【教无忧】高中数学同步讲义(人教B版2019选择性必修一)第41讲 专题2-6 双曲线离心率取值专题十九大题型_第1页
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文档简介

专题2-6双曲线离心率取值专题十九大题型汇总题型1直接法 3题型2通径法 8题型3运用渐近线求离心率 13题型4坐标法 18题型5焦点弦已知底角 24题型6焦点弦定比点差 28题型7焦点三角形定义法 34题型8焦点三角形已知顶角 40题型9焦点双曲线双余弦定理 44题型10焦点三角形面积相关 49题型11点差法 52题型12由题目条件求离心率 59题型13利用图形求离心率 64题型14双曲线的对称性 69题型15角平分线相关 77题型16向量相关 83题型17双曲线与圆相关 86题型18内切圆相关 93题型19双曲线与和差最值 97知识点.双曲线公式1e=公式2e=证明:证明:e=c公式3已知双曲线方程为x2a2−y2b2证明:由正弦定理得:由等比定理得:即,∴。公式4以双曲线的两个焦点、及双曲线上任意一点(除实轴上两个端点外)为顶点的,=,=β,则离心率()证明:由正弦定理,有,即又,公式5点F是双曲线焦点,过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ(0,π2),k为直线AB斜率,且,则e当曲线焦点在y轴上时,e=注:λ=AFBF或者λ=BFAF,题型1直接法【方法总结】e=【例题1】(2023秋·江西吉安·高二宁冈中学校考期中)双曲线y2【答案】62/【分析】直接利用双曲线方程求出a,c,然后求解离心率.【详解】由双曲线y2−2x所以c=a所以双曲线y2−2x故答案为:62【变式1-1】1.(2023·全国·高三专题练习)已双曲线C:x2【答案】3【分析】整理得到y2【详解】由曲线C:x22离心率e=c故答案为:3.【变式1-1】2.(2023·全国·高二随堂练习)求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程,并画出双曲线的草图:(1)x2(2)y2【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】由双曲线的几何性质分别求解即可.【详解】(1)由双曲线方程x2知双曲线焦点在x轴,且a=2,b=3,c=13则双曲线的实轴长2a=4,虚轴长2b=6,顶点的坐标(−2,0),(2,0),离心率e=c由ba=3画出双曲线草图(如图).

(2)由双曲线方程y2知双曲线焦点在y轴,且a=3,b=2,c=13则双曲线的实轴长2a=6,虚轴长2b=4,顶点的坐标(0,−3),(0,3),离心率e=c由ab=3画出双曲线草图(如图).

【变式1-1】3.(2023·全国·高二随堂练习)求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程和离心率.(1)x2(2)y2(3)8x(4)9y【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)答案见解析;(4)答案见解析;【分析】将双曲线方程化为标准方程,确定焦点所在位置,求出a,b,c,即可求出实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程和离心率.【详解】(1)双曲线x2则焦点在x轴上,且a2即a=4,b=25所以实轴长为2a=8,虚轴长为2b=45焦点坐标为±6,0,顶点坐标为±4,0,渐近线方程为y=±5离心率为ca(2)双曲线y2则焦点在y轴上,且a2即a=4,b=25所以实轴长为2a=8,虚轴长为2b=45焦点坐标为0,±6,顶点坐标为0,±4,渐近线方程为y=±2离心率为ca(3)双曲线8x2−8则焦点在x轴上,且a2即a=2,b=2,c=22所以实轴长为2a=4,虚轴长为2b=4,焦点坐标为±22顶点坐标为±2,0,渐近线方程为y=±x,离心率为ca(4)双曲线9y2−则焦点在y轴上,且a2即a=3,b=9,c=310所以实轴长为2a=6,虚轴长为2b=18,焦点坐标为0,±310顶点坐标为0,±3,渐近线方程为y=±1离心率为ca【变式1-1】4.(多选)(2022秋·新疆昌吉·高二统考期中)关于双曲线x2A.实轴长为4 B.焦点为±2C.右焦点到一条渐近线的距离为4 D.离心率为3【答案】AC【分析】根据双曲线的方程求得a=2,b=4,c=25【详解】由双曲线x24−y2所以双曲线的实轴长为2a=4,所以A正确;焦点坐标为(±25又由双曲线的右焦点为F2(25,0),其中一条渐近线的方程为所以F2到渐近线的距离为4由双曲线的离心率的定义,可得双曲线的离心率为e=c故选:AC.题型2通径法【方法总结】双曲线的通径为2【例题2】(2023春·新疆巴音郭楞·高二校考开学考试)设F1、F2分别是双曲线C:x2−y2b=1的左、右焦点,过F2作x轴的垂线与A.2 B.63 C.22 【答案】D【分析】求出∠AF1F2=30∘,利用双曲线的定义求出A【详解】设AF2=t,因为AB⊥x轴,则点A、B关于x轴对称,则F

因为△ABF1为等边三角形,则∠AF所以,AF1−所以,2c=F1F因此,该双曲线C的离心率为e=c故选:D.【变式2-1】1.(2023春·云南曲靖·高二会泽县实验高级中学校校考阶段练习)已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,l为双曲线的一条渐近线,F到直线l的距离为5,过F且垂直于A.2 B.6 C.4 D.6【答案】B【分析】根据已知条件求得a,c,由此求得双曲线的离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程为bx−ay=0,所以焦点Fc,0到渐近线bx−ay=0的距离为由x2a2−y所以y=±5a,所以所以c=所以离心率e=故选:B【变式2-1】2.(2021春·云南昭通·高二校考期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A,左焦点为F,动点A.2 B.32 C.3 D.【答案】D【分析】首先判断B在左支上,求得BF,由AF=32BF,可得a+c=3b22a,再由【详解】如图,由动点B在C上,当BF⊥AF时,AF=可得B在左支上,令x=−c,可得c2解得y=±bc2a2−1即2aa+c可得2a=3c−a,即3c=5a,e=故选:D.

【变式2-1】3.(2023·全国·高二专题练习)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1A.5 B.859 C.62 【答案】C【分析】根据双曲线的对称性结合已知可得AF1=5AF2,设AF【详解】因为过点F2所以AB=2因为AF1AB=5设AF2=m,则AF1所以AF2=因为∠AF2F所以254所以6a2=4所以离心率e=c故选:C

【变式2-1】4.(2023秋·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考开学考试)已知A,B分别是双曲线C:x2aA.2 B.3 C.2 D.3【答案】C【分析】由已知可得A,B,P的坐标,求得PA,PB所在直线的斜率,再由直线PB与直线PA的斜率之比为3列式求双曲线C的离心率.【详解】由题意可得,A(−a,0),B(a,0),P点的横坐标为c,代入c2a2−ykPA=b则kPBkPA即双曲线的离心率为2.故选:C.

【变式2-1】5.(2023秋·高二单元测试)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为Fc,0,直线l:x=c与双曲线C【答案】233【分析】利用双曲线通径长和与渐近线交点情况可得AB,DE,由DE=2AB和a,b,c关系可求得c=2b,【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为:y=±b∵直线l:x=c∴AB为双曲线的通径,则由x=cx2a2−由x=cy=±bax由DE=2AB得:2bc即c=2b所以a=c所以离心率e=故答案为:2【变式2-1】6.(2023·河北保定·统考二模)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,B为虚轴上端点,M是BF中点,O为坐标原点,A.2 B.2 C.3 D.2【答案】A【分析】作出图象,根据几何性质可得点M,N的坐标,结合OM∥ON可得a=b,进而求出离心率.【详解】由题意,在双曲线C:x2a2−y

由题意可知:Fc,0因为M是BF中点,则Mc2,且O,M,N三点共线,则OM∥ON,可得c2×b所以e=c故选:A.题型3运用渐近线求离心率【方法总结】e=【例题3-1】(2023秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试)已知双曲线C的焦点为−2,0和2,0,一条渐近线的方程为y=3x,则C离心率为,则C【答案】2x【分析】根据题意设出双曲线方程可解得a=1,b=3【详解】由题意可设双曲线方程为x2由焦点为−2,0和2,0可得a2一条渐近线的方程为y=3x可得ba所以离心率e=ca=2故答案为:2;x2【变式3-1】1.(2023·全国·高三专题练习)已知双曲线C:x2A.2sin40° B.2cos40° C.【答案】C【分析】双曲线C的一条渐近线的倾斜角为40°,所以ba=tan40°,再由b2【详解】因为双曲线C的渐近线方程为y=±b所以ba记双曲线C的离心率为e,则b2所以e2所以e=1故选:C.【变式3-1】2.(2023秋·河南三门峡·高二统考期末)设双曲线C:x2m−y【答案】3或6【分析】根据双曲线焦点的位置,结合双曲线方程与离心率公式分类讨论进行求解即可.【详解】当该双曲线焦点位于横轴时,则有m>0,n>0,因为该双曲线一条渐近线为y=2所以有nm即此时双曲线的离心率为3;当该双曲线焦点位于纵轴时,则有m<0,n<0,因为该双曲线一条渐近线为y=2所以有−n−m即此时双曲线的离心率为62故答案为:3或6【变式3-1】3.(2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习)已知双曲线C:x2a2−A.3 B.6 C.9 D.12【答案】A【分析】由离心率与渐近线斜率关系即可得.【详解】由题可知ba则C的离心率e=c故选:A.【变式3-1】4.(2023·全国·高二专题练习)已知双曲线C:x2a2−A.6 B.5 C.3 D.2【答案】B【分析】由题意可得ba=2,结合离心率定义推得【详解】由题意双曲线C:x2a得−ba=−2,即b故选:B.【例题3-2】(2023春·陕西咸阳·高二统考期末)已知F是双曲线C:x2a2−y2b2【答案】3【分析】由双曲线的性质可得直线与双曲线渐近线平行,结合双曲线离心率的定义求解即可.【详解】双曲线的渐近线方程为y=±b又已知F(−c,0)是双曲线C:x2a直线PF与双曲线C有且只有一个公共点,所以直线PF与双曲线C的渐近线平行,则kPF=ba,即6a即c4即c2=3a则双曲线C的离心率为3.故答案为:3.【变式3-2】1.(2021秋·陕西渭南·高二统考期末)已知双曲线C:x2−y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1A.3 B.23 C.2 【答案】C【分析】根据三角形中位线得OM//NF1,又M是线段F2N的中点,又可得OM⊥NF2,则可得渐近线【详解】双曲线C:x2−y

因为O是线段F1F2的中点,M是线段又NF1⊥NF2所以∠NO所以渐近线y=bx的倾斜角为60°,则b=tan60°=3所以c=a2+故选:C.【变式3-2】2.(2022秋·河南漯河·高二校考期末)设F是双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点,双曲线两条渐近线分别为l1,l2,过F作直线l1的垂线,分别交A.52 B.113 C.62【答案】A【分析】由题意直线l1的倾斜角为α∈(0,π4),根据OA⊥AB,得到OA2+AB2=OB2,再由OA,AB,OB【详解】解:如图所示,因为向量BF与FA同向,可得直线l1的倾斜角为α∈(0,即k=ba<1,所以b又由OA⊥AB,所以OA2又因为OA,AB,OB成等差数列,所以2AB联立方程组,可得OA=34AB,在直角△OAB中,可得tan∠AOB=又由双曲线x2a2−y即tan∠AOB=tan2α=2tan可得b2a2=c故选:A.题型4坐标法【方法总结】方法:求出点的坐标带入双曲线方程建立等式【例题4】(2023·全国·高三专题练习)已知双曲线C:x2a2−A.2 B.3 C.2 D.3【答案】C【分析】利用双曲线的渐近线方程及点关于线对称的特点,结合双曲线的离心率公式即可求解.【详解】双曲线C:x2a设点F2关于一条渐近线y=−ba由题意知,−ba×又知bmam−c=所以c2=a所以双曲线C的离心率是e=故选:C.【变式4-1】1.(2024·全国·高三专题练习)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F分别作C的两条渐近线的平行线与C【答案】3+2/【分析】设直线方程为y=bax−c与双曲线方程x【详解】解:如图所示:

设直线方程为y=bax−c解得x=a因为|AB|=23所以2×b即b2=23解得e=c故答案为:3【变式4-1】2.(2023春·云南曲靖·高三校联考阶段练习)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0虚轴的一个顶点为D,直线x=3a与C交于【答案】91【分析】结合图形,利用垂心的定义,以及两直线垂直与斜率的关系可得b2【详解】如图,设△ABD的垂心为H,则有DH⊥AB,不妨设D(0,b),则H(x,b),因为H在渐近线y=bax直线x=3a与C交于A,B两点,所以9a2a所以A(3a,2又因为AD⊥BH,所以kAD整理得,b2a2

故答案为:917【变式4-1】3.(2023·全国·高三专题练习)已知坐标平面xOy中,点F2为双曲线C:x2a2−y2=1(a>0)的右焦点,点M在双曲线C的左支上,MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D,且D为MF2A.2 B.3 C.5 D.5【答案】C【分析】设M(m,n),根据题意可知OD垂直平分MF2,利用两直线垂直斜率之积为−1和中点坐标公式可得nm−c=−a且12⋅n=1a⋅m+c2【详解】由题意知,双曲线的渐近线方程为y=±1ax

不妨设点M(m,n)在第二象限,则kM由D为MF2的中点,O、I、D三点共线知直线OD垂直平分则OD:y=1ax,有n解得m=a2−1c,将M(a2−1得(2a2−c2当点M在第三象限时,同理可得e=5故选:C.【变式4-1】4.(2023秋·河南·高三统考阶段练习)已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0),过其上焦点F的直线与圆【答案】303/【分析】设出过上焦点F的直线方程为y−c=kx,由圆心到直线距离等于半径得到k=±ba,再分别联立直线与圆,直线与渐近线,求出xA=ab【详解】由题意得F0,c,渐近线方程y=±设过其上焦点F的直线方程为y−c=kx,则圆心O到直线y−c=kx的距离为c1+k2如图所示,故过其上焦点F的直线方程为y−c=−b联立y−c=−bax与x解得xA联立y−c=−bax与y=ab联立y−c=−bax与y=−ab因为2FB=5FA,所以2化简得2c又b2=c2−解得ca=303,双曲线故答案为:30【变式4-1】5.(2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试)已知直线l:3x−3y+m=0与圆C1:(x−λ)2+y2=λ2(λ>0)相切于点E【答案】2【分析】联立直线l与双曲线C2的渐近线求出A,B两点的坐标,即可用m、a、b表示出中点E的坐标,由直线l与圆C1相切可得m=3λ,再联立直线l与圆C1,即可用λ表示出E的坐标,再消λ【详解】双曲线C2:x由3x−3y+m=0y=−bax解得A(线段AB的中点坐标为E(−3ma2又xE>0,则yE>0,即点E在第一象限,直线又直线l与圆C1相切,则有3λ+m3+9=λ,解得由x−3y+λ=0(x−λ)2+y2=λ所以双曲线C2的离心率e=

故答案为:2题型5焦点弦已知底角【方法总结】e=【例题5】(2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试)点P是双曲线C1:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)和圆C2:x2+【答案】3+1/【分析】利用圆与双曲线的定义与性质计算即可.【详解】

由题中条件知,圆的直径是双曲线的焦距,则∠F∴∠PF1F2=e=2c故答案为:3【变式5-1】1.(2023春·四川成都·高二校考阶段练习)已知F1、F2为双曲线E的左,右焦点,点M在E的右支上,△FA.3+1 B.5−1 C.5+1【答案】D【分析】由题意求得M点坐标,再将之代入双曲线方程,求得a与b的关系,最后利用双曲线的离心率公式即可求得E的离心率.【详解】设双曲线方程为x2a2如下图所示:过M做MD⊥F1F2交

由△F1F2则∠MF2D=60°∴|MD|=3c,∴M点坐标为(2c,3又M在双曲线上,则(2c)2即4e2−解得e2=1+3解得e=3故选:D.【变式5-1】2.(2008·全国·高考真题)设△ABC是等腰三角形,∠ABC=120°,则以A,B为焦点,且过点C的双曲线的离心率为(

)A.1+22 B.1+32 C.【答案】B【解析】根据题设条件可知2c=AB=BC,由正弦定理可得AC【详解】双曲线的焦点为A,B,则AB=2c∵△ABC是等腰三角形,∠ABC=120°,∴BC=2c,∠ACB=30°由正弦定理ACsin∠ABC=ABsin双曲线过点C,由双曲线的定义可得|AC|−|BC|=23解得离心率e=c故选:B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率以及解三角形问题,属于中档题.求双曲线离心率,一般可由下面两个方面着手:(1)根据已知条件确定a,b,c的等量关系,然后把b用a,c代换,求ca(2)已知条件构造出a,b,c的等式或不等式,结合c2=a2+b2化出关于a,c【变式5-1】3.(2020秋·天津红桥·高二统考期末)已知F1,F2是双曲线x2A.3+1 B.4+23C.3−12 D.【答案】A【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式,进而可求得三角形的高,则点M的坐标可得,进而求得边MF1的中点N的坐标,代入双曲线方程求得a,b和c的关系式化简整理求得关于e的方程求得【详解】解:依题意可知双曲线的焦点为F1(−c,0),F2∴三角形高是3c,M(0,∴边MF1的中点N(−c2,整理得:b2∵b2=c2整理得e4−8e∵e>1,∴e=3故选:A.【变式5-1】4.(2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习)已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,点【答案】3【分析】作出辅助线,得到PM=3c,【详解】由题知F1F2=PF2=2c,过∴PMPMAM=3∴e=故答案为:3题型6焦点弦定比点差【方法总结】点F是双曲线焦点,过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ(0,π2),k为直线AB斜率,且,则e当曲线焦点在y轴上时,e=【例题6】(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F,过F且斜率为3A.58 B.65 C.75【答案】B【分析】设双曲线C:x2a2−y2b2=1的右准线为l,过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,BD⊥AM于D,根据直线AB的斜率为【详解】设双曲线C:x2a过A、B分别作AM⊥l于M,BN⊥l于N,BD⊥AM于D,如图所示:因为直线AB的斜率为3,所以直线AB的倾斜角为60°,∴∠BAD=60°,AD=由双曲线的第二定义得:AM−又∵AF=4∴3e∴e=故选:B【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.【变式6-1】1.(2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的左、右焦点分别的F1、F2,过点F2且倾斜角为60°的直线l【答案】2t−2【分析】设Ax1,y1,Bx【详解】设Ax1,由点Ax1,y1在双曲线C:则A=c同理,BF2=cax2

∴x∵A设cax1∴a∴m∴e=2t−2故答案为:2t−2t+1【变式6-1】2.(多选)(2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中)如图,双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2,过右焦点FA.双曲线C的离心率为7B.△AF1F2C.△AF1F2D.△AF1F2【答案】BD【分析】设设F2B=m,则AF2=7m,则AF1=7m+2a,F1B=m+2a,在△AF1F2和△BF1F【详解】设F2B=m由双曲线的定义可得:AF1=在△AF1F即2a2+14am−2在△BF1F即2a2+2am−2所以,7cm−14am=−cm−2am,整理可得ca所以该双曲线的离心率为e=3对于B选项,S△A对于C选项,因为c=32a,代入2所以,AF2=7m=5a△AF1FBF2=m=所以,△BF1F所以,△AF1F2和对于D选项,设△AF1F2和△BF则S△AF1故选:BD.【点睛】方法点睛:求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下:(1)定义法:通过已知条件列出方程组,求得a、c的值,根据离心率的定义求解离心率e的值;(2)齐次式法:由已知条件得出关于a、c的齐次方程,然后转化为关于e的方程求解;(3)特殊值法:通过取特殊位置或特殊值,求得离心率.【变式6-1】3.(2020·全国·高三专题练习)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>b>0的右焦点为F,过F且斜率为3【答案】6【解析】设A(x1,y1),B(x2,y【详解】因为直线AB过点F(c,0),且斜率为3所以直线AB的方程为:y=与双曲线x2a2(设A(所以y因为AF=4FB代入上式得−3消去y2并化简整理得:将b2=解之得c=因此,该双曲线的离心率e=故答案为:6【点睛】1.直线与双曲线相交的问题,常将两个的方程联立消元,用韦达定理表示出横(纵)坐标之和、积,然后再结合条件求解2.求离心率即是求a与c的关系.【变式6-1】4.(2022秋·湖北荆州·高二荆州中学校考期末)设双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C【答案】6【分析】设直线AB的方程,与双曲线方程消去x并化简.设A(x1,y1),B(x2,y2),利用根与系数的关系得到y1+y2,y1y2【详解】∵直线AB过点F(c,0),且斜率为3,∴直线AB的方程为y=与双曲线C:x消去x,得(13设A(x1,y1),∴y1∵AB=5FB∴代入上式得−3y2=消去y2并化简整理,得4将b2=c2−因此,该双曲线的离心率e=6故答案为:65题型7焦点三角形定义法【例题7】(2023秋·四川巴中·高三统考开学考试)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过A.12 B.233 【答案】C【分析】设PF1交y轴与A,可推出AO∥PF2,从而PF【详解】如图,设PF1交y轴与A,A为

因为O为F1F2的中点,故AO则AO∥PF2,而因为直线PF1的斜率为34,故Rt故设|PF2|=3t结合双曲线定义以及P在双曲线右支上,即有4t=2c,|PF则2a=c,∴e=c故选:C【变式7-1】1.(2023·全国·高三专题练习)双曲线具有光学性质,从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射,其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E:x2a2−y2

A.173 B.375 C.102【答案】B【分析】结合题意作出图形,然后结合双曲线的定义表示出BF1,【详解】由题意知延长CA,DB则必过点F1

由双曲线的定义知AF又因为cos∠BAC=−513因为AB⋅BD=0设AF1=13m,m>0,则AB从而由AF2+BF则BF1=125又因为BF12即37a2=25故选:B.【变式7-1】2.(2023秋·全国·高二期中)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1【答案】355【分析】利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到AF2,BF2,【详解】依题意,设AF2=2m在Rt△ABF1中,9故a=m或a=−3m(舍去),所以AF1=4a,AF故cos∠所以在△AF1F2中,故e=c故答案为:35【点睛】关键点睛:双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义,结合勾股定理与余弦定理得到关于a,b,c的齐次方程,从而得解.【变式7-1】3.(2023秋·湖北·高三校联考阶段练习)已知双曲线C:x2a2−y22=1的左右焦点分别为F1【答案】7【分析】通过双曲线的定义,用参数a表示BF1,BF2,过O,F2作直线【详解】∵点A为双曲线C右支上一点,∴AF又AB=AF2,∵点B为双曲线C左支上一点,∴BF2−过O,F2作直线AF

则OM//F2N,又O为F在直角三角形BNF2中在直角三角形F1NF24441−2a2=a∴c2=a2+2=∴C的离心率为7.故答案为:7.【变式7-1】4.(2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习)已知双曲线C:x2a2−y2b2【答案】6+3【分析】根据双曲线的定义结合条件求解即可.【详解】

因为AF2=−2AB根据双曲线的定义,A因为F1A在直角三角形AF2F又因为cos由此解得c=所以e=c故答案为:6+【变式7-1】5.(2023·全国·高二专题练习)设F1,F2为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过左焦点F【答案】2【分析】设直线的倾斜角为α,可得cosα=78,由P在第一象限内,且F1P【详解】设直线的倾斜角为α,则cosα=由P在第一象限内,且F1P=∴F2P=2c−2a整理得3c2+4a2−8ac=0,则

故答案为:2题型8焦点三角形已知顶角【例题8】(2023秋·江苏南通·高二校联考阶段练习)已知F1,F2是双曲线C的两个焦点,P为C上一点,且∠FA.213 B.215 C.7 【答案】A【分析】根据PF1=4PF2,∠F【详解】如下图所示:根据题意可设PF2=m,由余弦定理可知cos∠F1即c=21由双曲线定义可知可知PF1−所以离心率e=c故选:A【变式8-1】1.(2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末)已知F1和F2是双曲线C:x2a2−y2b2=1A.3 B.2 C.62 D.【答案】C【分析】由已知结合双曲线的定义及性质,利用余弦定理,总综合可得4c【详解】不妨设|PF在△PF1F因为|OP|=5则|PF两式联立得|PF因为4c2=|P整理得4c2=6所以离心率e=c故选:C.

【变式8-1】2.(2023·贵州遵义·统考模拟预测)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1【答案】3【分析】构建焦点三角形,判断出其为直角三角形,进而可求.【详解】如图,因为PO=c=|F1所以∠OPF则|PF2ce2解得e=3故答案为:3

【变式8-1】3.(2023·西藏日喀则·统考一模)已知双曲线C:x2a2−y2b2【答案】102/【分析】根据双曲线的定义以及直角三角形的性质求解即可;【详解】

依题意有OF所以F1设PF2所以|PF在Rt△F所以△F故有:|OF1解得:t=a,即PF2在Rt△F即10a所以10故答案为:102【变式8-1】4.(2023春·河南漯河·高二统考期末)已知F1,F2为双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,过点【答案】5【分析】由给定条件可得MF1⊥M【详解】由MF1⋅MF2=0,得M则|MF1|=得(2abb−a)2+解得b=2a,所以双曲线E的离心率e=c故答案为:5

题型9焦点双曲线双余弦定理【例题9】(2023秋·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习)已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为FA.7 B.6 C.5 D.2【答案】A【分析】根据给定条件,利用双曲线的定义、余弦定理求解作答.【详解】令|AF1|=t

在△ABF2中,∠BAF即(3t−2a)2=4t2+在△AF1F2中,令双曲线半焦距为c,由余弦定理得:所以双曲线离心率e=c故选:A【变式9-1】1.(2023秋·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1A.2 B.2 C.6 D.2【答案】C【分析】根据点到直线距离公式、余弦定理,双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】双曲线C的左焦点F1−c,0,渐近线l1由点到直线的距离公式可得MF由勾股定理得OM=在Rt△MOF1中,∠OM在△MOF2中,OM=a,Mcos∠MO由余弦定理得cos∠MO化简得c2=6a2,即故选:C

【点睛】关键点睛:本题的关键是利用互补两角的余弦值为零,进而运用余弦定理.【变式9-1】2.(2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测)已知F1,F2分别为双曲线C:x2a2−y2b2=1A.173 B.C.5 D.1+【答案】B【分析】设BF1=m,利用双曲线定义表示出BF2,AF2的长,再利用勾股定理可得m2【详解】如下图所示,连接BF2,AF2,易知以O即F1F2为圆O

不妨设|BF1|=m,由双曲线定义可得|B所以|BF1|2在△BF1F在△AF1F又易知cos∠BF联立①②可得,3a则双曲线的离心率为e=故选:B【变式9-1】3.(2023·全国·高二专题练习)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F【答案】3【分析】利用向量的中点性质与双曲线的定义求得PO,PF1,再利用余弦定理得到关于【详解】依题意,设双曲线C的半焦距为c,则F1F2

因为O是F1F2故由PF1+因为PF2−PF在△PF1F在△PF1O所以c2−2a2ac=a故答案为:3.【点睛】关键点睛:本题解决的关键是熟练掌握平面向量的运算法则与双曲线的定义,从而得到所需线段的长度,再构造关于a,c的齐次方程即可得解.【变式9-1】4.(2023·全国·模拟预测)已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,Q是双曲线A.295 B.293 C.43【答案】B【分析】设F1P=m,|PQ|=3m,QQF2,PF2,依题意可得【详解】设F1P=m,因为PQ=3F连接PF2,因为QF1−QF又QF1⋅在Rt△F1QF2在Rt△PQF2中,有|PQ|由②可得m=56a,将其代入①即e=c故选:B.题型10焦点三角形面积相关【例题10】(2021秋·陕西渭南·高二统考期末)双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1−c,0,A.22 B.2 C.2 D.【答案】C【分析】先利用点到直线的距离公式求出F2A=b,再可求得OA=a,则S△AOF2=1【详解】双曲线的渐近线为y=±bax,由双曲线的对称性,不妨取y=F2所以OA=所以S△AO因为△AF1F2的面积为所以12bc=2×1所以离心率e=c故选:C

【变式10-1】1.(2023春·宁夏银川·高二校考阶段练习)设F1,F2是双曲线C:x216−A.53 B.2 C.54 【答案】C【分析】由已知条件,结合双曲线的简单性质求出b2【详解】因为F1,F2是双曲线C:x216−所以||PF1|−|PF||=8所以c2=a故双曲线的离心率为e=c故选:C.【变式10-1】2.(2023·河南开封·统考模拟预测)已知A是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点,点P(2,3)在C上,【答案】2【分析】由题设可得a+c=3,结合点在双曲线上及参数关系求出双曲线参数a,c,即可得离心率.【详解】由题设知:|AF|=a+c,则S△APF

所以a+c=3且c>a,易知:0<a<3又4a2−9b所以4(c2−化简得a3−3a2−4a+6=(a−1)(综上,a=1,故c=2,则离心率为ca故答案为:2题型11点差法【方法总结】运用结论kOM【例题11】(2024·全国·高三专题练习)双曲线C:x2a2−y2b2=1A.32 B.355 C.6【答案】A【分析】根据已知条件列方程,化简求得b2【详解】依题意A−a,0,设Mm,t,则N且m2而kAM4t2=5所以e=c故选:A【变式11-1】1.(2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习)已知过坐标原点的直线l与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,点A在第一象限,经过点A且与直线l垂直的直线与双曲线C的另外一个交点为M,点N在【答案】7【分析】由题意可得直线的斜率存在且不等于0,不妨设直线l的方程为y=kx,设线段BM的中点为Q,连接OQ,设Bx1,y1x1<0,y1<0,根据点差法得到k【详解】根据题意,画出示意图,如图所示.

由题意可得直线的斜率存在且不等于0,不妨设直线l的方程为y=kx,因为BN//设线段BM的中点为Q,连接OQ,根据题意,显然可得点O为线段AB的中点,所以OQ//设Bx1,y1x1因为点B,M都在双曲线C上,则x12a即y1而y1+y所以kBM⋅k又因为AB⊥AM,则OB⊥OQ,即kOB所以y1x1所以kBM又ON2=7OA即|ON|=−7|OA所以kBN而kBM=kBN,故则双曲线C的离心率e=c故答案为:7.【点睛】方法点睛:直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题,常用点差法,该法计算量小,模式化强,易于掌握,若相交弦涉及AM=λ【变式11-1】2.(2023秋·山东青岛·高三统考期末)已知双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0与直线y=kx相交于A,B两点,点P为双曲线E上的一个动点,记直线PA,PB的斜率分别为【答案】5【分析】设点A(x1,y1),B(−x1,−y1【详解】设点A(x1,y1),B(−x两式相减,得x12−因为kPA⋅kPB=所以双曲线的渐近线方程为y=±12x因为焦点F2c,0到渐近线x−2y=0的距离为所以c5=1,可得c=5,又因为c所以双曲线的离心率e=5故答案为:5【变式11-1】3.(2023·江西南昌·统考三模)不与x轴重合的直线l经过点NxN,0xN≠0,双曲线C:x2aA.52 B.2 C.2 D.【答案】C【分析】由点差法得kOMkAB=e2−1【详解】设Ax则x12a即x1即y1−y因为l是AB垂直平分线,有klkAB即yMxM=1−故选:C.【变式11-1】4.(2023·青海海东·统考模拟预测)如图,已知过原点的直线l与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于A,B两点,双曲线C的右支上一点A.52 B.152 C.153【答案】C【分析】取PB的中点M,连接OM,利用两角和的正切公式求出tan∠xOM,即直线OM的斜率为−29,再设Bx1【详解】如图,取PB的中点M,连接OM,则OM//AP,所以设直线PB的倾斜角为α,则tanα=−3所以tan∠xOM=−所以直线OM的斜率为−2设Bx1,y1由x12a所以b2a2=−3×−故选:C【变式11-1】5.(2023·全国·高二专题练习)已知直线l:4x−2y−7=0与双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0A.233 B.5−12 C.【答案】D【分析】首先求出AB的垂直平分线的方程,即可求出AB的中点坐标,设Ax1,y1【详解】因为直线l:4x−2y−7=0,所以kl由题可知AB的垂直平分线的方程为y=−1将y=−12x−3与4x−2y−7=0联立可得x=2y=1设Ax1,y1,Bx2两式作差可得x1即y1+y则双曲线C的离心率为1+b故选:D【变式11-1】6.(2023·河北·统考模拟预测)已知斜率为−2的直线l1与双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右两支分别交于点A,B,l2//l1,直线l2与E【答案】7【分析】设出各点的坐标及中点坐标,代入双曲线作差得yM=−b22【详解】设Ax1,y1,Bx2AB的中点MxM,yM则x12a2−所以b2a2⋅x因为AB//CD,所以P,M,N三点共线,所以将①②代入得−b22因为xM≠xN,所以又点P恒在直线l:y=−3x上,所以−b22所以双曲线E的离心率为e=c故答案为:7

【点睛】思路点睛:一般涉及中点弦问题时,采用设而不求点差法求解,本题通过点坐标之间的关系建立a,b关系,从而求出双曲线的离心率.【变式11-1】7.(2019·全国·高三校联考阶段练习)过双曲线C的左焦点F1且斜率为13的直线l交双曲线C的左右两支于A,B两点,若线段AB的垂平分线过双曲线C的右焦点F2【答案】5【分析】设Ax1,y1,Bx2,y2,AB中点为Mx【详解】设Ax1,根据题意作图如下:由图知,∠所以在RtΔMF1F2中,由OM=OF1因为kABkOM由x12a两式作差整理得:b2a2因为kOM所以b2a2解得a2=4b所以双曲线C的离心率为e=c故答案为:5【点睛】本题考查双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系和点差法的运用;考查运算求解能力和数形结合思想;圆锥曲线与平面几何的知识相结合是求解本题的关键;属于中档题.题型12由题目条件求离心率【例题12】(2023·全国·高二课堂例题)已知双曲线C的顶点为A1,A2【答案】2【分析】利用题给条件得到关于a,c的关系式,即可求得双曲线C的离心率.【详解】OA由△BA1A2是等边三角形可知又因为c2所以c=2a,从而e=c【变式12-1】1.(2023秋·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习)双曲线C:x2a2−y25A.62 B.355 C.3【答案】C【分析】根据已知可得出a−43=23,a=2【详解】由已知可得,Aa,0且a−43=又b2=5,所以c2所以,e=c故选:C.【变式12-1】2.(2023·全国·高三专题练习)已知双曲线C:x2a2−y2bA.3 B.2 C.5 D.3【答案】B【分析】设渐近线的倾斜角为α,可得tanα=ba,结合sin2α+【详解】由题意知点P在第一象限且在双曲线C:x2设渐近线的倾斜角为α,则tanα=ba

结合sin2α+cos结合题意可知α∈0,π又OP=c,PF在△PFO中利用余弦定理得PF2即4a即cosα=−4a故e2−e−2=0,解得e=2或故选:B【变式12-1】3.(2023秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考阶段练习)设F1,F2是双曲线C:x2a2−y2A.3 B.33 C.3 D.【答案】A【分析】根据题意,先求得焦点F1到渐近线的距离为b,在直角△MOF1中,求得cos∠OF1M=【详解】由双曲线C:x2a2−如图所示,则焦点F1到渐近线y=−ba在直角△MOF1中,可得在△MF1F即3b2=4又由b2=c2−所以双曲线的离心率为e=c故选:A.

【变式12-1】4.(2023·江西九江·统考一模)已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),过点M(2,0)作E的一条渐近线l的垂线,垂足为P,过点M作x轴的垂线交l于点A.62 B.233 C.2【答案】C【分析】作出图形,分析出∠MOQ=45∘,则【详解】∵△MPQ与△MPO的面积相等,∴P为OQ的中点,故△OMQ为等腰直角三角形,∴∠MOQ=45∘,∴b即a2=c2−故选:C.

【变式12-1】5.(2023·全国·高二课堂例题)已知双曲线C的两条渐近线为l1,l2,过右焦点作直线FB∥l1且交l2于点B,过点B作BA⊥lA.3 B.233 C.62【答案】B【分析】延长AF交l2于点A1,由题意可得△OAA1为等边三角形,从而得OA与x轴的夹角为30°,【详解】解:如图,延长AF交l2于点A则△OAF≅△OA1F

在△OAA1中,F为AA1的中点,而所以B为OA又AB⊥OA1,于是△OAA从而△OAA所以ba所以b=3所以c2所以e2所以e=2故选:B.题型13利用图形求离心率【例题13】(2022秋·陕西商洛·高二校考阶段练习)已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O是坐标原点,过F作双曲线C的一条渐近线的垂线,垂足为P【答案】6【分析】依题意画出图象,设|OP|=x,则OQ=3x,即可求出|PQ|,从而求出【详解】设|OP|=x(x>0),则OQ∵FQ⊥OP,∴|PQ|=2∴tan∠QOP=|PQ||OP|=2所以sin∠FOP=sinπ∴tan∠POF=∴ba∴离心率e=c故答案为:62【变式13-1】1.(2022·安徽安庆·安庆一中校考三模)过双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点FA.62 B.3或62 C.36【答案】B【分析】根据题意,可得AF2=【详解】

如图①,当AF2=13F2B时,设∠F2OA=α,则∠AOB=2αAF2=bt,OA=at,t>0,因为又c2=a2+b2,所以t=1,所以OA则AB=4b,则tan2α=即4b=2b1−b2如图②,当F2A=13F2B时,设∠F2OA=α,∠AOB=β设AF2=bt,OA=at,t>0,因为又c2=a2+b2,所以t=1,所以OA则AB=2b,tanα=ba=−tanα+β=b+2b1−b⋅2b=−b,即3=2b2−1故选:B【变式13-1】2.(2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过双曲线C上一点【答案】3【分析】由题意知四边形PQF1F【详解】设双曲线x2a2−y由题意知PQ∥F1F2,由PQ=F1F2且PF1

故∠F1QO=则PF故PF即离心率e=1故答案为:3+1【变式13-1】3.(2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习)双曲线C:x2a2−y2【答案】10【分析】作出辅助线,得到F1D⊥FD,设出DF1=2m【详解】由题意得F−c,0,取AB中点M,连接OM,设双曲线C的右焦点为F1,连接因为OA=OB=又A,B为线段FD的两个三等分点,所以FM=DM,即M为FD的中点,又O为FF1的中点,所以DF设DF1=2m,则OM由勾股定理得AM=BM=12a由双曲线定义得DF−DF在Rt△DFF1中,由勾股定理得即61由①得312a解得m=a2或将m=a2代入②得5a

故答案为:10【变式13-1】4.(2023秋·福建福州·高三统考开学考试)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点为F,两条渐近线分别为【答案】2【分析】结合图像与三角函数关系,解得AF=2b=2FP,点F,A关于直线l2对称,∠FOP=∠AOP,由此解得l【详解】

依题意,l1的方程为y=ba设垂足为P,根据三角函数对应关系,sin∠POF=FPOF因为Fc,0,l1的方程为y=−b则PF=bc+a×0a因为点F,A关于直线l2对称,∠FOP=∠AOP又l1,l2关于y轴对称,所以l1故bc=sin60°=3所以离心率e=故答案为:2.题型14双曲线的对称性【例题14】(2023秋·广东·高三校联考阶段练习)已知双曲线C:x2a2−y2bA.3+12 B.3+1 C.2【答案】B【分析】先由双曲线与直线对称性,得四边形PFQF【详解】设双曲线C的左焦点F,右焦点为F'连接PF,PF',QF,根据双曲线的性质和直线l的对称性知,四边形PFQF因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点,所以PF⊥QF,即四边形PFQF由直线l的斜率为−3,得∠POF=又PO=FO=c,则△POF在Rt△PFQ中,PQ=2c,则FQ=3c又由双曲线定义知PF'−|PF|=2a则e=c故选:B.【变式14-1】1.(2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试)已知F1,F2分别为双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过原点O的直线l与E交于A,B两点(点A在第一象限),延长A.3 B.2 C.5 D.1【答案】A【分析】根据已知条件以及双曲线的定义求得AF【详解】结合双曲线的对称性可知,∠F1A所以△ACF1为等边三角形,则AF由双曲线的定义,得AF1−AF则F1故选:A【点睛】求解双曲线的离心率,方向有三种,一个是求得a和c,从而求得双曲线的离心率;一种是求得a,c的等量关系式,化简可求得双曲线的离心率;还有一种是求得a,b的等量关系式,先求得ba【变式14-1】2.(2023·全国·高二专题练习)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,OA.2 B.3 C.2 D.5【答案】A【分析】根据题意分析可得四边形AF【详解】如图,不妨设点A在第一象限,由题意可得:AO=BO,因为F1F2=2|AO|,即AO=设AF1=m,因为m−n2=m2+故选:A.

【变式14-1】3.(2024·全国·高三专题练习)已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,过点F的直线l与双曲线E的右支交于B,C两点,且CF=3A.3 B.233 C.103【答案】D【分析】由双曲线的性质可得四边形AF1BF为矩形,然后结合双曲线的定义及Rt△CBF1的勾股定理可得【详解】设双曲线的左焦点为F1,连接AF,AF1

又因为AF⋅BF=0所以四边形AF设|BF|=t,则|CF|=3t,由双曲线的定义可得:|BF1|=2a+t又因为△CBF所以|BC|2+|BF1所以|BF1|=3a又因为△BFF1为直角三角形,所以|BF|2+|B所以c2a2故选:D.【变式14-1】4.(2023·全国·高二专题练习)如图,已知F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b

A.105 B.52 C.153【答案】D【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得t=a,进而可得∠F【详解】延长QF2与双曲线交于点因为F1P∥F设F2P'可得F2P−所以P'Q=4t=4a,则Q即P'Q2在△P'F即a2+3a故选:D.

【点睛】方法点睛:1.双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围,关键是根据已知条件确定a,b,c的等量关系或不等关系,然后把b用a,c代换,求e=c2.焦点三角形的作用在焦点三角形中,可以将圆锥曲线的定义,三角形中边角关系,如正余弦定理、勾股定理结合起来.【变式14-1】5.(2023秋·河南郑州·高二郑州四中校考期中)古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》,里给出了托勒密定理,即任意凸四边形中,两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和,当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,【答案】3+1/【分析】由题意可得四边形AF1BF2【详解】由双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)则OA=OB,OF

又AB⋅F1设|AF1|=m在Rt△AF1则m−n=2a,n=m⋅tan∴n=c,m=3c,∴3c=c+2a,解得c∴双曲线的离心率为3+1故答案为:3+1【变式14-1】6.(2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测)已知直线l过双曲线C:x2−y2【答案】17【分析】设F'c,0,延长DF',连接AF',EF,,由OA=OF=OD=OF'=c,得到∠AFD=90°,在直角△BDF中,设BF=m【详解】不妨设点A在x轴上方,由题意可知点D也在双曲线C上,设双曲线C的右焦点为F'c,0,连接DF'并延长,交双曲线C于点E,连接由OA=OF=OD=在直角△BDF中,设BF=m,则由tan∠BDF=1由对称性可得EF'=由双曲线的定义可得2=DF−D在直角△DEF中,由DE=m+4c2−4可得(2+m)2=(2m)由①式和②式可得m=43,将m=4化简可得c2=17故答案为:173

题型15角平分线相关【方法总结】1.角平分线“拆”面积:S△ABC2.角平分线定理性质:ABBD【例题15】(2023·辽宁抚顺·校考模拟预测)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为【答案】2【分析】由F2PF【详解】依题意,由F2得F2PF如图,设∠PF2Q则∠PF2D=∠QF2所以△PDF2≌△QDF2由题得F1−c,0,F2c,0,设DF在Rt△DF1F2中,∠F1由双曲线的性质可得QF1−则PD=QD=2a,所以在Rt又t=DF1−PD即c2+2a2=故答案为:2【变式15-1】1.(2023秋·河北·高三校联考期末)双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F,右顶点为A,过A且垂直于x轴的直线交C【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质,结合勾股定理与角平分线的性质定理,建立方程,化简求值即可.【详解】设F−c,0

根据题意易知PA=b,且PA⊥FA,又FA所以由勾股定理可得:PF=又PO恰为△PFA的角平分线,所以根据角平分线性质定理可得:PFPA∴c+a2+∴c+a∴2e2∴2e−1=e又e>1,所以解得:e=2.故答案为:2.【变式15-1】2.(2024·全国·高三专题练习)设F1,F2是双曲线C:x2a2−y2bA.113 B.C.333 D.【答案】C【分析】由题意,结合双曲线的定义以及角平分线定理可得,AF2=3a,AF1=a,BF1=4a,AB【详解】

4F2A=设AF2=k,则BM因为BF2平分∠F1BM又AF即有AF2=3a,AF1=a,在△AF1Fcos∠F1由cos∠BA可得e=33故选:C.【变式15-1】3.(2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测)已知O为坐标原点,双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1,FA.2 B.3 C.1 D.2【答案】C【分析】延长F2M交PF【详解】设半焦距为c,延长F2M交PF1于点

由于PM是∠F1P所以△NPF2是等腰三角形,所以PN=PF根据双曲线的定义可知PF1−由于O是F1F2的中点,所以MO所以MO=又双曲线的离心率为62,故ca=所以b=c故选:C.【变式15-1】4.(2023·河南郑州·三模)已知F1,F2分别是双曲线Γ:x2a2−y2b2=1A.263 B.233 C.【答案】A【分析】因为CB=5F2A,所以△F1AF2∽△F1BC,设F1F2=2c,则【详解】因为CB=5F2A,则CB//设F1F2=2c,则F2C=8c因为BF2平分∠F所以BC=4BF由双曲线定义知AF2−AF又由BF1−在△ABF2中,由余弦定理知在△F1B即14=25把①代入上式得c2=24故选:A.题型16向量相关【例题16】(2023·全国·高二专题练习)已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0),直线l的斜率为−12,且过点M(a,b),直线l与A.5 B.2C.3 D.5【答案】D【分析】首先写出直线l点斜式方程并求出点C(a+2b,0),由向量线性运算的坐标表示可以求出Da+【详解】由题意知直线l的方程为y−b=−12(x−a),令y=0,得x=a+2b又因为MD=13DC,不妨设解得x1=a+b2,化简得4ba2+16⋅b所以E的离心率e=故选:D.【变式16-1】1.(2023春·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习)如图,已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F,点P,Q分别在C

A.3 B.3C.2 D.2【答案】D【分析】由OF=QP可构造方程,利用a,b,c表示出P,Q坐标,由QF⊥OP可构造齐次方程求得【详解】由双曲线方程知:渐近线方程为y=±b∵OF=QP,∴OF设Pt,batt>0,则Q∴Pc2,bc2a,Q−c∵QF⊥OP,∴∴双曲线的离心率e=1+故选:D.【变式16-1】2.(2023·贵州毕节·校考模拟预测)已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点,A为C的虚轴的一个端点,A.2+1 B.5+12 C.17【答案】A【分析】不妨设F为右焦点,A为C的虚轴的端点且在y轴的正半径轴上,则F(c,0),A(0,b),再由2OB=OA可得B0,12b【详解】不妨设F为右焦点,A为C的虚轴的端点且在y轴的正半径轴上,则F(c,0),A(0,b),则OA=(0,b)因为2OB=OA,所以OB所以直线FB的斜率为12因为双曲线C:x2a因为直线FB垂直于C的一条渐近线,所以−b所以b2=2ac,所以所以e2−2e−1=0,解得因为e>1,所以e=1+2故选:A【变式16-1】3.(2023春·贵州·高二校联考期末)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1A.6+32 B.6+3 【答案】B【分析】先求得M点坐标,根据F1M⊥【详解】由于F1F2则−c32由于F1M⊥整理得c4两边除以a4得e由于e>1,e2故选:B

题型17双曲线与圆相关【例题17】(2023秋·江西上饶·高二校考阶段练习)设点F为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点,O为坐标原点,以OFA.2 B.3 C.2 D.5【答案】A【分析】作出图形,分析可知,四边形OAFB为正方形,可得出∠AOF=π4,求出【详解】如下图所示:连接AF、BF,设AB∩OF=M,由对称性可知,M为AB的中点,AB⊥OF,因为AB=OF,则线段AB是以OF为直径的圆的一条直径,则故M为OF的中点,又因为AB⊥OF,且AB、OF互相垂直且平分,所以,四边形OAFB为正方形,则∠AOF=π4,所以,所以,该双曲线的离心率为e=c故选:A.【变式17-1】1.(2023秋·高二课时练习)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1b>a>0的左焦点为F,右顶点为A,一条渐近线与圆A:x−a2A.3 B.2C.1+2 D.【答案】C【分析】连接AM,联立方程组求得M(a,b),结合ON//AM,得到ONAM=OFAF,化简得到【详解】如图所示,连接AM,由双曲线C:x2a根据题意,点M在第一象限,将y=bax可得(a可得△=由求根公式,可得x=2因为x>0,且b>a>0,所以x=a,所以点M(a,b)由∠FNA=90°,可得ON2=OF因为ON//AM,所以ONAM=OFAF,即两边同除以a2,得e2−2e−1=0,解得e=1+故选:C.

【变式17-1】2.(2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习)已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,以坐标原点A.3 B.2 C.5 D.7【答案】D【分析】根据题意求得sin∠AOF的值,表示出A点坐标,代入双曲线方程,整理可得关于a,c【详解】由题意可知cos∠AOF=137

故sin∠AOF=而|OA|=|OF|=c,故A(13将A(137c,得13c249a2即13e4−98e2由于双曲线离心率e>1,故舍去e2故e=7故选:D【变式17-1】3.(2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习)过双曲线E:x2a2−A.3 B.5 C.132 D.【答案】C【分析】取线段AT中点,根据给定条件,结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答.【详解】令双曲线E的右焦点为F',半焦距为c,取线段AT中点M,连接OT,A

因为FA切圆x2+y2=a2因为FA=3FT,则有|AM|=|MT|=|FT|=b,而O为FF'的中点,于是F'M//OT,即在Rt△AF'M中,所以双曲线E的离心率e=c故选:C【变式17-1】4.(2023春·海南海口·高三统考期中)已知双曲线C:x2a2−y2A.3 B.52 C.2 D.【答案】A【分析】根据给定条件,结合切线的性质及直角三角形边角关系,列式计算作答.【详解】显然圆x−c2+y2=c−a2

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