【教无忧】高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修三）第08讲 5.5 数学归纳法（2知识点 6题型 强化训练）【KS5U 高考】

.5数学归纳法课程标准学习目标（1）了解数学归纳法的原理和步骤，能用数学归纳法证明关于正整数的数学命题；（2）借助具体实例，进行大胆猜测和证明，理解数学归纳法的原理和步骤；（3）感受类比、从具体到抽象、从特殊到一般的数学思想方法。（1）了解数学归纳法的原理；（2）掌握数学归纳法证明一些问题的一般方法与步骤；（3）能用数学归纳法证明一些数学命题。知识点01数学归纳法1、数学归纳法的定义：一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数的所有正整数都成立时，可以用以下两个步骤：（1）（归纳奠基）证明当时命题成立；（2）（归纳递推）假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立.在完成这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法。2、数学归纳法的三个关键点（1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点．（2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项．（3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．【即学即练1】（2023·新疆伊犁·高二校考期末）利用数学归纳法证明时，第一步应证明（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，，即从起连续项正整数之和.则为从起连续3个正整数之和，故第一步应证明.故选：B.知识点02“归纳——猜想——证明”的一般环节（1）计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题；（2）归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论；（3）证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明.【即学即练2】（2023·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）若正项数列中，，，则的值是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】,在正项数列中,当时,,解得,当时,,解得,猜想,证明:当时,显然成立;假设时,，则当时,.故时,结论也成立.故,故选:C.【题型一：对数学归纳法的理解】例1．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明，第一步应验证（）A．当时，不等式成立B．当时，不等式成立C．当时，不等式成立D．当时，不等式成立【答案】C【解析】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立，故选：C.变式1-1．（2023·新疆塔城·高二塔城市第三中学校考阶段练习）（多选）已知为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设（，且为偶数）时等式成立，则还需利用假设再证（）A．时不等式成立B．时不等式成立C．时不等式成立D．时不等式成立【答案】B【解析】若已假设（，k为偶数）时命题为真，因为n只能取偶数，所以还需要证明成立．故选：B．变式1-2．（2023·高二校考课时练习）如果命题对成立，那么它对也成立.设对成立，则下列结论正确的是（）A．对所有的正整数成立；B．对所有的正奇数成立；C．对所有的正偶数成立；D．对所有大于1的正整数成立.【答案】C【解析】由于若命题对成立，则它对也成立．又已知命题成立，可推出均成立，即对所有正偶数都成立，故选：C．变式1-3．（2023·高二课时练习）（多选）设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（）A．若成立，则当时，均有成立B．若成立，则当时，均有成立C．若成立，则当时，均有成立D．若成立，则当时，均有成立【答案】ABC【解析】对于A，若成立，由题意只可得出当时，均有成立，故A错误；对于B，若成立，则当时均有成立，故B错误；对于C：因为不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误；对于D：若成立，则当时，均有成立，故D正确；故选：ABC.【方法技巧与总结】1、验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定为1；2、递推是关键：正确分析由到时式子项数的变化是应用数学归纳法成功证明问题的保障。【题型二：数学归纳法处理增项问题】例2．（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中学校考期末）用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（）A．1项B．项C．项D．项【答案】D【解析】因为，所以，共项，则共项，所以比共增加了项，故选：D变式2-1．（2022·河南南阳·高二校联考专题练习）用数学归纳法证明：时，从到，等式的左边需要增乘的代数式是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】从到，等式的左边需要增乘的代数式是.故选：D.变式2-2．（2023·上海·高二期末）用数学归纳法证“（）”的过程中，当到时，左边所增加的项为．【答案】【解析】当时，等式为，当时，等式为，因此，从“”变到“”时，左边应增加的项是.变式2-3．（2023·陕西渭南·高二校考期中）设，那么等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得,所以，故选：D【方法技巧与总结】用数学归纳法研究添项问题关键在于弄清表达式的构成规律，从而确定到增加多少项，增加怎样的项。【题型三：用数学归纳法证明恒等式】例3．（2024·上海·高二上海中学校考期末）用数学归纳法证明：对于任意正整数都有：.【答案】证明见解析【解析】当时，，结论成立；假设①当时，，②则当时，，结论成立；综合由①②知，对于任意正整数都有：.变式3-1．（2023·高二校考课时练习）用数学归纳法证明：．【答案】见解析【解析】当时，左边，右边；假设当时等式成立，即有，当时，，则当时等式也成立，根据数学归纳法，可知等式对于任意都成立.变式3-2．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．【答案】证明见解析【解析】当时，等式左边，等式中间，等式右边，即等式左边=等式中间=等式右边，等式成立；假设时等式成立，即有成立，我们分两步来证明当时，等式成立，即分别证明此时等式左边=等式中间，等式中间=等式右边即可，第一步：由假设可知，当时，有成立，即当时，等式左边=等式中间成立；第二步：由假设，所以此时有成立，从而可知，当时，有成立，即当时，等式中间=等式右边成立；结合以上两步有：若当时等式成立，则当时等式成立；综上所述：由数学归纳法可得.变式3-3．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明：（1）；（2）．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】（1）当时，成立；假设当时成立，则，即成立，故当时也成立.综上有（2）当时，成立；假设当时成立，则，故当时也成立.故【方法技巧与总结】用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点：（1）弄清取第一个值时等式两段项的情况；（2）弄清从到等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；（3）证明时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝证明目标的表达形式变形。【题型四：用数学归纳法证明不等式】例4．（2023·全国·高二随堂练习）设，，且，用数学归纳法证明：．【答案】证明见解析【解析】当时，左边，右边，因为，所以，故左边右边，原不等式成立；假设当时，不等式成立，即，则当时，，，在不等式两边同乘以得，所以．即当时，不等式也成立．综上，对一切正整数，不等式都成立．变式4-1．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：．【答案】证明见解析.【解析】当，则成立，若且时，成立，令，则，所以时不等式也成立，综上，恒成立.变式4-2．（2023·全国·高三专题练习）证明∶不等式成立.【答案】证明见解析【解析】①当时，左边右边，∴不等式成立.②假设当时不等式成立，即.③当时，左边，∴当时，不等式也成立.综上可得，原不等式恒成立.变式4-3．（2023·全国·高三专题练习）数列满足：，，求证：．【答案】证明见解析【解析】先用数学归纳法证明加强命题：对一切正整数n，有，1°当时，显然成立．2°假设时，有，则当时，一方面，由基本不等式，有．等号当且仅当时取得，因为，所以．另一方面，，当时，也成立，因此，．【方法技巧与总结】数学归纳法证明不等式的四个关键：（1）验证第一个的值时，要注意不一定为1，若（为正整数），则；（2）证明不等式的第二步中，从到的推到过程中，一定要用到归纳假设，不应用归纳假设的证明不是数学归纳法；（3）用数学归纳法证明与有关的不等式一般有两种具体形式：一时直接给出不等式，按要求进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小，对第二类形式往往要先对取前个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个值开始都成立的结论，常用数学归纳法证明；（4）用数学归纳法证明不等式的关键是由时成立得时成立，主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等。【题型五：用数学归纳法解决整除问题】例5．（2023·辽宁·高二辽宁实验中学校考期中）用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”的第二步是：设，则假设＝时正确，再推＝时正确．【答案】【解析】因为用数学归纳法证明：当为正奇数时，能被整除，第一步，当时，能被整除；第二步，假设，时，命题正确，再证明，时，命题正确．故答案为：，变式5-1．（2023·全国·高二随堂练习）用数学归纳法证明：能被整除（）【答案】答案见解析【解析】当时，，故能被整除，假设当时，结论成立，即能被整除，则当时，，由于和均能被整除，故能被整除，综上：能被整除（）.变式5-2．（2023·全国·高三专题练习）求证：对任何正整数n，数都能被8整除【答案】证明见解析【解析】证明:1°当n=1时，，命题成立．2°假设n=k时，能被8整除，则当n=k+1时，,因为是8的倍数，而也是8的倍数，所以Ak+1也是8的倍数，即n=k+1时，命题也成立由以上1°、2°可知，对一切正整数n，能被8整除．变式5-3．（2022·高二课时练习）用数学归纳法证明：可以被7整除.【答案】证明见解析．【解析】证明：（1）时，，能被7整除，（2）假设时，命题成立，即能被7整除，设（是正整数），则时，，是正整数，所以能被7整除，所以时，命题成立，综上，原命题成立，（是正整数）可以被7整除．【方法技巧与总结】利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式，这就往往要涉及到“添项”“减项”与“因式分解”等变形技巧，凑出时的情形，从而利用归纳法假设使问题得证。【题型六：与数列有关的归纳-猜想-证明问题】例6．（2022·宁夏银川·高二校考阶段练习）已知数列满足（1）求出项，并由此猜想的通项公式（2）用数学归纳法证明的通项公式【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）依题意，所以，由此猜想.（2）当时，，成立.假设当时成立，即成立.则当时，，成立.综上所述，对任意正整数都成立.变式6-1．（2023·高二课时练习）已知函数，设，且任意的，有.（1）求的值；（2）试猜想的解析式，并用数学归纳法给出证明.【答案】（1）；（2），证明见解析【解析】（1）由，任意的，有，得，，，所以.（2）由（1）猜想：.用数学归纳法证明如下：①当时，，猜想正确；②假设当时，猜想正确，即，则当时，，因此当时，猜想正确，由①②知，对任意的，都有.变式6-2．（2023·上海·高二七宝中学校考阶段练习）已知数列满足，，是其前n项和.（1）计算，，并猜想的通项公式，用数学归纳法证明；（2）记，求.【答案】（1），，猜想，证明见解析；（2）【解析】（1），，猜想当时，，满足猜想，假设当时，猜想成立，即，则当时，，所以当时猜想也成立，综上，猜想成立，即.（2），，，.变式6-3．（2023·北京房山·高二统考期末）已知数列的通项公式为，记该数列的前n项和为．（1）计算，，，的值；（2）根据计算结果，猜想的表达式，并进行证明．【答案】（1），，，；（2），证明见解析.【解析】（1）因为，所以，，，.（2）猜想，下面用数学归纳法进行证明：当时，，猜想正确，假设当时，猜想也正确，则有，当时，，所以时，猜想也正确，综上所述，.【方法技巧与总结】归纳-猜想-证明的一般环节：计算：根据条件爱你，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的基础；归纳-猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论；证明：对一般结论用数学归纳法进行证明。一、单选题1．（2023·陕西西安·高二期中）用数学归纳法证明“”时，第二步应假设（）A．当时，成立B．当时，成立C．当时，成立D．当时，成立【答案】C【解析】根据题意，证明的结论为“”，所以第二步的假设应写出：假设时命题成立，即成立.故选：C.2．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（）A．1B．C．D．【答案】C【解析】因为，当时，左边，故C正确.故选：C.3．（2023·高二课时练习）用数学归纳法证明，“当为正奇数时，能被整除”时，第二步归纳假设应写成（）A．假设时正确，再推证正确B．假设时正确，再推证正确C．假设时正确，再推证正确D．假设时正确，再推证正确【答案】B【解析】因为命题为“当为正奇数时，能被整除”，所以第二步归纳假设应写成：假设时正确，再推证正确.故选：B.4．（2023·北京房山·高二统考期末）用数学归纳法证明，从到，左边需要增加的因式是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，左边，当时，左边，所以左边应添加因式为，故选：B.5．（2023·全国·高三对口高考）已知，证明不等式时，比多的项数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，所以，所以比多的项数是.故选：B.6．（2023·黑龙江哈尔滨·高二哈九中校考期中）用数学归纳法证明不等式的过程中，由递推到时不等式左边（）A．增加了B．增加了C．增加了，但减少了D．增加了，但减少了【答案】C【解析】当时，，当时，，故增加了，但减少了.故选：.7．（2023·北京·高二北京八中校考期中）在用数学归纳法证明的过程中，从“到”左边需增乘的代数式为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，左边，当时，左边，则.故选：D.8．（2023·广东佛山·高二石门中学校考阶段练习）用数学归纳法证明“，”，则当时，左端应在的基础上加上（）．A．B．C．D．【答案】B【解析】当时，等式左端为，当时，等式左端为，两式比较可知，增加的项为．故选：B．二、多选题9．（2022·辽宁大连·高二大连八中校考阶段练习）用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（）A．使不等式成立的第一个自然数B．使不等式成立的第一个自然数C．推导时，不等式的左边增加的式子是D．推导时，不等式的左边增加的式子是【答案】BC【解析】当时，可得；当时，可得；即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确；当时，可得；当时，可得；两式相减得：，所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误；故选：BC.10．（2024·广东佛山·高二统考期末）已知为数列的前项和，且，则（）A．存在，使得B．可能是常数列C．可能是递增数列D．可能是递减数列【答案】ABD【解析】因为为数列的前项和，且，对于A选项，取，则，则，A对；对于B选项，取，则，，，以此类推可知，对任意的，，所以，可能是常数列，B对；对于C选项，假设数列为递增数列，则对任意的，，即，所以，对任意的恒成立，但当时，，矛盾，故数列不可能是递增数列，C错；对于D选项，取，则，，，猜想，，当时，猜想成立，假设当时，猜想成立，即，则当时，，这说明当时，猜想也成立，故对任意的，，此时，数列为单调递减数列，D对.故选：ABD.三、填空题11．（2024·上海宝山·高二校考期末）用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为．【答案】【解析】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立；结合本题现将看成函数上的点，将看成上的点，两函数图像有两个交点，即，解得或，根据两函数图像分析，时，恒成立，所以正整数n的第一个取值应为.12．（2023·上海浦东新·高一华师大二附中校考期末）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式为．【答案】【解析】由不等式，当时，可得，所以用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式为.13．（2023·安徽淮北·高二淮北师范大学附属实验中学校考阶段练习）用数学归纳法证明“已知n为正奇数，求证：能被整除”时，第二步假设当时命题为真后，需证时命题也为真．【答案】【解析】为正奇数，第二步假设第项成立，第三步证明相邻正奇数第项成立.14．（2023·上海宝山·高二校考期中）用数学归纳法证明时，从“到”左边需要增加的代数式是【答案】【解析】把和代入等式左边分别可得：①②两式作差得.四、解答题15．（2023·全国·高二随堂练习）证明：凸n边形的对角线的条数．【答案】证明见解析【解析】证明：①当时，，四边形有两条对角线，命题成立；②假设当，时，命题成立