第2部分连续系统的时域分析培训课件

第2章连续系统的时域分析

1/30/20251佛山科学技术学院2.1引言2.2微分方程式的建立和求解2.3零输入响应和零状态响应2.4冲激响应和阶跃响应2.5卷积积分及其性质2.6用算子符号表示微分方程1/30/20252佛山科学技术学院引言系统的数学模型：

微分方程

方框图连续时间系统处理连续信号用微分方程来描述：系统的输入与输出之间通过它们时间函数及其对时间的各阶导数的线性组合联系起来，不研究系统内部其它信号的变化－－－输入输出法、端口描述法1/30/20253佛山科学技术学院系统分析的任务：给定系统模型和输入信号求系统的输出响应。求响应系统分析方法很多，系统时域分析法不通过任何变换，直接求解微分、积分方程；fyT[.]时域分析方法，直观、物理概念清楚，是学习各种变换的基础；1/30/20254佛山科学技术学院(2)电感L(3)电容C(4)互感(同、异名端连接)、理想变压器等原、副边电压、电流关系等。2.结构约束：KCL与KVL1/30/20256佛山科学技术学院[例]如图所示电路，输入激励是电流源iS(t),试列出电流iL(t)及R1上电压u1(t)为输出响应变量的方程式。1/30/20257佛山科学技术学院[解]由KVL，列出电压方程对上式求导，考虑到（2-1）1/30/20258佛山科学技术学院根据KCL，有iC(t)=iS(t)-iL(t)，因而u1(t)=R1iC(t)=R1(iS(t)-iL(t))(2―2)整理上式后，可得(2―3)1/30/20259佛山科学技术学院【例】图中所示电路，试分别列出电流i1(t)、电流i2(t)和电压uO(t)的数学模型。【解】1/30/202510佛山科学技术学院解此联立方程，最后求得1/30/202511佛山科学技术学院1/30/202512佛山科学技术学院

2.1.2微分方程的经典解

如果单输入、单输出线性非时变的激励为f(t)，其全响应为y(t)，则描述线性非时变系统的激励f(t)与响应y(t)之间关系的是n阶常系数线性微分方程y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)式中an-1，…，a1，a0和bm，bm-1，…，b1，b0均为常数。该方程的全解由齐次解和特解组成。齐次方程的解即为齐次解yh(t)。非齐次方程的特解yp(t)y(t)=yh(t)+yp(t)1/30/202513佛山科学技术学院1.齐次解

齐次解满足齐次微分方程y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0

由高等数学经典理论知，该齐次微分方程的特征方程为

λn+an-1λn-1+…+a1λ+a0=01/30/202514佛山科学技术学院(1)特征根均为单根。如果几个特征根都互不相同(即无重根)，则微分方程的齐次解(2)特征根有重根。若λ1是特征方程的γ重根，即有λ1=λ2=λ3=…=λγ，而其余(n-γ)个根λγ+1，λγ+2，…，λn都是单根，则微分方程的齐次解1/30/202515佛山科学技术学院(3)特征根有一对单复根。即λ1,2=a±jb，则微分方程的齐次解yh(t)=c1eatcosbt+c2eatsinbt(4)特征根有一对m重复根。即共有m重λ1,2=a±jb的复根，则微分方程的齐次解1/30/202516佛山科学技术学院【例】求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的齐次解。【解】由特征方程λ2+3λ+2=0解得特征根λ1=-1，λ2=-2。因此该方程的齐次解yh(t)=c1e-t+c2e-2t

1/30/202517佛山科学技术学院【例】求微分方程y″(t)+2y′(t)+y(t)=f(t)的齐次解。【解】由特征方程λ2+2λ+1=0解得二重根λ1=λ2=-1，因此该方程的齐次解yh(t)=c1e-t+c2te-t

1/30/202518佛山科学技术学院【例】求微分方程y″(t)+y(t)=f(t)的齐次解。【解】由特征方程λ2+1=0解得特征根是一对共轭复数λ1,2=±j因此，该方程的齐次解yh(t)=c1cost+c2sint1/30/202519佛山科学技术学院2.特解特解的函数形式与激励函数的形式有关。表中列出了几种类型的激励函数f(t)及其所对应的特征解yp(t)。选定特解后，将它代入到原微分方程，求出其待定系数Pi，就可得出特解。1/30/202520佛山科学技术学院激励函数及所对应的解1/30/202521佛山科学技术学院【例】若输入激励f(t)=e-t，试求微分方程y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)的特解。将特解yp(t)代入微分方程，有【解】查表，因为f(t)=e-t，α=-1与一个特征根λ1=-1相同，因此该方程的特解1/30/202522佛山科学技术学院3.完全解

完全解是齐次解与特解之和，如果微分方程的特征根全为单根，则微分方程的全解为

当特征根中λ1为γ重根，而其余(n-γ)个根均为单根时，方程的全解为1/30/202523佛山科学技术学院如果微分方程的特征根都是单根，则方程的完全解为将给定的初始条件分别代入到式中及其各阶导数，可得方程组y(0)=c1+c2+…+cn+yp(0)y′(0)=λ1c1+λ2c2+…+λncn+y′p(0)…y(n-1)(0)=λn-11c1+λn-12c2+…+λn-1ncn+y(n-1)p(0)

1/30/202524佛山科学技术学院【例】描述某线性非时变连续系统的微分方程为y″(t)+3y′(t)+2y(t)=f(t)，已知系统的初始条件是y(0)=y′(0)=0，输入激励f(t)=e-tu(t)，试求全响应y(t)。【解】在前面已求得该方程的齐次解和特解，它们分别是yh(t)=c1e-t+c2e-2t

yp(t)=te-t

因此，完全解是y(t)=c1e-t+c2e-2t+te-t

1/30/202525佛山科学技术学院由初始条件y(0)=y′(0)=0，有y(0)=c1+c2=0y′(0)=-c1-2c2+1=0解得c1=-1，c2=1，所以，全响应为y(t)=(-e-t+e-2t+te-t)·u(t)1/30/202526佛山科学技术学院1/30/202527佛山科学技术学院2.3起始点的跳变－－从0-到0+状态的转换把响应区间确定为激励信号e(t)加入之后系统状态变化区间。一般激励都是从t=0时刻加入，这样的系统区间定义为0+

t<

如果系统在激励信号加入之前瞬间有一组状态，系统的起始状态（0_状态），它包含未来响应的“过去”信息在激励的作用下，这组状态从t=0_到t=0+时刻可能发生变化1/30/202528佛山科学技术学院在电路分析中，为确定初始条件，常常利用系统内部储能的连续性，即电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性。

当电路中没有冲激电流（或阶跃电压）强迫作用于电容；当电路中没有冲激电压（或阶跃电流）强迫作用于电感；有

则换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变。有1/30/202529佛山科学技术学院【例】如图所示，t<0开关S处于1的位置而且已经达到稳态；当t=0时,S由1转向2。建立电流I(t)的微分方程并求解I(t)在t0+时的变化。＋－R1＝1

L＝1/4HC＝1Fe(t)=4ve(t)=2ViL(t)＋－R2＝3/2

ic(t)i(t)S211/30/202530佛山科学技术学院【解】（1）列出电路的微分方程列出回路方程列结点方程1/30/202531佛山科学技术学院消去变量Vc(t)消去变量IL(t)1/30/202532佛山科学技术学院(2)求系统的完全响应完全解＝齐次解＋特解齐次解特征方程为：特征根为：齐次解为：1/30/202533佛山科学技术学院特解：由于t0+时,e(t)=4V右端为4X4，令特解为Ip（t）＝B即10B＝4X4，B＝8/5完全响应为1/30/202534佛山科学技术学院(3)确定换路后的I(0+)和di(0+)/dt换路前1/30/202535佛山科学技术学院换路后的I(0+)和di(0+)/dt换路期间电容两端的电压和流过电感中的电流不会发生突变1/30/202536佛山科学技术学院(4)求解I(t)在t0+时的完全响应由解得1/30/202537佛山科学技术学院要求的完全响应为1/30/202538佛山科学技术学院【例】如图所示的电路，已知L=2H，C=0.25F，R1=1Ω，R2=5Ω；电容上初始电压uC(0-)=3V,电感初始电流iL(0-)=1A；激励电流源iＳ(t)是单位阶跃函数，即iＳ(t)=u(t)A。试求电感电流iL(t)的零输入响应和零状态响应。u(t)＋－uC(t)＋－LiS(t)iL(t)R1R2C1/30/202539佛山科学技术学院u(0)＋－＋－R1R2uCx(0＋)iLx(0＋)Lx＋3V1AiS(0＋)R1R2iLf(0＋)uLf(0＋)＋－uC(t)＋－uL(t)＋－iS(t)iL(t)R1R2C1/30/202540佛山科学技术学院【解】若以iL(t)为输出变量，已知其微分方程为将各元件数值代入得1/30/202541佛山科学技术学院(1)零输入响应。当输入为零时，电感电流的零输入应满足齐次方程其特征根λ1=-1，λ2=-2，因此零输入响应已知iLx(0+)=1A，由KVL：再由可得1/30/202542佛山科学技术学院解得，故而1/30/202543佛山科学技术学院(2)零状态响应。输入iS(t)=u(t)A。在t>0时，iS(t)=1A，代入零状态响应方程其齐次解为cf1e-t+cf2e-2t，特解yp(t)=P0。代入原微分方程得P0=1，所以，系统的零状态响应iLf(t)=cf1e-t+cf2e-2t+1(t≥0)1/30/202544佛山科学技术学院已知iLf(0+)=0，且有解得1/30/202545佛山科学技术学院2.2.3初始状态等效为信号源引入奇异函数概念之后，我们进一步讨论电容和电感上电压和电流的关系。在任意时刻t，电容端口电压uC(t)与电容电流iＣ(t)的关系是

如果选初始时刻为t=0，那么，在t>0的任意时刻，上式可写为1/30/202546佛山科学技术学院式中u(t)为单位阶跃信号。积分下限取0-是考虑到iC(t)可能包括冲激信号(t=0时的冲激)。如果iC(t)不包含冲激信号，即iC(t)连续有界，则可不必区分0-与0+。

或写为1/30/202547佛山科学技术学院＋－uC(t)uC(0－)＋－iC(t)C(a)＋－uC(t)uC(0－)u(t)iC(t)C＋－iC(t)CuC(t)＋－CuC(0－)d(t)ttuCd)(dC(b)(c)图三个电路对于端口电压uC(t)和电流iC(t)来说是互相等效的。1/30/202548佛山科学技术学院将式求导数并乘以C，得移项，有1/30/202549佛山科学技术学院同理，对于电感L，也有对偶的等效公式和等效电路模型图如图所示：uL(t)iL(t)iL(0－)L＋－(a)LiL(t)uL(t)iL(0－)u(t)＋－L＋－iL(t)＋－uL(t)LuL(0－)d((b)(c)1/30/202550佛山科学技术学院

冲激函数平衡（匹配）法系统的0_到0+状态有无发生跳变，决定于微分方程右端是否包含(t)及其各阶导数。冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)。若微分方程右端是包含(t)及其各阶导数，说明0_到0+状态发生跳变，1/30/202551佛山科学技术学院【例】已知某线性非时变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应h(t)。1/30/202552佛山科学技术学院【解】根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=δ(t)时，即为h(t)，即原动态方程式为由于动态方程式右侧存在冲激信号δ(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有δ(t)。这样冲激响应h(t)必为Aeλtu(t)的形式。考虑到该动态方程的特征方程为1/30/202553佛山科学技术学院特征根λ1=-3，因此可设h(t)=Ae-3tu(t)，式中A为待定系数，将h(t)代入原方程式有即解得A=2，因此，系统的冲激响应为1/30/202554佛山科学技术学院求导后，对含有δ(t)的项利用冲激信号δ(t)的取样特性进行化简，即1/30/202555佛山科学技术学院例2―12已知某线性非时变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应h(t)。解由原方程可得1/30/202556佛山科学技术学院由于动态方程式右侧存在冲激信号δ′(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧h(t)最高次h′(t)也必须含有δ′(t)。这样，冲激响应h(t)必含有δ(t)项。考虑到动态方程式的特征方程为特征根为λ1=-6，因此设式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程式有1/30/202557佛山科学技术学院解得即因此，系统的冲激响应为1/30/202558佛山科学技术学院例2―13已知某线性非时变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应h(t)。解由原方程可得考虑到该动态方程的特征方程为λ2+3λ+2=0，特征根λ1=-1，λ2=-2，因此设1/30/202559佛山科学技术学院式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激响应为1/30/202560佛山科学技术学院例2―14RLC串联电路如图2.16所示。R=3Ω，L=0.5H，C=0.25F，电路输入激励为单位冲激电压δ(t)。电路的初始状态为零，试求系统的冲激响应电容电压uC(t)解由KVL由VAR即有1/30/202561佛山科学技术学院图2.16RLC串联电路1/30/202562佛山科学技术学院考虑到该动态方程的特征方程为代入R、L、C元件参数值并化简得特征根因此设1/30/202563佛山科学技术学院式中A、B为待定系数。则有u′C(t)=(-2Ae-2t-4Be-4t)u(t)+(A+B)δ(t)u″C(t)=(4Ae-2t+16Be-4t)u(t)-(2A+4B)δ(t)+(A+B)δ′(t)将u″C(t),u′C(t)及u(t)代入原动态方程式解得A=4，B=-4因此，系统的冲激响应电容电压为uC(t)=(4e-2t-4e-4t)u(t)1/30/202564佛山科学技术学院根据系统动态方程式两边冲激信号的平衡来设定系统的冲激响应h(t)时，若等式左边求导的最高阶次为n次，等式右边求导的最高阶次为m次，且动态方程的特征方程的特征根全为单根时，则有(2―46)(2―47)n>m时，n=m时，1/30/202565佛山科学技术学院在零输入条件下，等式右端均为零，化为齐次方程。y(n)(t)+an-1y(n-1)(t)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=bmf(m)(t)+bm-1f(m-1)(t)+…+b1f(1)(t)+b0f(t)若其特征根全为单根，则其零输入响应式中cxi为待定常数。若系统的初始储能为零，亦即初始状态为零，仍为非齐次方程。若其特征根均为单根，则其零状态响应式中cfi为待定常数。1/30/202566佛山科学技术学院系统的完全响应既可分解为零输入响应和零状态响应，也可分解为自由响应和强迫响应，它们的关系为：式中

1/30/202567佛山科学技术学院2.1.3零输入响应和零状态响应

线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应。

零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态{x(0)}所引起的响应，用yx(t)表示；

零状态响应是系统的初始状态为零(即系统的初始储能为零)时，仅由输入信号所引起的响应，用yf(t)表示。这样，线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和，即y(t)=yx(t)+yf(t)1/30/202568佛山科学技术学院

2.3冲激响应和阶跃响应

2.3.1冲激响应一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位冲激信号δ(t)所引起的响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用h(t)表示。亦即，冲激响应是激励为单位冲激信号δ(t)时，系统的零状态响应。其示意图如图2.15所示。1/30/202569佛山科学技术学院图2.15冲激响应示意图1/30/202570佛山科学技术学院1.冲激平衡法冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等，方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等。根据此规则即可求得系统的冲激响应h(t)。例2―11已知某线性非时变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应h(t)。1/30/202571佛山科学技术学院解根据系统冲激响应h(t)的定义，当f(t)=δ(t)时，即为h(t)，即原动态方程式为由于动态方程式右侧存在冲激信号δ(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧也必须含有δ(t)。这样冲激响应h(t)必为Aeλtu(t)的形式。考虑到该动态方程的特征方程为1/30/202572佛山科学技术学院特征根λ1=-3，因此可设h(t)=Ae-3tu(t)，式中A为待定系数，将h(t)代入原方程式有即解得A=2，因此，系统的冲激响应为1/30/202573佛山科学技术学院求导后，对含有δ(t)的项利用冲激信号δ(t)的取样特性进行化简，即1/30/202574佛山科学技术学院例2―12已知某线性非时变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应h(t)。解由原方程可得1/30/202575佛山科学技术学院由于动态方程式右侧存在冲激信号δ′(t)，为了保持动态方程式的左右平衡，等式左侧h(t)最高次h′(t)也必须含有δ′(t)。这样，冲激响应h(t)必含有δ(t)项。考虑到动态方程式的特征方程为特征根为λ1=-6，因此设式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程式有1/30/202576佛山科学技术学院解得即因此，系统的冲激响应为1/30/202577佛山科学技术学院例2―13已知某线性非时变系统的动态方程式为试求系统的冲激响应h(t)。解由原方程可得考虑到该动态方程的特征方程为λ2+3λ+2=0，特征根λ1=-1，λ2=-2，因此设1/30/202578佛山科学技术学院式中A、B为待定系数，将h(t)代入原方程式，解得A=1，B=1。因此，系统的冲激响应为1/30/202579佛山科学技术学院例2―14RLC串联电路如图2.16所示。R=3Ω，L=0.5H，C=0.25F，电路输入激励为单位冲激电压δ(t)。电路的初始状态为零，试求系统的冲激响应电容电压uC(t)解由KVL由VAR即有1/30/202580佛山科学技术学院图2.16RLC串联电路1/30/202581佛山科学技术学院考虑到该动态方程的特征方程为代入R、L、C元件参数值并化简得特征根因此设1/30/202582佛山科学技术学院式中A、B为待定系数。则有u′C(t)=(-2Ae-2t-4Be-4t)u(t)+(A+B)δ(t)u″C(t)=(4Ae-2t+16Be-4t)u(t)-(2A+4B)δ(t)+(A+B)δ′(t)将u″C(t),u′C(t)及u(t)代入原动态方程式解得A=4，B=-4因此，系统的冲激响应电容电压为uC(t)=(4e-2t-4e-4t)u(t)1/30/202583佛山科学技术学院根据系统动态方程式两边冲激信号的平衡来设定系统的冲激响应h(t)时，若等式左边求导的最高阶次为n次，等式右边求导的最高阶次为m次，且动态方程的特征方程的特征根全为单根时，则有(2―46)(2―47)n>m时，n=m时，1/30/202584佛山科学技术学院2.等效初始条件法系统冲激响应h(t)的求解还有另一种方法，称为等效初始条件法。冲激响应h(t)是系统在零状态条件下，受单位冲激信号δ(t)激励所产生的响应，它属于零状态响应。例2―15已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为y′(t)+3y(t)=2f(t)t≥0试求系统的冲激响应h(t)。解冲激响应h(t)满足动态方程式h′(t)+3h(t)=2δ(t)t≥01/30/202585佛山科学技术学院由于动态方程式右边最高次为δ(t)，故方程左边的最高次h′(t)中必含有δ(t)，故设h′(t)=Aδ(t)+Bu(t)因而有h(t)=Au(t)将h′(t)与h(t)分别代入原动态方程有Aδ(t)+Bu(t)+3Au(t)=2δ(t)Aδ(t)+(B+3A)u(t)=2δ(t)解得A=2，B=-61/30/202586佛山科学技术学院例2―16已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为y″(t)+5y′(t)+4y(t)=2f′(t)+3f(t)t≥0试求系统的冲激响应h(t)。解冲激响应h(t)满足动态方程式h″(t)+5h′(t)+4h(t)=2δ′(t)+3δ(t)t≥0由于动态方程式右边最高次为δ′(t)，故方程左边的最高次h″(t)中必含有δ′(t)，故设h″(t)=Aδ′(t)+Bδ(t)+Cu(t)

1/30/202587佛山科学技术学院因而有h′(t)=Aδ(t)+Bu(t)h(t)=Au(t)将h″(t)，h′(t)与h(t)分别代入原动态方程式可解得A=2，B=-7，C=27因此可得h(0+)=A=2,h′(0+)=B=-7,h″(0+)=271/30/202588佛山科学技术学院例2―17已知某线性非时变系统(LTI)的动态方程式为y′(t)+3y(t)=2f′(t)+5f(t)t≥0试求系统的冲激响应h(t)。解冲激响应h(t)满足动态方程式h′(t)+3h(t)=2δ′(t)+5δ(t)t≥0由于动态方程式右边最高次为δ′(t)，故方程左边的最高次h′(t)中必含有δ′(t)，故设h′(t)=Aδ′(t)+Bδ(t)+Cu(t)1/30/202589佛山科学技术学院因而有h(t)=Aδ(t)+Bu(t)将h′(t)与h(t)分别代入原动态方程有Aδ′(t)+(A+B)δ(t)+(B+C)u(t)=2δ′(t)+5δ(t)解得A=2，B=3，C=-3以上表示在t=0处，h(t)含有幅度为B的跳变，h′(t)含有幅度为C的跳变。因此可得h(0+)=B，h′(0+)=C1/30/202590佛山科学技术学院3.其它方法系统的冲激响应h(t)反映的是系统的特性，只与系统的内部结构和元件参数有关，而与系统的外部激励无关。但系统的冲激响应h(t)可以由冲激信号δ(t)作用于系统而求得。在以上两种求解系统冲激响应h(t)的过程中，都是已知系统的动态方程。1/30/202591佛山科学技术学院例2―18已知某线性非时变(LTI)系统在f1(t)=4u(t-1)作用下，产生的零状态响应为y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3)试求系统的冲激响应h(t)。解已知系统在f1(t)作用下产生响应为y1(t)，而系统的冲激响应h(t)为系统在冲激信号δ(t)作用下产生的零状态响应。因此，为求得系统的冲激响应h(t)，只需找出f1(t)与冲激信号δ(t)之间的关系即可。已知f1(t)=4u(t-1)y1(t)=e-2(t-2)u(t-2)+4u(t-3)1/30/202592佛山科学技术学院根据线性系统的特性，可以有根据非时变系统的特性，可以有1/30/202593佛山科学技术学院2.3.2阶跃响应一线性非时变系统，当其初始状态为零时，输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用g(t)表示。阶跃响应是激励为单位阶跃函数u(t)时，系统的零状态响应，如图2.17所示。1/30/202594佛山科学技术学院图2.17阶跃响应示意图1/30/202595佛山科学技术学院如果描述系统的微分方程是式(2―7)，将f(t)=u(t)代入，可求得其特解若式(2―7)的特征根λi(i=1，2，…，n)均为单根，则系统的阶跃响应的一般形式(n≥m)为(2―48)(2―4９)1/30/202596佛山科学技术学院例2―19若描述系统的微分方程为y″(t)+3y′(t)+2y(t)=1/2f′(t)+2f(t)试求系统的阶跃响应。解系统的特征根为λ1=-1，λ2=-2，由式(2―49)知，其阶跃响应g(t)=(c1e-t+c2e-2t+1)u(t)它的一阶，二阶导数(考虑到冲激函数的抽样性质)分别为g′(t)=(c1+c2+1)δ(t)+(-c1e-t-2c2e-2t)u(t)g″(t)=(c1+c2+1)δ′(t)+(-c1-2c2)δ(t)+(c1e-t+4c2e-2t)u(t)1/30/202597佛山科学技术学院将f(t)=u(t)，y(t)=g(t)，及其导数g′(t)和g″(t)代入系统的微分方程，稍加整理得(c1+c2+1)δ′(t)+(2c1+c2+3)δ(t)+2u(t)=1/2δ(t)+2u(t)由系统对应相等有所以，系统的阶跃响应为1/30/202598佛山科学技术学院2.4卷积积分2.4.1信号分解为冲激信号序列在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。1/30/202599佛山科学技术学院图2.18信号分解为冲激序列1/30/2025100佛山科学技术学院从图2.18可见，将任意信号f(t)分解成许多小矩形，间隔为Δτ，各矩形的高度就是信号f(t)在该点的函数值。根据函数积分原理，当Δτ很小时，可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号f(t)；而当Δτ→0时，可以用这些小矩形来精确表达信号f(t)。即1/30/2025101佛山科学技术学院1/30/2025102佛山科学技术学院式(2―52)只是近似表示信号f(t),且Δτ越小，其误差越小。当Δτ→0时，可以用上式精确地表示信号f(t)。由于当Δτ→0时，kΔτ→τ，Δτ→dτ，且故式(2―52)在Δτ→0时，有(2―53)1/30/2025103佛山科学技术学院2.4.2卷积积分法求解零状态响应在求解系统的零状态响应yf(t)时，将任意信号f(t)都分解为冲激信号序列，然后充分利用线性非时变系统的特性，从而解得系统在任意信号f(t)激励下的零状态响应yf(t)。由式(2―53)可得1/30/2025104佛山科学技术学院上式表明,任意信号f(t)可以分解为无限多个冲激序列的叠加。不同的信号f(t)只是冲激信号δ(t-kΔτ)前的系数f(kΔτ)不同(系数亦即是该冲激信号的强度)。这样，任一信号f(t)作用于系统产生的响应yf(t)可由诸δ(t-kΔτ)产生的响应叠加而成。对于线性非时变系统，若系统的冲激响应为h(t)，则有下列关系式成立。1/30/2025105佛山科学技术学院1/30/2025106佛山科学技术学院系统的零状态响应yf(t)为输入激励f(t)与系统的冲激响应h(t)的卷积积分，为(2―54)1/30/2025107佛山科学技术学院例2―20已知某线性非时变(LTI)系统的动态方程式为y′(t)+3y(t)=2f(t)t≥0输入激励为3u(t)，试求系统的零状态响应yf(t)。解首先计算系统的冲激响应h(t)，即h′(t)+3h(t)=2δ(t)t≥0应用冲激平衡法，故可设h(t)=Ae-3tu(t)将h(t)及h′(t)分别代入冲激响应微分方程式得Ae-3tδ(t)-3Ae-3tu(t)+3Ae-3tu(t)=2δ(t)t≥01/30/2025108佛山科学技术学院解得A=2，因此，冲激响应h(t)=2e-3tu(t)，系统的零状态响应为1/30/2025109佛山科学技术学院由上例可见，如果激励f(t)和冲激响应h(t)均为因果函数(即有t<0，f(t)=0，h(t)=0)，并且系统的特征根均为单根，那么全响应(2―55)1/30/2025110佛山科学技术学院例2―21RC串联电路如图2.19所示。已知电路的激励uS(t)=e-tu(t)。试求零状态响应yf(t)=uC(t)。图2.19例2―21图1/30/2025111佛山科学技术学院解由KVL得uR(t)+uC(t)=uS(t)1/30/2025112佛山科学技术学院由于激励信号uS(t)和冲激响应信号h(t)都是有始信号，所以，对于t>0，有因此，零状态响应1/30/2025113佛山科学技术学院例2―22已知某线性非时变(LTI)系统数学模型为输入激励f(t)=e-tu(t)，且已知h(0)=0，h′(0)=1。试用卷积积分法求系统的零状态响应yf(t)。解系统的特征方程为λ2+3λ+2，特征根为λ1=-1，λ2=-2。又因为n>m，因此，设h(t)=(c1e-t+c2e-2t)u(t)由h(0)=0，h′(0)=1，解得c1=1，c2=-1。因此，系统的冲激响应h(t)=(e-t-e-2t)u(t)1/30/2025114佛山科学技术学院由于激励f(t)=e-tu(t)和冲激响应h(t)均为因果函数，因此，在t>0时，有因此，零状态响应yf(t)=(te-t-e-t+e-2t)u(t)1/30/2025115佛山科学技术学院2.4.3卷积积分的性质1.卷积积分的代数性质卷积积分是一种线性运算，它具有以下基本特征。1)交换律(2―56)式(2―56)说明两信号的卷积积分与次序无关。即系统输入信号f(t)与系统的冲激响应h(t)可以互相调换，其零状态响应不变。1/30/2025116佛山科学技术学院图2.20系统级联满足交换律1/30/2025117佛山科学技术学院2)分配律(f1(t)+f2(t))*h(t)=f1(t)*h(t)+f2(t)*h(t)(2-57)式(2―57)的实际意义如图2.21所示，表明两个信号f1(t)与f2(t)叠加后通过某系统h(t)将等于两个信号分别通过此系统h(t)后再叠加。1/30/2025118佛山科学技术学院图2.21卷积分配律示意图1/30/2025119佛山科学技术学院3)结合律设有u(t)，v(t)，w(t)三函数，则有u(t)*(v(t)*w(t))=(u(t)*v(t))*w(t)(2―58)由于此时积分变量为τ，1/30/2025120佛山科学技术学院此时积分变量为λ，而从上式来看，对变量τ而言，λ无异于一常数。可引入新积分变量x=λ+τ，则有τ=x-λ,dτ=dx。将这些关系代入上式右边括号内，则有交换积分次序，并根据卷积定义，即可得1/30/2025121佛山科学技术学院4)卷积的微分特性设y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)则y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t)(2―59)证明1/30/2025122佛山科学技术学院5)卷积的积分特性设y(t)=y(t)*h(t)=h(t)*f(t)则y(-1)(t)=f(-1)(t)*h(t)=h(-1)(t)*f(t)(2―60)式中y(-1)(t)，f(-1)(t)及h(-1)(t)分别表示y(t)，f(t)及h(t)对时间t的一次积分。1/30/2025123佛山科学技术学院6)卷积的等效特性设y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)则y(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f′(t)*h(-1)(t)(2―61)证明根据式(2―59)卷积微分特性，有y′(t)=f′(t)*h(t)=h′(t)*f(t)将上式对时间t积分，即可证明式(2―61)。1/30/2025124佛山科学技术学院式(2―61)说明，通过激励信号f(t)的导数与冲激响应h(t)的积分的卷积，或激励信号f(t)的积分与冲激响应h(t)的导数的卷积，同样可以求得系统的零状态响应。这一关系为计算系统的零状态响应提供了一条新途径。上述性质4)、5)、6)可以进一步推广，其一般形式如下：设y(t)=f(t)*h(t)=h(t)*f(t)则y(i+j)(t)=f(i)(t)*h(j)(t)=h(j)(t)*f(i)(t)(2―62)1/30/2025125佛山科学技术学院7)卷积的延时特性若f(t)*h(t)=y(t)则有f(t-t1)*h(t-t2)=y(t-t1-t2)(2―63)1/30/2025126佛山科学技术学院2.奇异信号的卷积特性含奇异信号的卷积积分具有以下特性。1)延时特性f(t)*kδ(t-t0)=kf(t-t0)(2―64)1/30/2025127佛山科学技术学院图2.22理想延时器及其冲激响应1/30/2025128佛山科学技术学院同理，如果一个系统的冲激响应h(t)为δ(t)，则此系统称为理想放大器，其中k称为放大器的增益或放大系数，如图2.23所示。当信号f(t)通过该放大器时，其输出为y(t)=f(t)*kδ(t)=kf(t)即输出是输入信号f(t)的k倍。1/30/2025129佛山科学技术学院图2.23理想放大器及其冲激响应1/30/2025130佛山科学技术学院2)微分特性f(t)*δ′(t)=f′(t)(2―65)即，任意信号f(t)与冲激偶信号δ′(t)卷积，其结果为信号f(t)的一阶导数。如果一个系统的冲激响应为冲激偶信号δ′(t)，则此系统称为微分器，如图2.24所示。1/30/2025131佛山科学技术学院图2.24微分器及其冲激响应1/30/2025132佛山科学技术学院3)积分特性即，任意信号f(t)与阶跃信号u(t)卷积，其结果为信号f(t)本身对时间的积分。如果一个系统的冲激响应为阶跃信号u(t)，则此系统称为积分器，如图2.25所示。(2―66)1/30/2025133佛山科学技术学院图2.25积分器及其冲激响应1/30/2025134佛山科学技术学院例2―23设系统的冲激响应为h(t)=δ(t+T)+δ(t-T)，如图2.26(a)所示。输入信号为f(t)，如图2.26(b)所示，试求系统在信号f(t)激励下的零状态响应。解ff(t)=f(t)*h(t)=f(t)*(δ(t+T)+δ(t-T))=f(t+T)+f(t-T)也就是说，只需在每个冲激信号出现的位置处重画信号f(t)即可，卷积结果(即系统的零状态响应)如图2.26(c)所示。1/30/2025135佛山科学技术学院图2.26例2―23信号波形1/30/2025136佛山科学技术学院例2―25已知f(t)=e-tu(t)，h(t)=u(t)-u(t-2)，试求两信号的卷积y(t)=f(t)*h(t)。解根据卷积运算的分配律，有ff(t)=f(t)*h(t)=f(t)*(u(t)-u(t-2))=f(t)*u(t)+f(t)*u(t-2)=f(-1)(t)-f(-1)(t-2)亦可利用卷积的等效特性来计算，即yf(t)=f(t)*h(t)=f(-1)(t)*h′(t)=f(-1)(t)*(u(t)-u(t-2))′=f(-1)(t)*(δ(t)-δ(t-2))=f(-1)(t)-f(-1)(t-2)1/30/2025137佛山科学技术学院可见两种方法计算结果一样。进一步求解可得卷积的最后结果为1/30/2025138佛山科学技术学院例2―26已知某线性非时变(LTI)系统如图2.27所示。已知图中h1(t)=u(t)，h2(t)=δ(t-1)，h3(t)=e-3(t-2)u(t-2)，试求该系统的冲激响应h(t)。解当多个子系统通过级联，并联组成一个大系统时，大系统的冲激响应h(t)可以直接通过各子系统的冲激响应计算得到。从图2.27可见，子系统h1(t)与h2(t)是级联关系，而h3(t)支路与h1(t)及h2(t)组成的支路是并联关系，因此1/30/2025139佛山科学技术学院h(t)=h1(t)*h2(t)+h3(t)=h(t)*δ(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)=u(t-1)+e-3(t-2)u(t-2)图2.27例2―26系统框图1/30/2025140佛山科学技术学院2.4.4卷积积分的计算1.解析计算参与卷积的两个信号f1(t)与f2(t)都可以用解析函数式表达，可以直接按照卷积的积分定义进行计算。例2―27已知f1(t)=e-3tu(t)，f2(t)=e-5tu(t)，试计算两信号的卷积f1(t)*f2(t)。解根据卷积积分的定义，可得1/30/2025141佛山科学技术学院1/30/2025142佛山科学技术学院【例】已知信号f1(t)=e-3(t-1)u(t-1)与f2(t)=e-5(t-2)u(t-2)，试计算两信号的卷积f1(t)*f2(t)。【解】根据卷积积分的定义，可得1/30/2025143佛山科学技术学院在例2―27中，f1(t)的起点为0，f2(t)的起点为0，故f1(t)*f2(t)的起点也为零；在例2―28中，f1(t)的起点为1，f2(t)的起点为2，故f1(t)*f2(t)的起点为1+2=3。例2―29可以验证终点之间的关系，它们的关系如图2.28所示。1/30/2025144佛山科学技术学院图2.28例2―29图1/30/2025145佛山科学技术学院在利用卷积的定义通过信号的函数解析式进行卷积时，对于一些基本信号可以通过查卷积积分表直接得到，避免卷积积分过程中重复与繁杂的计算。卷积积分表如表2―2所示。当然，在利用解析式进行求解信号卷积时，可以利用卷积的一些特性来简化运算。1/30/2025146佛山科学技术学院表2―2卷积积分常用公式表1/30/2025147佛山科学技术学院2.图解计算对于一些较简单的函数符号，如方波、三角波等，可以利用图解方式来计算。而且，熟练掌握图解卷积的方法，对理解卷积的运算过程是有帮助的。下面通过例题来介绍图解卷积的具体步骤。1/30/2025148佛山科学技术学院例2―30已知分别如图2.29(a)，(b)所示。试用图解法求两信号的卷积y(t)=f(t)*h(t)。1/30/2025149佛山科学技术学院图2.29例2―30图1/30/2025150佛山科学技术学院综合各段结果，有1/30/2025151佛山科学技术学