广东省湛江市2023届高三下学期3月普通高考测试（一）（一模）+数学 含解析

保密★启用前湛江市2023年普通高考测试（一）数学2023.3本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答无效．4．考生必须保持答题卡的清洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知为虚数单位，若，则实数（）A．1 B．-1 C．2 D．-22．已知R为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A． B． C． D．3．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（）A．16 B．24 C．166 D．1804．在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记，，则（）A． B．C． D．5．元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（）A． B．C． D．6．已知F为抛物线的焦点，过F的直线与抛物线C交于A，B两点，与圆交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则（）A．1 B．4 C．8 D．167．已知，则（）A． B． C． D．8·已知函数及其导函数的定义域均为R，且为奇函数，，，则（）A．13 B．16 C．25 D．51二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345678910身高/cm165168170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如下所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为；经过残差分析确定（168，89）为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线的方程为，相关系数为，决定系数为．则以下结论中正确的有（）A． B．C． D．10．在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱BC与的中点，则下列选项正确的有（）A．平面B．EF与所成的角为30°C．平面D．平面截正方体的截面面积为11．已知，函数，下列选项正确的有（）A．若的最小正周期，则B．当时，函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象C．若在区间上单调递增，则的取值范围是D．若在区间上只有一个零点，则的取值范围是12．已知分别为双曲线的左、右焦点，点为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点，则下列结论正确的有（）A．B．C．D．若，且，则双曲线C的离心率三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知为等差数列的前n项和，若，则______．14．______．15．若函数存在两个极值点，且，则______．16．已知函数，记为函数的2次迭代函数，为函数的3次迭代函数，…，依次类推，为函数的n次迭代函数，则______；除以17的余数是______．（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若△ABC的面积为，，求a．18．（本小题满分12分）已知，为数列的前n项和，．（1）证明：数列为等比数列；（2）设数列的前n项和为，证明：．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，是边长为2的等边三角形，底面ABCD为平行四边形，且，，．（1）证明：点P在平面ABCD的正投影在直线AD上；（2）求平面PBC与平面PDC夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：cm），经统计得到下面的频率分布直方图：（1）由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数和方差．（用每组的中点代表该组的均值）（2）已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布，用直方图的平均数估计值作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值．i．为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．ii．若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在之外的零件个数，求及X的数学期望．参考公式：直方图的方差，其中为各区间的中点，为各组的频率．参考数据：若随机变量X服从正态分布，则，，，，．21．（本小题满分12分）已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆E的离心率为，过且不与坐标轴垂直的直线与椭圆E交于A，B两点，的周长为8．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过且与垂直的直线与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．22．（本小题满分12分）已知函数．（1）证明：函数只有一个零点；（2）在区间上函数恒成立，求a的取值范围．湛江市2023年普通高考测试（一）数学参考答案及评分标准 2023.3一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由，得，所以．故选A．2．【答案】C【解析】图中阴影部分表示，由，得或，所以，由，解得，所以，故，故选C．3．【答案】B【解析】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有（种）不同的结果，故选B．4．【答案】D【解析】因为，所以，故选D．5．【答案】C【解析】由题意，花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和，正六棱台的两个底面积分别为，，所以花灯的体积，故选C．6．【答案】B【解析】由题可知，设直线的方程为，．由得，故．又，，所以．圆的圆心为，半径，所以，．又，，所以，所以，故选B．7．【答案】A【解析】因为，，，，所以，故．又，所以，所以．故选A．8．【答案】C【解析】由，令，得，所以．由为奇函数，得，所以，故①．又②，由①和②得，即，所以，③令，得，得，令，得，得．又④，由③-④得，即，所以函数是以8为周期的周期函数，故，所以，所以．故选C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】AC【解析】因为离群点（168，89）的横坐标168小于平均值，纵坐标89相对过大，所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，所以，，所以A正确，B错误；去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所以，所以C正确，D错误．故选AC．10．【答案】ABD【解析】如图1，设点M为棱的中点，则，所以四边形为平行四边形，又，平面，平面，所以平面，故A正确；由上可知，四边形为平面截正方体的截口平面，易得，故四边形为菱形，又其对角线，，故其面积为，故D正确；设的中点为N，连接EN，FN．因为E，N分别为BC与的中点，所以，故为EF与所成的角，又，，由余弦定理可得，所以EF与所成的角为，故B正确；如图2，假设平面正确，则，又，，所以平面，得．在正方形中，，显然不成立，所以假设错误，即平面错误，故C错误．故选ABD．11．【答案】ACD【解析】由，得，所以A正确；当时，，所以函数的图象向右平移个单位长度后得，所以B错误；若在区间上单调递增，则，解得，又，所以只有当时，此不等式有解，即，所以C正确；若在区间上只有一个零点，则解得，所以D正确．故选ACD．12．【答案】AB【解析】由，得，所以，则在点处的切线斜率为，所以在点处的切线方程为，又有，化简即可得切线方程为，所以，所以，故C错误；由，得，又，所以，故A正确；由，得,故，由，得所以，所以，所以，设点A到x轴的距离为h，则，，，又，所以，故B正确；由上可得，因为，则，得，，所以，解得，故D错误，故选AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】-16【解析】因为，所以，又，所以，，所以，所以．14．【答案】【解析】15．【答案】【解析】因为，定义域为R，所以，故，；又，所以．又，故，所以，所以．16．【答案】0【解析】由题意，，所以又为正整数，所以除以17的余数为0．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）由，1分所以，故．由正弦定理得．2分又，所以，3分故，所以，4分所以，所以．5分（2）由题意，，所以．7分由余弦定理可得，9分所以．10分18．证明：（1）因为，所以，．1分由，得，所以，3分所以，故，所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列．5分（2）由（1）得，故，9分所以．12分19．（1）证明：如图，过点B在平面ABCD内作BO垂直于AD，交DA的延长线于点O，连接OP．1分因为，，所以．又，PB，平面POB，，所以平面POB．2分又平面POB，所以，即．因为，，所以又，所以，故．3分因为为等边三角形，所以．又，所以．又，所以．4分又OA，平面ABCD，，所以平面ABCD，所以点O为点P在平面ABCD的正投影又点O在直线AD上，故点P在平面ABCD的正投影在直线AD上．5分（2）解：由（1）得PO，OB，OA两两垂直，以O为坐标原点，分别以OB，OA，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．6分易得．又，所以，，，，故，，．7分设为平面PBC的法向量，则有即可取．9分设为平面PDC的法向量，则有即可取，10分所以，所以平面PBC与平面PDC夹角的余弦值为．12分20．解：（1）由频率分布直方图，得．2分．4分（2）i．由（1）可知，，所以，，5分显然，故需停止生产并检查设备．7分ii．抽测一个零件关键指标在之内的概率为，所以抽测一个零件关键指标在之外的概率为，8分故，所以，10分X的数学期望．12分21．解：（1）由题意得．1分由椭圆的定义可知，所以，所以．2分又，所以，3分所以椭圆E的标准方程为．4分（2）设，直线的方程为，由整理得，则有，，6分故7分直线的方程为，设，，由整理得，则有，，8分则，9分所以四边形ACBD的面积，10分，当且仅当时，等号成立，11分所以，综上，四边形ACBD面积的最小值为．12分22．（1）证明：，1分当时，，，所以，故，故在区间上无零点．2分当时，，，，所以，3分所以当时，函数单调递增，所以，故函数在区间上有唯一零点0．综上，函数