【教无忧】高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修一）重难点07 求圆的方程八大题型

重难点07求圆的方程八大题型汇总技巧一.几何法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．技巧二待定系数法：①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择设圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．技巧三．标准方程法确定圆心位置的方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上；(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线．技巧四．圆系方程1.过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；2.过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．题型1圆的标准方程法【例题1】（2022秋·青海海南·高二海南藏族自治州高级中学校考期末）圆心在x轴负半轴上，半径为4，且与直线x+3A．(x+3)2+yC．(x−13)2+y【答案】A【分析】根据题意，设圆心为坐标为(m，0)(m<0)，由直线与圆相切的判断方法可得圆心到直线x+3y−5=0的距离d=4，解得【详解】根据题意，设圆心为坐标为(m，0),(m<0)，圆的半径为4，且与直线x+3则圆心到直线x+3y−5=0的距离解得：m=−3或13（舍)，则圆的坐标为(−3,0)，故所求圆的方程为(x+3)2故选：A【变式1-1】1.（2023春·上海杨浦·高二统考期末）以C1,1为圆心，且经过M2,3的圆的方程是【答案】x−1【分析】设出圆的标准方程，把M2,3【详解】因为圆心C1,1，故可设圆的标准方程为x−1因为点M2,3在圆上，所以r所以所求圆的方程为x−12故答案为：x−1【变式1-1】2．（2023秋·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期末）已知点A(4,0),O(0,0),B(0,−3)，则△AOB的内切圆的方程为．【答案】(x−1)【分析】根据给定条件，确定△AOB内切圆的圆心位置，设出圆心坐标，再借助点到直线的距离公式求解作答.【详解】依题意，△AOB内切圆的圆心C在第四象限，并且到x、y轴距离相等，令此圆半径为r(r>0)，则圆心C(r,−r)，直线AB方程为：x4+y−3=1，即3x−4y−12=0因此r=|3r−4(−r)−12|32+(−4)显然r<|OB|=3，于是r=1，圆心C(1,−1)，所以△AOB内切圆的方程为(x−1)2故答案为：(x−1)【变式1-1】3.（2022秋·甘肃兰州·高二兰化一中校考期末）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋线”，它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，8，13，…为边长的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图为该螺旋线在边长为1，1，2，3，5，8的正方形的中的部分，建立平面直角坐标系（规定小方格的边长为1），则接下来的一段圆弧所在圆的方程为．【答案】x+4【分析】根据题意，分析要求的圆的圆心和半径，由圆的标准方程分析即可得出答案.【详解】根据题意，接下来的一段圆弧所在圆的半径r=5+8=13，其圆心为−4,2，（根据题中图象规律发现），则其标准方程为x+42故答案为：x+42【变式1-1】4.（2022秋·广东珠海·高二珠海市第一中学校考期末）德国数学家米勒曾提出过如下的“最大视角原理”：对定点A、B和在直线l上的动点P，当l与△APB的外接圆相切时，∠APB最大．若A(0,2)，B(0,8)，P是x轴正半轴上一动点，当P对线段AB的视角最大时，△APB的外接圆的方程为（

）A．(x−4)2+(y−4)C．(x−5)2+(y−4)【答案】D【分析】先由条件确定点P的坐标，再求△APB外接圆的方程.【详解】设P(p,0),(p>0)，则k1=ktan∠APB=tan=−2p+8p1+(−2p当且仅当p=16p时成立,解得p=4，设△APB的外接圆的方程为(x+a)2则a2+(2+b)2=r2△APB的外接圆的方程为(x−4)2故选：D．

【变式1-1】5.（2022秋·广西钦州·高二浦北中学统考期末）已知直线l：x−2y+4=0与圆C：x2(1)求圆心为D−3,3(2)求经过点A和点B且面积最小的圆的方程.【答案】(1)x+32(2)(x+2)2【分析】（1）联立直线l与圆C的方程，求出交点A(−4,0)，B(0,2).求出圆的半径，即可得出圆的方程；（2）当线段AB为圆的一条直径时，面积最小.求出AB=25以及线段【详解】（1）解：联立直线l与圆C的方程x−2y+4=0x2+解得y1=0，y2=2，代入直线方程可得x1=−4，又圆心为D−3,3则圆D的r=DA所以圆D的方程为x+32（2）解：要使圆的面积最小，则应使半径最小.当线段AB为圆的一条直径时，面积最小.AB=−4−02又圆心即线段AB的中点−2,1，所以圆的方程为(x+2)2【变式1-1】6.（2023秋·辽宁沈阳·高二东北育才学校校考期末）已知△ABC中，点A−1,5，AC边上中线所在直线l1的方程为8x+y−12=0，AB边上的高线所在直线l2(1)求点B和点C的坐标：(2)以M1,0为圆心作一个圆，使得A、B、C【答案】(1)B2,−4，(2)x−1【分析】（1）求出直线AB的方程，联立直线AB和直线l1的方程可求得点B的坐标，设点Cm,n，根据点C在直线l2上以及线段AC的中点在l1上可得出关于m、（2）计算出AM、BM、CM，比较大小后可得出圆M的半径，即可得出圆M的方程.【详解】（1）解：因为AB边上的高线所在直线l2的方程为x−3y+6=0且直线l2的斜率为13，则kAB=−3，故直线AB的方程为联立直线AB和直线l1的方程可得3x+y−2=08x+y−12=0，解得x=2y=−4设点Cm,n，则线段AC的中点为D由题意可得8×m−12+n+52（2）解：因为AM=−1−12CM=3−12故圆M的半径为BM=17，所以，圆M的方程为题型2圆的一般方程法【例题2】)(多选)（2022秋·湖北·高二统考期末）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A1,1，B−2,3，A．AC边上的高所在直线的方程7x+4y+2=0；B．△ABC的外接圆的方程为x2C．过A作直线l与线段BC相交，则直线l斜率的取值范围为−2D．△ABC的面积为132【答案】BCD【分析】对选项A，利用直线垂直时斜率的关系可求得高线方程；对选项B，用待定系数求圆的方程；对选项C，根据直线l从点B到点C的过程中斜率的变化求得；对选项D，△ABC的面积利用点到直线的距离求得△ABC中AC边的高，然后根据面积公式即可.【详解】对选项A，直线AC的斜率为：k则AC边上的高的斜率为：−则高的方程为：y−3=−23故A不正确；对选项B，设△ABC的外接圆的方程为x则有：1+1+D+E+F=0解得：D=3，E=−1，F=−4所以△ABC的外接圆的方程为：x故B正确；对选项C，kAB=则过点A作直线l与线段BC相交时，则直线l斜率的取值范围为：−故C正确；对选项D，易知AC所在直线的方程为：3x−2y−1=0点B到直线AC的距离为：−2×3−2×3−1又AC则△ABC的面积为：13故D正确故选：BCD【变式2-1】1.（2022秋·山东菏泽·高二统考期末）已知△ABC的三个顶点分别是点A（4，0），B(−2,0)，C(−2,2)，则△ABC的外接圆的方程为．【答案】(x−1)【分析】令外接圆圆心O(x,y)，而AB中点为D(1,0)、BC中点为E(−2,1)，由OD⋅AB=【详解】令△ABC的外接圆圆心O(x,y)，又A（4，0），B(−2,0)，∴AB中点为D(1,0)，则OD⋅AB=−6(1−x)=0BC中点为E(−2,1)，则OE⋅BC=2(1−y)=0∴圆心O(1,1)，又外接圆的半径R=|OA∴△ABC的外接圆的方程为(x−1)2故答案为：(x−1)2【变式2-1】2.（2023秋·河南平顶山·高二统考期末）已知△ABC的顶点坐标分别是A3,0，B1,2，(1)求△ABC外接圆的方程；(2)若直线l：3x+4y−8=0与△ABC的外接圆相交于M，N两点，求∠MCN.【答案】(1)(x−1)(2)∠MCN=60°【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点A,B,C，求出方程组的解，即可得到本题答案；（2）先求出圆心到直线MN的距离，即可得到∠PMN=30°，然后求出∠MPN，即可得到本题答案.【详解】（1）设圆的一般方程为：x2+y代入点A(3,0),B(1,2),C(−1,0)得，9+3D+F=01+4+D+2E+F=0所以圆的一般方程为：x2标准方程为：(x−1)2（2）圆心P(1,0)到直线l:3x+4y−8=0的距离d=3×1+4×0−8又因为PM=2，在等腰△PMN中，∠PMN=30°所以圆心角∠MPN=2×60°=120°，则∠MCN=60°.【变式2-1】3.（2023秋·广东清远·高二统考期末）已知△ABC的顶点分别为A(−1,7),B(−4,−2),C(3,−1)．(1)求△ABC外接圆的方程；(2)设P是直线l:4x−3y−25=0上一动点，过点P作△ABC外接圆的一条切线，切点为Q，求PQ最小值及点P的坐标．【答案】(1)x(2)PQmin=2【分析】（1）设出圆的一般方程将A,B,C三点坐标代入，利用待定系数法即可求得△ABC外接圆的方程；（2）根据切线长公式可知，当P与圆心之间的距离最小时，切线长PQ最小，根据点到直线距离公式和两直线垂直关系即可求得最小值及点P的坐标.【详解】（1）设△ABC外接圆的方程为x2将A,B,C分别代入圆方程可得50−D+7E+F=020−4D−2E+F=010+3D−E+F=0，解得所以△ABC外接圆的方程为x2（2）△ABC外接圆(x+1)2+(y−2)2=25因为PQ=PM2−R当PM⊥l时，PM最小，所以PMmin所以PQmin设P(x0,解得x0即点P的坐标为P23【变式2-1】4.（2023秋·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考期末）矩形ABCD的两条对角线相交于点M2,0，AB边所在直线的方程为x−3y−6=0，AC所在直线的方程为x−y−2=0(1)求BC边所在直线的方程；(2)求经过M，A，B三点的圆的方程.【答案】(1)3x+y−14=0(2)x【分析】（1）联立两条直线得点A0,−2，由C与A关于点M对称得C4,2，由BC与AB垂直，得（2）联立直线方程解出B点坐标，设圆的一般方程，将M，A，B坐标分别代入，解出圆的方程.【详解】（1）由x−3y−6=0x−y−2=0，得x=0y=−2，则因为矩形ABCD两条对角线相交于M(2,0)，所以C与A关于点M对称，设Cx0,y0，所以x因为AB边所在直线的方程为x−3y−6=0，斜率为13BC与AB垂直，所以直线BC的斜率为−3，则BC边所在直线的方程为y−2=−3×x−4，即3x+y−14=0（2）由x−3y−6=03x+y−14=0，解得x=245y=−2设所求圆的方程为x2+y则4+2D+F=04−2E+F=057625则所求圆的方程为：x2题型3数形结合法【例题3】（2022秋·陕西渭南·高二统考期末）过点A(−6,2)，B(2,−2)且圆心在直线x−y+1=0上的圆的方程是（

）A．(x−3)2+(y−2)C．(x−3)2+(y−2)【答案】B【分析】由题设得AB的中垂线方程为y=2(x+2)，其与x−y+1=0交点即为所求圆心，并应用两点距离公式求半径，写出圆的方程即可.【详解】由题设，AB的中点坐标为(−2,0)，且kAB∴AB的中垂线方程为y=2(x+2)，联立x−y+1=0，∴{y=2(x+2)x−y+1=0，可得{x=−3y=−2，即圆心为∴圆的方程是(x+3)2故选：B【变式3-1】1.（多选）（2022秋·江苏连云港·高二期末）若圆C的半径为13，且直线2x+3y−10=0与圆C相切于点P2,2A．x2+y−1C．x+42+y−5【答案】BD【分析】由直线与圆相切及点在圆上，结合待定系数法得到方程组，解之即可.【详解】根据题意，设圆的标准方程为(x−a)2+y−b过圆心且过切点的直线与直线2x+3y−10=0垂直，得b−2a−2⋅−2由点P2,2在圆上得2−a2将①②联立得3a−2b=22−a2+2−b2故所求圆的方程为x2+y+1故选：BD．【变式3-1】2.（多选）（2022秋·江苏连云港·高二统考期末）已知圆C和直线3x−y=0及x轴都相切，且过点3,0A．x−32+y−C．x+32+y−【答案】AB【分析】首先设出圆的方程，根据直线与圆相切以及圆经过的点，列出等量关系即可求解.【详解】由题意设所求圆的方程为x−a2+(y−b)2=r2依据其他条件则有3−a2+b2=x−32+故选：AB【变式3-1】3.（2023秋·江西吉安·高二江西省吉水县第二中学校考期末）已知点A-2,2，B6,4，H5,2(1)求点C的坐标；(2)求△ABC【答案】(1)C(2)(【分析】（1）先求出直线BH，AH的斜率，则可求出直线AC的斜率和直线BC的倾斜角，求出直线（2）先得到CB边和AC边的中垂线方程，进行联立得圆心坐标，再利用两点距离公式算出半径，即可得到答案【详解】（1）因为点A-2,2，B6,4，所以kBH=2-4∴直线AC的方程为y-2=-12又∵kAH=0，∴BC所在直线与x轴垂直，故直线BC的方程为联立直线AC与BC的方程得点C的坐标为C6，（2）CB边的中垂线方程为y=1因为kAC=-12，所以因为AC边的中点为(2,0)，故AC边的中垂线的方程为：y=2所以联立两条中垂线得y=1y=2所以圆心坐标为(52,1)则△ABC的外接圆的标准方程为(【变式3-1】4.（2023春·上海浦东新·高二校考期末）已知圆C:(x−1)2+(y−1)2=4，P为直线l:2x+y+2=0上的动点，过点P作圆C的切线A．x−122C．x2+y−【答案】C【分析】先确定△PAC的面积最小时P点坐标，再由△PAC是直角三角形求出外接圆的圆心和半径，即可求出外接圆方程.【详解】由题可知，PA⊥AC，半径AC=2，圆心C(1,1)，所以S△PAC=12PA⋅AC=PA=PC2−AC2=PC2−4，要使△PAC的面积最小，即PC最小，PC的最小值为点C(1,1)到直线l:2x+y+2=0的距离2+1+222+12=5，即当P点运动到PC⊥l时，S△PAC最小，直线l的斜率为−2，此时直线PC故选：C.【变式3-1】5.（2021春·浙江宁波·高一镇海中学校考期末）已知A1,1，B3,3，动点C在直线l：（1）设△ABC内切圆半径为r，求r的最大值：（2）设△ABC外接圆半径为R，求R的最小值，并求此时外接圆的方程．【答案】（1）rmax=10−2【分析】（1）利用面积相等可得r=822（2）AB中垂线方程为y=−x+4，AC中垂线方程为y−m−32=【详解】（1）因为kAB=kl=1⇒AB//l，A所以三角形△ABC的面积S=1所以S=r=822设A关于l的对称点为A'p,q则p−1q−1=−1q+1BC+AC最小为rmax（2）AB中垂线方程为y=−x+4AC中垂线方程为y−m−32R设t=RRmax=524，此时m=4【变式3-1】6.（2022秋·浙江温州·高二温州中学校考期末）已知直线l1:x−y+3=0和l2:x+y+1=0的交点为A，过A且与x轴和y轴都相切的圆的方程为，动点B，C分别在l1和l2上，且|BC|=2，则过【答案】(x+1)2+(y−1)2【分析】由A点坐标确定圆位置，设出圆方程后代入点的坐标可得圆方程，分析动圆圆心的轨迹，从而可得动圆扫过的区域及其面积．【详解】根据题意，由x−y+3=0x+y+1=0，解得x=−2y=1，可得直线l1:x−y+3=0和显然，点A位于第二象限．过A且与x轴和y轴都相切的圆的方程为(x−a)2+(y+a)把点A的坐标代入，可得(−2−a)2+(1+a)2=故要求的圆的方程为(x+1)2+(y−1)直线l1:x−y+3=0和l2:x+y+1=0，有1×1+(−1)×1=0，则直线又由两直线的交点为A，动点B，C分别在l1和l2上，且则过A，B，C三点的动圆的圆心为BC的中点，其半径r=12×|BC|=1，即动圆的圆心到A则动圆的圆心在以A为圆心，半径r=1的圆上，故动圆扫过的区域的面积S=π×2故答案为：(x+1)2+(y−1)2=1题型4已知解析式型【例题4】（2023春·四川达州·高二校考期中）方程x−1=A．一个圆 B．两个半圆 C．两个圆 D．半圆【答案】A【分析】方程x−1=1−(y−1)【详解】由方程x−1=1−(y−1)即(x−1)2故选：A.【变式4-1】1.（2023·四川德阳·统考模拟预测）数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美．平面直角坐标系中，曲线C：x2A．2π B．4+π C．2+π【答案】C【分析】判断曲线的对称性，结合当x≥0,y≥0时，曲线即(x−1【详解】以−x,−y代换x,y，方程x2故曲线C：x2当x≥0,y≥0时，可得x2+y可得此时曲线是以C(12,由此作出曲线C的图象如图所示，所以曲线C围成的图形的面积是2×故选：C【变式4-1】2.（2021秋·上海浦东新·高三华师大二附中校考期中）已知曲线C:x+22+A． B．C． D．【答案】B【分析】利用特值法，令x=0即可得解.【详解】令x=0，则4+y2⋅故曲线C经过点0,0，故选：B.【变式4-1】3.（多选）（2023·全国·高二专题练习）若曲线E是由方程x−1=1−yA．曲线E关于直线y=±x对称B．曲线E围成的图形面积为π+4C．若点x0,y0在曲线ED．若圆x2+y2=【答案】AD【分析】对条件作代数变换得到E是由4个半圆组成，作曲线E的图形，根据图形的性质逐项分析.【详解】由x−1=1−y2，∵1−当x≥1时，x−1=1−y2,x−1同理可得E的其他部分，分别为圆心为−1,0半径为1的半圆，圆心为0,1半径为1的半圆，圆心为0,−1半径为1的半圆；作曲线E的图形如下图：图中虚线部分ABCD是边长为2的正方形；对于A，显然图形关于y=±x对称，正确；对于B，图形的面积=2×2+4×1对于C，由图可知x0的取值范围是−2,2对于D，覆盖住曲线E的圆的半径的最小值显然是2，正确；故选：AD.【变式4-1】4.（2022春·贵州黔西·高二统考期末）方程x−1=4−y−1【答案】4【分析】由x−1≥0确定x的范围，x−1=4−【详解】由题，x−1≥0，即x≥1或x≤−1x−1=4−y−1当x>1时，即x−12当x<−1时，即x+12综上，曲线的周长刚好为半径为2的圆周，即4π故答案为：4【变式4-1】5.（2023·北京·高三专题练习）曲线x2+2x|y|+2y2−1=0【答案】x轴[−1,1].【分析】以−y代替y，方程不变，可得曲线的对称轴方程，由方程可得x+|y|2【详解】以−y代替y，方程不变，可得曲线的一条对称轴是x轴；由x2+2x|y|+2y2−1=0，可得x+|y|即y的取值范围是[−1,1].故答案为：x轴；[−1,1]题型5直径公式法【例题5】（2023秋·河南驻马店·高二统考期末）以A0,0，BA．x2+yC．x2+y【答案】A【分析】由中点坐标公式求出圆心坐标，两点间距离公式求出圆的直径，得解.【详解】∵A0,0，B∴AB的中点坐标为1,0，∴以AB为直径的圆的圆心为1,0，又AB=2∴圆的半径为1，∴以AB为直径的圆的方程为x−12+y故选：A.【变式5-1】1.（2023春·上海崇明·高二统考期末）已知两点P3,1、Q5,−3，则以PQ为直径的圆的方程是【答案】x−4【分析】根据条件求出圆心坐标及圆的半径即可.【详解】∵P3,1、Q5,−3,∴PQ的中点坐标为又|PQ|=(5−3)2+(−3−1)则所求圆的方程为x−42故答案为：x−42【变式5-1】2.(多选)（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）下列说法错误的是（

）A．若一条直线的斜率为tanα，则此直线的倾斜角为B．过不同两点Ax1C．线段AB的两个端点Ax1,y1和D．经过点2,1且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x+y−3=0【答案】ABD【分析】利用直线的斜率与倾斜角的关系，直线两点式方程、直线方程的对称及圆的方程逐项判断即可.【详解】若一条直线的斜率为tanα，，此时α而直线的倾斜角的范围为0,π由直线的两点式方程可知过不同两点A的直线方程为y−y但是两点所在直线不能与坐标轴垂直或平行，故B错误.根据AB=x−易得圆的方程为：x−x当截距为0时直线方程为y=1故选：ABD.【变式5-1】3.（2021秋·安徽·高二校联考期中）已知圆直径的两个端点为A1,0，B0,22【答案】x−【分析】由题知圆心坐标为12【详解】解：因为圆直径的两个端点为A1,0，B所以圆心坐标为12,2所以圆的方程为x−1故答案为：x−【变式5-1】4.（2022秋·山西太原·高二校联考阶段练习）已知线段PQ的端点Q的坐标为（﹣2，3），端点P在圆C：（x﹣8）2+（y﹣1）2=4上运动．(1)求线段PQ中点M的轨迹E的方程；(2)若一光线从点Q射出，经x轴反射后，与轨迹E相切，求反射光线所在的直线方程．【答案】(1)（x﹣3）2+（y﹣2）2=1(2)4x﹣3y﹣1=0或3x﹣4y﹣6=0【分析】（1）设M（x，y），P（x0，y0），由题意得x0−22（2）先求得Q关于x轴对称点Q'坐标，即可设出直线l的方程，根据直线l与E相切，即可求得直线l的斜率k，整理即可得答案.（1）设M（x，y），P（x0，y0），由题意得x0整理得x0=2x+2y整理得：轨迹E的方程为（x﹣3）2+（y﹣2）2=1；（2）由题意得Q（﹣2，3）关于x轴对称点Q'（﹣2，﹣3），由题意得过点Q'（﹣2，﹣3）的直线斜率存在，且设为k，所以直线l：y+3=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣3=0因为直线l与E相切，所以d=|3k−2+2k−3|所以（5k﹣5）2=k2+1，整理得25（k2﹣2k+1）=k2+1，所以24k2﹣50k+24=0，即（3k﹣4）（4k﹣3）=0，解得k=43或所以反射光线l：y+3=43(x+2)【变式5-1】5.（2022·全国·高三专题练习）已知A(1,0)，B(3,0)是圆C直径上两个端点，则圆C的方程为，若直线y=kx截圆C所得的弦长为3，则k=.【答案】(x−2)2+【分析】由直径上的两个端点可直接求出中点坐标为圆心，端点距离的一半为半径，进而写出圆C的方程；再由圆心到直线的距离公式结合垂径定理即可求出斜率.【详解】解：因为A(1,0)，B(3,0)是圆C直径上两个端点所以AB所以圆心为2,0，半径为1，故圆的标准方程为(x−2)2由垂径定理得，圆心到直线的距离为d=即|2k|k故答案为：(x−2)2+y题型6圆系方程法【例题6】（2023秋·山东济南·高二山东省济南市莱芜第一中学校考期末）已知圆C1:x(1)求圆C1与圆C(2)求过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程.【答案】(1)2(2)x−【分析】（1）将两圆方程作差可求出公共弦的方程，然后求出圆心C1（2）解法一：设过两圆的交点的圆为x2+y2−4x+2y+λx2+【详解】（1）将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即x2+y所以圆C1的圆心0,1到直线x−y−1=0的距离为d=则AB22=所以公共弦长为23（2）解法一：设过两圆的交点的圆为x2则x2由圆心21+λ,−1−λ1+λ在直线2x+4y=1上，则所求圆的方程为x2+y解法二：由（1）得y=x−1，代入圆C2化简可得2x2−4x−1=0当x=2+62时，y=62设所求圆的圆心坐标为a,b，则a−2+62所以r2所以过两圆的交点且圆心在直线2x+4y=1上的圆的方程为x−【变式6-1】1.（2021·全国·高二期末）以圆C1：x2+y2A．(x−1)2+(y−1)C．x+352【答案】B【分析】首先两圆相减，求公共弦所在的直线方程，和圆心连线的方程联立求圆心，再根据弦长公式求半径，最后表示圆的方程.【详解】∵圆C1:x2+y∴两圆相减可得公共弦方程为l:2x−2y=0，即x−y=0又∵圆C1:x2圆C2:∴C1C∴联立x+y+2=0x−y=0∵(−2,0)到公共弦的距离为：d=−2−0∴公共弦为直径的圆的半径为：r=3∴公共弦为直径的圆的方程为x+12故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的关键是两圆相交时，两圆相减后的直线方程是两圆公共弦所在的直线方程.【变式6-1】2.（2023春·河南周口·高二统考期中）经过直线2x+y−6=0与圆C:xA．(x−4)2+(y−2)C．(x−4)2+(y+2)【答案】C【分析】当所求圆的直径就是圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小．然后将结合图形求解圆心和半径即可求解；【详解】

由题可知，当所求圆的直径就是圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小．圆C:x2+所以圆心坐标为C2,−3弦心距d=2×2−3−622接下来求解所求圆的圆心位置P：kCP⋅k过圆C:(x−2)2+(y+3)2=9的圆心和直线最小圆的圆心为x−2y−8=0与直线2x+y−6=0的交点，解方程组可得4,−2，所求面积最小的圆方程为(x−4)2故选：C．【变式6-1】3.（2023·江苏·高二专题练习）求经过直线x+y=0与圆x2+y【答案】x【分析】法一：联立直线与圆的方程求交点，根据三点在圆上，应用待定系数法求圆的方程；法二：设所求圆的方程为x2+y【详解】法一：解方程组x+y=0x2+y2∴直线与圆交于点A(1,−1),B(−4,4)．设所求圆的方程为x2+y将A，B，P的坐标代入，得1+1+D−E+F=0        16+16−4D+4E+F=01+4−D−2E+F=0     ，解得故所求圆的方程为x2法二：设所求圆的方程为x2又P(−1,−2)在圆上，则(−1)2+(−2)故所求圆的方程为x2+y

【变式6-1】4.（2022秋·黑龙江齐齐哈尔·高二齐齐哈尔市恒昌中学校校考期末）圆心在直线x−y−4=0上，且过两圆x2+y2−4x−6=0【答案】x−3【分析】设出圆系方程x2【详解】由题意设圆方程为x2整理得x2+y所以21+λ−2λ所以圆方程为x2+y故答案为：(x−3)2题型7对称相关问题【例题7】（2023春·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期末）已知圆C:x2+y2A．(x+3)2+(y−4)C．(x+6)2+(y−8)【答案】D【分析】圆关于点对称只是圆心的位置发生了变化，因此只需求圆心关于点(−3,4)对称后的坐标即可解决.【详解】圆C:x2+y2(0,0)关于(−3,4)对称的点为(−6,8)，圆C对称后只是圆心位置改变，圆的半径不会变化，仍为5，因此所求的圆的方程为(x+6)2故选：D【变式7-1】1.（2022秋·陕西宝鸡·高二统考期末）已知圆C关于直线x−y+1=0对称的圆的方程x−12+y−1A．x2+y+2C．x2+y−2【答案】C【分析】根据圆关于直线对称，求出圆C的圆心即可求解，由点关于直线对称列出方程即可.【详解】因为圆x−12+y−1设(1,1)关于x−y+1=0的对称点C(x,y)，则y−1x−1×1=−1x+1即圆C的圆心为(0,2)，半径为1，所以方程为x2故选：C【变式7-1】2.（多选）（2022秋·辽宁营口·高三统考期末）已知圆C:x−32+A．直线l与圆C一定相交B．若m<4C．若m=1，则圆C关于直线l对称的圆的方程是x+1D．若m=1，直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，P为圆C上任意一点，当PB=6时，则【答案】BCD【分析】先确定直线是动直线，举例可说明A错误；利用点到直线的距离公式列不等式可说明B正确；确定圆心关于直线x+y−2=0的对称点，则可求对称圆的方程，可知C的正误；数形结合判断D的正误.【详解】对于A，直线l:mx+y−2=0是绕点(0,2)转动的动直线，和圆C:x−32+y−32=4不一定相交，比如对于B，令d=|3m+1|m2对于C，设圆心(3,3)关于l:x+y−2=0的对称点为(a,b),则b−3a−3解得a=−1b=−1，故对称圆的方程为x+1对于D,如图示，当PB和圆相切时，∠PBA最大或最小，此时|PB|=|BC故选：BCD.【变式7-1】3．（2023秋·广东·高三统考期末）从点P2,3射出两条光线的方程分别为：l1:4x−3y+1=0和l2:3x−4y+6=0，经x【答案】(x+3)【分析】分别求出l1和l2的对称直线，利用直线与圆相切列方程求出【详解】设l1:4x−3y+1=0关于x轴的对称直线为则点P2,3关于x轴的对称点P'2,−3又l1:4x−3y+1=0与x轴的交点Q−14同理l2:3x−4y+6=0关于x因为l1'和l2所以4a+3b+142+∴a=−3,b=2,∴所求圆的方程为(x+3)2故答案为：(x+3)2【变式7-1】4.（2022秋·重庆江北·高二校考期末）已知圆C的圆心在第一象限内，圆C关于直线y=13x对称，与y轴相切，被直线y=−x(1)求圆C的方程；(2)若点P62，【答案】(1)x−3(2)x=62或【分析】（1）结合点到直线的距离公式、弦长公式求得a,b,r，由此求得圆C的方程.（2）根据过P的圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.【详解】（1）由题意，设圆C的标准方程为：x−a2∵圆C关于直线y=13x对称，所以圆心a,b在直线y=∵圆C与y轴相切：∴r=a=3b①，点Ca,b到y=−x即x+y=0的距离为：d∵圆C被直线y=−x截得的弦长为22，∴结合①有：9b2=8又b>0，∴b=2，r=a=3b=3∴圆C的标准方程为：x−32（2）当直线l的斜率不存在时，直线方程为：x=62当直线l的斜率存在时，设直线l的斜率为k，则方程为y−2=k(x−62)，即又圆C的圆心为32,2由32k−2所以直线方程为y−2=−5+42即直线l的方程为x=62或5+4【变式7-1】5.（2022秋·江苏镇江·高二扬中市第二高级中学校考期末）已知圆C1:x+22+y−32=1，圆C2:x−32【答案】x+22+【分析】求出圆C1的圆心坐标关于x轴的对称点坐标，即可得圆C1关于x轴的对称圆C1【详解】解：因为圆C1:x+22+因为圆心C1−2,3关于x轴的对称点为C1'所以圆C1关于x轴的对称圆的方程为x+2由题意，设动点M关于x轴的对称点为M'，则M'在圆所以PM+故答案为：x+22+y+3题型8阿波罗尼斯圆问题【例题8】（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有两点A(−1,0)和B(2,1)，且该平面内的点P满足PA=2PB，若点P的轨迹关于直线mx+ny−2=0m,n>0A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】由题意计算得P的轨迹方程为(x−5)2+(y−2)【详解】设点P的坐标为x,y，因为PA=2PB即x+12所以点P的轨迹方程为(x−5)2因为P点的轨迹关于直线mx+ny−2=0m>0,n>0所以圆心5,2在此直线上，即5m+2n=2，所以2m+5n当且仅当4nm=25m所以2m+5故选：B.【变式8-1】1.（2023春·广西南宁·高二宾阳中学校联考期末）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数λ（λ>0且λ≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A−3,0，动点M满足MA=2MO，得到动点M的轨迹是阿氏圆C.若对任意实数k，直线l：y=kx−1A．−13,13C．−15,15【答案】B【分析】设点Mx,y，求出动点M的轨迹圆C的方程，再求出直线l过定点坐标，依题意点1,b在圆C【详解】设点Mx,y，∵MA=所以动点M的轨迹为阿氏圆C：x2又直线l:y=kx−1+b恒过点若对任意实数k直线l:y=kx−1+b与圆∴1,b在圆C的内部或圆上，所以1+所以b2≤14，解得即b的取值范围为−14故选：B【变式8-1】2.（多选）（2022秋·福建厦门·高三厦门双十中学校考阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中，A(1,0)，B(3,0)，点P满足PAPB=2，点PA．曲线C的方程为xB．直线3x+4y=0与曲线C有公共点C．曲线C被x轴截得的弦长为4D．△ABP面积的最大值为2【答案】ACD【分析】通过阿氏圆的定义结合PAPB=2通过计算圆心到直线3x+4y=0的距离是否小于等于半径，从而判断B的正确性；计算圆心到x轴的距离d，结合d2+l22=rAB的长度确定，所以△ABP面积的最大值即为点P到AB距离的最大值，从而判断C的正确性.【详解】设Px,y对于选项A，因为PAPB=2，所以x−1对于选项B，因为曲线C为x2+y2−10x+17=0，所以圆心为5,0，半径为22，计算圆心所以直线3x+4y=0与曲线C没有公共点，故B错误；对于选项C，曲线C的圆心在x轴上，所以被x轴截得的弦即为直径，所以曲线C被x轴截得的弦长为42对于选项D，因为A(1,0)，B(3,0)，所以|AB|=2,故S△ABP而曲线C为x2+y2−10x+17=0，所以y故选：ACD【变式8-1】3.（2023·江苏·高二专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λλ≠1的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，A−2,0，B4,0，点P满足PAPB=①轨迹C的方程为x+42②在x轴上存在异于A,B的两点D,E，使得PDPE③当A,B,P三点不共线时，射线PO是∠APB的角平分线.④在C上存在点M，使得MO=2以上说法正确的序号是．【答案】②③【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹C的方程可