【教无忧】高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修一）第41讲 专题2-6 双曲线离心率取值专题十九大题型

专题2-6双曲线离心率取值专题十九大题型汇总题型1直接法 3题型2通径法 8题型3运用渐近线求离心率 13题型4坐标法 18题型5焦点弦已知底角 24题型6焦点弦定比点差 28题型7焦点三角形定义法 34题型8焦点三角形已知顶角 40题型9焦点双曲线双余弦定理 44题型10焦点三角形面积相关 49题型11点差法 52题型12由题目条件求离心率 59题型13利用图形求离心率 64题型14双曲线的对称性 69题型15角平分线相关 77题型16向量相关 83题型17双曲线与圆相关 86题型18内切圆相关 93题型19双曲线与和差最值 97知识点.双曲线公式1e=公式2e=证明：证明：e=c公式3已知双曲线方程为x2a2−y2b2证明：由正弦定理得：由等比定理得：即，∴。公式4以双曲线的两个焦点、及双曲线上任意一点（除实轴上两个端点外）为顶点的，=，=β，则离心率（）证明：由正弦定理，有，即又，公式5点F是双曲线焦点，过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ(0,π2)，k为直线AB斜率，且，则e当曲线焦点在y轴上时，e=注：λ=AFBF或者λ=BFAF,题型1直接法【方法总结】e=【例题1】（2023秋·江西吉安·高二宁冈中学校考期中）双曲线y2【答案】62/【分析】直接利用双曲线方程求出a,c，然后求解离心率．【详解】由双曲线y2−2x所以c=a所以双曲线y2−2x故答案为：62【变式1-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已双曲线C：x2【答案】3【分析】整理得到y2【详解】由曲线C:x22离心率e=c故答案为：3.【变式1-1】2.（2023·全国·高二随堂练习）求下列双曲线的实轴和虚轴的长、顶点的坐标、离心率和渐近线方程，并画出双曲线的草图：(1)x2(2)y2【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【分析】由双曲线的几何性质分别求解即可.【详解】（1）由双曲线方程x2知双曲线焦点在x轴，且a=2,b=3,c=13则双曲线的实轴长2a=4，虚轴长2b=6，顶点的坐标(−2,0),(2,0)，离心率e=c由ba=3画出双曲线草图（如图）.

（2）由双曲线方程y2知双曲线焦点在y轴，且a=3,b=2,c=13则双曲线的实轴长2a=6，虚轴长2b=4，顶点的坐标(0,−3),(0,3)，离心率e=c由ab=3画出双曲线草图（如图）.

【变式1-1】3.（2023·全国·高二随堂练习）求下列双曲线的实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程和离心率．(1)x2(2)y2(3)8x(4)9y【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析；(3)答案见解析；(4)答案见解析；【分析】将双曲线方程化为标准方程，确定焦点所在位置，求出a,b,c，即可求出实轴长、虚轴长、焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程和离心率．【详解】（1）双曲线x2则焦点在x轴上，且a2即a=4,b=25所以实轴长为2a=8，虚轴长为2b=45焦点坐标为±6,0，顶点坐标为±4,0，渐近线方程为y=±5离心率为ca（2）双曲线y2则焦点在y轴上，且a2即a=4,b=25所以实轴长为2a=8，虚轴长为2b=45焦点坐标为0,±6，顶点坐标为0,±4，渐近线方程为y=±2离心率为ca（3）双曲线8x2−8则焦点在x轴上，且a2即a=2,b=2,c=22所以实轴长为2a=4，虚轴长为2b=4，焦点坐标为±22顶点坐标为±2,0，渐近线方程为y=±x，离心率为ca（4）双曲线9y2−则焦点在y轴上，且a2即a=3,b=9,c=310所以实轴长为2a=6，虚轴长为2b=18，焦点坐标为0,±310顶点坐标为0,±3，渐近线方程为y=±1离心率为ca【变式1-1】4.（多选）（2022秋·新疆昌吉·高二统考期中）关于双曲线x2A．实轴长为4 B．焦点为±2C．右焦点到一条渐近线的距离为4 D．离心率为3【答案】AC【分析】根据双曲线的方程求得a=2,b=4,c=25【详解】由双曲线x24−y2所以双曲线的实轴长为2a=4，所以A正确；焦点坐标为(±25又由双曲线的右焦点为F2(25,0)，其中一条渐近线的方程为所以F2到渐近线的距离为4由双曲线的离心率的定义，可得双曲线的离心率为e=c故选：AC.题型2通径法【方法总结】双曲线的通径为2【例题2】（2023春·新疆巴音郭楞·高二校考开学考试）设F1、F2分别是双曲线C:x2−y2b=1的左、右焦点，过F2作x轴的垂线与A．2 B．63 C．22 【答案】D【分析】求出∠AF1F2=30∘，利用双曲线的定义求出A【详解】设AF2=t，因为AB⊥x轴，则点A、B关于x轴对称，则F

因为△ABF1为等边三角形，则∠AF所以，AF1−所以，2c=F1F因此，该双曲线C的离心率为e=c故选：D.【变式2-1】1.（2023春·云南曲靖·高二会泽县实验高级中学校校考阶段练习）已知F为双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，l为双曲线的一条渐近线，F到直线l的距离为5，过F且垂直于A．2 B．6 C．4 D．6【答案】B【分析】根据已知条件求得a,c，由此求得双曲线的离心率.【详解】双曲线的一条渐近线方程为bx−ay=0，所以焦点Fc,0到渐近线bx−ay=0的距离为由x2a2−y所以y=±5a，所以所以c=所以离心率e=故选：B【变式2-1】2.（2021春·云南昭通·高二校考期中）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点为A，左焦点为F，动点A．2 B．32 C．3 D．【答案】D【分析】首先判断B在左支上，求得BF，由AF=32BF，可得a+c=3b22a，再由【详解】如图，由动点B在C上，当BF⊥AF时，AF=可得B在左支上，令x=−c，可得c2解得y=±bc2a2−1即2aa+c可得2a=3c−a，即3c=5a,e=故选：D.

【变式2-1】3.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1A．5 B．859 C．62 【答案】C【分析】根据双曲线的对称性结合已知可得AF1=5AF2，设AF【详解】因为过点F2所以AB=2因为AF1AB=5设AF2=m，则AF1所以AF2=因为∠AF2F所以254所以6a2=4所以离心率e=c故选：C

【变式2-1】4.（2023秋·宁夏吴忠·高三吴忠中学校考开学考试）已知A，B分别是双曲线C:x2aA．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】由已知可得A,B,P的坐标，求得PA,PB所在直线的斜率，再由直线PB与直线PA的斜率之比为3列式求双曲线C的离心率．【详解】由题意可得，A(−a,0)，B(a,0)，P点的横坐标为c，代入c2a2−ykPA=b则kPBkPA即双曲线的离心率为2．故选：C．

【变式2-1】5.（2023秋·高二单元测试）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为Fc,0，直线l:x=c与双曲线C【答案】233【分析】利用双曲线通径长和与渐近线交点情况可得AB,DE,由DE=2AB和a,b,c关系可求得c=2b，【详解】由双曲线方程可得其渐近线方程为：y=±b∵直线l:x=c∴AB为双曲线的通径，则由x=cx2a2−由x=cy=±bax由DE=2AB得：2bc即c=2b所以a=c所以离心率e=故答案为：2【变式2-1】6.（2023·河北保定·统考二模）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F,B为虚轴上端点，M是BF中点，O为坐标原点，A．2 B．2 C．3 D．2【答案】A【分析】作出图象，根据几何性质可得点M,N的坐标，结合OM∥ON可得a=b，进而求出离心率.【详解】由题意，在双曲线C:x2a2−y

由题意可知：Fc,0因为M是BF中点，则Mc2,且O,M,N三点共线，则OM∥ON，可得c2×b所以e=c故选：A.题型3运用渐近线求离心率【方法总结】e=【例题3-1】（2023秋·北京丰台·高三北京丰台二中开学考试）已知双曲线C的焦点为−2,0和2,0，一条渐近线的方程为y=3x，则C离心率为，则C【答案】2x【分析】根据题意设出双曲线方程可解得a=1,b=3【详解】由题意可设双曲线方程为x2由焦点为−2,0和2,0可得a2一条渐近线的方程为y=3x可得ba所以离心率e=ca=2故答案为：2；x2【变式3-1】1.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：x2A．2sin40° B．2cos40° C．【答案】C【分析】双曲线C的一条渐近线的倾斜角为40°，所以ba=tan40°，再由b2【详解】因为双曲线C的渐近线方程为y=±b所以ba记双曲线C的离心率为e，则b2所以e2所以e=1故选：C．【变式3-1】2.（2023秋·河南三门峡·高二统考期末）设双曲线C:x2m−y【答案】3或6【分析】根据双曲线焦点的位置，结合双曲线方程与离心率公式分类讨论进行求解即可.【详解】当该双曲线焦点位于横轴时，则有m>0,n>0，因为该双曲线一条渐近线为y=2所以有nm即此时双曲线的离心率为3；当该双曲线焦点位于纵轴时，则有m<0,n<0，因为该双曲线一条渐近线为y=2所以有−n−m即此时双曲线的离心率为62故答案为：3或6【变式3-1】3.（2023秋·广东江门·高三校联考阶段练习）已知双曲线C:x2a2−A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】由离心率与渐近线斜率关系即可得.【详解】由题可知ba则C的离心率e=c故选：A.【变式3-1】4.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C:x2a2−A．6 B．5 C．3 D．2【答案】B【分析】由题意可得ba=2，结合离心率定义推得【详解】由题意双曲线C:x2a得−ba=−2，即b故选：B.【例题3-2】（2023春·陕西咸阳·高二统考期末）已知F是双曲线C:x2a2−y2b2【答案】3【分析】由双曲线的性质可得直线与双曲线渐近线平行，结合双曲线离心率的定义求解即可．【详解】双曲线的渐近线方程为y=±b又已知F(−c,0)是双曲线C:x2a直线PF与双曲线C有且只有一个公共点，所以直线PF与双曲线C的渐近线平行，则kPF=ba，即6a即c4即c2=3a则双曲线C的离心率为3．故答案为：3．【变式3-2】1.（2021秋·陕西渭南·高二统考期末）已知双曲线C：x2−y2b2=1b>0的左、右焦点分别为F1A．3 B．23 C．2 【答案】C【分析】根据三角形中位线得OM//NF1，又M是线段F2N的中点，又可得OM⊥NF2，则可得渐近线【详解】双曲线C：x2−y

因为O是线段F1F2的中点，M是线段又NF1⊥NF2所以∠NO所以渐近线y=bx的倾斜角为60°，则b=tan60°=3所以c=a2+故选：C.【变式3-2】2.（2022秋·河南漯河·高二校考期末）设F是双曲线x2a2−y2b2=1的右焦点，双曲线两条渐近线分别为l1，l2，过F作直线l1的垂线，分别交A．52 B．113 C．62【答案】A【分析】由题意直线l1的倾斜角为α∈(0,π4)，根据OA⊥AB，得到OA2+AB2=OB2，再由OA,AB,OB【详解】解：如图所示，因为向量BF与FA同向，可得直线l1的倾斜角为α∈(0,即k=ba<1，所以b又由OA⊥AB，所以OA2又因为OA,AB,OB成等差数列，所以2AB联立方程组，可得OA=34AB，在直角△OAB中，可得tan∠AOB=又由双曲线x2a2−y即tan∠AOB=tan2α=2tan可得b2a2=c故选：A.题型4坐标法【方法总结】方法：求出点的坐标带入双曲线方程建立等式【例题4】（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2−A．2 B．3 C．2 D．3【答案】C【分析】利用双曲线的渐近线方程及点关于线对称的特点，结合双曲线的离心率公式即可求解.【详解】双曲线C:x2a设点F2关于一条渐近线y=−ba由题意知，−ba×又知bmam−c=所以c2=a所以双曲线C的离心率是e=故选：C.【变式4-1】1.（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F分别作C的两条渐近线的平行线与C【答案】3+2/【分析】设直线方程为y=bax−c与双曲线方程x【详解】解：如图所示：

设直线方程为y=bax−c解得x=a因为|AB|=23所以2×b即b2=23解得e=c故答案为：3【变式4-1】2.（2023春·云南曲靖·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0虚轴的一个顶点为D，直线x=3a与C交于【答案】91【分析】结合图形，利用垂心的定义，以及两直线垂直与斜率的关系可得b2【详解】如图，设△ABD的垂心为H，则有DH⊥AB,不妨设D(0,b),则H(x,b)，因为H在渐近线y=bax直线x=3a与C交于A，B两点，所以9a2a所以A(3a,2又因为AD⊥BH,所以kAD整理得，b2a2

故答案为:917【变式4-1】3.（2023·全国·高三专题练习）已知坐标平面xOy中，点F2为双曲线C:x2a2−y2=1(a>0)的右焦点，点M在双曲线C的左支上，MF2与双曲线C的一条渐近线交于点D，且D为MF2A．2 B．3 C．5 D．5【答案】C【分析】设M(m,n)，根据题意可知OD垂直平分MF2，利用两直线垂直斜率之积为−1和中点坐标公式可得nm−c=−a且12⋅n=1a⋅m+c2【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为y=±1ax

不妨设点M(m,n)在第二象限，则kM由D为MF2的中点，O、I、D三点共线知直线OD垂直平分则OD:y=1ax，有n解得m=a2−1c，将M(a2−1得(2a2−c2当点M在第三象限时，同理可得e=5故选：C.【变式4-1】4.（2023秋·河南·高三统考阶段练习）已知双曲线C:y2a2−x2b2=1(a>0,b>0)，过其上焦点F的直线与圆【答案】303/【分析】设出过上焦点F的直线方程为y−c=kx，由圆心到直线距离等于半径得到k=±ba，再分别联立直线与圆，直线与渐近线，求出xA=ab【详解】由题意得F0,c，渐近线方程y=±设过其上焦点F的直线方程为y−c=kx，则圆心O到直线y−c=kx的距离为c1+k2如图所示，故过其上焦点F的直线方程为y−c=−b联立y−c=−bax与x解得xA联立y−c=−bax与y=ab联立y−c=−bax与y=−ab因为2FB=5FA，所以2化简得2c又b2=c2−解得ca=303，双曲线故答案为：30【变式4-1】5.（2023秋·湖南长沙·高三周南中学校考开学考试）已知直线l:3x−3y+m=0与圆C1:(x−λ)2+y2=λ2(λ>0)相切于点E【答案】2【分析】联立直线l与双曲线C2的渐近线求出A,B两点的坐标，即可用m、a、b表示出中点E的坐标，由直线l与圆C1相切可得m=3λ，再联立直线l与圆C1，即可用λ表示出E的坐标，再消λ【详解】双曲线C2:x由3x−3y+m=0y=−bax解得A(线段AB的中点坐标为E(−3ma2又xE>0，则yE>0，即点E在第一象限，直线又直线l与圆C1相切，则有3λ+m3+9=λ，解得由x−3y+λ=0(x−λ)2+y2=λ所以双曲线C2的离心率e=

故答案为：2题型5焦点弦已知底角【方法总结】e=【例题5】（2023秋·江西吉安·高三吉安一中校考开学考试）点P是双曲线C1：x2a2−y2b2=1（a>0，b>0）和圆C2：x2+【答案】3+1/【分析】利用圆与双曲线的定义与性质计算即可.【详解】

由题中条件知，圆的直径是双曲线的焦距，则∠F∴∠PF1F2=e=2c故答案为：3【变式5-1】1.（2023春·四川成都·高二校考阶段练习）已知F1、F2为双曲线E的左，右焦点，点M在E的右支上，△FA．3+1 B．5−1 C．5+1【答案】D【分析】由题意求得M点坐标，再将之代入双曲线方程，求得a与b的关系，最后利用双曲线的离心率公式即可求得E的离心率.【详解】设双曲线方程为x2a2如下图所示：过M做MD⊥F1F2交

由△F1F2则∠MF2D=60°∴|MD|=3c，∴M点坐标为(2c,3又M在双曲线上，则(2c)2即4e2−解得e2=1+3解得e=3故选：D.【变式5-1】2.（2008·全国·高考真题）设△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，则以A，B为焦点，且过点C的双曲线的离心率为（

）A．1+22 B．1+32 C．【答案】B【解析】根据题设条件可知2c=AB=BC，由正弦定理可得AC【详解】双曲线的焦点为A，B，则AB=2c∵△ABC是等腰三角形，∠ABC=120°，∴BC=2c，∠ACB=30°由正弦定理ACsin∠ABC=ABsin双曲线过点C，由双曲线的定义可得|AC|−|BC|=23解得离心率e=c故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率以及解三角形问题，属于中档题.求双曲线离心率，一般可由下面两个方面着手：（1）根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求ca（2）已知条件构造出a，b，c的等式或不等式，结合c2=a2+b2化出关于a，c【变式5-1】3.（2020秋·天津红桥·高二统考期末）已知F1，F2是双曲线x2A．3＋1 B．4＋23C．3−12 D．【答案】A【分析】先根据双曲线方程求得焦点坐标的表达式，进而可求得三角形的高，则点M的坐标可得，进而求得边MF1的中点N的坐标，代入双曲线方程求得a，b和c的关系式化简整理求得关于e的方程求得【详解】解：依题意可知双曲线的焦点为F1(−c,0)，F2∴三角形高是3c，M(0,∴边MF1的中点N(−c2，整理得：b2∵b2=c2整理得e4−8e∵e>1，∴e=3故选：A.【变式5-1】4.（2023秋·湖南衡阳·高三衡阳市八中校考阶段练习）已知F1,F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点，点【答案】3【分析】作出辅助线，得到PM=3c,【详解】由题知F1F2=PF2=2c，过∴PMPMAM=3∴e=故答案为：3题型6焦点弦定比点差【方法总结】点F是双曲线焦点，过F弦AB与双曲线焦点所在轴夹角为θ,θϵ(0,π2)，k为直线AB斜率，且，则e当曲线焦点在y轴上时，e=【例题6】（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，过F且斜率为3A．58 B．65 C．75【答案】B【分析】设双曲线C:x2a2−y2b2=1的右准线为l，过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，根据直线AB的斜率为【详解】设双曲线C:x2a过A、B分别作AM⊥l于M，BN⊥l于N，BD⊥AM于D，如图所示：因为直线AB的斜率为3，所以直线AB的倾斜角为60°，∴∠BAD=60°，AD=由双曲线的第二定义得：AM−又∵AF=4∴3e∴e=故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的第二定义的应用以及离心率的求法，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.【变式6-1】1.（2023春·上海黄浦·高二上海市大同中学校考期中）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1的左､右焦点分别的F1､F2，过点F2且倾斜角为60°的直线l【答案】2t−2【分析】设Ax1,y1,Bx【详解】设Ax1,由点Ax1,y1在双曲线C:则A=c同理，BF2=cax2

∴x∵A设cax1∴a∴m∴e=2t−2故答案为：2t−2t+1【变式6-1】2.(多选)（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）如图，双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，过右焦点FA．双曲线C的离心率为7B．△AF1F2C．△AF1F2D．△AF1F2【答案】BD【分析】设设F2B=m，则AF2=7m，则AF1=7m+2a，F1B=m+2a，在△AF1F2和△BF1F【详解】设F2B=m由双曲线的定义可得：AF1=在△AF1F即2a2+14am−2在△BF1F即2a2+2am−2所以，7cm−14am=−cm−2am，整理可得ca所以该双曲线的离心率为e=3对于B选项，S△A对于C选项，因为c=32a，代入2所以，AF2=7m=5a△AF1FBF2=m=所以，△BF1F所以，△AF1F2和对于D选项，设△AF1F2和△BF则S△AF1故选：BD.【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、c的值，根据离心率的定义求解离心率e的值；（2）齐次式法：由已知条件得出关于a、c的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解；（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.【变式6-1】3.（2020·全国·高三专题练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>b>0的右焦点为F，过F且斜率为3【答案】6【解析】设A(x1,y1),B(x2,y【详解】因为直线AB过点F(c,0)，且斜率为3所以直线AB的方程为：y=与双曲线x2a2(设A(所以y因为AF=4FB代入上式得−3消去y2并化简整理得：将b2=解之得c=因此，该双曲线的离心率e=故答案为：6【点睛】1.直线与双曲线相交的问题，常将两个的方程联立消元，用韦达定理表示出横（纵）坐标之和、积，然后再结合条件求解2.求离心率即是求a与c的关系.【变式6-1】4.（2022秋·湖北荆州·高二荆州中学校考期末）设双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过F且斜率为3的直线交C【答案】6【分析】设直线AB的方程，与双曲线方程消去x并化简．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，利用根与系数的关系得到y1+y2，y1y2【详解】∵直线AB过点F(c,0)，且斜率为3，∴直线AB的方程为y=与双曲线C:x消去x，得(13设A(x1，y1)，∴y1∵AB=5FB∴代入上式得−3y2=消去y2并化简整理，得4将b2=c2−因此，该双曲线的离心率e=6故答案为：65题型7焦点三角形定义法【例题7】（2023秋·四川巴中·高三统考开学考试）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2，过A．12 B．233 【答案】C【分析】设PF1交y轴与A，可推出AO∥PF2，从而PF【详解】如图，设PF1交y轴与A，A为

因为O为F1F2的中点，故AO则AO∥PF2，而因为直线PF1的斜率为34，故Rt故设|PF2|=3t结合双曲线定义以及P在双曲线右支上，即有4t=2c,|PF则2a=c,∴e=c故选：C【变式7-1】1.（2023·全国·高三专题练习）双曲线具有光学性质，从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.若双曲线E:x2a2−y2

A．173 B．375 C．102【答案】B【分析】结合题意作出图形，然后结合双曲线的定义表示出BF1,【详解】由题意知延长CA,DB则必过点F1

由双曲线的定义知AF又因为cos∠BAC=−513因为AB⋅BD=0设AF1=13m,m>0，则AB从而由AF2+BF则BF1=125又因为BF12即37a2=25故选：B.【变式7-1】2.（2023秋·全国·高二期中）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1【答案】355【分析】利用双曲线的定义与向量数积的几何意义得到AF2,BF2,【详解】依题意，设AF2=2m在Rt△ABF1中，9故a=m或a=−3m（舍去），所以AF1=4a,AF故cos∠所以在△AF1F2中，故e=c故答案为：35【点睛】关键点睛：双曲线过焦点的三角形的解决关键是充分利用双曲线的定义，结合勾股定理与余弦定理得到关于a,b,c的齐次方程，从而得解.【变式7-1】3.（2023秋·湖北·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：x2a2−y22=1的左右焦点分别为F1【答案】7【分析】通过双曲线的定义，用参数a表示BF1，BF2，过O,F2作直线【详解】∵点A为双曲线C右支上一点，∴AF又AB=AF2，∵点B为双曲线C左支上一点，∴BF2−过O,F2作直线AF

则OM//F2N,又O为F在直角三角形BNF2中在直角三角形F1NF24441−2a2=a∴c2=a2+2=∴C的离心率为7.故答案为：7.【变式7-1】4.（2023秋·广东深圳·高三校考阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2【答案】6+3【分析】根据双曲线的定义结合条件求解即可.【详解】

因为AF2=−2AB根据双曲线的定义，A因为F1A在直角三角形AF2F又因为cos由此解得c=所以e=c故答案为：6+【变式7-1】5.（2023·全国·高二专题练习）设F1,F2为双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过左焦点F【答案】2【分析】设直线的倾斜角为α，可得cosα=78，由P在第一象限内，且F1P【详解】设直线的倾斜角为α，则cosα=由P在第一象限内，且F1P=∴F2P=2c−2a整理得3c2+4a2−8ac=0，则

故答案为：2题型8焦点三角形已知顶角【例题8】（2023秋·江苏南通·高二校联考阶段练习）已知F1,F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠FA．213 B．215 C．7 【答案】A【分析】根据PF1=4PF2，∠F【详解】如下图所示：根据题意可设PF2=m,由余弦定理可知cos∠F1即c=21由双曲线定义可知可知PF1−所以离心率e=c故选：A【变式8-1】1.（2023秋·浙江嘉兴·高二统考期末）已知F1和F2是双曲线C：x2a2−y2b2=1A．3 B．2 C．62 D．【答案】C【分析】由已知结合双曲线的定义及性质，利用余弦定理，总综合可得4c【详解】不妨设|PF在△PF1F因为|OP|=5则|PF两式联立得|PF因为4c2=|P整理得4c2=6所以离心率e=c故选：C．

【变式8-1】2.（2023·贵州遵义·统考模拟预测）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F1【答案】3【分析】构建焦点三角形，判断出其为直角三角形，进而可求.【详解】如图，因为PO=c=|F1所以∠OPF则|PF2ce2解得e=3故答案为：3

【变式8-1】3.（2023·西藏日喀则·统考一模）已知双曲线C:x2a2−y2b2【答案】102/【分析】根据双曲线的定义以及直角三角形的性质求解即可；【详解】

依题意有OF所以F1设PF2所以|PF在Rt△F所以△F故有：|OF1解得：t=a,即PF2在Rt△F即10a所以10故答案为：102【变式8-1】4.（2023春·河南漯河·高二统考期末）已知F1,F2为双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点，O为坐标原点，过点【答案】5【分析】由给定条件可得MF1⊥M【详解】由MF1⋅MF2=0，得M则|MF1|=得(2abb−a)2+解得b=2a，所以双曲线E的离心率e=c故答案为：5

题型9焦点双曲线双余弦定理【例题9】（2023秋·四川内江·高三四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为FA．7 B．6 C．5 D．2【答案】A【分析】根据给定条件，利用双曲线的定义、余弦定理求解作答.【详解】令|AF1|=t

在△ABF2中，∠BAF即(3t−2a)2=4t2+在△AF1F2中，令双曲线半焦距为c，由余弦定理得：所以双曲线离心率e=c故选：A【变式9-1】1.（2023秋·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1A．2 B．2 C．6 D．2【答案】C【分析】根据点到直线距离公式、余弦定理，双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】双曲线C的左焦点F1−c,0，渐近线l1由点到直线的距离公式可得MF由勾股定理得OM=在Rt△MOF1中，∠OM在△MOF2中，OM=a，Mcos∠MO由余弦定理得cos∠MO化简得c2=6a2，即故选：C

【点睛】关键点睛：本题的关键是利用互补两角的余弦值为零，进而运用余弦定理.【变式9-1】2.（2023·河南洛阳·洛宁县第一高级中学校考模拟预测）已知F1,F2分别为双曲线C：x2a2−y2b2=1A．173 B．C．5 D．1+【答案】B【分析】设BF1=m，利用双曲线定义表示出BF2,AF2的长，再利用勾股定理可得m2【详解】如下图所示，连接BF2,AF2，易知以O即F1F2为圆O

不妨设|BF1|=m,由双曲线定义可得|B所以|BF1|2在△BF1F在△AF1F又易知cos∠BF联立①②可得，3a则双曲线的离心率为e=故选：B【变式9-1】3.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，F【答案】3【分析】利用向量的中点性质与双曲线的定义求得PO，PF1，再利用余弦定理得到关于【详解】依题意，设双曲线C的半焦距为c，则F1F2

因为O是F1F2故由PF1+因为PF2−PF在△PF1F在△PF1O所以c2−2a2ac=a故答案为：3.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是熟练掌握平面向量的运算法则与双曲线的定义，从而得到所需线段的长度，再构造关于a,c的齐次方程即可得解.【变式9-1】4.（2023·全国·模拟预测）已知F1，F2分别是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，Q是双曲线A．295 B．293 C．43【答案】B【分析】设F1P=m，|PQ|=3m，QQF2，PF2，依题意可得【详解】设F1P=m，因为PQ=3F连接PF2，因为QF1−QF又QF1⋅在Rt△F1QF2在Rt△PQF2中，有|PQ|由②可得m=56a，将其代入①即e=c故选：B．题型10焦点三角形面积相关【例题10】（2021秋·陕西渭南·高二统考期末）双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1−c,0,A．22 B．2 C．2 D．【答案】C【分析】先利用点到直线的距离公式求出F2A=b，再可求得OA=a，则S△AOF2=1【详解】双曲线的渐近线为y=±bax，由双曲线的对称性，不妨取y=F2所以OA=所以S△AO因为△AF1F2的面积为所以12bc=2×1所以离心率e=c故选：C

【变式10-1】1.（2023春·宁夏银川·高二校考阶段练习）设F1，F2是双曲线C:x216−A．53 B．2 C．54 【答案】C【分析】由已知条件，结合双曲线的简单性质求出b2【详解】因为F1，F2是双曲线C:x216−所以||PF1|−|PF||=8所以c2=a故双曲线的离心率为e=c故选：C.【变式10-1】2.（2023·河南开封·统考模拟预测）已知A是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右顶点，点P(2,3)在C上，【答案】2【分析】由题设可得a+c=3，结合点在双曲线上及参数关系求出双曲线参数a,c，即可得离心率.【详解】由题设知：|AF|=a+c，则S△APF

所以a+c=3且c>a，易知：0<a<3又4a2−9b所以4(c2−化简得a3−3a2−4a+6=(a−1)(综上，a=1，故c=2，则离心率为ca故答案为：2题型11点差法【方法总结】运用结论kOM【例题11】（2024·全国·高三专题练习）双曲线C：x2a2−y2b2=1A．32 B．355 C．6【答案】A【分析】根据已知条件列方程，化简求得b2【详解】依题意A−a,0，设Mm,t，则N且m2而kAM4t2=5所以e=c故选：A【变式11-1】1.（2023秋·四川成都·高三石室中学校考阶段练习）已知过坐标原点的直线l与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于A，B两点，点A在第一象限，经过点A且与直线l垂直的直线与双曲线C的另外一个交点为M，点N在【答案】7【分析】由题意可得直线的斜率存在且不等于0，不妨设直线l的方程为y=kx，设线段BM的中点为Q，连接OQ，设Bx1,y1x1<0,y1<0，根据点差法得到k【详解】根据题意，画出示意图，如图所示．

由题意可得直线的斜率存在且不等于0，不妨设直线l的方程为y=kx，因为BN//设线段BM的中点为Q，连接OQ，根据题意，显然可得点O为线段AB的中点，所以OQ//设Bx1,y1x1因为点B，M都在双曲线C上，则x12a即y1而y1+y所以kBM⋅k又因为AB⊥AM，则OB⊥OQ，即kOB所以y1x1所以kBM又ON2=7OA即|ON|=−7|OA所以kBN而kBM=kBN，故则双曲线C的离心率e=c故答案为：7.【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM=λ【变式11-1】2.（2023秋·山东青岛·高三统考期末）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0与直线y=kx相交于A，B两点，点P为双曲线E上的一个动点，记直线PA，PB的斜率分别为【答案】5【分析】设点A(x1,y1)，B(−x1,−y1【详解】设点A(x1,y1)，B(−x两式相减，得x12−因为kPA⋅kPB=所以双曲线的渐近线方程为y=±12x因为焦点F2c,0到渐近线x−2y=0的距离为所以c5=1，可得c=5，又因为c所以双曲线的离心率e=5故答案为：5【变式11-1】3.（2023·江西南昌·统考三模）不与x轴重合的直线l经过点NxN,0xN≠0，双曲线C:x2aA．52 B．2 C．2 D．【答案】C【分析】由点差法得kOMkAB=e2−1【详解】设Ax则x12a即x1即y1−y因为l是AB垂直平分线，有klkAB即yMxM=1−故选：C.【变式11-1】4.（2023·青海海东·统考模拟预测）如图，已知过原点的直线l与双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)相交于A,B两点，双曲线C的右支上一点A．52 B．152 C．153【答案】C【分析】取PB的中点M，连接OM，利用两角和的正切公式求出tan∠xOM，即直线OM的斜率为−29，再设Bx1【详解】如图，取PB的中点M，连接OM，则OM//AP，所以设直线PB的倾斜角为α，则tanα=−3所以tan∠xOM=−所以直线OM的斜率为−2设Bx1,y1由x12a所以b2a2=−3×−故选：C【变式11-1】5.（2023·全国·高二专题练习）已知直线l:4x−2y−7=0与双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0A．233 B．5−12 C．【答案】D【分析】首先求出AB的垂直平分线的方程，即可求出AB的中点坐标，设Ax1,y1【详解】因为直线l:4x−2y−7=0，所以kl由题可知AB的垂直平分线的方程为y=−1将y=−12x−3与4x−2y−7=0联立可得x=2y=1设Ax1,y1，Bx2两式作差可得x1即y1+y则双曲线C的离心率为1+b故选：D【变式11-1】6.（2023·河北·统考模拟预测）已知斜率为−2的直线l1与双曲线E:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右两支分别交于点A，B，l2//l1，直线l2与E【答案】7【分析】设出各点的坐标及中点坐标，代入双曲线作差得yM=−b22【详解】设Ax1,y1，Bx2AB的中点MxM,yM则x12a2−所以b2a2⋅x因为AB//CD，所以P，M，N三点共线，所以将①②代入得−b22因为xM≠xN，所以又点P恒在直线l:y=−3x上，所以−b22所以双曲线E的离心率为e=c故答案为：7

【点睛】思路点睛：一般涉及中点弦问题时，采用设而不求点差法求解，本题通过点坐标之间的关系建立a，b关系，从而求出双曲线的离心率.【变式11-1】7.（2019·全国·高三校联考阶段练习）过双曲线C的左焦点F1且斜率为13的直线l交双曲线C的左右两支于A,B两点，若线段AB的垂平分线过双曲线C的右焦点F2【答案】5【分析】设Ax1,y1,Bx2,y2,AB中点为Mx【详解】设Ax1,根据题意作图如下:由图知,∠所以在RtΔMF1F2中,由OM=OF1因为kABkOM由x12a两式作差整理得：b2a2因为kOM所以b2a2解得a2=4b所以双曲线C的离心率为e=c故答案为:5【点睛】本题考查双曲线的性质、直线与双曲线的位置关系和点差法的运用;考查运算求解能力和数形结合思想;圆锥曲线与平面几何的知识相结合是求解本题的关键;属于中档题.题型12由题目条件求离心率【例题12】（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线C的顶点为A1,A2【答案】2【分析】利用题给条件得到关于a,c的关系式，即可求得双曲线C的离心率.【详解】OA由△BA1A2是等边三角形可知又因为c2所以c=2a，从而e=c【变式12-1】1.（2023秋·江苏南京·高二南京市秦淮中学校联考阶段练习）双曲线C：x2a2−y25A．62 B．355 C．3【答案】C【分析】根据已知可得出a−43=23，a=2【详解】由已知可得，Aa,0且a−43=又b2=5，所以c2所以，e=c故选：C.【变式12-1】2.（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C：x2a2−y2bA．3 B．2 C．5 D．3【答案】B【分析】设渐近线的倾斜角为α，可得tanα=ba，结合sin2α+【详解】由题意知点P在第一象限且在双曲线C：x2设渐近线的倾斜角为α，则tanα=ba

结合sin2α+cos结合题意可知α∈0,π又OP=c，PF在△PFO中利用余弦定理得PF2即4a即cosα=−4a故e2−e−2=0，解得e=2或故选：B【变式12-1】3.（2023秋·湖南永州·高二永州市第一中学校考阶段练习）设F1,F2是双曲线C:x2a2−y2A．3 B．33 C．3 D．【答案】A【分析】根据题意，先求得焦点F1到渐近线的距离为b，在直角△MOF1中，求得cos∠OF1M=【详解】由双曲线C:x2a2−如图所示，则焦点F1到渐近线y=−ba在直角△MOF1中，可得在△MF1F即3b2=4又由b2=c2−所以双曲线的离心率为e=c故选：A.

【变式12-1】4.（2023·江西九江·统考一模）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，过点M(2,0)作E的一条渐近线l的垂线，垂足为P，过点M作x轴的垂线交l于点A．62 B．233 C．2【答案】C【分析】作出图形，分析出∠MOQ=45∘，则【详解】∵△MPQ与△MPO的面积相等，∴P为OQ的中点，故△OMQ为等腰直角三角形，∴∠MOQ=45∘，∴b即a2=c2−故选：C．

【变式12-1】5.（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线C的两条渐近线为l1，l2，过右焦点作直线FB∥l1且交l2于点B，过点B作BA⊥lA．3 B．233 C．62【答案】B【分析】延长AF交l2于点A1，由题意可得△OAA1为等边三角形，从而得OA与x轴的夹角为30°，【详解】解：如图，延长AF交l2于点A则△OAF≅△OA1F

在△OAA1中，F为AA1的中点，而所以B为OA又AB⊥OA1，于是△OAA从而△OAA所以ba所以b=3所以c2所以e2所以e=2故选：B.题型13利用图形求离心率【例题13】（2022秋·陕西商洛·高二校考阶段练习）已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点，O是坐标原点，过F作双曲线C的一条渐近线的垂线，垂足为P【答案】6【分析】依题意画出图象，设|OP|=x，则OQ=3x，即可求出|PQ|，从而求出【详解】设|OP|=x（x>0），则OQ∵FQ⊥OP，∴|PQ|=2∴tan∠QOP=|PQ||OP|=2所以sin∠FOP=sinπ∴tan∠POF=∴ba∴离心率e=c故答案为：62【变式13-1】1.（2022·安徽安庆·安庆一中校考三模）过双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点FA．62 B．3或62 C．36【答案】B【分析】根据题意，可得AF2=【详解】

如图①，当AF2=13F2B时，设∠F2OA=α，则∠AOB=2αAF2=bt，OA=at，t>0，因为又c2=a2+b2，所以t=1，所以OA则AB=4b，则tan2α=即4b=2b1−b2如图②，当F2A=13F2B时，设∠F2OA=α，∠AOB=β设AF2=bt，OA=at，t>0，因为又c2=a2+b2，所以t=1，所以OA则AB=2b，tanα=ba=−tanα+β=b+2b1−b⋅2b=−b，即3=2b2−1故选：B【变式13-1】2.（2023秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1,F2，过双曲线C上一点【答案】3【分析】由题意知四边形PQF1F【详解】设双曲线x2a2−y由题意知PQ∥F1F2，由PQ=F1F2且PF1

故∠F1QO=则PF故PF即离心率e=1故答案为:3+1【变式13-1】3.（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）双曲线C:x2a2−y2【答案】10【分析】作出辅助线，得到F1D⊥FD，设出DF1=2m【详解】由题意得F−c,0，取AB中点M，连接OM，设双曲线C的右焦点为F1，连接因为OA=OB=又A，B为线段FD的两个三等分点，所以FM=DM，即M为FD的中点，又O为FF1的中点，所以DF设DF1=2m，则OM由勾股定理得AM=BM=12a由双曲线定义得DF−DF在Rt△DFF1中，由勾股定理得即61由①得312a解得m=a2或将m=a2代入②得5a

故答案为：10【变式13-1】4.（2023秋·福建福州·高三统考开学考试）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左焦点为F，两条渐近线分别为【答案】2【分析】结合图像与三角函数关系，解得AF=2b=2FP，点F，A关于直线l2对称，∠FOP=∠AOP，由此解得l【详解】

依题意，l1的方程为y=ba设垂足为P，根据三角函数对应关系，sin∠POF=FPOF因为Fc,0，l1的方程为y=−b则PF=bc+a×0a因为点F，A关于直线l2对称，∠FOP=∠AOP又l1，l2关于y轴对称，所以l1故bc=sin60°=3所以离心率e=故答案为：2.题型14双曲线的对称性【例题14】（2023秋·广东·高三校联考阶段练习）已知双曲线C：x2a2−y2bA．3+12 B．3+1 C．2【答案】B【分析】先由双曲线与直线对称性，得四边形PFQF【详解】设双曲线C的左焦点F，右焦点为F'连接PF，PF'，QF，根据双曲线的性质和直线l的对称性知，四边形PFQF因为以PQ为直径的圆经过双曲线的一个焦点，所以PF⊥QF，即四边形PFQF由直线l的斜率为−3，得∠POF=又PO=FO=c，则△POF在Rt△PFQ中，PQ=2c，则FQ=3c又由双曲线定义知PF'−|PF|=2a则e=c故选：B.【变式14-1】1.（2023秋·陕西西安·高三校联考开学考试）已知F1，F2分别为双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，过原点O的直线l与E交于A，B两点（点A在第一象限），延长A．3 B．2 C．5 D．1【答案】A【分析】根据已知条件以及双曲线的定义求得AF【详解】结合双曲线的对称性可知，∠F1A所以△ACF1为等边三角形，则AF由双曲线的定义，得AF1−AF则F1故选：A【点睛】求解双曲线的离心率，方向有三种，一个是求得a和c，从而求得双曲线的离心率；一种是求得a,c的等量关系式，化简可求得双曲线的离心率；还有一种是求得a,b的等量关系式，先求得ba【变式14-1】2.（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,OA．2 B．3 C．2 D．5【答案】A【分析】根据题意分析可得四边形AF【详解】如图，不妨设点A在第一象限，由题意可得：AO=BO,因为F1F2=2|AO|，即AO=设AF1=m,因为m−n2=m2+故选：A.

【变式14-1】3.（2024·全国·高三专题练习）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，过点F的直线l与双曲线E的右支交于B，C两点，且CF=3A．3 B．233 C．103【答案】D【分析】由双曲线的性质可得四边形AF1BF为矩形，然后结合双曲线的定义及Rt△CBF1的勾股定理可得【详解】设双曲线的左焦点为F1，连接AF，AF1

又因为AF⋅BF=0所以四边形AF设|BF|=t，则|CF|=3t，由双曲线的定义可得：|BF1|=2a+t又因为△CBF所以|BC|2+|BF1所以|BF1|=3a又因为△BFF1为直角三角形，所以|BF|2+|B所以c2a2故选：D.【变式14-1】4.（2023·全国·高二专题练习）如图，已知F1,F2是双曲线C:x2a2−y2b

A．105 B．52 C．153【答案】D【分析】根据双曲线的定义和性质分析可得t=a，进而可得∠F【详解】延长QF2与双曲线交于点因为F1P∥F设F2P'可得F2P−所以P'Q=4t=4a，则Q即P'Q2在△P'F即a2+3a故选：D.

【点睛】方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求e=c2．焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．【变式14-1】5.（2023秋·河南郑州·高二郑州四中校考期中）古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1，【答案】3+1/【分析】由题意可得四边形AF1BF2【详解】由双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)则OA=OB，OF

又AB⋅F1设|AF1|=m在Rt△AF1则m−n=2a，n=m⋅tan∴n=c，m=3c，∴3c=c+2a，解得c∴双曲线的离心率为3+1故答案为：3+1【变式14-1】6.（2023·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）已知直线l过双曲线C:x2−y2【答案】17【分析】设F'c,0，延长DF'，连接AF',EF，，由OA=OF=OD=OF'=c，得到∠AFD=90°，在直角△BDF中，设BF=m【详解】不妨设点A在x轴上方，由题意可知点D也在双曲线C上，设双曲线C的右焦点为F'c,0，连接DF'并延长，交双曲线C于点E，连接由OA=OF=OD=在直角△BDF中，设BF=m，则由tan∠BDF=1由对称性可得EF'=由双曲线的定义可得2=DF−D在直角△DEF中，由DE=m+4c2−4可得(2+m)2=(2m)由①式和②式可得m=43，将m=4化简可得c2=17故答案为：173

题型15角平分线相关【方法总结】1.角平分线“拆”面积：S△ABC2.角平分线定理性质：ABBD【例题15】（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为【答案】2【分析】由F2PF【详解】依题意，由F2得F2PF如图，设∠PF2Q则∠PF2D=∠QF2所以△PDF2≌△QDF2由题得F1−c,0，F2c,0，设DF在Rt△DF1F2中，∠F1由双曲线的性质可得QF1−则PD=QD=2a，所以在Rt又t=DF1−PD即c2+2a2=故答案为：2【变式15-1】1.（2023秋·河北·高三校联考期末）双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左焦点为F，右顶点为A，过A且垂直于x轴的直线交C【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质，结合勾股定理与角平分线的性质定理，建立方程，化简求值即可.【详解】设F−c,0

根据题意易知PA=b，且PA⊥FA，又FA所以由勾股定理可得：PF=又PO恰为△PFA的角平分线，所以根据角平分线性质定理可得：PFPA∴c+a2+∴c+a∴2e2∴2e−1=e又e>1，所以解得：e=2.故答案为：2.【变式15-1】2.（2024·全国·高三专题练习）设F1，F2是双曲线C：x2a2−y2bA．113 B．C．333 D．【答案】C【分析】由题意，结合双曲线的定义以及角平分线定理可得，AF2=3a，AF1=a，BF1=4a，AB【详解】

4F2A=设AF2=k，则BM因为BF2平分∠F1BM又AF即有AF2=3a，AF1=a，在△AF1Fcos∠F1由cos∠BA可得e=33故选：C.【变式15-1】3.（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知O为坐标原点，双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左右焦点分别为F1，FA．2 B．3 C．1 D．2【答案】C【分析】延长F2M交PF【详解】设半焦距为c，延长F2M交PF1于点

由于PM是∠F1P所以△NPF2是等腰三角形，所以PN=PF根据双曲线的定义可知PF1−由于O是F1F2的中点，所以MO所以MO=又双曲线的离心率为62，故ca=所以b=c故选：C.【变式15-1】4.（2023·河南郑州·三模）已知F1，F2分别是双曲线Γ：x2a2−y2b2=1A．263 B．233 C．【答案】A【分析】因为CB=5F2A，所以△F1AF2∽△F1BC，设F1F2=2c，则【详解】因为CB=5F2A，则CB//设F1F2=2c，则F2C=8c因为BF2平分∠F所以BC=4BF由双曲线定义知AF2−AF又由BF1−在△ABF2中，由余弦定理知在△F1B即14=25把①代入上式得c2=24故选：A．题型16向量相关【例题16】（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线E:x2a2−y2b2=1（a>0，b>0），直线l的斜率为−12，且过点M(a,b)，直线l与A．5 B．2C．3 D．5【答案】D【分析】首先写出直线l点斜式方程并求出点C(a+2b,0)，由向量线性运算的坐标表示可以求出Da+【详解】由题意知直线l的方程为y−b=−12(x−a)，令y=0，得x=a+2b又因为MD=13DC，不妨设解得x1=a+b2,化简得4ba2+16⋅b所以E的离心率e=故选：D.【变式16-1】1.（2023春·江西南昌·高三南昌市八一中学校考阶段练习）如图，已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点为F，点P,Q分别在C

A．3 B．3C．2 D．2【答案】D【分析】由OF=QP可构造方程，利用a,b,c表示出P,Q坐标，由QF⊥OP可构造齐次方程求得【详解】由双曲线方程知：渐近线方程为y=±b∵OF=QP，∴OF设Pt,batt>0，则Q∴Pc2,bc2a，Q−c∵QF⊥OP，∴∴双曲线的离心率e=1+故选：D.【变式16-1】2.（2023·贵州毕节·校考模拟预测）已知F是双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点，A为C的虚轴的一个端点，A．2+1 B．5+12 C．17【答案】A【分析】不妨设F为右焦点，A为C的虚轴的端点且在y轴的正半径轴上，则F(c,0),A(0,b)，再由2OB=OA可得B0,12b【详解】不妨设F为右焦点，A为C的虚轴的端点且在y轴的正半径轴上，则F(c,0),A(0,b)，则OA=(0,b)因为2OB=OA，所以OB所以直线FB的斜率为12因为双曲线C:x2a因为直线FB垂直于C的一条渐近线，所以−b所以b2=2ac，所以所以e2−2e−1=0，解得因为e>1，所以e=1+2故选：A【变式16-1】3.（2023春·贵州·高二校联考期末）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1A．6+32 B．6+3 【答案】B【分析】先求得M点坐标，根据F1M⊥【详解】由于F1F2则−c32由于F1M⊥整理得c4两边除以a4得e由于e>1，e2故选：B

题型17双曲线与圆相关【例题17】（2023秋·江西上饶·高二校考阶段练习）设点F为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的右焦点，O为坐标原点，以OFA．2 B．3 C．2 D．5【答案】A【分析】作出图形，分析可知，四边形OAFB为正方形，可得出∠AOF=π4，求出【详解】如下图所示：连接AF、BF，设AB∩OF=M，由对称性可知，M为AB的中点，AB⊥OF，因为AB=OF，则线段AB是以OF为直径的圆的一条直径，则故M为OF的中点，又因为AB⊥OF，且AB、OF互相垂直且平分，所以，四边形OAFB为正方形，则∠AOF=π4，所以，所以，该双曲线的离心率为e=c故选：A.【变式17-1】1.（2023秋·高二课时练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1b>a>0的左焦点为F，右顶点为A，一条渐近线与圆A:x−a2A．3 B．2C．1+2 D．【答案】C【分析】连接AM，联立方程组求得M(a,b)，结合ON//AM，得到ONAM=OFAF，化简得到【详解】如图所示，连接AM，由双曲线C:x2a根据题意，点M在第一象限，将y=bax可得(a可得△=由求根公式，可得x=2因为x>0，且b>a>0，所以x=a，所以点M(a,b)由∠FNA=90°，可得ON2=OF因为ON//AM，所以ONAM=OFAF，即两边同除以a2，得e2−2e−1=0，解得e=1+故选：C.

【变式17-1】2.（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，以坐标原点A．3 B．2 C．5 D．7【答案】D【分析】根据题意求得sin∠AOF的值，表示出A点坐标，代入双曲线方程，整理可得关于a,c【详解】由题意可知cos∠AOF=137

故sin∠AOF=而|OA|=|OF|=c，故A(13将A(137c,得13c249a2即13e4−98e2由于双曲线离心率e>1，故舍去e2故e=7故选：D【变式17-1】3.（2023秋·湖北武汉·高三武汉市第六中学校联考阶段练习）过双曲线E:x2a2−A．3 B．5 C．132 D．【答案】C【分析】取线段AT中点，根据给定条件，结合双曲线定义及直角三角形勾股定理求解作答.【详解】令双曲线E的右焦点为F'，半焦距为c，取线段AT中点M，连接OT,A

因为FA切圆x2+y2=a2因为FA=3FT，则有|AM|=|MT|=|FT|=b，而O为FF'的中点，于是F'M//OT，即在Rt△AF'M中，所以双曲线E的离心率e=c故选：C【变式17-1】4.（2023春·海南海口·高三统考期中）已知双曲线C:x2a2−y2A．3 B．52 C．2 D．【答案】A【分析】根据给定条件，结合切线的性质及直角三角形边角关系，列式计算作答.【详解】显然圆x−c2+y2=c−a2