【教无忧】高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修二）第04讲 3.3 二项式定理与杨辉三角

④当n是奇数时，中间的两项的二项式系数相等且最大.3.各二项式系数的和：已知.令，则.也就是说，的展开式的各个二项式系数的和为2n.4.奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和，即.知识点四．求二项展开式的特定项的常见题型①求第r项，Tr=Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1；②求含xr的项(或xpyq的项)；③求常数项；④求有理项．知识点五．求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致。题型1二项式定理的基本运用【方法总结】二项式定理：，【例题1】（2022·吉林通化·高二期中）二项式a+A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】由二项展开式的性质可得答案.【详解】二项式a+bn的展开式的项数为n+1，本题【变式1-1】1．（2022·湖南·模拟预测）下列不属于x−2A．x3 B．6x2 C．12【答案】B【分析】按照二项式定理直接展开判断即可.【详解】由二项式定理可知，(x−2)3【变式1-1】2．（2022·全国·高二课时练习）用二项式定理展开x+2【答案】x【分析】利用二项式定理展开即可.【详解】x+24【变式1-1】3．（2022·全国·高二课时练习）求x−2【答案】x【分析】直接利用二项式定理展开即可.【详解】x【变式1-1】4．（2022·全国·高二课时练习）用二项式定理展开下列各式：(1)3x(2)x3【答案】(1)81x2+108【分析】（1）直接利用二项式定理求解；（2）先化简原式为x−(1)解：3x+1(2)解：x3−1【变式1-1】5．（2021·全国·高二课时练习）化简：(1)1+x(2)1+x(3)x+【答案】(1)12x+40x3【分析】（1）根据二项式定理展开化简，计算即可得答案.（2）根据二项式定理展开化简，计算即可得答案.（3）根据二项式定理展开化简，计算即可得答案.（1）1+x6（2）1+x5（3）x+1【变式1-1】6．（2022·全国·高二课时练习）化简：x−1【答案】x【分析】根据式子结构，逆用二项式定理即可求解.【详解】∵1=C40=C44题型2求指定项的系数【方法总结】通项公式：Tr=Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1【例题2】（2020·天津外国语大学附属外国语学校高三阶段练习）在x−2xA．35 B．−35 C．560 D．−560【答案】C【分析】利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中1x【详解】二项式x−2x令7−2r=−1⇒r=4，所以x−【变式2-1】1．（2022·广东·珠海市第三中学二模）1−2x5的展开式中，x3A．−160 B．−80 C．80 D．160【答案】B【分析】使用二项展开式的通项进行计算即可.【详解】1−2x5的展开式的通项是C5由题意，k=3，因此，x3的系数是【变式2-1】2．（2022·陕西·宝鸡市陈仓高级中学高三开学考试（理））在3x−25【答案】1080【分析】根据二项式展开式的通项公式求得正确答案.【详解】3x−25令5−r=3，得r=2，所以含x3题型3求指定项的二项式系数【方法总结】通项公式：Tr=Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1【例题3】（2022·四川达州·高二期末（理））5xA．−250 B．10 C．20 D．250【答案】B【分析】求出通项公式，利用x的次数求得k的值，然后代入进行求解即可．【详解】解：∵展开式的通项公式为Tk由5−k2=1得k【变式3-1】1．（2022·全国·高二）x−1xA．−10 B．10 C．−5 D．5【答案】D【分析】求出二项式展开式的通项，令x的指数位置等于3求得k的值，即可求解.【详解】x−1x令5−2k=3可得k=1，所以含x【变式3-1】2．（2020·山东·高考真题）在x2−1A．56 B．−56 C．70 D．−70【答案】A【分析】本题可通过二项式系数的定义得出结果.【详解】第4项的二项式系数为C8【变式3-1】3．（2023·全国·高三专题练习）二项式1+2x2+A．84 B．56 C．35 D．21【答案】B【分析】易知展开式中，含x2项的二项式系数为C【详解】解：因为二项式为1+2x所以其展开式中，含x2项的二项式系数为：C22=C53+C52+【变式3-1】4.（2022·全国·高二课时练习）在1+x2+A．-165 B．165 C．-55 D．55【答案】B【分析】分别将各多项式含x2【详解】在1+x2+1+x题型4指定项【方法总结】通项公式：Tr=Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1【例题4】（2022·全国·高二课时练习）(2−xA．10x2 B．40x3 C．【答案】D【分析】根据展开式通项公式写出第三项即可.【详解】由题设，展开式通项为Tr第三项有r=2，则T【变式4-1】（2022·上海市市北中学高二期末）(1+x【答案】20【分析】根据二项式展开式的通项公式，即可求解.【详解】解：展开式的通项为：TkT4=C题型5常数项【方法总结】通项公式：Tr=Ceq\o\al(r－1,n)an－r＋1br－1【例题5】（2023·全国·高三专题练习）在2xA．-60 B．60 C．-240 D．240【答案】D【分析】根据二项展开式通项公式指数等于0求解可得.【详解】由题知，展开式中第r+1项T令3r−6=0，得r=2【变式5-1】1．（2022·山东临沂·高二期末）二项式x3A．−80 B．−40 C．40 D．80【答案】D【分析】根据二项式的通项公式即可得出结论.【详解】由二项式展开式的通项公式Tr+1=Cnran−【变式5-1】2．（2022·上海市延安中学高三阶段练习）3x【答案】7【分析】由二项式通项公式即可求得常数项.【详解】二项式3x+1令8−4r3=0，解得r【变式5-1】3．（2022·全国·高三专题练习）二项式3x【答案】5005【分析】写出二项式展开式的通项公式并化简整理，令30−5k【详解】二项式3x−1令30−5k6=0，则k=6，∴常数项为【变式5-1】4．（2022·全国·高三专题练习）x+【答案】135【分析】利用二项式定理的通项公式求解.【详解】(x+3令6−3r=0，解得r=2题型6含有三项的二项展开式问题【例题6】（2022·安徽·高二期中）x−y−2A．－120 B．120 C．－60 D．60【答案】A【分析】根据二项式展开式的通项公式计算可得.【详解】由题意得，x−y−26的展开式中含故选：A．【变式6-1】1．（2022·全国·高三专题练习）在(2+x−xA．-120 B．-40 C．-30 D．200【答案】C【分析】将(2+x−x2)5整理为【详解】(2+x−根据题意可得：r当r=0时，则T1=(2+∴k=4，则x4当r=1时，则T2=C∴k=2，则x4当k=2时，则T3=C∴k=0，则x4综上所述：含x4的项的系数为10−120+80=−30【变式6-1】2．（2023·全国·高三专题练习）1+1x−A．5 B．-5 C．15 D．-15【答案】B【分析】根据1+1x−x5【详解】1+1x−x5展开式中出现x3有两种情况，第一种是1+x−1第二种是1+x−1−x5所以展开式中含有x3项有C53所以x3项的系数为−10+5=−5【变式6-1】3．（2021·江西南昌·高三阶段练习）4x+1A．−1 B．180 C．−11520 D．11520【答案】B【分析】分情况讨论，要得到含x−3的项，4x+1x+45【详解】根据题意，要得到含x−3的项，则4x+1x+45中有3项1x与2项4相乘，或者有4项1x即4x+1【变式6-1】4．（2021·全国·高二课时练习）9x【答案】120【分析】已知的式子变形为9x【详解】解：因为9x+4x题型7两个二项式乘积的展开式【例题7】（2022·四川省内江市第六中学高三开学考试（理））x3A．40 B．60 C．80 D．120【答案】A【分析】先确定x−2x【详解】解：x−2x而x3−1xx−2x5所以x3−1【变式7-1】1．（2022·全国·高三专题练习）x3A．240 B．−240 C．400 D．80【答案】D【分析】根据二项式定理求解2x−1x2【详解】2x−1令6−3r=0，得r=2，则2令6−3r=−3，得r=3，则2x−1x26【变式7-1】2.（2023·全国·高三专题练习）x+2y5A．−120 B．−40 C．80 D．200【答案】B【分析】先利用二项式定理求出x+2【详解】x+2y5因为x+2在xTk+1=C在yTk+1=C所以展开式中x3y3【变式7-1】3．（2022·浙江邵外高三阶段练习）x+yx【答案】−5【分析】首先分析出存在x3【详解】根据题意,x3y4分别为：x⋅C64x2(−则x3y4的系数为：15−20=−5【变式7-1】4．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））1+2xy【答案】−25【分析】根据二项式定理展开式通项的特征即可求解.【详解】展开式中含x4y2项的系数是【变式7-1】5．（2023·全国·高三专题练习）(2x+1)(【答案】−260【分析】利用x−26的展开式的通项【详解】x−26的展开式的通项令6−r=3，得r=3令6−r=4，得r=2则2x+1x−26的展开式中题型8有理项与无理项问题【例题8】（2023·全国·高三专题练习）二项式4xA．3 B．4 C．5 D．7【答案】D【分析】求出展开式的通项，令x的指数部分为整数即可得结果.【详解】二项式4x通项为Tr+1=C24rx24−r【变式8-1】1．（2022·山西大同·高二期中）(2x【答案】3【分析】求出二项式展开式的通项公式，再分析通项公式中x的幂指数为整数的项即可作答.【详解】(2x−13x)8展开式的通项公式为：T所以展开式中有理项共有3项.故答案为：3【变式8-1】2．（2022·全国·高二课时练习）x−【答案】2【分析】利用二项展开式的通项公式即可求得.【详解】x−3x要求有理项，只需使27−r6=3−r所以x−【变式8-1】3．（2023·全国·高三专题练习）(x【答案】17【分析】先写出通项公式，然后让50−r【详解】通项公式Tr+1=C100r2【变式8-1】4．（2022·全国·高二专题练习）如果x+【答案】2【分析】利用二项式系数的性质可得Cn2=4Cn1，从而可求得n的值，再写出展开式的通项，由x的幂指数【详解】解：依题意可得Cn2=4Cn1，即所以二项式x+13x9展开式的通项为Tr+1根据题意27−5r6∈Z，解得r=3或9，∴展开式里所有x的有理项为T4故答案为：2【变式8-1】5．（2023·全国·高三专题练习）二项式x+A．27项 B．24项 C．26项 D．25项【答案】D【分析】根据题意，可考虑求有理项，根据二项展开式的通项公式，由x的指数值为整数，即可解出有理项的项数，进而得到无理项的项数即可【详解】二项式x+130≤r≤30，∴r题型9二项式定理含参问题【例题9】（2022·广东东莞·高二期中）若x−【答案】7【分析】根据二项式的性质计算可得；【详解】解：二项式x−1xn展开式中一共有n+1项，所以【变式9-1】1．（2022·全国·高二专题练习）已知在3x−3【答案】405【分析】利用二项展开式的通项公式求解.【详解】解：通项公式为Tr+1=Cnr⋅xn−r3⋅所以含x2项的系数为−3【变式9-1】2．（2022·全国·高三专题练习）二项式(x−2ax【答案】1【分析】由已知及二项式展开式通项列方程，即可求参数值.【详解】由题设，展开式通项为C8所以x6的系数为(−2a)【变式9-1】3．（2022·全国·高二专题练习）已知x2+2【答案】7【分析】利用二项式的通项公式求解.【详解】解：由题意得Cm3⋅23【变式9-1】4．（2022·全国·高三专题练习）已知x−mx【答案】−1【分析】写出x+【详解】由题意可得x+1x故当5−2r=−1时，即r=3时，T4=10x−1故x−mxx+1【变式9-1】5．（2022·山西·高三阶段练习）二项式(x+ay)4【答案】±2【分析】写出二项式展开式的通项公式，根据已知项系数求参数a即可.【详解】由二项式展开式通项为Tr+1=所以a2C42【变式9-1】6．（2022·浙江·高二阶段练习）（多选）在(3x+A．8 B．12 C．13 D．15【答案】AC【分析】利用二项式定理的通项公式得到满足题意的项【详解】(3x+对于A，展开式通项为Tr+1=C8对于B，展开式通项为Tr+1=C12对于C，展开式通项为Tr+1=C13对于D，展开式通项为Tr+1=C15【变式9-1】7．（2022·全国·高二单元测试）如果a1−a4+a21+2【答案】8【分析】利用二项式定理依次得到每个部分的展开式中含a4的项，由展开式含a【详解】∵1−a4展开式通项为：C4r⋅−1rar，1+2ak展开式通项为Ckm⋅2mam，1+3∴−4+2kk−1+6=114，又题型10二项式系数和问题【方法总结】二项展开式中系数和的求法：（1）对形如(ax＋b)n,(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可；（2）一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)奇数项系数之和为a偶数项系数之和为a【例题10】（2022·浙江·高三开学考试）(1+x【答案】1024【分析】根据二项式定理的二项式系数和性质即可求解.【详解】由于n=10，所以二项式系数的和为2【变式10-1】1．（2022·全国·高三专题练习）2x【答案】512【分析】由二项式系数的性质计算．【详解】2x−3y【变式10-1】2．（2022·贵州遵义·高二期末（理））x−A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【分析】利用二项式定理的性质与通项求解即可.【详解】解：二项系数和为2n=64，则n=6，所以x−13x6的通项为：故选：D.【变式10-1】3．（2022·吉林·长春吉大附中实验学校高二阶段练习）在3x2−A．6 B．7 C．8 D．9【答案】A【分析】由二项式系数和的特征即可求解.【详解】由题意可知：2n题型11各项系数和问题【例题11】（2022·上海市洋泾中学高三阶段练习）如果x+1xn展开式中各项系数的和等于32【答案】10【分析】利用各项系数和可得出n的值，然后利用二项展开式通项可求得结果.【详解】因为x+1xn展开式中各项系数的和为所以，展开式中第三项为T3=C【变式11-1】1．（2022·浙江·高二期中）1+1【答案】0【分析】令x=1【详解】令x=1有1+11【变式11-1】2.（2022·全国·高二课时练习）x2+x【答案】51【分析】令x=1可得所有项的系数和，求出n，再利用组合的知识确定含x【详解】令x=1，则(12由组合知识可得，x2+x+15的展开式中含x5的项为C55x【变式11-1】3．（2022·全国·高三专题练习）在1−2A．−365 B．−364 C．364 D．365【答案】D【分析】写出展开式通项，即可求得展开式中所有奇数项的系数之和.【详解】1−2x6因此，展开式中所有奇数项的系数和为C6【变式11-1】4．（2022·全国·高三专题练习）x−2y3【答案】128【分析】对每一个括号利用二项展开式的通项公式进行展开，展开后对每一项进行合并，合并后使得z项幂次为0，确定项数后即可得到答案.【详解】x−2y3y−2z5z−2x7利用二项展开式的通项公式进行展开，设x展开后得C3kx3−k−2yk·C5ny5−n−2z代入展开式得C3kC50C7故答案为：128【变式11-1】5．（2022·四川·成都七中万达学校高三阶段练习（理））5−3x【答案】15625【分析】根据题意，令y的系数为0，得5−3xn，再令x=1，得5−3【详解】5−3x+2y再令x=1，得5−3x+2yn求5−3x+2y所以展开式中的常数项为C6题型12各项系数绝对值和问题【例题12】（2022·全国·高三专题练习）在2x【答案】243【分析】2x−y【详解】解：由2x−y所以令x=y=1【变式12-1】1．（2022·全国·高三专题练习）已知2−x6=【答案】729【分析】由二项式定理确定各项的符号，则原式可化为a0【详解】由二项式定理可知，a0、a可得a0故答案为：729【变式12-1】2．（2022·陕西·宝鸡市金台区教育体育局教研室高二期末（理））已知(1−2x)5【答案】210【分析】根据二项展开式的通项可知展开式中奇次项的系数为负，偶次项的系数为正，可得a1+a【详解】解：因为(1−2x)5(1−2x)5展开式的通项公式为Tr+1在二项展开式中，令x=−1，可得aa1+a题型13赋值法解决项的系数和问题【例题13】（2022·全国·高三专题练习）已知1−2x5＝【答案】243【分析】根据题意，利用赋值法，令x=−1【详解】解：因为1−2x所以令x=−1，则1+25＝【变式13-1】1．（2022·陕西·延安市第一中学高二阶段练习（理））若(3x−1)7A．−1 B．127 C．128 D．129【答案】D【分析】利用赋值法计算可得.【详解】解：因为(3x−1)7=a令x=1，可得a7+故选：D【变式13-1】2．（2022·全国·高三专题练习）已知多项式x−23+【答案】70【分析】利用赋值法令x=1求出a1+a2+a【详解】令x=1，可得−1+81=1+a1根据x−23+x+24可得x3故答案为：70.【变式13-1】3．（2023·全国·高三专题练习）在2x(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．【答案】(1)210；(2)1；(3)29；29；(4)1−5102；【分析】（1）（3）根据二项式系数的和公式即得；（2）（4）（5）设2x（1）二项式系数的和为C10（2）令x=y=1（3）奇数项的二项式系数和为C100+（4）设2x令x=y=1，得到a0+所以2a0+所以2a1+（5）x的奇次项系数和为a1+a3+【变式13-1】4．（2022·全国·高二课时练习）已知x2+12A．10935 B．5546 C．5467 D．5465【答案】D【分析】令x−1=t得【详解】解：令x−1=t，则令t=0，则a令t=1，则a令t=−1，则a所以a0所以a2【变式13-1】5．（2022·陕西渭南·高二期末（理））若1+2x1−xA．1 B．2 C．1−3102【答案】C【分析】利用赋值法可求出结果.【详解】在1+2x令x=0，得a0=1，令x令x=−1，得a0−a1所以a2题型14二项式系数最值问题【方法总结】二项式系数的最大项的求法：求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论：（1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；（2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大【例题14】（2022·江苏省响水中学高二期中）已知二项式x+(1)求展开式的有理项；(2)求展开式的系数最大项.【答案】(1)x8、7x4、716【分析】（1）由题意利用二项展开式的通项公式，求得展开式中的有理项．（2）令第r+1项的系数最大，即可得到不等式组求出r(1)解：二项式x+123x8展开式的通项为Tr+1=C8rx8−r123xr=C8rx(2)解：令第r+1项的系数最大，则C8r12r≥C8r+112r+1C8r12r【变式14-1】1．（2022·全国·高三专题练习）在二项式(2x(1)求展开式中二项式系数最大的项.(2)求(1−1【答案】(1)1120x4；(2)【分析】（1）由二项式系数关系及组合数性质得n=8（2）由（1）知二项式为(2x（1）依题意Cn1=所以二项式(2x−1)8（2）由（1）知，(1−1因为二项式(2x−1)8所以(2x−1)8的常数项为T9=所以(1−1x)【变式14-1】2．（2022·广东·盐田高中高二阶段练习）已知2x(1)求展开式中第三项系数；(2)求出展开式中所有有理项(即x的指数为整数的项).【答案】(1)240；(2)64x12，160x【分析】（1）根据二项式系数的性质可知n＝6，求出展开式通项Tr（2）根据展开式通项，当r＝0，3，6时为有理项，代入计算即可.(1)由题可知，n=6，则二项展开式通项为T展开式中第三项系数为：C6(2)展开式中有理项为r=0,3,6时，即T1=T7题型15系数最值问题【方法总结】二项式系数最大的项与系数最大的项不同，二项式系数最大的项即中间一项或两项；展开始终系数最大的项的求法用解不等式组Tr+1项系数≥【例题15】（2022·全国·高三专题练习）x−1【答案】6【分析】由二项展开式可得出系数最小的项系数一定为负，再结合组合数的性质即可判断出系数最小的项【详解】x−19的展开式的通项公式为又第5项与第6项的二项式系数最大，第6项系数为负，则第6项系数最小.故答案为：5.【变式15-1】1．（2022·全国·高二课时练习）若二项式3x【答案】9【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的第五项，令x的指数为0，求出n的值，再利用二项式系数的性质即得．【详解】由题可得项展开式的通项公式为Tr+1=得n−16=0，即n=16．由题知二项式系数与对应项的系数的绝对值相等，二项式系数最大的项为T所以第9项系数最大．故答案为：9.【变式15-1】2.（2022·全国·高二课时练习）在二项式x−1【答案】

462x5【分析】写出二项式x−111的展开式的通项为Tr【详解】x−111的展开式的通项为第r+1项的系数为ar+1根据二项式系数的性质得C11T6=−15C115【变式15-1】3．（2022·河南安阳·高三阶段练习（理））已知x−A．−448 B．−1024 C．−1792 D．−5376【答案】C【分析】先根据二项式系数的性质可得n=8，再结合二项展开式的通项求各项系数ar=【详解】∵展开式中只有第5项是二项式系数最大，则n∴展开式的通项为Tr+1=C8rx8−r−2xr【变式15-1】4．（2022·江苏·扬州中学高二期中）若(2a【答案】(【分析】根据给定条件，求出幂指数n的值，再求出第r+1项的系数，列出不等式并求解作答.【详解】因(2a−x)n(2a−x)n而a>0由仅有展开式的第5项的系数最大得：(2a)4C8所以a的取值范围为(1010【点睛】关键点睛：二项式定理的核心是通项公式，求解二项式问题先正确求出通项公式，再结合具体条件推理计算作答．【变式15-1】5．（2022·江苏镇江·高三开学考试）已知n为正偶数，在x+(1)求展开式中的一次项；(2)求展开式中系数最大的项．【答案】(1)T5=358【分析】(1)由第5项的二项式系数最大，可求得n=8(2)令ar为展开式中系数，根据ar≥ar（1）解：因n为正偶数，在展开式中的第5项的二项式系数最大，则n2+1=5，设Tr令4−3r4=1，得（2）解：令ar=C令ar≥ar−1⇒1r≥29−r2题型16二项式定理与杨辉三角【例题16】如图，在“杨辉三角”中，斜线AB的上方，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，···，记其前n项和为Sn，求S19的值.【解析】由图知，数列的首项是Ceq\o\al(2,2)，第2项是Ceq\o\al(1,2)，第3项是Ceq\o\al(2,3)，第4项是Ceq\o\al(1,3)，…，第18项是Ceq\o\al(1,10)，第19项是Ceq\o\al(2,11)，∴S19=Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(1,3)＋···＋Ceq\o\al(2,10)＋Ceq\o\al(1,10)＋Ceq\o\al(2,11)=(Ceq\o\al(1,2)＋Ceq\o\al(1,3)＋Ceq\o\al(1,4)＋···＋Ceq\o\al(1,10))＋(Ceq\o\al(2,2)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,4)＋···＋Ceq\o\al(2,11))=(2＋3＋4＋···＋10)＋(Ceq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,3)＋···＋Ceq\o\al(2,11))=（2+10）×92＋Ceq\o\al(3,12)=54＋eq\f(12×11×10,1×2×3)=274.【名师点睛】观察数列的各项在杨辉三角中的位置，联系二项式系数的性质，直接对数列求和即可．【变式16-1】1.如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为________．【答案】2n－1【解析】由1,3,5,7,9…，可知它们成等差数列，所以an＝2n－1.【变式16-1】2．（2022·全国·高三专题练习）杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．他在《详解九章算法》一书中，画了一个由二项式a+bnn=1,2,3,⋅⋅⋅展开式的系数构成的三角形数阵，称作“开方作法本源”，这就是著名的“杨辉三角”．在“杨辉三角”中，从第2行开始，除1以外，其他每一个数值都是它上面的两个数值之和，每一行第kk≤n,A．1009 B．1010 C．1011 D．1012【答案】C【分析】根据题意可得第k斜列各项之和为C2023k，第k+1【详解】当k≥2时，第k斜列各项之和为Ck−1k−1+C所以第k斜列与第k+1斜列各项之和最大时，k+1=1012，则【变式16-1】3．（2022·广东广州·高二期末）（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的叙述证确的是（

）A．第9行中从左到右第6个数是126B．CC．CD．C【答案】ABD【分析】根据杨辉三角，利用组合数的计算判断ABD，利用二项式系数的性质判断C.【详解】对于A，第9行中从左到右第6个数是C9对于B，Cn对于C，由二项式系数的性质知Cn对于D，C3【变式16-1】4．（2022·全国·高二课时练习）如图，在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中，记第2行的第3个数字为a1，第3行的第3个数字为a2，…，第n＋1行的第3个数字为an第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051…………【答案】220【分析】根据题目的规律可得数列的通项公式，代入求和即可.【详解】由题意，得an=Cn+1【变式16-1】5．（2022·全国·高三专题练习）如图所示的杨辉三角中，从第2行开始，每一行除两端的数字是1以外，其他每一个数字都是它肩上两个数字之和在此数阵中，若对于正整数n，第2n行中最大的数为x，第2n+1行中最大的数为y，且13【答案】6【分析】根据二项式系数的最大值满足的条件求出x，y，代入13x【详解】由题意知x=C2∴13=7×2n+1n+1，∴13(【变式16-1】6．（2022·北京师大附中高二期中）当n∈N时，将三项式x若在1+axx2+x+15A．1 B．−1 C．2 D．−2【答案】C【分析】根据广义杨辉三角形可得出x2+x+15的展开式，可得出1+【详解】由广义杨辉三角形可得x2+x+15=x10+5故选：C.题型17整除问题【方法总结】利用二项式定理解决整除问题时，关键是要巧妙地构造二项式，其基本思路是：要证明一个式子能被另一个式子整除，只要证明这个式子按二项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可.因此，一般要将被除式化为含相关除式的二项式，然后再展开.【例题17】利用二项式定理证明2n+2·3n+5n－4()能被25整除.【解析】因为2n+2·3n＝4×(1＋5)n=4(1＋Cn15＋Cn252+⋯+Cnn−15n−1+Cn＝1时，2n+2·3n＋5n－4＝25.所以，当n∈N+时，2n+2·3n＋5n【变式17-1】求证：（1）5151－1能被7整除；（2）32n＋3－24n＋37能被64整除．【证明】(1)5151－1＝(49＋2)51－1＝Ceq\o\al(0,51)·4951＋Ceq\o\al(1,51)·4950·2＋…＋Ceq\o\al(50,51)·49·250＋Ceq\o\al(51,51)·251－1，易知除Ceq\o\al(51,51)·251－1以外各项都能被7整除．又251－1＝(23)17－1＝(7＋1)17－1＝Ceq\o\al(0,17)·717＋Ceq\o\al(1,17)·716＋…＋Ceq\o\al(16,17)·7＋Ceq\o\al(17,17)－1＝7·(Ceq\o\al(0,17)·716＋Ceq\o\al(1,17)·715＋…＋Ceq\o\al(16,17))．显然能被7整除，所以5151－1能被7整除．(2)32n＋3－24n＋37＝3×9n＋1－24n＋37＝3(8＋1)n＋1－24n＋37＝3(Ceq\o\al(0,n＋1)8n＋1＋Ceq\o\al(1,n＋1)8n＋…＋Ceq\o\al(n,n＋1)8＋1)－24n＋