2024-2025学年高中数学第1章常用逻辑用语1.1命题与量词1.1.1命题学案新人教B版选修2-1

PAGEPAGE11．1.1命题1.了解命题的概念．2.理解命题的结构3.驾驭命题真假的推断．1．推断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)并非任何语句都是命题，只有能推断真假的陈述句才是命题．()(2)一个命题不是真命题就是假命题．()(3)有的命题只有结论没有条件．()答案：(1)√(2)√(3)×2．下列命题是真命题的是()A．全部素数都是奇数B．若a>b，则a－6>b－6成立C．对随意的x∈N，都有x3>x2成立D．方程x2＋x＋1＝0有实根答案：B3．有下列命题：①若a·b＝0，则a⊥b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③梯形的对角线相等．其中假命题有________(填序号)．答案：②③命题推断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；(2)集合{a，b，c}有3个子集；(3)这盆花长得太好了！【解】(1)“f(x)＝3x(x∈R)是指数函数”是陈述句并且它是真的，因此它是命题．(2)“集合{a，b，c}有3个子集”是陈述句，并且它是假的，所以它是命题．(3)“这盆花长得太好了！”是感叹句，它不是命题．eq\a\vs4\al()推断语句是否是命题的策略(1)命题是可以推断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题．(2)对于含变量的语句，要留意依据变量的取值范围，看能否推断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题．推断下列语句是否是命题，并说明理由．(1)求证π是无理数；(2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0；(3)一个数的算术平方根肯定是负数；(4)你是高三学生吗？解：(1)是祈使句，不是命题；(2)是陈述句，并且可以推断真假，故为命题；(3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数；(4)不是命题，因为它不是陈述句．命题真假的推断推断下列命题的真假．(1)若a>b，则a2>b2；(2)x＝1是方程(x－2)(x－1)＝0的根；(3)若a、b都是奇数，则ab必是奇数；(4)直线y＝x与圆(x－1)2＋y2＝1相切．【解】(1)为假命题，如a＝1，b＝－2时，有a>b，但a2<b2.(2)为真命题，由方程的根的定义，将x＝1代入方程，即可作出推断．(3)为真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)，则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1，明显2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数．(4)为假命题，圆心到直线的距离d＝eq\f(\r(2),2)小于圆的半径1，直线与圆相交．若将本例(3)中“ab”改为“a＋b”，则结果如何？解：取a＝3，b＝7，则a＋b＝10为偶数，故命题错误，为假命题．eq\a\vs4\al()推断命题真假的方法(1)真命题的判定方法要推断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如依据已学过的定义、公理、定理证明或依据已知的正确结论推证．(2)假命题的判定方法通过构造一个反例否定命题的正确性，这是推断一个命题为假命题的常用方法．推断下列命题的真假，并说明理由．(1)正方形既是矩形又是菱形；(2)当x＝4时，2x＋1＜0；(3)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0.解：(1)是真命题．由正方形的定义知，正方形既是矩形又是菱形．(2)是假命题．x＝4时，不满意2x＋1＜0.(3)是真命题．x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0.命题的推断与命题真假的推断推断下列语句中哪些是命题，是真命题还是假命题？(1)末位是0的整数能被5整除；(2)平行四边形的对角线相等且平分；(3)两直线平行，则斜率相等；(4)余弦函数是周期函数吗？【解】(1)是陈述句，且为真，故是命题且为真命题；(2)是命题．因为平行四边形的对角线不肯定相等，故是假命题；(3)是命题．因两直线平行时，可能直线的斜率都不存在，故是假命题；(4)因为该语句不是陈述句，所以该语句不是命题．推断下列语句是否为命题，是真命题还是假命题？(1)若平行四边形的边都相等，则它是菱形；(2)对顶角相等吗？(3)6>3；(4)x>3.解：(1)是陈述句，能推断真假，是真命题；(2)不是陈述句，不是命题；(3)是陈述句，能推断真假，是真命题；(4)是陈述句，但不能推断真假，故不是命题．1．推断一个语句是不是命题的关键要看是否是可以推断真假的陈述句．2．推断命题真假的思想(1)一个命题要么是真的，要么是假的，不能模棱两可．给出一个命题，推断它是真命题，需经过严格的推理．而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(2)数学中的定义、定理、公理、公式都是真命题．1.对于含有变量的语句，要留意依据变量的取值范围，看能否推断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.2．我们在通过举例子验证命题真假时，优先考虑特别情形，如探讨集合中的空集、数列中的n＝1及公比q＝1、向量中的零向量、直线中的斜率为零或不存在等状况．1．下列语句中命题的个数是()①地球是太阳的一颗行星；②0∉N；③|x＋a|>0；④x2>3.A．1 B．2C．3 D．4解析：选B．①②是命题，③④不是命题．2．下列命题是真命题的是()A．{∅}是空集B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x∈N||x－1|<3))是无限集C．π是有理数D．x2－5x＝0的根是自然数解析：选D．x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数．3．命题“△ABC是等腰三角形，则它的随意两个内角不相等”中的条件是________，结论是________，它是________命题(填“真”或“假”)．答案：△ABC是等腰三角形△ABC的随意两个内角不相等假4．下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有________．(填序号)①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边．解析：①是疑问句，不是命题；②是假命题，因为0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的状况．答案：②③②③[A基础达标]1．下列语句中，不能成为命题的是()A．5＞12B．x＞0C．已知a、b是平面对量，若a⊥b，则a·b＝0D．三角形的三条中线交于一点解析：选B．A是假命题；C、D是真命题，B中含变量x，未指定x的取值范围，无法推断真假，故不是命题．2．下列说法正确的是()A．命题“直角相等”的条件和结论分别是“直角”和“相等”B．语句“最高气温30℃时我就开空调”不是命题C．命题“对角线相互垂直的四边形是菱形”是真命题D．语句“当a＞4时，方程x2－4x＋a＝0有实根”是假命题解析：选D．对于A，改写成“若p，则q”的形式应为“若有两个角是直角，则这两个角相等”；B所给语句是命题；C的反例可以是“用边长为3的等边三角形与底边为3，腰为2的等腰三角形拼成的四边形不是菱形”来说明．故选D．3．下列命题中真命题的个数为()①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a＞b，则a＋c＞b＋c；④矩形的对角线相互垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：选A．①错；②中x＝3，y＝0，则xy＝0，但|x|＋|y|≠0，故②错；③正确；④中矩形的对角线相等不肯定相互垂直．4．下列命题正确的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>－b，则－a>bC．若ac>bc，则a>bD．若a>b，则a－c>b－c解析：选D．当c＝0时选项A不正确；a>－b时，－a<b，选项B不正确；当c<0时，选项C不正确；由不等式的性质知选项D正确，故选D．5．给出命题：方程x2＋ax＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a的一个值可以是()A．4 B．2C．0 D．－3解析：选C．方程无实数根时，应满意Δ＝a2－4<0，故当a＝0时符合条件．6．下列语句：①eq\r(2)是无限循环小数；②x2－3x＋2＝0；③当x＝4时，2x>0；④一个数不是合数就是质数；⑤把门关上．其中不是命题的是________．(填序号)答案：②⑤7．给出下列命题：①在△ABC中，若A＞B，则sinA＞sinB；②函数y＝x3在R上既是奇函数又是增函数；③函数y＝f(x)的图象与直线x＝a至多有一个交点；④若将函数y＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位，则得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的图象．其中真命题的序号是________．解析：①A＞B⇒a＞b⇒sinA＞sinB.②③易知正确．④将函数y＝sin2x的图象向左平移eq\f(π,4)个单位，得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))的图象．答案：①②③8．给出下列命题：①若直线l⊥平面α，直线m⊥平面α，则l⊥m；②若a，b都是正实数，则a＋b≥2eq\r(ab)；③若x2＞x，则x＞1；④函数y＝x3是指数函数．其中假命题的序号为________．解析：①明显错误，所以①是假命题；由基本不等式，知②是真命题；③中，由x2＞x，得x＜0或x＞1，所以③是假命题；④中函数y＝x3是幂函数，不是指数函数，④是假命题．答案：①③④9．推断下列命题的真假：(1)若xy＝1，则x、y互为倒数；(2)对角线垂直的平行四边形是正方形；(3)平行四边形是梯形；(4)若ac2>bc2，则a>b.解：(1)由倒数的定义知，为真命题．(2)对角线垂直的平行四边形不肯定为正方形，如菱形，故为假命题．(3)由梯形定义知，为假命题．(4)由不等式的性质知，为真命题．10．推断下列语句是否是命题，若是，推断其真假．(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(2)当x＝3时，x＋4<0；(3)求证：若x∈R，方程x2－x＋1＝0无实根．解：(1)是命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，因此是一个假命题．(2)是命题，它是一个假命题．(3)不是命题，它是祈使句．[B实力提升]11．下列语句：①3>2；②π是有理数吗？③sin30°＝eq\f(1,2)；④x2－1＝0有两个根，其中一个根为x＝－1；⑤x>eq\r(5).其中是命题的有()A．①②③ B．①③④C．③ D．②⑤解析：选B．①是真命题；②是疑问句不是命题；③是真命题；④也是真命题；⑤不能推断真假，不是命题．故选B．12．关于平面对量a，b，c，下列三个命题：①若a·b＝a·c，则b＝c；②若a＝(1，k)，b＝(－2，6)，a∥b，则k＝－3；③非零向量a和b满意|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为60°.其中真命题的序号为________．解析：对于①，向量在等式两边不能相消，也可举反例：当a⊥b且a⊥c时，a·b＝a·c＝0，但此时b＝c不肯定成立；对于②，有eq\f(1,－2)＝eq\f(k,6)，得k＝－3；对于③，依据平行四边形法则，画图可知a与a＋b的夹角应为30°，而不是60°.答案：②13．推断下列命题的真假：(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,2)))在[0，π]上是减函数．解：(1)y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝sin2x－cos2x＝－cos2x.T＝eq\f(2π,2)＝π，故为真命题．(2)y＝sineq\b\lc\(\rc\