希望杯第四届(1993年)初中一年级第二试试题

东莞群英学校初中数学科组古统方整理希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题选择题:（每题1分，共10分）1.的值是[]A．-11110． B．-11101．C．-11090． D．-11909．2．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图24中标出的数值，可以判定墨迹盖住的整数个数是[]A．285． B．286．C．287． D．288．3．a，b都是有理数，代数式a2+b2，a2-b2，(a-b)2，(a+b)2，a2b2+1，a3b+1，a2+b2+0.1，2a2+3b4+1中，其值为正的共有[]A．3个． B．4个．C．5个． D．6个．4．a，b，c在数轴上的位置如图25所示,则下列代数式中其值为正的一个是 []A.;B.;C.(1-a)(c-b);D.ac(1-bc).5．1993+9319的末位数字是 []A．2． B．4．C．6． D．8．6．今天是4月18日，是星期日，从今天算起第1993A．星期五． B．星期六．C．星期日． D．星期一．7．n为正整数，302被n(n+1)除所得商数q及余数r都是正值．则r的最大值与最小值的和是 []A．148． B．247．C．93． D．122．8．绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于 []A．0． B．-32．C．33． D．-33．9．x是正数，<x>表示不超过x的质数的个数，如<5.1>=3．即不超过5.1的质数有2，3，5共3个．那么<<19>+<93>+<4>×<1>×<8>>的值是[]A．12． B．11．C．10． D．9．10．如图26是一个长为a，宽为b的矩形．两个阴影图形都是一对长为c的底边在矩形对边上的平行四边形．则矩形中未涂阴影部分的面积为[]A.ab-(a+b)c．B．ab-(a-b)c．C．(a-c)(b-c)．D．(a-c)(b+c)．二、填空题（每题1分，共10分）1．在1993.4与它的负倒数之间共有a个整数．在1993.4与它的相反数之间共有b个整数,在-与它的绝对值之间共有c个整数,则a+b+c=_________.2．设a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d=1÷2÷(3÷4)，则(b÷a)÷(c÷d)=______．3．两个同样的大小的正方体形状的积木．每个正方形上相对的两个面上写的数之和都v等于-1，现将两个正方体并列放置．看得见的五个面上的数字如图27所示，则看不见的七个面上的数的和等于______．4．计算:=__________.5.是一个五位自然数,其中a,b,c,d，e为阿拉伯数码，且a＜b＜c＜d，则|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是______．6．连续的1993个自然数之和恰是一个完全平方数．则这1993个连续自然数中最大的那个数的最小值是______．7．某次竞赛满分为100分，有六个学生的得分彼此不等，依次按高分到低分排列名次．他们六个人的平均分为91分，第六名的得分是65分．则第三名的得分至少是______分．8.计算:=________.9．若a，b，c，d为非负整数．且(a2+b2)(c2+d2)=1993．则a+b+c+d=______．10．有甲、乙、丙、丁四位同学去林中采蘑菇．平均每个采得蘑菇的个数约是一个十位数字为3的两位数,又知甲采的数量是乙的,乙采的数量是丙的倍,丁比甲多采了3个蘑菇,则丁采蘑菇______个.三、解答题（在试卷背面写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分）(-6)-15=-21．5．若a＜b＜c＜d≤e时|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(e-d)=e-a．当e=9，a=1时取最大值为8．若a＜b＜c＜d，且d＞e时．|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-e)=2d-a-e．当d=9，a=1，e=0时，取最大值17．所以|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是17．6．设这连续的1993个自然数为x-996，x-995，…，x-1，x，x+1，x+2，…，x+995，x+996．显然．x-996≥1，即x≥997．这1993个连续自然数之和设为σ．则σ=1993x，要求σ为完全平方数，而1993又是质数，x的最小值为1993．此时，1993个连续自然数中最大的那个数x+996=1993+996=2989，即当σ为完全平方数时，1993个连续自然数中最大的那个数的最小值是2989．7．设六个人的成绩依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6．则65=x6＜x5＜x4＜x3＜x2＜x1≤100．∴x1+x2+x3+x4+x5=546-65=481．要使x3最小，必须x1，x2尽可能大，x4，x5尽可能接近x3，所以当x1=100，x2=99，x4=x3-1，x5=x3-2时，x3取最小值，即100+99+x3+(x3-1)+(x3-2)=481．3x3=481-100-99+3=285．x3=95．答：第三名的得分至少是95分．9．因为1993是质数，a2+b2与c2+d2都是正整数，所以a2+b2与c2+d2分别取值1与1993（参见第一试填空第7题解答）．为确定起见；，不妨设a2+b2=1，c2+d2=1993．(1)a2+b2=1．推知a＝0，b=1或a=1，b=0，因此a+b=1．(2)c2+d2=1993．若c≤31，d≤31，则c2+d2≤2×312=2×961=1922＜1993．所以c，d中至少有一个大于31．又由于442=1936＜1993，故设c为c，d中较大的一个，则32≤c≤44．我们依次取c=44，43，42，41，…，33，32试算如下：其中1933-c2的结果中，只有144=122为完全平方数，即432+122=1993，所以c=43，d=12或c=12，d=43．因此，c+d=55．所以a+b+c+d=1+55=66．一个近似为首位的是3的两位整数．因此，由近似数的表示有23.5…≤x≤31.5…因x是整数，x只能从24，25，26，27，28，29，30，31中选取．因此只能有x=30，即丙采30个蘑菇．此时，乙采45个蘑菇，甲采36个蘑菇，因此丁采39个蘑菇．舍五入，约为38是个十位数是3的两位数．三、解答题1．如图30已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x，及5x-2y+z．因矩形对边相等。所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y．消去z得18x=49y．因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38．以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最小面积值是593×422=250246．2．答：找不到满足条件的三个整数理由如下：如果存在整数a，b，c，使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立．因为3388是偶数，则左边四个因子中至少有一个是偶数．不妨设a+b+c为偶数,则a-b+