【教无忧】高中数学同步讲义（人教B版2019选择性必修二）第01讲 3.1.1基本计数原理【KS5U 高考】

.1.1基本计数原理TOC\o"1-3"\h\u题型1分类加法计数原理的应用 2题型2分步乘法计数原理的应用 6题型3两个计数原理的简单综合应用 10题型4选(抽)取与分配问题 14题型5用计数原理解决组数问题 16题型6用计数原理解决涂色(种植)问题 21知识点一.分类加法计数原理完成一件事，如果有n类办法且∶第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法……第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.注意∶每种方式都能实现目标，不依赖于其他条件.每种情况内任两种方式都不同时存在.（3）不同情况之间没有相同方式存在.知识点二.分步乘法计数原理完成一件事，如果需要分成n个步骤，且∶做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法……做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.注意：1.分步乘法计数原理中“完成一件事需要n个步骤”是指完成这件事的任何一种方法都要分成n个步骤，在每一个步骤中任取一种方法，然后相继完成所有这些步骤才能完成这件事，即步与步之间是连续的、缺一不可的，且不能重复、交叉．简单地说，就是应用分步乘法计数原理时要做到"步骤完整".两个原理的区别分类加法计数原理分步乘法计数原理区别一每类方法都能独立完成这件事．它是独立的、一次的且每次得到的是最后结果，只需一种方法就完成任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类方法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复，也不能遗漏题型1分类加法计数原理的应用【方法总结】利用分类加法计数原理步骤：【例题1】（2022·全国·高二课时练习）为了方便广大市民接种新冠疫苗，提高新冠疫苗接种率，某区卫健委在城区设立了11个接种点，在乡镇设立了19个接种点．某市民为了在同一接种点顺利完成新冠疫苗接种，则不同接种点的选法共有（

）A．11种 B．19种 C．30种 D．209种【答案】C【分析】根据题意，该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点,由加法原理计算可得答案.【详解】该市民可选择的接种点为两类，一类为乡镇接种点，另一类为城区接种点，所以共有19+11=30种不同接种点的选法．故选：C．【变式1-1】1．（2022·广西河池·高二期末（理））解1道数学题，有两种方法，有2个人只会用第一种方法，有3个人只会用第二种方法，从这5个人中选1个人能解这道题目，则不同的选法共有（

）A．4种 B．5种 C．6种 D．9种【答案】B【分析】由分类计数原理计算．【详解】根据分类加法计数原理得：不同的选法共有2+3=5（种）.故选：B.【变式1-1】2．（2022·广东清远·高二期末）从甲地出发前往乙地，一天中有4趟汽车、3趟火车和1趟航班可供选择．某人某天要从甲地出发，去乙地旅游，则所有不同走法的种数是（

）A．16 B．15 C．12 D．8【答案】D【分析】根据分类加法计数原理即得.【详解】根据分类加法计数原理，可知共有4＋3＋1＝8种不同的走法．故选：D.【变式1-1】3．（2022·吉林油田第十一中学高二期末）书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.从书架上任取1本书，不同的取法有__________种.【答案】9【分析】根据分类加法计数原理即可得解.【详解】【解析】由题意，若从第一层取书，则有4种不同的取法，若从第二层取书，则有3种不同的取法，若从第三次取书，则有2种不同的取法，所以不同的取法有4+3+2=9种.故答案为：9.【变式1-1】4.如图所示，在A，B间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通．今发现A，B之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有________种．【解析】按照焊接点脱落的个数进行分类：第1类，脱落1个，有1,4，共2种；第2类，脱落2个，有(1,4)，(2,3)，(1,2)，(1,3)，(4,2)，(4,3)，共6种；第3类，脱落3个，有(1,2,3)，(1,2,4)，(2,3,4)，(1,3,4)，共4种；第4类，脱落4个，有(1,2,3,4)，共1种．根据分类加法计数原理，共有2＋6＋4＋1＝13种焊接点脱落的情况．答案：13【变式1-1】5．（2022·全国·高二单元测试）若一个m、n均为非负整数的有序数对m,n，在做m+n的加法时，各位均不进位，则称m,A．10 B．15 C．20 D．25【答案】B【分析】根据定义，列举出所有的情况，即可求解.【详解】因为在做m+n的加法时，各位均不进位则称m,n为“简单的有序实数”，所以值为2004的“简单的有序实数对”可能为(0，2004)，(1，2003)，(2，2002)，(3，2001)，(4，2000)；(2004，0)，(2003，1)，(2002，2)，(2001，3)，(2000，4)；(1000，1004)，(1001，1003)，(1002，1002)；(1003，1001)，(1004，1000)共15种.故选：B.【变式1-1】6．（2022·全国·高二课时练习）若m、n∈N，m>0，n>0，且mA．21个 B．20个 C．28个 D．30个【答案】C【分析】由分类加法计数原理求解即可【详解】根据题意，m可取的值为1,2,3,4,5,6,7，当m=1时，由题意可知n可取的值为1,2,3,4,5,6,7当m=2时，由题意可知n可取的值为1,2,3,4,5,6当m=3时，由题意可知n可取的值为1,2,3,4,5当m=4时，由题意可知n可取的值为1,2,3,4当m=5时，由题意可知n可取的值为1,2,3当m=6时，由题意可知n可取的值为1,2当m=7时，由题意可知n可取的值为1则平面上的点m,n共有故选：C【变式1-1】7．（2022·全国·高二课时练习）我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”（如2130是“六合数”），则其中首位为2的“六合数”共有（

）．A．18个 B．15个 C．12个 D．9个【答案】B【分析】首位数字是2，则后三位数字之和为4，然后分类排列即可求解.【详解】由题知后三位数字之和为4，当一个位置为4时有004，040，400，共3个；当两个位置和为4时有013，031，103，301，130，310，022，202，220，共9个；当三个位置和为4时112，121，211，共3个，所以一共有15个.故选：B【变式1-1】8．（2022·广东·珠海市第三中学二模）某奥运村有A，B，C三个运动员生活区，其中A区住有30人，B区住有15人，C区住有10人.已知三个区在一条直线上，位置如图所示.奥运村公交车拟在此间设一个停靠点，为使所有运动员步行到停靠点路程总和最小，那么停靠点位置应在（

）A．A区 B．B区 C．C区 D．A，B两区之间【答案】A【分析】分类讨论，分别研究停靠点为A区、B区、C区和A，B两区之间时的总路程，即可得出答案．【详解】若停靠点为A区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：15×100+10×300=4500米；若停靠点为B区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：30×100+10×200=5000米；若停靠点为C区时，所有运动员步行到停靠点的路程和为：30×300+15×200=12000米；若停靠点为A区和B区之间时，设距离A区为x米，所有运动员步行到停靠点的路程和为：30x当x=0取最小值，故停靠点为A故选：A题型2分步乘法计数原理的应用【方法总结】利用分步乘法计数原理步骤：【例题2】（2022·全国·高二课时练习）从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法有______种．【答案】12【分析】根据分步乘法计数原理求解即可.【详解】由分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法有3×4=12种.故答案为：12.【变式2-1】1．（2022·全国·高二课时练习）现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为______种．【答案】12【分析】由分步计数原理，即可求解.【详解】由题意，有四件不同款式的上衣与三条不同颜色的长裤，从中四件不同款式的上衣中，任选一件有4种选法，从中三件不同颜色的长裤中，任选一件有3种选法，根据分步计数原理，可得共有4×3=12种不同的选法.故答案为：12【变式2-1】2．（2022·全国·高二课时练习）若a,b,【答案】294【分析】由分步乘法原理求解【详解】y=ax由集合元素的互异性知a,b,故答案为：294【变式2-1】3．（2022·全国·高二课时练习）从1、2、3三个数中取1个数作分子，从4、5、6、7四个数中取1个数作分母，组成一个分数，这样能组成多少个值不相等的分数？写出这些分数．【答案】11个；具体分数见解析.【分析】由分步乘法计数原理可得组成分数的个数，其中24【详解】【解析】从1、2、3三个数中取1个数作分子，从4、5、6、7四个数中取1个数作分母，组成的分数个数为3×4=12，其中24=3它们是14、12、34、15、25、35、16、1【变式2-1】4．（2022·江苏苏州·高二期末）乘积式a1【答案】18【分析】根据分步乘法计数原理计算可得.【详解】【解析】依题意从第一个括号中选一个字母有3种方法，从第二个括号中选一个字母有2种方法，从第三个括号中选一个字母有3种方法，按照分步乘法计数原理可得展开后的项数为3×2×3=18项；故答案为：18【变式2-1】5．（2022·全国·高二单元测试）洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图象，如图，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四隅黑点为阴数（图中白圈为阳数，黑点为阴数）.现利用阴数和阳数构成一个四位数，规则如下：（从左往右数）第一位数是阳数，第二位数是阴数，第三位数和第四位数一阴一阳和为7，则这样的四位数的个数有（

）A．120 B．90 C．48 D．12【答案】A【分析】根据已知条件得出阳数和阴数，结合列举法及分步乘法计数原理即可求解.【详解】根据题意，阳数为1，3，5，7，9，阴数为2，4，6，8，第一位数的选择有5种，第二位数的选择有4种，第三位数和第四位数的组合可以为(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)共6种选择，根据分步乘法计数原理，这样的四位数共有5×4×6=120（个）.故选:A.【变式2-1】6.已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是()A．1B．3C．6D．9【答案】选D【解析】这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2,3,7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24,4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点．【变式2-1】7.乒乓球队的10名队员中有3名主力队员，派5名参加比赛，3名主力队员要安排在第一、三、五位置，其余7名队员选2名安排在第二、四位置，求不同的出场安排共有多少种？【解析】法一：按出场次序，第一位置队员的安排有3种方法，第二位置队员的安排有7种方法，第三位置队员的安排有2种方法，第四位置队员的安排有6种方法，第五位置队员的安排只有1种方法．由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为3×7×2×6×1＝252.法二：按主力与非主力，分两步安排．第一步，安排3名主力队员在第一、三、五位置上，有6种方法，第二步，安排7名非主力队员中的2名在第二、四位置上，有7×6种方法．由分步乘法计数原理，得不同的出场安排种数为6×7×6＝252.题型3两个计数原理的简单综合应用【方法总结】利用两个计数原理解题时的三个注意点：(1)当题目无从下手时，可考虑要完成的这件事是什么，即怎样做才算完成这件事，然后给出完成这件事的一种或几种方法，从这几种方法中归纳出解题方法；(2)分类时标准要明确，做到不重不漏，有时要恰当画出示意图或树形图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律；(3)综合问题一般是先分类再分步。【例题3】（2022·全国·高二课时练习）直线l的方程为Ax+【答案】22【分析】考虑当A或B中有一个为0时，以及当A⋅【详解】当A或B中有一个为0时，有2条不同的直线；当A⋅B≠0故共有20+2=22条不同的直线,故答案为：22【变式3-1】1．（2022·全国·高三专题练习）如图，一条电路从A处到B处接通时，可以有_____________条不同的线路（每条线路仅含一条通路）．【答案】9【分析】利用分类计数原理，按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有2种，中线路中有一种，下线路中有2×3种．根据分类计数原理得到结果．【详解】解：依题意按上、中、下三条线路可分为三类，上线路中有2种，中线路中只有1种，下线路中有2×3=6（种)．根据分类计数原理，共有2+1+6=9（种)．故答案为：9．【变式3-1】2．（2022·河南安阳·模拟预测（理））为推动就业与培养有机联动､人才供需有效对接，促进高校毕业生更加充分更高质量就业，教育部今年首次实施供需对接就业育人项目.现安排甲､乙两所高校与三家用人单位开展项目对接，若每所高校至少对接两家用人单位，则不同的对接方案共有（

）A．15种 B．16种 C．17种 D．18种【答案】B【分析】根据分类计数加法原理和分步乘法计数原理，对每所高校对接的用人单位数分类即可解出．【详解】甲高校与用人单位对接的方案种数为3+1=4，同理，乙高校与用人单位对接的方案种数为4，故不同的对接方案共有4×4=16种．故选：B．【变式3-1】3．（2022·全国·高三专题练习）算盘是中国古代的一项重要发明，迄今已有2600多年的历史.现有一算盘，取其两档（如图一），自右向左分别表示十进制数的个位和十位，中间一道横梁把算珠分为上下两部分，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下四珠，上拨一珠记作数字1（如图二算盘表示整数51）.若拨动图1的两枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（

）A．6 B．8 C．10 D．15【答案】B【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理即可求得.【详解】拨动两枚算珠可分为以下三类（1）在个位上拨动两枚，可表示2个不同整数.（2）同理在十位上拨动两枚，可表示2个不同整数.（3）在个位、十位上分别拨动一枚，由分步乘法计数原理易得，可表示2×2=4个不同整数.所以，根据分类加法计数原理，一共可表示2+2+4=8个不同整数.故选：B.【变式3-1】4．（2022·全国·高三专题练习）有不同的红球8个，不同的白球7个，不同的黄球6个，现从中任取不同的颜色的球两个，不同的取法有__________.【答案】146【分析】分三种情况进行求解，再相加即可.【详解】当取出不同的球为红球和白球时，一共有8×7=56种；当取出不同的球为红球和黄球时，一共有8×6=48种；当取出不同的球为白球和黄球时，一共有7×6=42种；综上：一共有56+48+42=146种.故答案为：146【变式3-1】5．（2022·浙江·义乌市福田书院高二期末）袋中装有7个互不相同的小球，白球4个，黑球2个，红球1个．现在甲、乙两人从袋中轮流揽取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取，……，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即终止，则乙取到白球且红球已经被取出的不同取法种数有_____________．【答案】28【分析】列出乙取到白球且红球已经被取出所包含的基本事件，再求每一个基本事件发生的数量，最后求和即可.【详解】解：由题意可得满足条件的基本事件有：A=（红，白），B=（红，黑，黑，白），C=（黑，黑，红，白），D=（黑，红，黑，白）.事件A有1×4=4；事件B有1×2×1×4=8；事件C有2×1×1×4=8；事件D有2×1×1×4=8.所以共有4+8+8+8=28种取法.故答案为：28.【变式3-1】6．（2022·广东·顺德一中高二期中）（多选）现有3名老师，8名男生和5名女生共16人，有一项活动需派人参加，则下列命题中正确的是（

）A．只需1人参加，有16种不同选法B．若需老师、男生、女生各1人参加，则有120种不同选法C．若需1名老师和1名学生参加，则有39种不同选法D．若需3名老师和1名学生参加，则有56种不同选法【答案】ABC【分析】根据分类计数原理和分步计数原理依次讨论各选项即可求解.【详解】解：选项A，分三类：取老师有3种选法，取男生有8种选法，取女生有5种选法，故共有3+8+5=16种选法，故A正确；选项B，分三步：第一步选老师，第二步选男生，第三步选女生，故共有3×8×5=120种选法，故B正确；选项C，分两步：第一步选老师，第二步选学生，第二步，又分为两类：第一类选男生，第二类选女生，故共有3×8+5选项D，若需3名老师和1名学生参加，则有13种不同选法，故D错误.故选：ABC.【变式3-1】7.在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋，现在从7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？【解析】选参加象棋比赛的学生有两种方法：在只会下象棋的3人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选；选参加围棋比赛的学生也有两种选法：在只会下围棋的2人中选或在既会下象棋又会下围棋的2人中选．互相搭配，可得四类不同的选法．从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛有3×2＝6种选法；从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛有2×2＝4种选法；2名既会下象棋又会下围棋的学生分别参加象棋比赛和围棋比赛有2种选法．∴共有6＋6＋4＋2＝18种选法．【变式3-1】8.某电视台的主持人在某综艺节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运观众，若先从中确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，则有多少种不同结果？【解析】①若幸运之星在甲箱中抽取，则有30×29×20＝17400种不同的结果；②若幸运之星在乙箱中抽取，则有20×19×30＝11400种不同的结果．故共有17400＋11400＝28800种不同结果．题型4选(抽)取与分配问题【方法总结】选(抽)取与分配问题的常见类型及其解法：(1)当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法．(2)当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．一般地，若抽取是有顺序的就按分步进行；若按对象特征抽取的，则按分类进行．②间接法：去掉限制条件计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可【例题4】（2022·全国·高二课时练习）将4封信投入3个不同的信箱，不同的投信方法有______种.【答案】81【分析】根据分步乘法计数原理分析可得结果.【详解】先投第一封信，有3个不同的信箱可投，即有3种投信方法；同理，第二、三、四封信都有3种投信方法，故利用分步乘法计数原理得到3×3×3×3=81种投信方法.故答案为：81.【变式4-1】1．（2022·全国·高二课时练习）五名高中生报考三所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法有______种．【答案】243【分析】由分步乘法计数原理直接运算即可.【详解】∵每名高中生均有3种报名方法，∴不同的报名方法有35=243种.故答案为：【变式4-1】2．（2022·浙江·杭州四中高二期中）仅有甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（

）种.A．24B．43 C．34 【答案】C【分析】每个冠军都有3种可能，因为有四项比赛，根据乘法原理，可得冠军获奖者的可能情况．【详解】解：由题意，每项比赛的冠军都有3种可能，因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有3×3×3×3=3【变式4-1】3．（2022·全国·高三专题练习）为了丰富学生的课余生活，某学校开设了篮球、书法、美术、吉他、舞蹈、击剑共六门活动课程，甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加，则这3名学生所选活动课程不全相同的选法有（

）A．120种 B．150种 C．210种 D．216种【答案】C【分析】用甲、乙、丙3名同学从中各自任选一门活动课程参加的方法数，减去3名学生所选活动课程全部相同的方法数，从而求得正确答案.【详解】依题意，每名同学都有6种选择方法，所以这3名学生所选活动课程不全相同的选法有63【变式4-1】4.4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报法有______种．【解析】由于每个同学报哪个运动队没有限制，因此，每个同学都有3种报名方法，4个同学全部选完，才算完成这件事，故共有3×3×3×3＝81种不同的报法．答案：81【变式4-1】5.有4位老师在同一年级的4个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是()A．11B．10C．9D．8【解析】选C法一：设四个班级分别是A，B，C，D，它们的老师分别是a，b，c，d，并设a监考的是B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有3种不同的方法；同理当a监考C，D时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有3种不同的方法．这样，由分类加法计数原理知共有3＋3＋3＝9种不同的安排方法．法二：让a先选，可从B，C，D中选一个，即有3种选法．若选的是B，则b从剩下的3个班级中任选一个，也有3种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，根据分步乘法计数原理知，共有3×3×1×1＝9种不同安排方法．【变式4-1】6．从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作，若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作，则选派方案共有()A．280种B．240种C．180种D．96种【解析】选B由于甲、乙不能从事翻译工作，因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人，有4种选法．后面三项工作的选法有5×4×3种，因此共有4×5×4×3＝240种选派方案．【变式4-1】7.某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人，有多少种不同的选法？【解析】由题意9人中既会英语又会日语的“多面手”有1人．则可分三类：第一类：“多面手”去参加英语时，选出只会日语的一人即可，有2种选法．第二类：“多面手”去参加日语时，选出只会英语的一人即可，有6种选法．第三类：“多面手”既不参加英语又不参加日语，则需从只会日语和只会英语中各选一人，有2×6＝12种方法．故共有2＋6＋12＝20种选法．题型5用计数原理解决组数问题【方法总结】组数问题的常见类型及解决原则：(1)常见的组数问题：①组成的数为“奇数”“偶数”“被某数整除的数”；②在某一定范围内的数的问题；③各位数字和为某一定值问题；④各位数字之间满足某种关系问题等．(2)解决原则①明确特殊位置或特殊数字，是我们采用“分类”还是“分步”的关键．一般按特殊位置(末位或首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或特殊元素)优先的策略分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法求解．②要注意数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位【例题5】由数字1,2,3,4可以组成有重复数字的三位奇数的个数为()A．12B．24C．48D．32【答案】选D【解析】依据分步乘法计数原理，由数字1,2,3,4组成有重复数字的三位奇数共有2×4×4＝32个．【变式5-1】1．（2022·全国·高三专题练习）从数字1，2，3，4中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为（

）A．7 B．9 C．10 D．13【答案】C【分析】根据各位数字之和等于6的所有可能情况，①1，1，4，②1，2，3，③2，2，2三种情况分别讨论求和即可【详解】其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222．∴共有3+6+1=10个，故选：C．【变式5-1】2．（2022·全国·高二课时练习）由0、1、2、3、4、5这6个数字可以组成______个没有重复数字的三位偶数.【答案】52【分析】由特殊位置法与特殊元素法分类讨论，利用分类与分步计数原理即可解决.【详解】根据题意，对该没有重复数字的三位偶数进行分类讨论，第一类：0在个位数时，先填百位，有5种方法，再填十位，有4种方法，故能组成5×4=20个没有重复数字的三位偶数；第二类，0不在个位数时，先填个位，只有2、4两种方法，再填百位，0不能在此位，故有4种方法，最后填十位，有4种方法，故能组成2×4×4=32个没有重复数字的三位偶数；综上，一共可以组成32+20=52个没有重复数字的三位偶数.故答案为：52.【变式5-1】3．（2022·全国·高二课时练习）由2、3、5、7组成无重复数字的四位数，求：(1)这些数的数字和；(2)这些数的和．【答案】(1)408(2)113322【分析】（1）根据分步乘法原理计算所有的四位数，进而可得这24个数的数字之和，（2）确定24个数中，每个数位上2，3，5，7出现的次数，进而可求这些数的和,（1）共可组成4×3×2×1＝24个四位数，这24个四位数的数字和为24×2+3+5+7（2）这24个四位数中，数字2在千位的有3×2×1＝6个，同样，3、5、7在千位的各有6个．同理，2、3、5、7在百位、十位、个位各出现6次．所以所有数之和为2+3+5+7【变式5-1】4．（2022·全国·高二课时练习）已知集合A=2,4,6,8，【答案】

20

10【分析】根据分步乘法和分类加法计数原理即可求解.【详解】①从A中取一个数作为十位数字，有4种不同的取法，从B中取一个数作为个位数字，有5种不同的取法．由乘法原理可知，能组成4×5＝20个不同的两位数．②要组成十位数字小于个位数字的两位数，可分如下情况：当个位数字为9时，十位上的数字有4种取法，能组成4个十位数字小于个位数字的两位数；当个位数字为7时，十位上的数字有3种取法，能组成3个十位数字小于个位数字的两位数；当个位数字为5时，十位上的数字有2种取法，能组成2个十位数字小于个位数字的两位数；当个位数字为3时，十位上的数字有1种取法，能组成1个十位数字小于个位数字的两位数．所以组成的十位数字小于个位数字的两位数有1＋2＋3＋4＝10个．故答案为：20，10．【变式5-1】5.从1,2,3,4中选三个数字，组成无重复数字的整数，则分别满足下列条件的数有多少个？(1)三位数；(2)三位数的偶数．【解析】(1)三位数有三个数位，eq\x(百位十位个位)故可分三个步骤完成：第1步，排个位，从1,2,3,4中选1个数字，有4种方法；第2步，排十位，从剩下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，从剩下的2个数字中选1个，有2种方法．依据分步乘法计数原理，共有4×3×2＝24个满足要求的三位数．(2)分三个步骤完成：第1步，排个位，从2,4中选1个，有2种方法；第2步，排十位，从余下的3个数字中选1个，有3种方法；第3步，排百位，只能从余下的2个数字中选1个，有2种方法．故共有2×3×2＝12个三位数的偶数．【变式5-1】6.用0,1,2,3,4,5六个数字组成无重复数字的四位数，比3542大的四位数的个数是()A．360B．240C．120D．60【答案】选C【解析】因为3542是能排出的四位数中千位为3的最大的数，所以比3542大的四位数的千位只能是4或5，所以共有2×5×4×3＝120个比3542大的四位数．【变式5-1】7．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为()A．24B．18C．12D．6【答案】选B【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析(3种情况)，之后十位(2种情况)，最后百位(2种情况)，共12种；如果是第二种情况偶奇奇：个位(3种情况)，十位(2种情况)，百位(不能是0，一种情况)，共6种．因此总共有12＋6＝18种情况．【变式5-1】8．用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字的：(1)银行存折的四位密码；(2)比2000大的4位偶数．【解析】(1)分步解决．第一步：选取左边第一个位置上的数字，有6种选取方法；第二步：选取左边第二个位置上的数字，有5种选取方法；第三步：选取左边第三个位置上的数字，有4种选取方法；第四步：选取左边第四个位置上的数字，有3种选取方法．由分步乘法计数原理知，可组成不同的四位密码共有6×5×4×3＝360(个)．(2)法一：按个位是0,2,4分为三类：第一类：个位是0的有4×4×3＝48(个)；第二类：个位是2的有3×4×3＝36(个)；第三类：个位是4的有3×4×3＝36(个)；则由分类加法计数原理得比2000大的4位偶数有N＝48＋36＋36＝120(个)．法二：按千位是2,3,4,5分四类：第一类：千位是2的有2×4×3＝24(个)；第二类：千位是3的有3×4×3＝36(个)；第三类：千位是4的有2×4×3＝24(个)；第四类：千位是5的有3×4×3＝36(个)．则由分类加法计数原理得比2000大的4位偶数有N＝24＋36＋24＋36＝120(个)．法三：间接法：用0,1,2,3,4,5可以组成的无重复数字的四位偶数分两类：第一类：个数是0的有5×4×3＝60(个)；第二类：个数是2或4的有2×4×4×3＝96(个)．共有60＋96＝156(个)．其中比2000小的有：千位是1的共有3×4×3＝36(个)，所以符合条件的四位偶数共有156－36＝120(个).题型6用计数原理解决涂色(种植)问题【方法总结】求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；(3)对于涂色(立方体)问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题【例题6】（2022·浙江·杭州四中高二期中）如图所示，用3种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C中，要求相邻的矩形不能使用同一种颜色，则不同的涂法数为________.【答案】12【分析】根据分步计数原理即得.【详解】根据题意，先涂A有3种涂法，再涂B有2种涂法，最后涂C有2种涂法，所以不同的涂法有3×2×2=12种，故答案为：12.【变式6-1】1.现将如图所示的5个小正方形涂上红、黄两种颜色，其中3个涂红色，2个涂黄色，若恰有两个相邻的小正方形涂红色，则不同的涂法共有________种．【解析】根据题意可以分为四种情况：如果左端的两个相邻的小正方形涂红色，则第三个涂黄色，第四个