高考线性规划题型归纳

线性规划常见题型及解法

一、线性约束条件，探求线性目标关系最值问题

2xx-yQ2

例1、设变量X、y满足约束条件L-y>-1,那么z=2x+3y的最大值

x+y>1

为.

解析：如图1,画出可行域,得在直线2x-y=2与直线x-y=-l的交点

A(3,4)处，目标函数z最大值为18

点评：此题主要考查线性规划问题，由线性约束条件画出可行域，然

后求出目标函数的最大值.，是一道较为简单的送分题.数形结合是

数学思想的重要手段之一.

习题1、假设x、y满足约束条那么的取值范

甯是()z=x+2y

A、[2,6]B、[2,5]C、[3,6]D、（3,5]

解：如图，作出可行域，作直线1：x+2y=0,将

1向右上方平移,过点A(2,0)时,有最小值

2,过点B(2,2)时，有最大值6,应选Ax=2

二、线性约束条件，探求非线性目标关系最值问题

例2、k-y+1<0,那么IJX2+>2的最小值是2x

-y-2<0

解析：如图2,只要画出满足约束条件的可行域，

而X2十丁2表示可行域内一点到原点的距离的平yf/

方,由图易知A(1,2)是满足条件的最优解.X2+p=1

"的最小值是为5.图2

点评：此题属非线性规划最优解问题•求解关键是在挖掘

目标关系几何意义的前提下，作出可行域,寻求最优解.

2x+y-2>0

习题2、X、y满足以下约束条件<x-2y+4>0,贝U

3x一y一3<0

z=x2+y2的最大值和最小值分别是()

A、13,1B、13,2

C、13,4D、右，空

55

解：如图，作出可行域,Xz+y2是点(x,y)到原点的

距离的平方,故最大值为点A(2,3)到原点的距

离的平方，即|A0|2二13,最小值为原点到直线2x+y

—2=0的距离的平方，即为4,选C

5

练习2、X,y湎足卜+2y—5<0,那么上的最大值为,最<x>1.

><>0X

x-2y-3>0

小值为-

2,0

三、设计线性规划，探求平面区域的面积问题

例3、在平面直角坐标系中，不等式组

'x+y-2<0

L一出>。表示的平面区域的面积是()

Iy>0一

(A)4<2⑻4(C)2<2(D)235

x+y-2<

0

解析：如图6,作出可行域，易知不等式组I一，+2〉。表

示的平面区

y>0

域是一个三角形.容易求三角形的三个顶点坐标为A

(0,2),

B(2,0),C(-2,0),于是三角形的面积为：sJBC

1M0」x4X2=4从而

22

选B.

点评：有关平面区域的面积问题，首先作出可行域,探求平

面区域图形的性质；其次利用面积公式整体或局部求解

是关键.

2x+y-6>0

习题3、不等式组x+y-3<0表示的平面区域的面yV2

积为U

A、4B、1C、5D、无穷大

解：如图，作出可行域,4ABC的面积即为所求，由梯形

OMBC的面积减去梯形OMAC的面积即

可，选B

四、平面区域,逆向考查约束条件.

例4、双曲线X2.w=4的两条渐近线与直线x=3围

成一个三角形区域，表示该区域的不等式组是()

x-y<0

fx-y>0fx_y>0©<x+y<0(D)

(A)<%+(B)<x"y0<x<3

y>0<0x-y<0

<x+y>00<x<3

解析：双曲线x2->2=4的两条渐近线方程为y=±x,

与直线x=3围成一个三角形区域(如图4所示)时有

卜-4・.

<x+y>0

0<x<3

点评：此题考查双曲线的渐近线方程以及线性规划问题.验

证法或排除法是最效的方法.

习题4、如下图，表示阴影局部的二元一次不等式组是

y>—2y>-2

A.["-2B.C.[—2D.

<3x-2j+6>0<3x-2j+6>O<3x—2y+6>0<3%-2y+6<0

x<0x<0x<0x<0

五、约束条件设计参数形考查目标函数最值范围问题.

式，

例5、在约束条件j；:0下，当3Vs<5时，目y+x<sy+2x<4

标函数z=3x+2y的最大值的变化范围是()仔C

y+2x=4

'一[6,15]B-[7,15]C.[6,81D.[7,8]/

解析：画出可行域如图3所示,当3<广4时，目标X+?7收

函数/=3x+2)，在3(4-s,2s—4)处取得最大值，

即z=3(4-s)+2(254)=s+4e[7,8)；当4vs<5时\目标小、

函数z=3x+2y在点七(0常处取得最大值，即Z二

3x0+2x4二京，故ze[7,8],从而选D;max

点评：此题设计有新意，作出可行域，寻求最优解条件，然后转化为

目标函数Z关于S的函数关系是求解的关键.

六、求约束条件中参数的取值范围例6、|2x—y+m|<3表示的平

面区域包含点(0,0)和

—3<0

由右图可知lm+3>3,故0<m<3,选C

Im—3<0

习题6、不等式|2x+y+加1<3表示的平面区域包含点(0,0)和点(T,l),

那么加的取值范围是0

A.-2<tn<3B-0<m<6C.-3<<6D.0<m<3

七、最优解成立条件，探求目标函数参数范围问题.

例7、变量X”满足约束条件｛Yx：

：42.假设目标函数/二〃x+y（其中a>0）

仅在点(3,1)处取得最大值,那么a的取值范围为.

解析：如图5作出可行域，由z=ax+yny=—ax+z其表不为斜率为

_a,纵截距为Z的平行直线系，要使目标函数z=or+y(其中人0)仅

在点(3,1)处取得最大值.那么直线)，:一办+z过人点且在直线x+

y=4,%-3(不含界线)之间.

艮口Tv—71.那么。的取值范围为

点评：此题通过作出可行域,在挖掘r与z的几何意义的条件下，借

助用数形结合利用各直线间的斜率变化关系,建立满足题设条件的a

的不等式组即可求解.求解此题需要较强的根本功，同时对几何动态

问题的水平要求较高.

__...|X+y>5

习题7、x、y满足以下约束条件JA—y+5Vo,

使z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数

个，贝Ua的值为()

A、-3B、3C、-1D、1

解：如图，作出可行域，作直线1：x+ay=0,要使目标函数

z=x+ay(a>0)取得最小值的最优解有无数个,那么将1向右

上方平移后与直线x+y=5重合，故a=1,选D

八、研究线性规划中的整点最优解问题

例8、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和

(5x-11y>—22,

y须满足约束条件bx+3y>9,贝L-IOX+10)，的最大

2x<11.

值是(A)80(B)85(C)90(D)95解析：如图

7,作出可行域，由/-10x+10ynj-x+ZC,它表示为斜率

10

为-1,纵截距为三的平行直线系,要使z.lOx+10)，最得最大值.当直线

10

z-10x+10y通过411,2)z取得最大值.由于cN,故A点不是最优整数解.

于是考虑可行域内人点附近整点B⑸4),C