函数的基础知识

第一节函数的基础知识

一、知识梳理

(一)函数的基本概念

1.函数的三要素

(1)函数的定义域、值域

在函数)，=/(/),中，工叫做自变量，X的取值范围A叫做函数的定义域；与X的

值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合｛f(x)|x£A｝叫做函数的值域.显然，值域是

集合8的子集.

(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域.

(3)常见函数定义域的求法

3.函数定义域的求法

类型X满足的条件

弋1f(x)，n£N*

山)与6切04)工0

/M>0

logrtf(x)

四则运算组成的函数各个函数定义域的交集

实际问题使实际问题有意义

例1.函数/(x)=Jl-2'+/1的定义域为

().

yjx+3

A.(-3,0]B.(-3,1]

C.(—00,—3)U(—3,01D.(f,-3)U(-3,1]

/<1

例1.【答案】A.解析：要使函数式有意义，需

x+3>0T>-3\x>一3,

则函数/(')的定义域为(-3,0].故答案为：A.

例2.函数/(x)=A/l-log2x的定义域为.

log,x-1>0

例2.【答案】(0,2].解析：要使函数f(x)有意义，则＜62,解得0v%«2,

x>0

即函数f(x)的定义域为(0,2].

y'

例3.已知函数/。9)定义域是[0.1,100],则函数--的定义域是().

A.[-1,2]B.[-2,4]C.[0.1,100]D.

例3.【答案】B.解析：

Y

由已知可得怛0.1〈1然工联00=>—1w1&^20—1£—42=>—24%04,故选乩

2

例4.已知函数y=/(2x+3)的定义域是[—1,2],则y=/(&)的定义域是().

A.[9,49]B.[0,36]C.[1,49]D.[1,4]

例4.【答案】C.解析：由条件知：〃x+l)的定义域是[-2,3],则1K2X+3K7,

所以WXG[1,49].

4.函数值域的求法

方法示例示例答案

-9-

配方法y=x2+x-2ye——,+oo

_4

单调性法y=x+yjx-2ye[2g)

「3J

换元法y=sin2x+sinx+l

X

分离常数法y—ye(-oo,l)u(l,-K»)

x+1l

求函数的值域：①当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常

数法；②若与二次函数有关，可用配方法；③当函数的图象易画出时，可以借助于图象求解.

5.函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法、列表法.

例5.己知/⑶是一次函数，且满足3/(x+l)—2/(x—l)=2x+17.求/").

(1)F(x)是一次函数，设/(x)=or+优。工0),则

3f(x^-\)—2f(x—l)=3ax-h3a+3b—2ax+2a—2b=ax+5a-^-b

[a=2[a=2

即如+5。+人=2为+17不论X为何值都成立，所以1f「解得匕r，

[5〃+b=17[b=7

故/(x)的解析式为/(x)=2x+7.

例6.若/(工+1)=2/+1,则/(x)=.

例6.【答案】2x2—4x+3.解析：令t=x+l,则x=t—l,所以f(I)=2(t—1)2+

l=2t2-4l+3.所以f(x)=2x2—4x+3.

例7.己知/(力+2/仁]=31一2,求f(x)的解析式.

Ixj

例7.【答案】/(%)二一—X--.解析

XJ

由题意得，f(x)12/；)=3x2①,

I门、

令上代换％,代入得，f-+2/(x)=1一2②，

2_2

由①②联立方程组，解得了(》)=――X

X~3'

6.分段函数：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数通常叫分段

函数.

分段函数及其应用

/、f(3-tz)x,xe(-oo,l1是(e,y)上的增函数，那么。的取值范围

例8.己知/(x)=L

a,xe(l,+oo)

是().

「3、

A.(0,3)B.(1,3)C.(l,+oo)D.—,3

//

例8.【答案】D.解析：

3-。>0

3

若分段函数在(YO,+O。)上是单调递增函数，需满足,解得：~<a<3,故

3-a<a

选D.

例9.已知函数/(x)=<贝谶足不等式/(1一/)>〃2x)的x的范围是

().

数，记为g于,以X为定义域，Z为值域，并将任意xcX映射为g(/(x)).

复合函数单调性的判断法则：,,同增异减”.

利用定义证明单调性

例10.已知函数的定义域是R,对任意实数工，%均有f(x+y)=/(x)+/(y),

且/>0时，/(x)>0.证明：/*)在R上是增函数；

例10.【答案】见解析.解析：

设玉<%2，则％2一司>0，当了>0时，y(x)>o=>f(x2-xi)>o,

f(x2)-/(Xj)=/(XJ-^+A,)-/(X)=f(x2-xi)+/(X,)-f(x])=f(x2-xi)>0t

即/(x2)-/U,)>0=>f(x.)>f(xj,则函数在R上是增函数.

例11.已知函数=，则f(x)是().

A.偶函数，且在R上是增函数B.奇函数，且在R上是增函数

C.偶函数，且在R上是减函数D.奇函数，且在R上是减函数

例11.【答案】B.解析:函数的定义域为R,关于坐标原点对称,解析式/(X)=3'-(3)T,

则/(一6=3-'-(31=-/(x),据此可知函数为奇函数,且y=3\y=-(3尸均为单调

递增函数，故函数/(x)=3*-(g)是增函数，综上可得：f(x)是奇函数，且在我上是增

函数.故答案为：B.

例12.函数/(6=①(*22x8)的单调递增区间是().

A.(-8,-2)B.(-00,-1)C.(1,+00)D.(4,+00)

例12.【答案】D.解析：由x2-2x-8>0得：xG(-oo,-2)U(4,+oo),令t=x2

-2x-8,贝l]y=lnt,VxE(-oo,-2)时，t=xz-2x-8为减函数；xG(4,+oo)时，t=x2

-2x-8为增函数；y=kit为增函数，故函数f(x)=ln(x2-2x-8)的单调递增区间是(4,

+<x>),故选：D.

2.函数的奇偶性

(1)奇、偶函数的概念

一般地，如果对于函数/(x)的定义域内任意一个x,都有/(一.。=/(力，那么函数

/(X)就叫做偶函数.

一般地，如果对于函数〃冗)的定义域内任意一个X,都有〃-力=一/(冗)，那么函

数就叫做奇函数.

奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称.

例13.若兑ywR,且f(x+y)=/(x)+/(y)，则().

A.40)=0且"X)为偶函数B."0)=0且"X)为奇函数

c./(X)为增函数且为奇函数D.f(x)为增函数且为偶函数

例13.【答案】B.解析：由题意得，令x=y=0,则〃0)=2/()),解得/(0)=0,

令丁=一无，则/⑼=/(力+〃-工)=0,即/(式A/N)，所以函数/(x)为奇函数，

故选B.

(2)奇、偶函数的性质

①奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单

调性相反.

②在公共定义域内，两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数

的和、积都是偶函数；一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数.

③更合函数的奇偶性可以概括为“同奇则奇，一偶则偶”

注意：①定义域关于原点对称，”函数的定义域关于原点对称”是函数具有奇偶性的必

要不充分条件.

②/(0)=0是/(x)为奇函数的既不充分也不必要条件.但奇函数/(无)在x=0处有

意义，必有〃o)=o.

3.函数的周期性

(1)周期函数：对于函数y=/(x),如果存在一个非零常数T，使得当工取定义域

内的任何值时，都有/(x+7)=f(x)，那么就称函数y=/(x)为周期函数，称丁为这个

函数的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函数了(力的所有周期中存在一个最小的正数，那么这

个最小正数就叫做/(x)的最小正周期.

(3)由周期函数的定义，采用迭代法可得结论：

①函数/(尤)满足/(工+。)=一/(力，则/(x)是周期为2〃的函数;

②若〃x+a)=土刀F(。工。)恒成立，则T=2a；

③若f(X+Q)=/(X-Q),则7=2〃；

④若小+小一高少