考点14：函数模型及其应用-高考数学一轮复习

考点专练14：函数模型及其应用

一、选择题

1.设甲、乙两地的距离为a（a>0）,小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟,

在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出

发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x（分钟）的函数图象为（）

2.气象学院用32万元购置了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第1天

开始连续使用，第n天的维修保养费为4n+46（n£N*）元，使用它直至“报废最

合算”（所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器平均每天耗资最少）为止，则一

共要使用（）

A.300天B.400天C.600天D.800天

3.新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个

月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映月销售量

y（台）与投放市场的月数x之间的关系的是（）

A.y=100xB.y=50x2-50x+100

C.y=50X2xD.y=100log2x+100

4.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p

元，销售量为Q件，销售量Q（单位：件）与零售价p（单位：元）有如下关系：Q

=8300-170p-p2,则最大毛利润为（毛利润=销售收入一进货支出）（）

A.30元B.60元C.28000元D.23000元

5,巴中某学校定期对教室进行药熏消毒（消杀人员进入教室学生就出教室）.教室

内每立方米空气中的含药量y（单位：毫克）随时间t（单位：时）的变化情况如图所

示.在药物释放的过程中，y与t成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系

式为y=l（尸Fa为常数）.据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.2毫克以

下时，学生方可进入教室.那么，从消杀师傅进入教室开始到学生能回到教室,

至少在（参考数值1g2^0.30103）（）

A.48分钟后B.42分钟后C.54分钟后D.60分钟后

6.（多选）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1L汽油行驶的里程，如图描述了

甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是（）

A.消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km

B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多

C.甲车以80km/h的速度行驶lh,消耗8L汽油

D.某城市机动车最高限速80km/h,相同条件下，在该市用丙车比用乙车

更省油

7.（多选）（2022•济南月考）甲、乙、丙、丁四个物体同时从某一点出发向同一方向

运动，它们行走的路程（t收）（1=1,2,3,4）关于时间x（x20）的函数关系式分别为fi（x）

=2X—1,fz（x）=x2,f3（x）=x,f4（x）=log2（x+l）,则下列结论正确的是（）

A.当x>l时，甲走在最前面

B.当x>l时，乙走在最前面

C.当Ovxvl时，丁走在最前面，当时，丁走在最后面

D.如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲

二、填空题

8.某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质

2%,每过滤一次可使杂质含量减少;，至少应过滤次才能达到市场要

求.（参考数据：1g2^0.3010,1g3=0.4771）

9.我们经常听到这样一种说法：一张纸经过一定次数对折之后厚度能超过地月距

离.但实际上，因为纸张本身有厚度，我们并不能将纸张无限次对折，当厚度

超过纸张的长边时，便不能继续对折了，一张长边为w,厚度为x的矩形纸张

沿两个方向不断对折，则经过两次对折，长边变为全,厚度变为4x,在理想情

2w

况下，对折次数n有下列关系：nW・log2-(注：1g2^0.3).根据以上信息，一张

JX

长为21cm,厚度为0.05mm的纸最多能对折次.

10.李冶(1192—1279),真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗

人，晚年在封龙山隐居讲学，有多部数学著作，其中《益古演段》主要研究平

面图形问题，求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块,

内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方

田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是

步、步(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算).

三、解答题

1L某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和

后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连

续下跌.现有三种价格模拟函数：①f(x)=p・q、；②f(x)=px2+qx+l；③f(x)=

x(x—qp+p(以上三式中p,q均为常数，且q>l).

(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)？

(2)若f(0)=4,f(2)=6.

①求出所选函数f(x)的解析式(注：函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日，

x=l表示9月1日，以此类推)；

②为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请

你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.

12.响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用

所学专业进行自主创业.经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成

本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件

时，W(x)=k2+2x.在年产量不小于8万件时，W(x)=7x+—-37.每件产

JX

品售价6元,通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.

(1)写出年利润P(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：万件)的函数解析式,(注：

年利润=年销售收入一固定成本一流动成本)

⑵年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是

多少？

参考答案：

一、选择题

X.D2.B3.C4.D5.A6.CD7.CD

二、填空题

8.答案：89.答案：810.答案：20,60

三、解答题

n.解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以

在所给出的函数中应选模拟函数f(x)=x(x—q)2+p.

⑵①对于f(x)=x(x-q)2+p,

由f(0)=4,f(2)=6,可得p=4,(2—q)2=l,又q>l,所以q=3,

所以f(x)=x3-6x2+9x+4(0WxW5).

②因为f(x)=x3-6x24-9x+4(0^x^5),所以F(x)=3x2-12x+9,

令r(x)V0,得1V、V3.所以函数f(x)在(13)内单调递减，

所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌.

12.解：(1)因为每件商品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元.依题意得

Qx24-2x^—2=—1x24-4x—2,

当0<x<8时，P(x)=6x—

当x28时，P(x)=6x-(7x+——37)—2=35—

-jx2+4x-2,0<x<8,

故P(x)=<

35-(X+¥)，

x>8.

⑵当(Xxv8时，P(x)=-1(x-6)2+10.

J

此时，当x=6时，P(x)取最大值，最大值为10万元.

当x>8时，