2023届高考数学一轮复习-第4讲-随机事件的概率、古典概型

第4讲随机事件的概率、古典概型考向预测核心素养考查随机事件、互斥事件与对立事件的概率及古典概型，常与事件的频率交汇考查．题型以选择题、填空题为主，中低档难度.数学建模、数学抽象[学生用书P262])一、知识梳理1．随机事件(1)事件的分类(2)两个事件的关系和运算事件的关系或运算含义符号表示图形表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，且A∪B＝Ω2.频率与概率(1)频率与概率的区别及联系区别联系频率本身是随机的，在试验之前是无法确定的，在相同的条件下做同样次数的重复试验，得到的事件的频率值也可能会不同对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)概率本身是一个在[0，1]内的确定值，不随试验结果的改变而改变(2)概率的几个基本性质①概率的取值范围：0≤P(A)≤1；②必然事件的概率P(Ω)＝1；③不可能事件的概率P(∅)＝0.(3)概率的加法公式①如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②若事件A与事件B互为对立事件，则P(A)＝1－P(B)．3．古典概型(1)古典概型的特点(2)古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的样本点的个数,有限样本空间中样本点的总数).二、教材衍化1．(人A必修第二册P233练习T2改编)从一批产品中取出三件产品，设A＝“三件产品全不是次品”，B＝“三件产品全是次品”，C＝“三件产品有次品，但不全是次品”，则下列结论中错误的是()A．A与C互斥 B.B与C互斥C．任何两个都互斥 D.任何两个都不互斥解析：选D.A为{三件产品全不是次品}，指的是三件产品都是正品，B为{三件产品全是次品}，A与B互斥，C为{三件产品有次品，但不全是次品}，它包括一件次品，两件次品，由此知，A与C是互斥事件，B与C是互斥事件，故选D.2．(人A必修第二册P227例1改编)先后三次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1；若反面向上则记为0，则这个试验的样本空间中有________个样本点．解析：这个试验的样本空间为Ω＝{(1，1，1)，(1，1，0)，(1，0，1)，(0，1，1)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，0，0)}，共8个样本点．答案：83．(人A必修第二册P263复习参考题10T3改编)一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20000辆汽车的信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年时间里挡风玻璃破碎的概率近似为________．解析：频率是概率的近似值，故其概率近似等于eq\f(600,20000)＝0.03.答案：0.03一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)必然事件一定发生．()(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．()(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．()(4)抛掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．()答案：(1)√(2)√(3)×(4)×二、易错纠偏1．(多选)(对互斥事件理解不透致误)若干个人站成排，其中不是互斥事件的是()A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”解析：选BCD.排头只能有一人，因此“甲站排头”与“乙站排头”互斥，而B，C，D中，甲、乙站位不一定在同一位置，可以同时发生，因此它们都不互斥．故选BCD.2．(对概率的理解不到位致误)某地气象局预报说，明天本地降雨的概率为80%，则下列解释正确的是()A．明天本地有80%的区域降雨，20%的区域不降雨B．明天本地有80%的时间降雨，20%的时间不降雨C．明天本地降雨的机会是80%D．以上说法均不正确解析：选C.选项A，B显然不正确．因为80%是说降雨的概率，而不是说80%的区域降雨，更不是说有80%的时间降雨，是指降雨的机会是80%，故选C.3．(频率与概率区分不清致误)把一枚质地均匀的硬币连续掷了1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________．解析：掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.答案：0.5[学生用书P264])考点一事件的关系与运算(自主练透)复习指导：了解随机事件的含义，了解事件互斥、对立，会对事件进行分解．1．下列事件中是必然事件的是()A．长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形B．经过有信号灯的路口，遇上红灯C．下周六是晴天D．一枚硬币抛掷两次，两次都正面向上答案：A2．已知100件产品中有5件次品，从这100件产品中任意取出3件，设E表示事件“3件产品都不是次品”，F表示事件“3件产品全是次品”，G表示事件“3件产品中至少有1件次品”，则下列结论正确的是()A．F与G互斥B．E与G互斥但不对立C．E，F，G任意两个事件均互斥D．E与G对立解析：选D.由题意得事件E与事件F不可能同时发生，是互斥事件；事件E与事件G不可能同时发生，是互斥事件；当事件F发生时，事件G一定发生，所以事件F与事件G不是互斥事件，故A，C不正确．事件E与事件G中必有一个发生，所以事件E与事件G对立，所以B不正确，D正确．3．(多选)下列说法错误的是()A．对立事件一定是互斥事件B．若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)C．若事件A，B，C两两互斥．则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1D．事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件解析：选BCD.对于A，对立事件是互斥事件中其中一个不发生，另一个必然发生的事件，所以正确．对于B，只有互斥事件才满足P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，不是任意事件都满足，故B错误．对于C，若事件A，B，C两两互斥，不一定(A∪B)是C的对立事件，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1不一定成立，C错误；对于D，对立事件的概率之和为1，但概率之和为1的两个事件不一定是对立事件，D错误．事件的关系运算策略(1)准确把握互斥事件与对立事件的概念：①互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生；②对立事件是特殊的互斥事件，特殊在对立的两个事件不可能都不发生，即有且仅有一个发生．(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运算用Venn图分析事件．考点二频率与概率(综合研析)复习指导：在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别．某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株作物的年收获量Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量；Y51484542频数4(2)在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48kg的概率．【解】(1)所种作物的总株数为1＋2＋3＋4＋5＝15，其中“相近”作物株数为1的作物有2株，“相近”作物株数为2的作物有4株，“相近”作物株数为3的作物有6株，“相近”作物株数为4的作物有3株，列表如下．Y51484542频数2463所种作物的平均年收获量为eq\f(51×2＋48×4＋45×6＋42×3,15)＝eq\f(690,15)＝46.(2)由(1)知，P(Y＝51)＝eq\f(2,15)，P(Y＝48)＝eq\f(4,15).故在所种作物中随机选取一株，它的年收获量至少为48kg的概率为P(Y≥48)＝P(Y＝51)＋P(Y＝48)＝eq\f(2,15)＋eq\f(4,15)＝eq\f(2,5).(1)概率与频率的关系(2)随机事件概率的求法|跟踪训练|1．下列说法正确的是()A．某人射击10次，中靶7次，则此人中靶的概率为0.7B．一位同学做抛硬币试验，抛6次，一定有3次“正面朝上”C．某地发行一种彩票，回报率为47%，若有人花了100元钱买此种彩票，则一定会有47元的回报D．用某种药物对患有胃溃疡的500名病人进行治疗，结果有380人有明显的疗效，现在胃溃疡病人服用此药，则可估计有明显疗效的概率约为0.76解析：选D.A项，此人中靶的频率为0.7，是一个随机事件，错误；B项是一个随机事件，不一定有3次“正面朝上”，错误；C项是一个随机事件，中奖或不中奖都有可能，但事先无法预料，错误；D正确．2．某家庭记录了使用了节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)，得到如下频数分布表：使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0，0.1)[0.1，0.2)[0.2，0.3)[0.3，0.4)[0.4，0.5)[0.5，0.6]频数151310165估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35m3的概率为________．解析：由题意得，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为eq\f(1＋5＋13＋5,50)＝0.48，因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.答案：0.48考点三古典概型(多维探究)复习指导：通过实例，理解古典概型及其概率的计算公式，会用列举法计算一些随机事件发生的概率．角度1古典概型的概念(多选)下列概率模型中，是古典概型的有()A．从集合{x∈R|1≤x≤10}中任取一个数，求取到4的概率B．从集合{x∈Z|1≤x≤10}中任取一个数，求取到4的概率C．从装有2个白球和3个红球的盒子中任取2个球(除颜色外其他均相同)，求取到一白一红的概率D．向上抛掷一枚质地不均匀的硬币，求出现正面向上的概率【解析】A不是古典概型．因为从区间[1，10]内任取一个数，虽满足“等可能性”，但由于区间内有无数个对象可取，所以它不具备“有限性”这个条件．B是古典概型．因为试验结果只有10个，并且每个数被抽到的可能性相等，所以它不仅具备“有限性”，而且还具备“等可能性”．同理，C是古典概型．D不是古典概型．虽然试验的结果只有2种，但是这枚硬币的质地不均匀，故它不具备“等可能性”．【答案】BC角度2古典概型的应用(1)(2022·皖江联盟7月联考)甲、乙两人玩说数字游戏．如果甲说的数字记为a，乙说的数字记为b，且a，b∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}．若a，b差的绝对值不超过1，则称甲、乙“心有灵犀”．那么甲、乙“心有灵犀”的概率是()A.eq\f(9,50) B.eq\f(1,5)C.eq\f(7,25) D.eq\f(14,45)(2)(2022·四川省巴中市高三上学期测试)接种疫苗是预防控制新冠疫情最有效的方法．我国自2021年1月9日起实施全民免费接种新冠疫苗工作，截止到2021年5月底，国家已推出了三种新冠疫苗(腺病毒载体疫苗、新冠病毒灭活疫苗、重组新型冠状病毒疫苗)供接种者选择，每位接种者任选其中一种．若甲、乙、丙、丁4人去接种新冠疫苗，则恰有两人接种同一种疫苗的概率为()A.eq\f(4,9) B.eq\f(9,16)C.eq\f(2,3) D.eq\f(8,9)【解析】(1)若a，b差的绝对值不超过1，即|a－b|≤1，则有|a－b|＝1和a＝b两种情况．因此对a＝0，9各有2种情况，即当a＝0时，b＝0，1；当a＝9时，b＝8，9.对a＝1，2，3，4，5，6，7，8各有3种情况，即当a＝1时，b＝0，1，2，当a＝2时，b＝1，2，3.当a＝3时，b＝2，3，4，…，当a＝8时，b＝7，8，9.从而甲、乙“心有灵犀”所包含的样本点个数是4＋8×3＝28.而样本点总数是10×10＝100，所以甲、乙“心有灵犀”的概率是P＝eq\f(28,100)＝eq\f(7,25).(2)由题意，每位接种者可等可能地从3种中任选一种接种，由分步乘法计数原理知，共有34＝81个样本点；恰有两人接种同一种疫苗，可先从4人中任选两人并成一组，再与另两人一起按三种疫苗的顺序排成一排，故恰有两人接种同一种疫苗共有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)＝36个样本点，由古典概型概率计算公式得P＝eq\f(36,81)＝eq\f(4,9).【答案】(1)C(2)A(1)古典概型中样本点的探求方法(2)利用公式法求解古典概型问题的步骤|跟踪训练|1．(2022·全国重点中学高考冲刺)湖泊不仅是中国地理环境的重要组成部分，还蕴藏着丰富的自然资源．综合实践活动课上，小王要从青海湖、西湖、千岛湖、纳木错湖等10个湖泊中随机选取3个进行介绍，则青海湖与纳木错湖至少有一个被选中的概率为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(8,15)C.eq\f(5,14) D.eq\f(1,4)解析：选B.从10个湖泊中任选3个的选法有Ceq\o\al(3,10)＝120(种)，青海湖与纳木错湖只有1个被选中的选法有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,8)＝56(种)，青海湖与纳木错湖都被选中的选法有Ceq\o\al(2,2)Ceq\o\al(1,8)＝8(种)．故所求事件的概率P＝eq\f(56＋8,120)＝eq\f(8,15).故选B.2．(2022·丰城九中高三周考)孪生素数猜想是希尔伯特在1900年提出的23个问题之一，可以这样描述：存在无穷多个素数p，使得p＋2是素数，素数对(p，p＋2)称为孪生素数．在不超过32的素数中，随机选取两个不同的数，能够组成孪生素数的概率是()A.eq\f(1,22) B.eq\f(1,11)C.eq\f(3,22) D.eq\f(2,11)解析：选B.不超过32的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31共11个，又素数对(p，p＋2)为孪生素数，所以不超过32的素数组成的孪生素数对有(3，5)，(5，7)，(11，13)，(17，19)，(29，31)共5对，所以能够组成孪生素数的概率为P＝eq\f(5,Ceq\o\al(2,11))＝eq\f(1,11).故选B.[学生用书P374(单独成册)])[A基础达标]1．一个人连续射击三次，则事件“至少击中两次”的对立事件是()A．恰有一次击中 B.三次都没击中C．三次都击中 D.至多击中一次解析：选D.根据题意，一个人连续射击三次，事件“至少击中两次”包括“击中两次”和“击中三次”两个事件，其对立事件为“一次都没有击中和击中一次”，即“至多击中一次”．2．(2020·高考全国卷Ⅰ)设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(1,2) D.eq\f(4,5)解析：选A.如图，从O，A，B，C，D5个点中任取3个有(O，A，B)，(O，A，C)，(O，A，D)，(O，B，C)，(O，B，D)，(O，C，D)，(A，B，C)，(A，B，D)，(A，C，D)，(B，C，D)共10个样本点.3点共线有(O，A，C)与(O，B，D)共2个样本点，由古典概型的概率计算公式知，取到的3点共线的概率为eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).3.(2022·渭南市高三联考)五行学说是中华民族创造的哲学思想．古代先民认为，天下万物皆由五种元素组成，分别是金、木、水、火、土，彼此之间存在如图所示的相生相克关系．若从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，则这两种元素恰是相生关系的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2) D.eq\f(11,20)解析：选C.由题意，从金、木、水、火、土五种元素中任取两种，有(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)，共10个样本点，其中两种元素恰是相生关系包含(金，水)，(木，火)，(土，金)，(水，木)(火，土)共5个样本点，所以所求概率P＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).4.(2022·贵州省重点中学高三联考)中国象棋是中国棋文化也是中华民族的文化瑰宝．某棋局的一部分如图所示，若不考虑这部分以外棋子的影响，且“马”和“炮”不动，“兵”只能往前走或左右走，每次只能走一格，从“兵”“吃掉”“马”的最短路线中随机选择一条路线，则该路线能顺带“吃掉”“炮”的概率为()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,5) D.eq\f(3,4)解析：选C.由题意可知，“兵”“吃掉”“马”的最短路线中，横走三步，竖走两步，相当于“横横横竖竖”五个汉字排成一列，有Ceq\o\al(2,5)＝10条路线．其中能顺带“吃掉”“炮”的路线，分两步，第一步，“横横竖”三个汉字排成一列；第二步，“横竖”两个汉字排成一列，共有Ceq\o\al(1,3)×Ceq\o\al(1,2)＝6条路线．故所求概率为eq\f(6,10)＝eq\f(3,5).5．(多选)下列说法正确的是()A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件B．《西游记》《三国演义》《水浒传》《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆AD．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则样本空间含有2个样本点解析：选BCD.对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A不正确．对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取得《红楼梦》”，“丁取得《红楼梦》”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，B正确．对于C，事件A＝{1，2，3，4，5}，事件B＝{2，3，5}，所以B包含于A，C正确．对于D，样本空间Ω＝{正品，次品}，含有2个样本点，故D正确．6．围棋盒子中有多粒黑子和多粒白子，已知从中任意取出2粒都是黑子的概率为eq\f(1,7)，从中任意取出2粒都是白子的概率为eq\f(12,35).那么，现从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是________．解析：设“从中任意取出2粒都是黑子”为事件A，“从中任意取出2粒都是白子”为事件B，“从中任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A＋B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝eq\f(1,7)＋eq\f(12,35)＝eq\f(17,35).即“从中任意取出2粒恰好是同一色”的概率为eq\f(17,35).答案：eq\f(17,35)7.(2022·惠州市高三调研)一张方桌有四个座位，A先坐在如图所示的座位上，B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，则C与D相邻的概率为________．解析：B，C，D三人随机坐到其他三个位置上，共有Aeq\o\al(3,3)＝6种等可能情况，要使C与D不相邻，则B必坐在A的对面，此时C与D的坐法共有2种情况，所以根据古典概型求概率公式可知C与D相邻的概率为eq\f(6－2,6)＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．(2022·云南师大附中高三月考)2021年河北等八省举行首次“3＋1＋2”的新高考模式，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语3门必考科目，“1”由考生在物理、历史2门中选考1门科目，“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物4门中选考2门科目．则甲、'乙两名考生在选考科目“1”与选考科目“2”中各有一门科目相同的条件下两人均选化学的概率为________．解析：甲、乙两人选考科目相同的1科在物理或历史，另1科在“思想政治、地理、化学、生物4门”中，Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Aeq\o\al(2,3)＝48种方法，其中甲、乙两人均选化学的有Ceq\o\al(1,2)Aeq\o\al(2,3)＝12种方法，则甲、乙两名考生在选考科目“1”与选考科目“2”中各有一门科目相同的条件下两人均选化学的概率为P＝eq\f(12,48)＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)9．袋中有红球、黑球、黄球、绿球若干，从中任取一球，得到红球的概率为eq\f(1,3)，得到黑球或黄球的概率为eq\f(5,12)，得到黄球或绿球的概率为eq\f(5,12)，则得到黑球的概率是________，得到黄球的概率是________．解析：记“得到红球”为事件A，“得到黑球”为事件B，“得到黄球”为事件C，“得到绿球”为事件D，事件A，B，C，D显然彼此互斥，则由题意可知，P(A)＝eq\f(1,3)①，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝eq\f(5,12)②，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝eq\f(5,12)③.由事件A和事件B∪C∪D是对立事件可得P(A)＝1－P(B∪C∪D)＝1－[P(B)＋P(C)＋P(D)]，即P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)④.联立②③④可得P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,6)，P(D)＝eq\f(1,4).即得到黑球、得到黄球、得到绿球的概率分别是eq\f(1,4)，eq\f(1,6)，eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)eq\f(1,6)10．海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层随机抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)A，B，C三个地区商品的总数量为50＋150＋100＝300，抽样比为eq\f(6,300)＝eq\f(1,50)，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×eq\f(1,50)＝1，150×eq\f(1,50)＝3，100×eq\f(1,50)＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别是1，3，2.(2)方法一：设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A，B1，B2，B3，C1，C2.则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有样本点为(A，B1)，(A，B2)，(A，B3)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共15个．每个样品被抽到的机会相等，因此这些样本点的出现是等可能的．记事件D为“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的样本点有(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)，共4个．所以P(D)＝eq\f(4,15).即这2件商品来自相同地区的概率为eq\f(4,15).方法二：这2件商品来自相同地区的概率为eq\f(Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,6))＝eq\f(4,15).[B综合应用]11.如图，某建筑工地搭建的脚手架局部类似于一个2×2×3的长方体框架，一个建筑工人欲从A处沿脚手架攀登至B处，则其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率为()A.eq\f(1,7) B.eq\f(2,7)C.eq\f(3,7) D.eq\f(4,7)解析：选B.根据题意，最近路线就是不能走回头路，不能走重复的路，所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，共7次，所以最近的行走路线共有Ceq\o\al(3,7)Ceq\o\al(2,4)＝210(种)．因为不能连续向上，所以最近的行走路线中不连续向上攀登的路线共有Ceq\o\al(2,4)Ceq\o\al(3,5)＝60(种)，所以其最近的行走路线中不连续向上攀登的概率P＝eq\f(60,210)＝eq\f(2,7).故选B.12．(多选)(2022·潍坊四中高三检测)已知甲袋中有5个大小相同的球，4个红球，1个黑球；乙袋中有6个大小相同的球，4个红球，2个黑球，则()A．从甲袋中随机摸出一个球是红球的概率为eq\f(4,5)B．从乙袋中随机摸出一个球是黑球的概率为eq\f(2,3)C．从甲袋中随机摸出2个球，则2个球都是红球的概率为eq\f(3,5)D．从甲、乙袋中各随机模出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率为eq\f(2,5)解析：选ACD.对选项A，从甲袋中随机摸一个球是红球的概率为P＝eq\f(4,5)，故A对；对选项B，从乙袋中随机摸一个球是黑球的概率为P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故B错；对选项C，从甲袋中随机摸2个球，则2个球都是红球的概率P＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，故C对；对选项D，从甲、乙袋中各随机摸出1个球，则这2个球是一红球一黑球的概率P＝eq\f(4,5)·eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)·eq\f(2,3)＝eq\f(2,5).13.(2022·上海市进才中学高三月考)从如图11个点中任取三个点，则所取的三个点能构成三角形的概率为________．解析：从11个点中任取三个点，有Ceq\o\al(3,11)种取法，由题图得三个点在一条直线上的情况有7＋2Ceq\o\al(3,4)＝15，所以所取的三个点能构成三角形的概率为eq\f(Ceq\o\al(3,11)－15,Ceq\o\al(3,11))＝eq\f(10,11).答案：eq\f(10,11)14．(2022·泰安肥城三模)已知大于3的素数只分布在{6n－1}和{6n＋1}两数列中(其中n为非零自然数)