初中数学圆形专题训练50题含参考答案

初中数学圆形专题训练50题含参考答案

一、单选题

1.下列说法错误的是（）

A.等弧所对的圆心角相等

B.弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数

C.经过三点可以作一个圆

D.三角形的外心到三角形各顶点距离相等

【答案】C

【分析】根据三角形的外心的性质，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关系判定即

可.

【详解】解：A等弧所对的圆心角相等，故不符合题意；

B、弧的度数等于该弧所对的圆心角的度数，故不符合题意；

C经过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，故符合题意；

三角形的外心到三角形各顶点距离相等，故不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，确定圆的条件，圆心角、弧、弦的关

系，正确的理解题意是解题的关键.

2.已知。。的半径是5cm,线段OP的长为4cm,则点P（）

A.在外B.在0O上C.在（30内D.不能确定

【答案】C

【分析】根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关

系.点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆的半径，则

点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外.

【详解】解：.OP=4<5

・••点P在。。内，

故选：C.

【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系的判断是关键.

3.用宜角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图所表示的情形，四个工件哪

一个肯定是半圆环形？（）

A.B.

c.

D.

【答案】B

【详解】试题分析：根据直径所对的圆周角为直角可得：B为正确答案.

4.已知。。的半径是一元二次方程一一33-4=0的一个根，点A与圆心。的距离为

6,则下列说法正确在是（）

A.点A在。。外B.点A在。。上C.点A在。。内D.无法判断

【答案】A

【分析】先求方程的根，可得r的值，由点与圆的位置关系的判断方法可求解.

【详解】解：,・・“2—3x—4=0,

,4=-1,x2=4,

•・•。。的半径为一元二次方程寸-3%-4=0的根，

・」=4,

V6>4,

・••点4在。。外，

故选：A.

【点睛】本题考查了解一元二次方程，点与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较

点到圆心的距离d与圆半径大小关系完成判定.

5.如图，4B是半圆。的直径，ZBAC=28°,则ND的度数是（）

D

A.62°B.118°C.152°D.138°

【答案】B

【分析】连接BC，则直径所对的圆周角是直角可求得-8的度数，再由圆内接四边形

的性质即可求得结果的度数.

【详解】连接BC,如图所示，

.是直径，

.-.ZACB=90°,

.•.N8=90。-N班C=90°-28。=62。,

/.ZD=180o-ZB=180o-62o=118°；

故选：B.

【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，圆内接四边形的性质等知识，掌握这

两条性质是关键.

6.如图，是。。的直径，8是OO的弦.若/84。=21。，则乙4c。的大小为

()

A.21°B.59°C.69°D.79°

【答案】C

【分析】先求出乙钻。的度数，然后再根据圆周角定理的推论解答即可.

【详解】解：・・・AB是0。的直径

・•・/BDA=90°,

丁NBAD=21。,

・•・^ABD=180°-90°-21°=69°,

又：AD=AD»

/.^ACD=^ABD=69°,

故答案为：C.

【点睛】本题主要考杳了圆周角定理的推论，解题的关键是熟练掌握在同圆或等圆中

同弧或等弧所对圆周角相等；直径所对圆周角等于90。.

7.如图，圆与圆的位置关系没有()

O

A.相交B.相切C.内含D.外离

【答案】A

【分析】根据圆与圆的位置关系寻找交点个数即可解题.

【详解】解：圆与圆相交有两个交点,但是图像中没有两个交点的情况，

所以圆与圆的位置关系没有相交，

故选A.

【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，属于简单题，熟悉位置关系的辨析方法是解题关

键.

8.已知在Rt3ABe中，NAC6=90°,AC=\BC=4,则Rl3ABe的外接圆的

半径为（）

A.4B.2.4C.5D.2.5

【答案】D

【分析】根据三角形外心的性质可知，直角三角形的外心为斜边中点，斜边为直径，

先求斜边长，再求半径.

【详解】在用SBC中，根据勾股定理得，

AB=\IAC2+BC2=V32+42=5，

•・•直角三角形的外心为斜边中点，

:.RtA8C的外接圆的半径为2.5,

故选：D.

【点睛】本题考查了直角三角形的外心的性质,勾股定理的运用，关键是明确直角三

角形的斜边为三角形外接圆的直径.

9.如图，Z1=Z2,则AB=CD的是（）.

rD・B笆

【答案】C

【分析】根据圆周角与弧的关系即可求解.

【详解】解：根据同圆或等圆，相等的弧所对的圆周角相等，只有c选项符合题意;

AB=CD.

故选：C.

【点睛】本题考查了圆周角与弧的关系，掌握同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧

相等是解题的关键.

10.A48C中，AB=AC=10cmtBC=\2cm,若要剪一张圆形纸片盖住这个三角

形，则圆形纸片的最小半径为()-

1525

A.5B.6C.—D.—

24

【答案】D

【分析】作A。13c于。，根据等腰三角形的性质求出8。，根据勾股定理求出

AD,设圆形纸片的半径为根据勾股定理列出方程，解方程得到答案.

【详解】解：如图，点点A作A。/8c于。，

VAB=AC,AD1BC,8c=12,

:.BD=DC=6,AA8C的外接圆的圆心。在AO上，

连接08,

在R/ABD中，AD7AB2-BD?=8，

设圆形纸片的半径为「cm,

则8=8-广，

在RtAOBD中，OB2=OD2+BD2,

则r=(8-r)2+62,

25

解得，，=3，

4

，此时圆形纸片的半径为m25cm.

4

故选；D.

A

【点睛】本题考查的是三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质，掌握等腰三角形

的三线合一、三角形外接圆的性质及勾股定理是解题的关键.

11.如图所示，MN是半圆。的直径，M尸与半圆（）相切于点M,R是半圆上一动

点，RE工MP于E,连接MR.设=MR-RE=y,则下列函数图象能反映V与

x之间关系的是（）

【答案】D

【分析】连接NR,可得sEMR~、RVM,设半圆。的半径为「，得到0=整理

x2r

得到）,=—工+x（0<x<2r）,根据函数的解析式即可判断函数图象.

2r

【详解】连接M?,

VMN是直径，

ZMRN=90°,

ZRMN+ZMNR=90°,

〈MP是半圆0的切线，

ZNMP=90°,

/.ZRME+ZRMN=90°,

JNRME二NMNR,

VRE±MP,

AZMER=ZMRN=90°,

:..EMR〜sRNM,

.ERMR

・•莉一加’

设半圆。的半径为值「，可得口=《，

x2r

2

y=--+x（0<x<2r）

2r

可得到y是x的二次函数，开口方向向下，对称轴K=L

故选：D.

【点睛】此题考查相似三角形的判定及性质，切线的性质，圆周角定理的推论，二次

函数的性质.

12.如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC,反比例函数产上经过正方形

x

AOBC对角线的交点，半径为4-2应的圆内切于△ABC,则k的值为（）.

A.&B,2C.4D.2a

【答案】C

【详解】试题分析：设正方形对角线交点为D,过点D作DM_LAO于点M,

DNJ_BO于点N；设圆心为Q,切点为H、E,连接QH、QE.二•在正方形AOBC

中，反比例函数y=与经过正方形AOBC对角线的交点，，AD二BD二DO=CD,

x

NO=DN,HQ=QE,HC=CE,QH1AC,QE1BC,ZACB=90°,・'・四边形HQEC是

正方形，•・•半径为（4-20）的圆内切于△ABC,・・・DO=CD,・・・HQ2+"C2=QC2,

A2HC2=eC2=2x（4-2V2）2,；・QC?=48-32应=（4一2正了，JQO4夜一4，

.•・CD=4应一4+（4-2垃）=2&，ADO=272>>ZNO2+DN2=DO2=（2>/2=8,

**•2NO2=8,，加。2=4,/.DNxNO=4,即：xy=k=4.

故选C.

考点：反比例函数图象上点的坐标特征；正方形的性质；三角形的内切圆与内心.

13.若A8=5cm,作半径为4cm的圆，使它经过A、B两点，这样的圆能作（）

A.0个B.1个C.2个D.无数个

【答案】C

【分析】先作A8的垂直平分线/,再以点4为圆心，4cm为半径作圆交/于0/和

O2,然后分别以。/和。2为圆心，以4cm为半径作圆即可：

【详解】解：这样的圆能画2个.如图：

画1

作48的垂直平分线/,再以点A为圆心，4cm为半径作圆交/于Q和02,然后分别

以。/和02为圆心，以4cm为半径作圆，

则。O/和。02为所求

【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r,点P到圆心的距离

0P=dt则有点P在圆外od>r；点P在圆上=d=r；点P在圆内odVr.

14.如图，在oA灰?中，AB=3,BC=6,NA8C=60。，以点5为圆心，A8长为半

径画弧，交BC于点D,则图中阴影部分的面积是（）

【答案】D

【分析】连接A。，根据等边三角形的性质得到40=AB=3,W8=60%根据勾股

定理得到AC=JBC?—钻？=3、石,根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论.

【详解】解：连接AO，

AB=BD=3,ZA3C=600,

IA5O是等边三角形，

：.AD=AB=3tZAD8=60°,

VBC=6,

.8=3,

/.AD=CD»

..NC=NC4£）,

NC+NC4D=ZADB=60。，

ZC=30°,

/.ZBAC=90°,

AC=dBC?-AB?=3x/3，

二图中阴影部分的面积=，A8AC—竺士立=,X3X3G—包=当巨—包，

23602222

故选：D.

【点睛】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质,

勾股定理，推出△A3。是等边三角形是解题的关键.

15.如图，已知A8是。O的直径，弦CD_LA8,垂足为E,且NfiC£>=30°,

。。=46，则图中阴影部分的面积为（）

A

A.2^—4B.^^-4>/3C.4^-D.—--4

338

【答案】B

【分析】连接。C，根据垂径定理求出CE,解直角三角形求出BC=23E,求出

BE=2,BC=4,求出△COB是等边三角形，求出OC=OB=BC=4,再求出答案即

可.

【详解】解：连接OC,

'：CDA.AB,AB过0,8=45

：.CE=DE=-CD=2y/3tNCE8=90°,

2

,:々8=30°,

"30=90°-48=60°,BC=2BE,

由勾股定理得：8C2=CE2+BE2,

即(28£/=(2逐y+BE?,

解得：BE=2,

・•・8c=4,

VZCBO=60°,OC=OB,

:.△COB是等边三角形，

:.OC=OB=BC=4,

・•・阴影部分的面积5=5扇吠0一工皿8=竺票-;'4x26=?-46，

JOU/3

故选：B.

【点睛】本题考查了扇形的面积计算，勾股定理，含30。角的直角三角形的性质，等边

三角形的性质和判定等知识点，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是

解此题的关键.

16.已知扇形的圆心角为120。，半径为6,则扇形的弧长是（）.

A.3兀B.4兀C.5nD.6兀

【答案】B

【详解】解：扇形的弧长为窄屿=4几.故选B.

lol）

17.如图，四边形A8CD内接于0O,ZABC:ZADC=2：KAB=2,点C为8D的中

点，延长48、DC交于点E,巨NE=60",则OO的面积是（）

A.冗B.24C.3万D.4乃

【答案】D

【分析】连接80,根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得NO=NC8E=60°,

根据等边对等角以及三角形内角和定理求出N5CE=60°,可得NA=60°,点C为

的中点，可得出NE5C=NCBO=30°,进而得出NAEA90。，为直径，可得

出AD=2AB=4,再根据面积公式计算得出结论；

【详解】解：连接

,：ABCD是。0的内接四边形，

AZCBE=ZADCtNBCE=NA

*：ZABC:ZADC=2:\

:.ZABC:NCBE=2:1

：.ZCBE=ZADC=60°,ZCBA=\20°

•/NE=60"

•♦•△C8E为等边三角形

:•/BCE=NA=60°,

丁点C为BZ）的中点，

AZCDB=ZDBC=30°

・・・NABD=90。，Z4DB=30°

・・・4。为直径

*：AB=2

：.AD=2AB=4

，「。的面积是二乃*22=44

故答案选：D

【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质,

三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键.

18.一个圆锥的侧面展开图是半径为8,圆心角为120。的扇形，则这个圆锥的高为

（）

A.—72cmB.—cmC.-5/2cmD.-cm

3333

【答案】A

【详解】试题分析：设圆锥的底面圆的半径为r,

根据题意得2m」2,Q：8,解得

1803

所以圆锥的高二与也.

故选A.

考点：圆锥的计算

19.00的半径为10cm,A是GO上一点,B是OA中点,C点和B点的距离等于5cm,

则C点和。O的位置关系是（）

A.C在。O内B.C在。O上C.C在。O外D.C在。O上或

C在OO内

【答案】D

【详解】试题解析：因为。。的半径是10cm,A是圆上一点，所以OA=10cm,

又B是OA的中点，所以BA=5cm.

而BC=5cm,所以点C应在以B为圆心，5cm为半径的。B上.

0B上的点除点A在。O上外，其它的点都在。。内.

故选D.

20.如图，在拉C中，ZACfi=90°.AC=BC,A8=4cm.CO是中线，点E、F

同时从点O出发，以相同的速度分别沿DC、方向移动，当点E到达点C时，运动

停止，直线4E分别与。尸、相交于G、H,则在点E、尸移动过程中，点G移动

路线的长度为（）.

D.旦

C.2n

2

【答案】D

【详解】试题解析：如图,

.CA=CB,ZACB=90,AD=DB.

・・・CD_L4B,

AZADE=ZCDF=90,CD=AD=DB,

在△人。石和4C£>F中，

AD=CD

<"DE=/CDF

DE=DF,

：.AADE^ACDF(SAS),

/.ZDAE-ZDCF,

VZAED=ZCEG,

...NAOE=NCGE=90，

・・・4、C.G、。四点共圆，

，点G的运动轨迹为弧CD,

•••AL=@C,

AC=2厄

：・OA=OC=近,

*：DA=DC,OA=OC,

：.DO±ACt

/.ZDOC=90,

••・点G的运动轨迹的长为驷捶="兀

1802

故选D.

二、填空题

21.如图，点。为半圆的中点，A8是直径，点。是半圆上一点，AC、BD交于点、

【答案】5

【分析】由题意得，人区是直径,则NAZ汨=900,根据勾股定理可得A8=50，

AO*,又根据点。为半圆的直径，得出NOAC=45。，由勾股定理可得AC=5.

2

【详解】解：如图所示，连接。C

:.408=90°,

在心"D8中，AD=\,80=7,

•*-AB=ylAlf+8b2=Vl2+72=572»

・・.AO="

2

•・•点。为半圆的中点,

AZOAC=450,ZA(?C=90°

:.AO=CO=—

2

・•・AC=>IAO2+CO2=5»

故答案为：5.

【点睛】本题考查了圆周角的推论，勾股定理，解题的关键是掌握圆周角的推论.

22.如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形.则“形=

cm*.

8

AB

【答案】4

【分析】由题意求出扇形的弧长，然后根据扇形面积公式求出扇形面积即可.

【详解】•・•扇形周长等于铁丝的长为8扇形的半径是2cm,

二扇形弧长是4加,

S,,,；=—/r=—x4x2=4c/rz2.

a形u22

故答案为：4.

【点睛】此题考查了扇形弧长和面积的求法，解题的关键是熟练掌握扇形弧长和面积

公式.

23.如图，AA8C中，/48=90。,3。=6,47=4,。是47边上的一个动点，过点C

作CE±也）,垂足为E,则AE长的最小值为

CB

【答案】2

【分析】取BC中点F,连接AE、EF.易得点E在以8C长为直径的圆周上上运动,

当点4、E、尸在同一直线上时，AE最短.据此计算即可.

【详解】解：如图，取5c中点凡连接EE

,:CE工BD,ZBFC=90°,

・••点E在以8C长为直径的圆周上上运动，当点A、E、尸在同一直线上时，AE最短.

VC4=4,CB=6,

:・BF=BF=EF=LBC=3,

2

JAF:yjAC2+CF2="2+32=5,

：.AE=AF-EF=5-3=2f

即4E的最小值为2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查了线段最小值，正确理解圆外一点到圆上的最短距离等于点与圆心

连线与圆的交点到点到这点的线段长是解题的关键.

24.如图，OO内接正五边形ABCDE与等边三角形AFG,则NFBC=.

【答案】12。

【分析】连接OA,OB,OF,0C,分别求出正五边形ABCDE和正三角形AFG的中

心角，结合图形计算即可.

【详解】解：连接OA,OB,OF,0C.

A

•・•五边形ABCDE是正五边形,

.,.ZAOB=1x360°=72°,

・•・ZAOC=2x72°=144°,

•••△AFG是正三角形，

，ZAOF=-x360°=120°,

3

JZCOF=ZAOC-ZAOF=144°-120°=24°,

・•・ZFBC=工ZCOF=5x24°=12°.

22

故答案为：12。.

【点睛】本题考查的是正多边形与圆的有关计算和圆周角定理，掌握正多边形的中心

角的计算公式是解题的关键.

25.如图，点4、B在半径为3的。。上，劣弧AB长为则乙4。8=.

【分析】根据弧长公式直接代入计算即可得出结果.

解得：〃二30。,

/4。8=30。，

故答案为：30°.

【点睛】题目主要考查弧长公式的计算，熟练掌握弧长公式是解题关键.

26.如图，R/ZkABC中，NACB=90。，NA=30。，BC=6,D,E分别是A8,AC边的

中点，将△ABC绕点8顺时针旋转60。到△ABC的位置，则整个旋转过程中线段OE

所扫过部分的面积（即图中阴影部分面积）为

,9用

【答案】—

【分析】根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求出A5的长度，再根据勾股定理求

出AC的长度，然后根据中点定义求出。8、CE的长度，再利用勾股定理求出BE的长

度，然后根据旋转变换的性质可得阴影部分的面积等于以BE为半径的扇形面积减去以

DB为半径的扇形的面积，然后列式进行计算即可得解.

【详解】X/品c；

ADB

解：连接BE、BF,如右图所示，

中，ZACB=90°,ZA=30°,BC=6,

：.AB=2BC=12,・MC=6G，

VD,E分别是A5,4c边的中点，

・•・EC=gAC=35BD=BC=gAB=6,

在心△AC上中，根据勾股定埋得：BE=3币,

・•・图中阴影部分面积是：60x冗x（3"）60x冗X一号

3603602

故答案为当.

【点睛】本题考查了扇形的面积计算，直角三角形的性质，旋转变换的性质，观察出

阴影部分的面积的表示是解题的关键.

27.四边形A8co是的内接四边形，ZC=2ZA,则NC的度数为一.

【答案】120。域120度

【分析】根据圆内接四边形对角互补，再结合已知条件求解即可.

【详解】解：四边形ABC。是。的内接四边形，

/.ZC+ZA=180°

QZC=2ZA,

.-.ZC=120°.

故答案为：120。.

【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形对角互补是解答本

题的关键.

28.如图，在RsABC中,ZC=90°,AB=13,AC=5,以点C为圆心r为半径作圆，

如果。C与A8相切，则半径，的值是.

【答案】泽#哈

【分析】作CO_LA8于。，如图，先利用勾股定理计算出8C=12,再利用面积法计算

出CD=给，然后根据切线的性质易得r=CD=2.

【详解】解：作于。，如图，

VZC=90°,4c=5,AB=13,

：.BC=^AB2-AC2=12»

•••gcO・4B=；CB・CA,

.「八5x1260

..CD=----=——,

1313

•・•以C为圆心，「为半径作圆与斜边43相切,

••=8=6B0

竺

豹

4协

0力

13

【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.运用切线的性质

来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决

有关问题.也考查了勾股定理.

29.加图，在OO中，点。在优弧人上，将弧沿"C折叠后刚好经过4B的中点

D,若。0的半径为逐，AB=4,则8c的长是.

【答案】3夜.

【分析】连接。。、AC、DC.OB、0C,作于E,OF±CE^F,利用重径定

理可得ODIAR,则AD=BD二。AR,再根据勾股定理可得OD=1,又由折叠的性质可

得AC=CO所在的圆为等园，则根据圆周角定理得到AC二CD,所以AC=DC,利再根

据等腰三角形的性质可得AE=DE=1,通过证明四边形ODEF为正方形得到

OF=EF=1,最后通过计算CF,得到CE=BE=3,于是得至ljBC=3&..

【详解】解：

连接AC.DC.OB、OC,作于石，OF_LCE于尸，如图,

•J。为AB的中点，

：.AD=BD=^AB=2,

在RS08。中，0D=*-BD，=J（逐了-2?=1,

■:将弧沿BC沿8C折叠后刚好经过4B的中点O.

，弧AC和弧CO所在的圆为等圆，

•*-AC=CD»

A4C-DC,

：,AE=DE=\,

易得四边形ODEF为正方形,

：.OF=EF=i,

在RS0C尸中，CF=y]0C2-0F2=7（^）2-l2=2,

:・CE=CF+EF=2+l=3,

而BE=BD+DE=2+i=3,

:・BC=3垃.

故答案为30.

【点睛】本题考查了折叠的性质，理解折叠前后图形的形状和大小不变、仅仅位置发

生变化是解答本题的关键.

30.如图，AB与。O相切于点B,线段OA与弦BC垂直，垂足为0,A8=8C=2,

则NAQ8二.

【答案】600.

【详解】VOA±BC,BC=2,

；・根据垂径定埋得：BD=^BC=1.

BD1

在RsABD中，sinZA=----=—.

AB2

:.ZA=30°.

TAB与。O相切于点B,

:.ZABO=90°.

ZAOB=60°.

31.如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过点

A（0,4）,3（Y,4）,C（-6,2）.

（1）若该圆弧所在圆的圆心为O,则AO的长为.

（2）该圆弧的长为.

*

X

【答案】26&

【分析】（1）利用网格特点，作BC和AB的垂直平分线.它们的交点为D点，然后

写出D点坐标，然后利用勾股定理计算AD的长即可；

（2）先利用勾股定理的逆定理证明AACD为等腰直角三角形，ZADC=90°,利用弧

长公式得到22丝3叵=&.

180

【详解】解：（1）如图，易知点。的坐标为（-2,0）,

则A£）=在寿=2石・

(2)由U)知4。=26，

即。。的半径为26，

,:AD=CD=2石,AC=用+22=2M，

:.AD2+DC2=AC2,

・・・AA8为直角三角形，NADC的度数为90。.

根据题意得2°四・2石=&,

180

即该圆弧的长为信.

【点睛】本题主要考查圆，扇形等知识的综合应用，掌握确定圆心的方法，即确定出

点D的坐标是解题的关键.

32.如图，已知45是半圆。的直径，C、。是半圆。上的两点，且OD//BC,。。与

AC交于点E,若E是0D中点,,则NC4O=.

【分析】先判定AC垂直平分0D,进而可判定40AD是等边三角形，再由三线合一

即可求出/CAD的度数.

【详解】〈AB是半圆。的直径，

:.ZACB=90°.

,/OD//BC,

：.ZAED=90°.

〈E是OD中点,

AAC垂直平分OD,

AD=OA,

VOA=OD,

.,.△OAD是等边三角形，

・•・ZOAD=60°,

・•・ZCAD=30°.

故答案为：30。.

【点睛】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，线段垂直平分线的判定与性质，以

及等边三角形的判定与性质，熟练掌握圆周角定理、线段垂直平分线的判定与性质是

解答本题的关键.

33.如图，在半径为2cm的扇形纸片4OB中，ZAO8=90°,将其折叠使点8落在点。

处，折痕为。石，则图中阴影部分的面积为cm?

A

EB

【答案】(V3-y)

【分析】连接OD,根据折叠的性质得到OE=《OB,ZDEO=90°,求得NODE=30。,

根据扇形面积公式和三角形面积公式计算即可得到结论.

【详解】解：连接0D,

由题意得：0E=y0B=10D=l,ZOED=90°,

AZODE=30°,ZDOE=60°,

V0D=2,

:，DE=yj22—I2=5/3»

・•・阴影部分的面积S=如2（嗤

Jou13o02J

【点睛】本题考查了扇形面积和三角形面积的计算、翻折变换，正确的作出辅助线确

定阴影部分的面积是利用和或差解决问题是解题的关键.

34.若点。是等腰"RC的外心，且N8OC=60。,底边8C=4,则以BC的边上的高

为•

【答案】4+2后或4-2月

【分析】作连接OA,根据三线合一和垂径定理知A、0、H在同一直线

上，再分为圆心在三角形内部和外部讨论计算.

【详解】解：（1）当圆心在三角形内部时，作OHJ.BC,连接0A,根据三线合一和

垂径定理知A、0、H在同一直线上，如图：

•・,ZBOC=60°,BC=4,

/BOH=ZCOH=30°,BH=HC=2

：,OB=OC=OA=4,OH=2+

A”=AO+OH=4+2百

（2）当圆心在三角形外部时，作OHJLBC,连接HA,根据三线合一和垂径定理知

A、H、0在同一直线上，如图：

VZB（?C=60°,8c=4,

.・・/BOH=ZCOH=30°,BH=HC=2

：・OB=OC=OA=4QH=26

AH=AO—OH=4-26

故答案为：4+26或4-2百

【点睛】本题考查三角形的外接圆，判断A、H、0共线和特殊角的应用是解题关键.

35.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,以B为圆心BC为半径画弧交AD于点

E,如果点F是弧EC的中点，联结FB,那么tanNFBC的值为一.

考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；矩形的性质；圆心角、弧、弦的

关系；解直角三角形.

【答案】

【详解】试题分析:连接CE交BF于H,连接BE,根据矩形的性质求出AB=CD=3,

AD=BC=5=BE,ZA=ZD=90°,根据勾股定理求出AE=4,求出DE=1,根据勾股定理

求出CE,求出CH,解直角三角形求出即可.

解：连接CE交BF于H,连接BE,

四边形ABCD是矩形，AB=3,BC=5,

/.AB=CD=3,AD=BC=5=BE,ZA=ZD=90°,

由勾股定理得：AE=J52-32=4»DE=5-4=1,

由勾股定理得：CET]2+32=7^,

由垂径定理得：CH=EH=*E=手,

在RtaBFC中，由勾股定理得：BH=-k2-

Vio

所以tan/FBC二FC而录9行1

2

故答案为春

0

36.。是-ABC的外心，且N8OC=140,则ZA=；若/是48C的内心,

且N3/C=140,则ZA=

【答案】70100

【分析】根据三角形外心及内心的性质解答即可.

【详解】。是ABC的外心，且NBOC=140,如图所示:

VZBOC=140°,

:,乙27ZBOC=^xl40o=700.

/是的内心，且NWC=140,如图所示:

•••I是△ABC的内心,

ZA=180°-(ZABC+ZACB)=180°-2(ZIBC+ZICB)=180°-2(180c-140°)=100°.

故答案为70。；100。.

【点睛】本题考查了三角形内外心的性质，熟知三角形内外心的性质是解题的关键.

37.冬天的雪是我们的乐园，一次下雪后，小伙伴们堆了一大雪人，准备给雪人制作

一个底面半径为9cm,母线长为30cm的圆锥形礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为

cn?.(结果保留7)

【答案】27M.

【详解】试题分析：S=7trl=9x307t=27(hc(cm2).

考点：圆锥的侧面积计算.

38.已知二。的直径=10cm,8是O。的弦，AEA.CD,垂足为点E,

【分析】如图，作OH_LCD于H,连接AH,延长AH交BF于K,连接OC.证明

AE=FK,利用勾股定理求出OH,再利用三角形的中位线定理求出BK即可解决问

题.

【详解】解：如图，作OH_LCD于H,连接AH,延长AH交BF于K,连接OC.

B

c如

V0H1CD,

/.CH=DH=4(cm),ZCHO=90°,

OH=4OC2-CH2=x152-42=3(cm),

VAE1CD,BF1CD,

・・・AE〃OH〃BF,

VOA=OB,

，EH二FH,

VZAEH=ZKFH=90°,ZAHE=ZFHK,

AAAEH^AKFH(AAS),

・・・AH=HK,AE=FK,

VAO=OB,

AOH=^BK,

ABK=6(cm),

/.BF-AE=BF-FK=BK=6(cm).

故答案为6.

【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线定理，全等三角形的判定

和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.

39.如图，Q/是直角逐BC的内切圆，切点为。、E、F,若AF=10,BE=3,则

的面积为.

【答案】30

【分析】根据切线长定理得出8Z)=3E,AF=AD,CE=CF,设CE=CF=x,根据

勾股定理得出工的值，再利用三角形的面积公式求得“3C的面积即可.

【详解】解：“是直角6/WC的内切圆，且A尸=10,BE=3,

:.BD=BE=3,AF=AD=10.CE=CF,

"8=10+3=13,

设CE=b=x,则BC=3+x,AC=10+x,

222222

在RtZ\4BC中，AC+BC=ABfBP（10+x）+（3+x）=13,

解得x=2或x=T5<0（不符题意，舍去），

.'.CE=2,

.•.8C=5,AC=12,

二,ABC的面积为］AC8C=1X12X5=30,

故答案为：30.

【点睛】本题考查了切线长定理、勾股定理、一元二次方程的应用，熟记切线长定理

是解题的关键.

40.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为1cm的。0,则图中阴影部分的面积为

____cm2（结果保留ri）.

。~、p

【答案】y

O

【分析】根据图形分析可得求阴影部分面积实为求扇形面积，将原图阴影部分面积转

化为扇形面积求解即可.

【详解】解：如图，

连接BO,FO,OA.

由题意得，△OFA,Z^AOB都是等边三角形,

，ZFOA=ZOAB=60°,

，OF〃AB,

/.△OAB的面积=2SFAB的面积,

・••图中阴影部分的面积等于扇形OAB的面积="Ull=mcm2.

3606

故答案为g

0

【点睛】本题考查正多边形与圆、扇形的面积公式、平行线的性质等知识，解题的关

键是学会用转化的扇形思考问题，属于中考常考题型.

三、解答题

41.如图，在边长为4的正方形48co中，以A。为直径作以C为圆心，长

为半径作。C,两圆交于正方形内一点已连CE并延长交4?于立

（1）求证：C尸与相切；

（2）求△8b和直角梯形AOCF的周长之比.

【答案】（1）证明见详解；（2）6：7.

【分析】（1）连接OE、DE,根据等腰三角形性质推出NODE=NOED,ZCDE=

ZCED,推出NOED+NCED=90。，根据切线的判定推出即可；

（2）过F作FM_LDC于M,得出四边形ADMF是矩形，推出AD=FM=4,AF=

DM,求出AF=EF,设AF=EF=x,DM=x,在RsFMC中，由勾股定理得出方程

42+（4-X）2=（4+X）2,求出x的值，即可求出ABCF的周长和直角梯形ADCF的周

长.

【详解】（1）证明：

VOD=OE,CE=CD,

・•・ZODE=ZOED,ZCDE=ZCED,

•・•四边形ABCD是正方形，

AZADC=90°,

・•・NADC=ZODE+NCDE=90。,

・•・NOED+NCED=90。，

即OE_LCF,

VOE为半径，

・・・CF与。O相切.

(2)解：如图：

过F作FM_LDC于M,

•・•四边形ABCD是正方形，

・・・AD=DC=BC=AB=CE=4,ZFAD=ZADM=ZFMD=ZFMC=90°,

・•・四边形ADMF是矩形，

/.AD=FM=4,AF=DM

VZOAF=90°,OA为半径，

；・AF切。O于A,CF切。O于E,

，AF=EF,

设AF=EF=x,DM=x,

在RSFMC中，由勾股定理得：FM2+MC2=CF2,

42+（4-x）2=（4+x）2,

解得：x=l,

AAF=EF=DM=1,

ACF=4+1=5,

:.ABCF的周长是BC+CF+BF=4+5+4T=12,

直角梯形ADCF的周长是AD+DC+CF+AF=4+4+5+l=14,

•••△BCF和直角梯形ADCF的周长之比是12：14=6：7.

【点睛】本题考查了正方形性质，切线的性质和判定，矩形的性质和判定，勾股定理

的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力.

42.已知.•，ABC内接于GO,NB4C的平分线交CO于点D,连接DB,DC.

（1）如图①，当N84C=120时，请直接写出线段AB,AC,AD之间满足的等量关

系式：:

（2）如图②，当N8AC=90时，试探究线段AB,AC,AD之间满足的等量关系，并

证明你的结论；

AD

（3）如图③，若BC=5,BD=4,求/—的值.

A8+AC

DDD

图①图②图③

4

【答案】（1）AB+AC=AD；（2）AB+AC=y/2AD^（3）-

【分析】（1）在AD上截取AE=AB,连接BE,由条件可知△ABE和△BCD都是等边

三角形，可证明△BEDgZXBAC,可得DE=AC,则AB+AOAD；

（2）延长AB至点M,使BM=AC,连接DM,证明△MBD^^ACD,可得

MD=AD,证得AB+AC=Vl4O;

（3）延长AB至点N,使BN=AC,连接DN,证明△NBD@Z\ACD,可得ND二AD,

ANAD

NN=NCAD,证△NADs^CBD,可得"=言，

BCBD

AH

可由AN=AB+AC,求出…，「的值.

AB+AC

【详解】解：（1）如图①在AD上截取AE二AB,连接BE,

D

图①

VZBAC=120°,NBAC的平分线交。O于点D,

AZDBC=ZDAC=60°,ZDCB=ZBAD=60°,

.,.△ABE和^BCD都是等边三角形,

AZDBE=ZABC,AB=BE,BC=BD,

/.△BED^ABAC(SAS),

，DE=AC,

，AD=AE+DE=AB+AC；

故答案为AB+AC=AD.

(2)AB+AC=V2AD.理由如下:

AZMBD=ZACD,

VZBAD=ZCAD=45°,

ABD=CD,

/.△MBD^AACD(SAS),

・・・MD=AD,ZM=ZCAD=45°,

AMD!AD.

，AM=y/2AD，即AB+BM=y/2AD，

r.AB+AC=V2AD；

(3)如图③，延长AB至点N,使BN=AC,连接DN,

,ZNBD=ZACD,

VZBAD=ZCAD,

ABD=CD,

.,.△NBD^AACD（SAS）,

AND=AD,ZN=ZCAD,

AZN=ZNAD=ZDBC=ZDCB,

/.△NAD^ACBD,

.ANAD

•・正一说’

.ADBD

••-----=-----,

ANBC

又AN=AB+BN=AB+AC,BC=5,BD=4,

.ADBD4

**AB+AC~^C~5,

【点睛】本题属于圆的综合题，考查了圆周角定理，全等三角形的判定与性质，相似

三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质等知识，解题的关键是正确作出辅助

线解决问题.

43.如图，在RtAABC中，ZC=90°,BE平分NABC交AC于点E,点D在AB边

上且DEXBE.

（1）判断直线AC与ADBE外接圆的位置关系，并说明理由；

（2）若AD=6,AE=60,求BC的长.

【答案】（1）直线AC与ADBE外接圆相切.（2）BC=4.

【分析】（1）取BD的中点O,连接OE,证明NOEB:NCBE后可得OE_LAC；

（2）设OD=OE=OB=x,利用勾股定理求出x的值，再证明AAOES^ABC,利用线

段比求解.

【详解】（1）直线AC与4DBE外接圆相切.

理由：VDE1BE

・・・8口为4DBE外接圆的直径

取BD的中点O（即^DBE外接圆的圆心），连接OE

AOE=OB

:.ZOEB=ZOBE

〈BE平分NABC

/.ZOBE=ZCBE

:.ZOEB=ZCBE

■:ZCBE+ZCEB=90°

:.ZOEB+ZCEB=90°,即OE1AC

,直线AC与△DBE外接圆相切；

（2）设OD=OE=OB=x

VOE1AC

:.（x+6）2-（672）2=x2

x=3

AAB=AD+OD+OB=12

V