2025年外研衔接版高二数学上册月考试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研衔接版高二数学上册月考试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、函数在上递增，则的范围是（）A.B.C.D.2、用秦九韶算法计算多项式f（x）=6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+7在x=0.6时的值时；需做加法与乘法的次数和是（）

A.12

B.11

C.10

D.9

3、随机变量服从正态分布若则（）A.B.C.D.4、函数R）是（）A.周期为的奇函数B.周期为的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数5、【题文】若复数是纯虚数，则实数的值为()A.或B.C.D.或6、【题文】设函数且其图像关于直线对称，则（）A.的最小正周期为且在上为增函数B.的最小正周期为且在上为减函数C.的最小正周期为且在上为增函数D.的最小正周期为且在上为减函数7、【题文】在下列各组向量中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（）A.B.C.D.8、有5盆互不相同的玫瑰花，其中黄玫瑰2盆、白玫瑰2盆、红玫瑰1盆，现把它们摆放成一排，要求2盆白玫瑰不能相邻，则这5盆玫瑰花的不同摆放种数是（）A.120B.72C.12D.36评卷人得分二、填空题(共9题，共18分)9、如图；PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F；

给出下列结论：

①BC⊥面PAC；

②AF⊥面PCB；

③EF⊥PB；

④AE⊥面PBC．

其中正确命题个数是____个．

10、已知M（1，0）、N（-1，0），直线2x+y=b与线段MN相交，则b的取值范围是____．11、过点（3，-2）且与X轴平行直线方程为____．12、设函数f(x)＝(x>0)，观察f1(x)＝f(x)＝f2(x)＝f[f1(x)]＝f3(x)＝f[f2(x)]＝f4(x)＝f[f3(x)]＝根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________.13、【题文】从某小学随机抽取100名同学，将他们的身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）．若要从身高在[120,130），[130，140),[140,150]三组内的学生中，用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高在[140，150]内的学生中选取的人数应为____14、【题文】从3名男生和名女生中，任选3人参加比赛，已知在选出的3人中至少有1名女生的概率为则=____.15、【题文】袋中装有大小相同的总数为5的黑球、白球，若从袋中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率是则至少得到1个白球的概率是____.16、平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，∠A1AD=∠A1AB=120°，则对角线BD1的长度为______．17、将五进制数412（5）化为七进制数，结果为______（7）．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

22、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）23、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）24、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共4题，共36分)25、（8分）由直线上的点A向圆引切线，切点为P，求的最小值.26、(本小题12分)a，b，c为△ABC的三边，其面积S△ABC＝12bc＝48，b－c＝2，求a；27、在四棱锥A-BCDE中；底面BCDE为平行四边形，平面ABE⊥平面BCDE，AB=AE，DB=DE，∠BAE=∠BDE=90°

（1）求异面直线AB与DE所成角的大小；

（2）求二面角B-AE-C的余弦值．28、已知圆C：x2+（y-1）2=5；直线l：mx-y+1-m=0．

（1）求证：对任意的m；直线l与圆C总有两个不同的交点；

（2）设l与圆C交于A，B两点，若|AB|=求l的倾斜角；

（3）求弦AB的中点M的轨迹方程．评卷人得分五、计算题(共1题，共8分)29、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．评卷人得分六、综合题(共1题，共6分)30、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、D【分析】试题分析：恒成立，当时，即恒成立，所以即故选D．考点：恒成立问题【解析】【答案】D2、A【分析】

∵f（x）=6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+7=（（（（（6x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x+7

∴需做加法与乘法的次数都是6次；

故需做加法与乘法的次数和为6+6=12．

故选A．

【解析】【答案】根据秦九韶算法求多项式的规则变化其形式，把6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x+7等到价转化为（（（（（6x+5）x+4）x+3）x+2）x+1）x+7；就能求出结果．

3、C【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于随机变量服从正态分布若则可知1-0.4=0.6，故可知答案为C.考点：正态分布【解析】【答案】C4、B【分析】）函数R）是周期为的偶函数.【解析】【答案】B5、C【分析】【解析】

试题分析：由题意可知复数是纯虚数，则解得故选C.本题的要注意纯虚数的定义；实部为零并且虚部不为零.这两条件要同时满足，往往容易漏掉虚部不为零的条件.

考点：1.纯虚数的概念.2.解二次方程与二次不等式.【解析】【答案】C6、B【分析】【解析】

试题分析：∵函数图像关于直线对称；

∴函数为偶函数，∴∴∴

∵∴∴函数在上为减函数.

考点：1.三角函数式的化简；2.三角函数的奇偶性；3.三角函数的周期；4.三角函数的单调性.【解析】【答案】B7、B【分析】【解析】

试题分析：可以作为基底的向量需要是不共线的向量，可以从向量的坐标发现A，B，D选项中的两个向量均共线，得到正确结果是B，由于零向量与任何向量共线，故不成立，选项C中，由于是共线向量，故不成立，对于选项D,由于也是共线向量；故可知选B.

考点：平面向量的基底。

点评：由于向量有几何法和坐标法两种表示方法，所以我们应根据题目的特点去选择向量的表示方法，由于坐标运算方便，可操作性强，因此应优先选用向量的坐标运算【解析】【答案】B8、B【分析】【解答】第一步：先摆黄玫瑰和红玫瑰，摆法有种；第二步：再摆白玫瑰，由于黄玫瑰和红玫瑰之间有4个位，则有摆法种，所以这5盆玫瑰花的不同摆放种数是种。故选B。

【分析】关于排列和组合的题目，常用到捆绑法和插位法。捆绑法是将一些对象看作一个对象进行排列；插位法是将一些对象进行排列后，再对剩下的对象进行排列。本题用到插位法。二、填空题(共9题，共18分)9、略

【分析】

∵PA⊥平面ABC；BC⊂平面ABC

∴PA⊥BC

∵AB为⊙O的直径；∴AC⊥BC

∵PA；AC是平面PAC内相交直线。

∴BC⊥平面PAC①；

结合AF⊂平面PAC；得AF⊥BC

∵AF⊥PC；且PC；BC是平面PBC内的相交直线。

∴AF⊥面PCB②；

∵PB⊂平面PCB；∴AF⊥PB；

∵AE⊥PB；AE；AF是平面AEF内的相交直线。

∴PB⊥平面AEF

结合EF⊂平面AEF；得EF⊥PB③．

由以上的证明可知：①②③正确；而④是错误的。

故答案为3

【解析】【答案】根据线面垂直的判定；可证出BC⊥平面PAC，从而AF⊥BC，结合已知条件得AF⊥面PCB．最后可证明PB⊥平面AEF，从而得到EF⊥PB，故正确的命题为①②③．

10、略

【分析】

M（1，0）、N（-1，0），直线2x+y=b与线段MN相交；

就是直线与线段有公共点时；直线在y轴上的截距的范围；

因为直线是平行直线系；

所以（1，0）代入直线方程可得b=2；

（-1，0）代入直线方程可得b=-2；

所以b的范围是[-2；2]．

故答案为：[-2；2]．

【解析】【答案】要求b的范围；就是求直线与线段有公共点时，直线在y轴上的截距的范围．

11、略

【分析】

过点（3；-2）且与X轴平行直线方程为y=-2

故答案为y=-2

【解析】【答案】根据与x轴平行的直线的方程形式为y=a；得到过点（3，-2）且与X轴平行直线方程．

12、略

【分析】先求分母中x项系数组成数列的通项公式，由1,3,7,15，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1，又函数结果分母中常数项依次为2,4,8,16，，故其通项公式为bn＝2n.∴fn(x)＝【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】

试题分析：∵直方图中各个矩形的面积之和为1；

∴10×（0.005+0.035+a+0.02+0.01）=1；

解得a=0.03．

由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×（0.03+0.02+0.01）=60人．

其中身高在[140；150]内的学生人数为10人；

所以身高在[140，150]范围内抽取的学生人数为人．

考点：频率分布直方图．

点评：本题考查频率分布直方图的相关知识．直方图中的各个矩形的面积代表了频率，所以各个矩形面积之和为1．同时也考查了分层抽样的特点，即每个层次中抽取的个体的概率都是相等的.【解析】【答案】3人14、略

【分析】【解析】

试题分析：依题意在选出的3人中至少有1名女生的概率为即所以所以

考点：1.概率问题.2.正难则反的数学思想.【解析】【答案】415、略

【分析】【解析】

试题分析：设白球有个，则从袋中任意摸出2个球，得到的都是白球的概率是解得先求从袋中任意摸出2个球，得到的都是黑球的概率是因此至少得到1个白球的概率是

考点：古典概型概率【解析】【答案】16、略

【分析】解：平行六面体ABCD-A1B1C1D1的侧棱长都为底面ABCD为正方形；

且AA1和AB与AD的夹角都等于120°，那么AA1在底面ABCD上的射影垂直BD；

即BB1D1D是矩形，DB=所以对角线BD1=2；

故答案为：2．

由于平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长都为1，底面ABCD为正方形，且AA1和AB与AD的夹角都等于120°，可以推出BB1⊥BD，求出BD1即可求解结果．

本题考查棱柱的结构特征，考查三垂线定理，解答关键是利用线面位置关系得到BB1D1D是矩形，是基础题．【解析】217、略

【分析】解：412（5）=4×52+1×51+2×50=107

把十进制的107化为七进制：

107÷7=152；

15÷7=21；

2÷7=02；

所以结果是212（7）

故答案为：212．

首先把五进制数化为十进制数；然后再把十进制数化为七进制数即可．

本题主要考查了十进制与七进制、五进制的相互转换，属于基础题，解答此题的关键是要熟练地掌握其转化方法．【解析】212三、作图题(共7题，共14分)18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

22、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．23、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．24、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共4题，共36分)25、略

【分析】设为直线上任意一点，[来源:学#科#网]由题知：所以得解.【解析】【答案】26、略

【分析】【解析】试题分析：利用三角形的面积公式列出关于sinA的等式，求出sinA的值，通过解已知条件中关于b，c的方程求出b，c的值，分两种情况，利用余弦定理求出边a的值．【解析】

由S△ABC＝bcsinA，得12＝×48×sinA∴sinA＝2分∴A＝60°或A＝120°2分a2＝b2＋c2-2bccosA＝(b-c)2＋2bc(1-cosA)＝4＋2×48×(1-cosA)4分当A＝60°时，a2＝52，a＝22分当A＝120°时，a2＝148，a＝22分考点：本题主要考查运用正弦面积公式和余弦定理解三角形问题。【解析】【答案】当A＝60°时，a2＝52，a＝2当A＝120°时，a2＝148，a＝227、略

【分析】

（1）设BE的中点为O；连结AO，DO，由已知得AO⊥BE，DO⊥BE，从而AO⊥平面BCDE，设AB=1，以B为原点，以BC为x轴，BD为y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB与DE所成角为60°．

（2）求出平面ACE的法向量和平面ABE的法向量；由此利用向量法能求出二面角B-AE-C的余弦值．

本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，线线角、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．【解析】解：（1）设BE的中点为O，连结AO，DO，

∵AB=AE；BO=OE，∴AO⊥BE，同理DO⊥BE；

又∵平面ABE⊥平面BCDE；

平面ABE∩平面BCDE=BE；

∴AO⊥平面BCDE；

由题意，BE2=2AB2=2DB2；

∴AB=BD=DE=AE；

设AB=1；以B为原点，以BC为x轴，BD为y轴；

建立如图所示的空间直角坐标系；

则B（0；0，0），C（1，0，0），D（0，1，0）；

E（-1，1，0），A（-）；

则=（），=（-1；0，0）；

∵cos＜＞===-

∴与的夹角为120°；

异面直线AB与DE所成角为60°．

（2）设平面ACE的法向量=（x；y，z）；

=（），=（-1；1，0）；

则取x=1，得=（1；1，0）；

设平面ABE的法向量为=（a，b；c）；

=（），

则取a=1，得=（1，2，）；

设二面角B-AE-C的平面角为θ；

cosθ=|cos＜＞|==．

∴二面角B-AE-C的余弦值为．28、略

【分析】

（1）由直线系方程求得直线过定点；再由定点在圆内得结论；

（2）由弦长及圆的半径求得弦心距；再由圆心到直线的距离列式求得m的值，则直线l的倾斜角可求；

（3）设出弦AB的中点坐标；由直角三角形中的边长关系求得弦AB的中点M的轨迹．

本题考查了直线与圆的方程的应用，考查了直线系方程，考查了直线与圆的位置关系，训练了点到直线的距离公式的用法，体现了数学转化思想方法，是中档题．【解析】（1）证明：由直线l：mx-y+1-m=0；得m（x-1）-y+1=0；

由得．

∴直线l：mx-y+1-m=0过定点P（1，1），代入圆C：x2+（y-1）2=5；

得12+（1-1）2=1＜5，∴点P（1，1）在圆C：x2+（y-1）2=5内部；

∴对任意的m；直线l与圆C总有两个不同的交点；

（2）解：当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=1，代入圆x2+（y-1）2=5得：y1=-1，y2=3；

此时|AB|=4；不满足题意；

∴直线l的斜率存在，由|AB|=圆的半径为

得圆心到直线l：mx-y+1-m=0的距离为．

则解得：．

∴直线l为或．

直线l的倾斜角为60°或120°；

（3）解：当M与P不重合时；连结CM；CP，则CM⊥MP；

∴|CM|2+|MP|2=|CP|2；

设M（x，y），则x2+（y-1）2+（x-1）2+（y-1）2=1；

化简得：x2+y2-x-2y+1=0（x≠1）；

当M与P重合时；x=1，y=1也满足上式；

故弦AB中点的轨迹方程是x2+y2-x-2y+1=0．五、计算题(共1题，共8分)29、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．六、综合题(共1题，共6分)30、略