2024-2025学年高中数学第三章概率单元质量评估一习题含解析新人教A版必修3

第三章单元质量评估(一)eq\o(\s\up7(时间：120分钟满分：150分),\s\do5())一、选择题(每小题5分，共60分)1．下列试验中是古典概型的是(C)A．随意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本领件B．在数轴上－1～2之间任取一点x，视察x是否小于0C．抛一枚质地匀称的硬币，视察其出现正面或反面的状况D．某人射击中靶或不中靶解析：A中尽管点数之和只有有限个取值：2,3，…，12，但它们不是等可能的；B中试验的基本领件有多数个；D中“中靶”“不中靶”不肯定是等可能发生的．因此，A，B，D都不是古典概型．故选C.2．已知某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，则下列说法正确的是(D)A．合格产品少于8件 B．合格产品多于8件C．合格产品正好是8件 D．合格产品可能是8件解析：某厂的产品合格率为0.8，现抽出10件产品检查，由概率的性质得：合格产品可能是8件．3．从装有两个红球和两个白球的口袋中任取两个球，那么互斥而不对立的两个事务是(D)A．“至少有一个白球”与“都是白球”B．“至少有一个白球”与“至少有一个红球”C．“至少有一个白球”与“都是红球”D．“恰有一个白球”与“恰有两个白球”解析：A选项错，事务“至少有一个白球”包含事务“都是白球”，则两事务不互斥，也不对立；B选项错，事务“至少有一个白球”与“至少有一个红球”的交事务为“一个白球和一个红球”，从而两事务不互斥，也不对立；C选项错，事务“至少有一个白球”与“都是红球”互斥且对立．易知D选项正确．4．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品．在正常生产状况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级品)的概率为(A)A．0.92B．0.95C．0.97D．0.08解析：记事务A：“生产的产品为甲级品”，B：“生产的产品为乙级品”，C：“生产的产品为丙级品”，则P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，且事务A，B，C两两互斥，P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，所以P(A)＝0.92，选A.5．打靶3次，事务Ai表示“击中i发”，其中i＝0,1,2,3.那么A＝A1∪A2∪A3表示(B)A．全部击中B．至少击中1发C．至少击中2发D．以上均不正确解析：A1∪A2∪A3所表示的含义是A1、A2、A3这三个事务中至少有一个发生，即可能击中1发、2发或3发，故选B.6．已知直线y＝x＋b的横截距在[－2,3]内，则该直线在y轴上的截距b大于1的概率是(A)A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)解析：由题意可知b∈[－3,2]，则依据几何概型的概率公式得，该直线在y轴上的截距b大于1的概率为eq\f(1,5).7．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球，则取出小球标注的数字之差的肯定值为2或4的概率是(C)A.eq\f(1,10)B.eq\f(3,10)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,4)解析：取两个小球的不同取法有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种，其中标注的数字之差的肯定值为2或4的有(1,3)，(2,4)，(3,5)，(1,5)，共4种，故所求的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).8．含甲、乙在内的4个人站成一排照相，甲在乙右边的概率为(C)A.eq\f(1,4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(3,5)解析：方法1：设这4人分别为甲、乙、丙、丁，则他们站成一排的全部基本领件为(甲、乙、丙、丁)，(甲、乙、丁、丙)，(甲、丙、乙、丁)，(甲、丙、丁、乙)，(甲、丁、乙、丙)，(甲、丁、丙、乙)，…，(丁、甲、乙、丙)，(丁、甲、丙、乙)，(丁、乙、甲、丙)，(丁、乙、丙、甲)，(丁、丙、甲、乙)，(丁、丙、乙、甲)，共24个．其中事务甲在乙右边的基本领件数为12，故所求概率为eq\f(1,2).方法2：整体法考虑，4个人站成一排照相，分甲在乙右边、甲在乙左边两个基本领件，从而甲在乙右边的概率为eq\f(1,2)，故选C.9．袋中有6个除颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球，从袋中任取2球，则2球的颜色为一白一黑的概率为(B)A.eq\f(1,5)B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)解析：从袋中任取2球共15种取法，2球的颜色为一白一黑的状况共6种，故所求概率为eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).10．已知集合A＝{x|2x2－x－3<0}，B＝{x|y＝lgeq\f(1－x,x＋3)}，在区间(－3,3)上任取一实数x，则x∈A∩B的概率为(C)A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,3)D.eq\f(1,12)解析：由2x2－x－3<0，得－1<x<eq\f(3,2).由eq\f(1－x,x＋3)>0，得eq\f(x－1,x＋3)<0，∴－3<x<1.∴A∩B＝{x|－1<x<1}，依据几何概型的概率计算公式易知所求概率为eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).11．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事务Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事务Cn的概率最大，则n的值为(B)A．2B．3或4C．4D．5解析：点P的全部可能坐标为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，共6个，其中点(1,1)在直线x＋y＝2上，点(1,2)，(2,1)在直线x＋y＝3上，点(1,3)，(2,2)在直线x＋y＝4上，点(2,3)在直线x＋y＝5上，故P(C2)＝eq\f(1,6)，P(C3)＝eq\f(2,6)，P(C4)＝eq\f(2,6)，P(C5)＝eq\f(1,6).故选B.12．小赵和小王约定在早上7：00至7：30之间到某公交站搭乘公交车去上学．已知在这段时间内，共有3班公交车到达该站，到站的时间分别为7：10,7：20,7：30，假如他们约定见车就搭乘，则小赵和小王恰好能搭乘同一班公交车去上学的概率为(A)A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,6)解析：设小赵到达公交站的时间为x，小王到达公交站的时间为y，则小赵和小王两人到达公交站的时刻(x，y)所对应的区域为如图所示的平面直角坐标系中面积最大的正方形，他们搭乘同一班公交车所对应的区域为图中的阴影部分，故所求概率为eq\f(1,3).二、填空题(每小题5分，共20分)13．一枚质地匀称的硬币连掷两次，只有一次出现正面的概率为eq\f(1,2).解析：全部结果为“正正”“正反”“反正”“反反”共四种，故所求概率为eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).14．小波通过做嬉戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于eq\f(1,2)，则周末去看电影，若此点到圆心的距离小于eq\f(1,4)，则去打篮球，否则在家看书，则小波周末不在家看书的概率为eq\f(13,16).解析：方法1：由题意知所求概率为eq\f(π×\f(1,4)2＋π－\f(1,2)2×π,π)＝eq\f(13,16).方法2：由题意知所求概率为1－eq\f(π×\f(1,2)2－π×\f(1,4)2,π)＝eq\f(13,16).15．在数字1,2,3,4这4个数中，任取2个不同的数，其和大于积的概率是eq\f(1,2).解析：在数字1,2,3,4这4个数中任取2个不同的数有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}共6个基本领件，其中和大于积的有3个，即{1,2}，{1,3}，{1,4}，故其和大于积的概率是eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).16．某商场在国庆期间进行购物换购活动：单次购物满108元干脆换购，不满108元通过转盘(如图)来确定是否有换购资格．规定当转盘指针指向区域A或B(包括边界)时即获得换购资格．已知区域A的弧长为eq\f(3πR,4)，区域B的弧长为eq\f(πR,6)(R为转盘半径)，则某顾客单次购物不满108元获得换购资格的概率为eq\f(11,24).解析：由已知得eq\f(\f(3πR,4),2πR)＝eq\f(3,8)，eq\f(\f(πR,6),2πR)＝eq\f(1,12)，又指针指向A，B区域不行能同时发生，故该顾客获得换购资格的概率为eq\f(3,8)＋eq\f(1,12)＝eq\f(11,24).三、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题10分)某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：射击次数n102050100200500击中靶心的频数m8194492178455击中靶心的频率eq\f(m,n)(1)在表中填写击中靶心的频率；(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？解：(1)表中各个频率依次是0.80,0.95,0.88,0.92,0.89,0.91.(2)由(1)可知，这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.90.18．(本小题12分)在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，求AM<AC的概率．解：如图，在AB上取AC′＝AC，则∠ACC′＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°.设事务A：“在∠ACB内部作一条射线CM，与线段AB交于点M，AM<AC”，是全部可能结果的区域角度为90°，事务A的区域角度为67.5°，所以P(A)＝eq\f(67.5,90)＝eq\f(3,4).19．(本小题12分)有两个大小相同、质地匀称的正四面体玩具，每个玩具的各个面上分别写着数字1,2,3,5，同时投掷这两个玩具一次，记n为两个朝下的面上的数字之和．(1)求事务“n不大于6”的概率；(2)事务“n为奇数”的概率和事务“n为偶数”的概率是不是相等？说明理由．解：因为玩具质地是匀称的，所以玩具各个面朝下的可能性相等，全部可能出现的状况共16种：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,5)．(1)事务“n大于6”包含(2,5)，(3,5)，(5,2)，(5,3)，(5,5)，共5个基本领件，所以所求概率为1－eq\f(5,16)＝eq\f(11,16).(2)事务“n为奇数”的概率和事务“n为偶数”的概率不相等．易知事务“n为奇数”的概率为eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)，则事务“n为偶数”的概率为1－eq\f(3,8)＝eq\f(5,8)，所以这两个事务的概率不相等．20．(本小题12分)海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是eq\f(6,50＋150＋100)＝eq\f(1,50)，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×eq\f(1,50)＝1,150×eq\f(1,50)＝3,100×eq\f(1,50)＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A，B1，B2，B3，C1，C2.则抽取的这2件商品构成的全部基本领件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}，共15个．每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本领件的出现是等可能的．记事务D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事务D包含的基本领件有{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个．所以P(D)＝eq\f(4,15)，即这2件商品来自相同地区的概率为eq\f(4,15).21．(本小题12分)一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1,2,3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3张，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a，b，c.(1)求“抽取的卡片上的数字满意a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率．解：(1)由题意知，(a，b，c)全部的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满意a＋b＝c”为事务A，则事务A包括(1,1,2)，(1,2,3)，(2,1,3)，共3种．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9).因此，“抽取的卡片上的数字满意a＋b＝c”的概率为eq\f(1,9).(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事务B，则事务eq\x\to(B)包括(1,1,1)，(2,2,2)，(3,3,3)，共3种．所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9