2024-2025学年新教材高中数学第1章集合与常用逻辑用语1.1集合1.1.2集合的基本关系学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE1-1.学习目标核心素养1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)2．能识别给定集合的子集、真子集．3．了解维恩图的含义，会用Venn图表示两个集合间的关系．1.通过对集合之间包含关系与相等的含义以及子集，真子集概念的理解，培育数学抽象素养．2．借助子集和真子集的求解，培育数学运算及逻辑推理的数学素养．3．利用Venn图，培育直观想象数学素养．草原上，蓝蓝的天上白云飘，白云下面马儿跑．假如草原上的枣红马组成集合A，草原上的全部马组成集合B.问题(1)那么集合A中的元素与集合B中的元素的关系是怎样的？(2)集合A与集合B又存在什么关系？1．维恩图一般地，假如用平面上一条封闭曲线的内部来表示集合，那么可作出示意图来形象地表示集合之间的关系，这种示意图称为维恩图．维恩图的优点及其表示(1)优点：形象直观．(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．2．子集、真子集、集合相等的相关概念思索：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？[提示](1)不确定，如集合A＝{0，1，2}，B＝{－1，0，1}，这两个集合就没有包含关系．(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；而“⊆”表示集合与集合之间的关系．[拓展](1)若A⊆B，则A有以下三种状况：①A是空集；②A是由B的部分元素组成的集合；③A是由B的全部元素组成的集合．故不能简洁地认为“若A⊆B，则A是由B的部分元素组成的集合”．(2)是随意一个集合的子集．(3)是随意非空集合的真子集，这里强调的是“非空”两字，解题时不能丢掉空集这一状况．(4)任何集合都确定有子集，但是不确定有真子集．空集没有真子集，一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.3．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C.①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；②若AB，BC，则AC；③若A⊆B，A≠B，则AB.1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)任何集合至少有两个子集． ()(2){0，1，2}⊆{2，0，1}． ()(3)若A⊆B，且A≠B，则AB. ()(4)集合{0，1}的子集是{0}，{1}，{0，1}． ()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．下列命题：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若A，则A≠.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3B[在①中，空集的子集是空集，故①错误；在②中，空集只有一个子集，还是空集，故②错误；在③中，空集是任何非空集合的真子集，故③错误；在④中，若A，则A≠，故④正确．故选B.]3．已知集合P＝{x|0≤x≤2}，且M⊆P，则M可以是()A．{0，1} B．{1，3}C．{－1，1} D．{0，5}A[A.0∈P，1∈P，则M⊆P成立；B．3P，则M⊆P不成立；C．－1P，则M⊆P不成立；D．5P，则M⊆P不成立；故选A.]4．(教材P14练习B③改编)已知集合A{2018，2019}，则这样的集合A共有________个．3[满意A{2018，2019}的集合A为：，{2018}，{2019}，共3个．]集合间关系的推断【例1】(1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0，1，2}；②{0，1，2}⊆{2，1，0}；③⊆{0，1，2}；④＝{0}；⑤{0，1}＝{(0，1)}；⑥0＝{0}．A．1 B．2C．3 D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1，1}，B＝{(－1，－1)，(－1，1)，(1，－1)，(1，1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．(1)B[对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0，1，2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以{0}；对于⑤，{0，1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0，1)}是以有序数组(0，1)为元素的单元素集合，所以{0，1}与{(0，1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的，应选B.](2)[解]①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.法二：由列举法知M＝{1，3，5，7，…}，N＝{3，5，7，9，…}，所以NM.,集合间基本关系判定的两种方法和一个关键eq\a\vs4\al([跟进训练])1．推断下列两个集合之间的关系：(1)A＝{1，2，4}，B＝{x|x是8的约数}；(2)A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}；(3)A＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，B＝{x|x＝2k－1，k∈Z}．[解](1)∵A＝{1，2，4}，B＝{1，2，4，8}，如图，∴AB(A⊆B亦可，但AB更精确).(2)∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|－1＜x≤3}，用数轴表示如下：∴AB.(3)法一：任取x0∈A，则x0＝2k0＋1，k0∈Z.又∵x0＝2(k0＋1)－1，k0∈Z，∴k0＋1∈Z，∴x0∈B，则A⊆B.同理可得，B⊆A.由A⊆B，B⊆A，得A＝B.法二：集合A＝{…，－5，－3，－1，1，3，5，7，…}，集合B＝{…，－7，－5，－3，－1，1，3，5，…}，依据规律可知集合A与B所含元素相同，所以A＝B.集合的子集、真子集的个数问题【例2】(教材P11例1改编)(1)写出集合{a，b，c，d}的全部子集；(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有多少个子集？多少个真子集？验证你的结论．[解](1)，{a}，{b}，{c}，{d}，{a，b}，{a，c}，{a，d}，{b，c}，{b，d}，{c，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{b，c，d}，{a，b，c，d}．(2)若一个集合有n(n∈N)个元素，则它有2n个子集，2n－1个真子集．如，有一个子集，0个真子集．为了排列时不重不漏，要讲究列举依次，这个依次有点类似于从1到100数：先是一位数，然后是两位数，在两位数中，先数首位是1的等等．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．适合条件{1}⊆A{1，2，3，4，5}的集合A的个数是()A．15B．16C．31 D．32A[这样的集合A有{1}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，3，4，5}共15个．]利用集合关系求参数的值或取值范围[探究问题]1．集合A＝[m，2m－1]，集合A[提示]当m≤2m－1，即m≥1时集合A非空；当m＜1时，A＝.2．已知区间A＝(－∞，2]和B＝(－∞，a)，且B⊆A，则实数a的取值范围是什么？[提示]借助数轴可知a≤2.【例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m(1)若BA，求实数m的取值范围；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围．[思路点拨]两个集合都是连续型的无限集，可考虑用数轴来表示．[解](1)①当B≠，如图所示．∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≥－2，,2m－1＜5，,2m－1≥m＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＞－2，,2m－1≤5，,2m－1≥m＋1，))解这两个不等式组，得2≤m≤3.②当B＝时，由m＋1＞2m－1，得m＜2.综上可得，m的取值范围m≤3.(2)当A⊆B时，如图所示，此时B≠.∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1＞m＋1，,m＋1≤－2，,2m－1≥5，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＞2，,m≤－3，,m≥3，))∴m不存在．即不存在实数m使A⊆B.类似本题的设问，我们还可以得到下列的问题：(1)(变条件)若AB，求实数m的取值范围；(2)(变条件)若B⊆A，求实数m的取值范围．[解](1)若AB，则集合B确定不是空集，则有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1≤－2，,2m－1＞5，,2m－1＞m＋1))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＋1＜－2，,2m－1≥5，,2m－1＞m＋1，))无解，∴m不存在．即不存在实数m使AB.(2)由B⊆A得，①若B＝，则m＋1＞2m－1，即m＜2，此时满意B⊆A；②若B≠，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2m－1≥m＋1，,m＋1≥－2，,2m－1≤5.))解得2≤m≤3.由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为{m|m≤3}．,利用集合间的关系求参数的方法,已知两个集合之间的关系求参数时，要依据集合间的关系来确定元素之间的关系，需关注子集是否为空集．一般地，当集合为有限集时，往往通过列方程或方程组来处理，此时需留意集合中元素的互异性；当集合为连续型无限集时，常常利用核心素养中的直观想象，借助数轴列不等式或不等式组来求解，要留意运用分类探讨、数形结合等思想方法，尤其需留意端点值能否取到．学问：1．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A，能推出x∈B，这是推断A⊆B的常用方法．(2)不能简洁地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的全部元素．(3)在真子集的定义中，AB首先要满意A⊆B，其次至少有一个x∈B，但xA.2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以依据子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．方法：数形结合法：借助维恩图或数轴解决集合的基本关系问题．1．下列集合中，结果是空集的是()A．{x∈R|x2－1＝0} B．{x|x＞6或x＜1} C．{(x，y)|x2＋y2＝0} D．{x|x＞6且x＜1}D[A.{x∈R|x2－1＝0}＝{1，－1}，B．{x|x＞6或x＜1}不是空集，C.{(x，y)|x2＋y2＝0}＝{(0，0)}，D．{x|x＞6且x＜1}＝，故选D.]2．集合P＝{x|x2－1＝0}，T＝{－1，0，1}，则P与T的关系为()A．P⊆T B．P∈TC．P＝T D．PTA[集合P＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，T＝{－1，0，1}，∴P⊆T，故选A.]3．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，那么()A．若a＝3，则A⊆B B．若A⊆B，则a＝3C．若a＝3，则AB D．若A⊆B，则a＝2A