2022年北京市三十五中初三（上）期中数学试卷及答案

第1页/共1页2022北京三十五中初三（上）期中数学一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.2.点P（2，-1）关于原点对称点的坐标是（）A.（-1，2） B.（-2，-1） C.（2，1） D.（-2，1）3.关于关于x的一元二次方程的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根C.无实数根 D.无法判断4.二次函数图象的顶点坐标是（）A B. C. D.5.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A＇OB＇，若∠AOB=15°，则∠AOB＇的度数是（）A.25° B.30° C.35° D.40°6.若要得到函数图象，只需将函数的图象（）A.先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B.先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C.先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D.先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度7.一元二次方程-8x-1=0配方后可变形为（）A.=17 B.=15 C.=17 D.=158.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位：）近似满足函数关系（）．下图记录了某运动员起跳后的与的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A. B. C. D.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.抛物线的开口方向是_____．10.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______．11.如图，正方形的边长为6，点在边上．以点为中心，把顺时针旋转至的位置，若，则________．12.已知、是一元二次方程的两个根，则______，______．13.如图，抛物线的对称轴为，点，点是抛物线与轴的两个交点，若点的坐标为，则点的坐标为________.14.如图，在平面直角坐标系中，已知点，将绕坐标原点顺时针旋转至，则点的坐标是______．15.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为______．16.对于二次函数和．其自变量和函数值的两组对应值如下表所示：-1根据二次函数图象的相关性质可知：________，________．三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18~22、24、25题每小题5分，第23、26、28题每小题6分，第27题7分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.解方程：（1）（2）18.如图，在等边中，点是边上一点，连接，将线段绕点按顺时针方向旋转60°后得到，连接．求证：．19.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．（1）求取值范围；（2）若为正整数，求此时方程的根．20.如图，用一条长的绳子围成矩形，设边的长为．（1）边的长为___________，矩形的面积为___________（均用含的代数式表示）；（2）矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程或者函数知识说明理由．21.在平面直角坐标系xOy中，△ABC的顶点分别为A（1，1），B（2，4），C（4，2）．（1）画出△ABC关于原点O对称△A1B1C1；（2）点C关于x轴的对称点C2的坐标为_____；（3）点C2向左平移m个单位后，落在△A1B1C1内部，写出一个满足条件的m的值：_____．22.已知关于的一元二次方程．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求的值．23.对于抛物线.（1）它与x轴交点坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）在坐标系中利用描点法画出此抛物线；x……y……（3）利用以上信息解答下列问题：若关于x的一元二次方程（t为实数）在＜x＜的范围内有解，则t的取值范围是．24.某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管OA喷出，OA长为1.5米.水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为3米．建立平面直角坐标系，水流喷出的高度y（米）与水平距离x（米）之间近似满足函数关系（1）求y与x之间的函数关系式；（2）求水流喷出的最大高度．25.为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作．2020年3月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年5月该企业口罩出口订单额为1440万元．求该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率．26.某滑雪场在滑道上设置了几个固定的计时点．一名滑雪者从山坡滑下，测得了滑行距离（单位：）与滑行时间（单位：）的若干数据，如下表所示：位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置7滑行时间01.071.402.082.462.793.36滑行距离051015202535为观察与之间的关系，建立坐标系，以为横坐标，为纵坐标，描出表中数据对应的点（如图）．可以看出，其中绝大部分的点都近似位于某条抛物线上．于是，我们可以用二次函数来近似地表示与的关系．（1）有一个计时点的计时装置出现了故障，这个计时点的位置编号可能是_________；（2）当时，，所以________；（3）当此滑雪者滑行距离为时，用时约为________（结果保留一位小数）．27.在平面直角坐标系中，二次函数图像与轴的交点为，将点向右平移个单位长度，向上平移个单位长度得到点．（1）直接写出点的坐标为______，点的坐标为_______；（2）若函数的图像与线段恰有一个公共点，求的取值范围．28.在平面直角坐标系xOy中，对于点和，给出如下定义：若，则称点Q为点P的“可控变点”．例如：点的“可控变点”为点，点的“可控变点”为点．（1）点的“可控变点”坐标为；（2）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标是7，求“可控变点”Q的横坐标；（3）若点P在函数的图象上，其“可控变点”Q的纵坐标的取值范围是，求实数a的取值范围

参考答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1.【答案】B【详解】解：由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”根据定义，A、C、D都不是中心对称图形，只有B是中心对称图形.故选：B.2.【答案】D【分析】根据关于原点对称两个点，其坐标值全部互为相反数可直接得到答案．【详解】∵关于原点对称的点的坐标是：(x，y)原点的对称点的坐标为(-x,-y)，∴点P（2，-1）关于原点的对称点的坐标为（-2，1），故选：D．【点睛】本题考查原点对称，解题的关键是熟知关于原点对称的两个点，其坐标值全部互为相反数．3.【答案】A【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＝9＞0，进而即可得出方程有两个不相等的实数根．【详解】解：∵，∴方程有两个不相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查根的判别式，牢记“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．4.【答案】B【分析】根据二次函数顶点式即可得出顶点坐标．【详解】解：∵二次函数的解析为，∴二次函数图像顶点坐标为（1，3）.故选B．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．5.【答案】B【详解】解：∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，∴∠A′OA=45°，∠AOB=∠A′OB′=15°，∴∠AOB′=∠A′OA-∠A′OB′=45°-15°=30°，故选B．6.【答案】B【分析】根据题意可得函数的定点坐标为，函数的顶点坐标为，即可求解．【详解】解：∵函数的定点坐标为，函数的顶点坐标为，∴将函数的图象先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到函数的图象．故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的图象的平移，熟练掌握平移的规律“左加右减，上加下减”是解题的关键．7.【答案】C【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．【详解】解：∵x2-8x-1=0，∴x2-8x=1，∴x2-8x+16=17，∴（x-4）2=17．故选C．【点睛】本题考查了解一元二次方程—配方法，熟练掌握当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方是关键．8.【答案】B【详解】分析：根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.详解：设对称轴为，由（，）和（，）可知，，由（，）和（，）可知，，∴，故选B．点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.二、填空题（本题共16分，每小题2分）9.【答案】向上【分析】根据a的取值范围来进行判断即可．【详解】解：∵∴抛物线的开口向上．故答案为：向上．【点睛】本题考查二次函数的开口方向，抛物线的开口方向由a决定：开口朝上，开口朝下．10.【答案】【分析】将x=1代入方程求解．【详解】解：∵是关于一元二次方程的一个根∴，解得：故答案为：-1．【点睛】本题考查一元二次方程的根的概念，理解概念正确代入计算是解题关键．11.【答案】8【分析】先根据旋转的性质和正方形的性质证明C、B、F三点在一条直线上，又知BF＝DE＝2，可得FC的长．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠D＝90°，AD＝AB，由旋转得：∠ABF＝∠D＝90°，BF＝DE＝2，∴∠ABF＋∠ABC＝180°，∴C、B、F三点在一条直线上，∴CF＝BC＋BF＝6＋2＝8，故答案为：8．【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转变换的性质，难度适中．由旋转的性质得出BF＝DE是解答本题的关键．12.【答案】①.②.【分析】根据根与系数的关系解答即可．【详解】解：，，，，由根与系数的关系可知：，，故答案为：①；②【点睛】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，．13.【答案】【分析】点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，即可求解．【详解】点P的坐标为（-1，0），对称轴为x=1，

则：PQ之间的距离为2×（1+1）=4，

则：点Q的横坐标为-1+4=3，

故答案为（3，0）．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，掌握抛物线的对称性是解题的关键．14.【答案】分析】过点A作轴于B，过点作轴于，证明即可求解．【详解】解：如图，过点A作轴于B，过点作轴于，∵绕坐标原点O顺时针旋转至，∴，，∵，，∴，在和中，∴，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查了求绕原点旋转90度的点的坐标，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，掌握以上知识是解题的关键．15.【答案】且【分析】根据该方程是一元二次方程可知，根据方程有两个不相等的实数根可知，列出不等式，求解即可．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，解得：且，即的取值范围为且．故答案为：且．【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是牢记：对于一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．16.【答案】①.-1；②.3【分析】根据二次函数图像的对称性可求出m的取值；再根据在同一个函数中同一个自变量对应的函数值相等可以求出d和c之间的关系【详解】解：根据x=-1和x=m时，的值都为c，且的对称轴为x=0可知，m=-1或者1，根据题意m=-1；根据在同一个函数中同一个自变量对应的函数值相等可知，c+3=d，故d-c=3综上：m=-1；d-c=3【点睛】本题考查二次函数图象的相关性质，熟练理解并掌握相关性质是解题的关键三、解答题（本题共68分，第17题8分，第18~22、24、25题每小题5分，第23、26、28题每小题6分，第27题7分）解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】（1），；（2），．【分析】（1）先移项，再把未知数的系数化为“”，再利用直接开平方的方法解方程即可；（2）先计算再利用公式法解方程即可.【详解】解：（1）解得：，．（2）解：∵，，∴．∴∴，．【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法与公式法解一元二次方程是解题的关键.18.【答案】见解析【分析】根据等边三角形的性质和旋转的性质证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论．【详解】证明：∵是等边三角形，∴，，∵将线段CD绕点C按顺时针方向旋转60°后得到CE，∴，，∴，∴，即，在和中，，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、旋转的性质等知识点，理解旋转的性质和等边三角形的性质是解题的关键．19.【答案】（1）；（2），【分析】（1）根据判别式即可求出答案．（2）根据m的范围可知m＝1，代入原方程后根据一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴，∴．（2）∵为正整数，且，∴．当时，方程为，∴，．【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．20.【答案】（1）；；（2）不可以，见解析【分析】（1）根据矩形的周长公式求得边BC的长度；然后由矩形的面积公式求得矩形ABCD的面积；

（2）根据矩形的面积公式得到关于x的方程，通过解方程求得答案．【详解】解：（1）根据题意，知边BC的长为：（20−x）m，

矩形ABCD的面积为：（20−x）x＝（−x2＋20x）m2；

故答案是：（20−x）；（−x2＋20x）；

（2）若矩形ABCD的面积是120m2，则−x2＋20x＝120．

∵△＝b2−4ac＝−80＜0，

∴这个方程无解．

∴矩形ABCD的面积不可以是120m2．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．21.【答案】①.（4，﹣2）；②.6【详解】分析：（1）直接利用关于原点对称点的性质进而得出答案；（2）知己利用关于x轴对称点的性质进而得出答案；（3）直接利用平移的性质得出答案.详解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；（2）点C2的坐标为：(4，﹣2)．故答案为（4，﹣2）；（3）答案不唯一．如：6．点睛：此题主要考查了旋转变换以及平移变换，正确得出对应点位置是解题的关键.22.【答案】（1）见详解；（2）【分析】（1）由题意及一元二次方程根的判别式可直接进行求证；（2）设关于的一元二次方程的两实数根为，然后根据一元二次方程根与系数的关系可得，进而可得，最后利用完全平方公式代入求解即可．【详解】（1）证明：由题意得：，∴，∵，∴，∴该方程总有两个实数根；（2）解：设关于的一元二次方程的两实数根为，则有：，∵，∴，解得：，∵，∴．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．23.【答案】（1）（1,0），（3,0）；（0,3）；顶点坐标为（2，-1）；（2）见解析（3）-1≤t＜8【解析】【详解】解：（1）它与x轴交点的坐标为，与y轴交点的坐标为，顶点坐标为；（2）列表：x…01234…y…30-103…图象如图3所示．（3）∵关于x的一元二次方程x2-4x+3-t=0（t为实数）在-1＜x＜的范围内有解，∵y=x2-4x+3的顶点坐标为（2，-1），若x2-4x+3-t=0有解，方程有两个根，则：b2-4ac=16-4（3-t）≥0，解得：-1≤t当x=-1，代入x2-4x+3-t=0，t=8，当x=，代入x2-4x+3-t=0，t=∵x＞-1，∴t＜8，∴t的取值范围是：-1≤t＜824.【答案】（1）（2）水流喷出的最大高度为2米【分析】（1）建立平面直角坐标系,待定系数法解题,（2）求出顶点坐标即可.【详解】解：（1）由题意可得，抛物线经过（0，1.5）和（3，0），解得：a=-0.5,c=1.5,即函数表达式为y=.（2）解：∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2.答：水流喷出的最大高度为2米．【点睛】本题考查了二次函数的解析式的求法,顶点坐标的应用,中等难度,建立平面直角坐标系是解题关键.25.【答案】20%【分析】设该企业订单额的月平均增长率为x，根据该企业2020年3月及5月的出口订单额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：设该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为x，依题意，得：1000(1+x)2=1440，解得：x1=0.2=20%，x2=-2.2（不合题意，舍去）．答：该企业2020年3月到5月口罩出口订单额的月平均增长率为20%．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．26.【答案】（1）3；（2）0；（3）3.1【分析】（1）由图像及表格可直接进行解答；（2）把t=0代入求解即可；（3）从表格选两个点代入函数解析式求解即可．【详解】解：（1）由表格及图像可得：出现故障的位置编号可能是位置3；故答案为3；（2）把t=0，s=0代入得：c=0；故答案为0；（3）由（2）可得：把t=1.07，s=5和t=2.08，s=15代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为：，把s=30代入解析式得：，解得：（不符合题意，舍去），∴当此滑雪者滑行距离为时，用时约为3.1s；故答案为3.1．【点睛】本题主要考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键．27.【答案】（1）；（2）或【分析】（1）根据关系式可求出抛物线与轴的交点坐标，即点的坐标，再根据平移可得点坐标；（2）由于抛物线的图像恒过点，因此分两种