．Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(3,4)C．Ceq\o\al(5,10) D．Aeq\o\al(3,6)·Aeq\o\al(2,4)解析：由已知女生抽取3人，男生抽取2人，则抽取方法有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(2,4)种．2．楼道里有12盏灯，为了节约用电，需关掉3盏不相邻的灯，则关灯方案有(C)A．72种 B．84种C．120种 D．168种解析：插空法，从9盏不关闭的灯组成的10个空隙中选3个位置，即需关闭的3盏灯的位置，有Ceq\o\al(3,10)＝120种．3．从4名男生和3名女生中选出4人担当奥运志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有34种．解析：(间接法)共有Ceq