初中数学三角形专题训练50题（含答案）

初中数学三角形专题训练50题含答案

（单选、填空、解答题）

一、单选题

1.如图，已知。O的半径为R，C、D是直径AB的同侧圆周上的两点，AC的度数

为100。，BC=?BD，动点P在线段AB上，则PC+PD的最小值为（）

c.73RD.咨R

2

【答案】C

【分析】作点D关于AB的对称点D\连接CD，与AB的交点即为所求的点P,CD，的

长度为PC+PD的最小长度，求出弧BC的度数，再求出弧BD的度数，从而得到弧

CD，的度数，连接OD,过点O作OE_LCD「然后根据垂径定理求解即可.

【详解】如图，作点D关于AB的对称点D，，连接CD：

由轴对称确定最短路线问题，CD，与AB的交点即为所求的点P,CA的长度为PC+PD

的最小长度，

•・•孤AC的度数为100°,

・••弧BC的度数为180°-100°=80°,

•・•弧BC=2弧BD,

・••孤BD的度数=3'80。=40。，

二弧CD'的度数=80。+40。=120。，

连接OD,过点O作OE_LCD，，

则NCOD，=120。，OE垂直平分CD，,

，CDf=2CE=2x4R=GR.

2

故选C.

【点睛】本题考查了轴对称确定最短路线问题，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握

最短路线的确定方法，找出点P的位置是解题的关键，作出图形更形象直观.

2.如图，在。A8CD中，连接AC,NABC=NC4O=45。，AB=2,则BC的长是

()

2XZ

A.72B.2C.272D.4

【答案】C

【分析】根据平行四边形的性质可得出CD=48=V5、ZZ>ZC4Z>45°,由等角对等

边可得出AC=CD=42，再利用勾股定理即可求出BC的长度.

【详解】解：:四边形ABC。是平行四边形，

：.CD=AB=2,BC=AD,ZD=ZABC=ZCAD=45°,

：.AC=CD=2,ZACD=90°,即AACO是等腰直角三角形，

・・・BC=AD==2y/2.

故选C

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理，根据平行

四边形的性质结合NA6C=NC4>45。，找出△AC。是等腰直角三角形是解题的关键.

3.如图点P是/BAC内一点，PE_LAB于点E,PF_LAC于点F,PE=PF,则直接得

到4PEA^APFA的理由是()

A.HLB.ASAC.AASD.SAS

【答案】A

【详解】解：・・・PE_LAB于点E,PFJLAC于点F,

AZPEA=ZPFA=90o,

VPE=PF,AP=AP,

AAPEA^APFA(HL)；

故选A.

4.如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A在y轴上，已知B(-3,0)、

C(2,0),则点D的坐标为()

A.(4,5)B.(5,4)C.(5,3)D.(4,3)

【答案】B

【分析】首先根据菱形的性质和点的坐标求出AD=AB=BC=5,再利用勾股定理求

出OA的长度，进而得到点D的坐标.

【详解】解：•・•菱形ABCD的顶点A在y轴上，B(-3,0),C(2,0),

，AB=AD=BC,OB=3,OC=2,

/.AB=AD=BC=OB+OC=5,

，AD=AB=CD=5,

，OA=y/AB2-OB2=,52-32=4,

・••点D的坐标为(5,4).

故选：B.

【点睛】本题主要考查菱形的性质及勾股定理，掌握菱形的性质和勾股定理是解题的

关键.

5.适合下列条件的A48C中，是直角三角形的共有()

①a=6,ZA=45°；®ZA=32,N8=58。；@a=2,b=2,c=4；®«=7,

〃=24,c=25.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】根据构成直角三角形三边关系的条件：三角形两条边的平方和等于第三边的

平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角，判定即可.

【详解】①a=6,ZA=45°,不能判定AABC中是直角三角形；

②NA=32。，ZB=58°,ZA+ZB=90°,是直角三角形；

③〃+62=22+2?*/,不能判定MBC中是直角三角形；

④/=7*+(24)2=(252=1,是直角三角形；

故答案为B.

【点睛】此题主要考查构成直角三角形条件的判定，熟练掌握，即可解题.

6.如图，已知四边形ABCO是矩形，点M在上，BM=CD,点N在8上，且

DN=CM,DM与BN交于■点、P,则DM:BN=()

C.6D.2:75

【答案】B

【分析】设BM二CD=a,DN=CM=b,利用勾股定理分别表示出OM与BN的值即可解

答.

【详解】解：BM=CD=a,DN=CM=b,

BC=a+h,NC=a-b,

丁四边形ABC。是矩形，

r.ZDCB=90°,

在Rm0cM和/?/△8CN中，由勾股定理得，

DM=\lDC2+MC2=\la2+b2，

BN=y/BC2+CN2=yl(a+b)2+(a-b)2=近•4a2+b2,

:.DM:BN=1:近，

故选：B.

【点睛】本题考查了矩形的性质和勾股定理等知识，关键是设出相等边，利用勾股定

理表示出所求边.

7.如图，已知正方形的面积为25,且AB比AC大1,BC的长为()

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【分析】根据正方形的面积求出AB长，再求出AC,根据勾股定理求出BC即可.

【详解】•・•正方形的面积为25,

AB=5»

VAB比AC大1,

AAC=5-1=4,

在RSACB中，

BC=ylAB2-AC2=3»

故选A.

【点睛】本题是对勾股定理知道的考查，熟练掌握勾股定理是解决本题的关键.

8.如图，在中，4CB=90。，NA8C=30°,若且点A恰

好落在A4上，则NAC4'的度数为()

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】D

【分析】根据全等三角形的性质可得A，C=AC,从而得到？？A60?,即可求

解.

【详解】解：VZACB=90°,ZA8C=30°,

/.NA=60。,

'：△ABCWAA宣C,

:.A'C=AC,

・・・？A4/？A60?,

/.ZAC4'=60°.

故选：D

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角

形的性质，等腰三角形的性质是解题的关键.

9.如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，Zl=30°,Z2=50°,Z3=()度

1

A.10B.20C.30D.50

【答案】B

【分析】根据两直线平行，同位角相等求出N2的同位角，再根据三角形的一个外角

等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解.

【详解】解：如图：

VZ2=50°,直尺的两边互相平行，

AZ4=Z2=50°,

VZl=30°,

；・N3=N4-Zl=50°-30°=20°.

故选：B.

【点睛】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不

相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键.

10.在“8C中，若N4+NC=90°,则().

A.BC=AB+ACB.AC2=AB2+BC2

C.AB2=AC2+BC2D.BC2=AB2+AC2

【答案】B

【分析】由NA+NC=90。可得NB=90。，于是可确定AC是RsABC的斜边，再根据勾

股定理即得答案.

【详解】解：・・・NA+NC=90。，

ZB=90°,

是RtAA8C的斜边，

/.AC2=AB2+BC1，

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理和三角形的内角和定理，由题意确定AC是A8C的

斜边是解题的关键.

11.如图，直线A8〃CD,A£_LCE于点E,若N£48=140。，则NEC。的度数是

()

A.120°B.130°C.150°D.160°

【答案】B

【分析】延长AE,与DC的延长线交于点尸，根据平行线的性质，求出/AR7的度

数，再利用外角的性质求出凡从而求出NECD.

【详解】解：延长AE,与OC的延长线交于点凡

•:AB"CD,

AZA+Z4FC=180°,

VZE4B=140°,

:.ZAFC=40°,

'：AE±CEt

:.NAEC=90。，

而NAEC=NAFC+NECF,

：.NECF=NAEC-NF=500,

故选：B.

【点睛】本题考查平行线的性质和外角的性质，正确作出辅助线和正确利用平行线的

性质是解题的关键.

12.如图，在JWC中，AB=AC,AO是/BAC的平分线，DE1AB,DFJ.AC,

垂足分别是E、尸，下面给出的四个结论，其中正确的有().

①AO平分NEOF；②他=AF；③A。上的点到。、C两点的距离相等；④到A£、

/V7距离相等的点到。£、。尸的距离也相等.

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】由等腰三角形“三线合一”可知AD_LBC,BD=DC,得到AD上的点到6、C

两点的距离相等,根据角平分线性质定理可知DE=DF,根据HL证直角三角形全等，

得到AE=AF,从而得到AO平分NEZ）尸，即可得出答案.

【详解】解：VAB=AC,是Z8AC的平分线，

AAD±BC,BD=DC,

・・・AO上的点到5、。两点的距离相等，，③正确；

:A。是/84C的平分线，DEJ.AB,DF1AC,

ADE=DF,ZEDA=ZFDA,

•••AD平分NEDF,・••①正确；

在直角AAED和直角AAFD中，

AD=AD

DE=DF

/.△AED^AAFD,

・・・AE=AF,

AAD平分NBAC,

又•・•AO是/B4C的平分线，

.••到AE、AF距离相等的点到DE、。尸的距离也相等，

・・・③、④正确，

故选D.

【点睛】本题考查了全等三角形的证明和性质，角平分线性质，等接三角形的性质的

应用，对条件的合理利用是解题的关键.

13.如图，80、CO分别平分/4BC、N4CB,OD_LBC于点。，00=2,△ABC的周

长为28,则的面积为（）

A

【答案】A

【分析】连接0A,过点。作OE_LAB于点E,作O/_LAC于点凡则由角平分线的

性质定理得：OE=OF=OD=2、再由ABC=S4OAB+SdOBC+SAOQI即可求得结果.

【详解】解：连接。4,过点。作OE_LAB于点E,作OFJLAC于点F,如图

YBO斗分/DBA,OE±AB,OD1BC,

在HOD和△BOE中，

40EB=NODB=9伊

<NOBE=NOBD,

BO=BO

：./\BOD^/\BOE{AAS),

：.OE=OD=2

同理：OF=OD=2

：,OE=OF=OD=2

,**$4ABeS&OAB+S&OBC+S30cA

=-AB^OE+-BC・OD+-ACOF

222

=；(AB+BC+AC)・OO

=-x28x2

2

=28

:，S&wc=28

故选：A.

【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，求三角形的面积等知识，关键是根据条件

构造适合角平分线性质定理条件的辅助线.

14.如图，菱形A6CO的对角线AC与8。相交于点。，AE垂直平分8,垂足为点

E,则44)=()

BC

A.100°B.120°C.135°D.150°

【答案】B

【分析】直接利用线段垂直平分线的性质得出AC二AO,再利用菱形的性质以及等边三

角形的判定与性质得出答案.

【详解】解：TAE垂直且平分边C。，

：.AC=AD,

•・•四边形ABC。是菱形，

：.AD=DCt/ACB二NACD,

・••△ACO是等边三角形，

，ZACD=60°,

AZ5C£>=120o.

：.ZBAD=ZBCD=120°,

故选：B.

【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△AC。是等

边三角形是解题关键.

15.如图中字母A所代表的正方形的面积为()

A.4B.8C.16D.64

【答案】D

【详解】试题分析：根据勾股定理的几何意义解答.

解：根据勾股定理以及正方形的面积公式知：

以直角三角形的两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面

积，

所以A=289-225=64.

故选D.

16.三角形的三边长为小b,C,且满足（a-。）2=/-%分，则这个三角形是（）

A.等边三角形B,钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形

【答案】C

【分析】先利用完全平方公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理即可得.

【详解】由（〃一〃）2=/一2〃〃得：a2—2^ih+b2=c2—2ah>

即cr=c2，

.。也c为三角形的三边长，

・・・这个三角形是直角三角形，

故选：C.

【点睛】本题考查了完全平方公式、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理

是解题关键.

17.如图，△ABC的两边和4c的垂直平分线分别交3C于。，E,若

NBAC+ND4E=150。，则N84C的度数是（）

【答案】B

【分析】根据垂直平分线性质，ZB=ZDAB,NC=NEAC.则有

ZB+ZC+2ZDAE=150°,即180°-ZBAC+2ZDAE=150°,再与NBAC+NDAE=150。

联立解方程组即可.

【详解】:△ABC的两边AB,AC的垂直平分线分别交BC于D,E,

ADA=DB,EA=EC,

AZB=ZDAB,ZC=ZEAC.

VZBAC+ZDAE=150°,①

ZB+ZC+2ZDAE=I5O0.

VZB+ZC+ZBAC=180°,

/.180°-ZBAC+2ZDAE=I50°,

即NBAC-2NDAE=30°.②

ZBAC+ZDAE=150°

由①②组成的方程组

ZBAC-2ZDAE=3O°

解得NBAC=UO0.

故选B.

【点睛】此题考查了线段的垂直平分线、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知

识点，解题的关键是得到NBAC和NDAE的数量关系.

18.如图，在平面直角坐标系中，已知A(-2,4)、P(-1,0),B为)，轴上的动

点，以A8为边构造AABC,使点。在x轴上，ZBAC=90°,M为8c的中点，则PM

4石

Vr-z•-----D.75

5

【分析】作人〃Ly轴，CE_LA",证明△八根据相似三角形的性质得到

AE=2BH,求出点”的坐标，根据两点间的距离公式用x表示出根据二次函数

的性质解答即可.

【详解】解：如图，过点4作AH_Ly轴于H,过点C作CE_LA”于E,则四边形

CE〃O是矩形,

：.0H=CE=4,

*：NBAC=NAHB=NAEC=90。,

••・NAB”+N/MB=90。，NH48+NE4C=90。,

/.NABH=ZEAC,

/.△AHB^ACEA,

.AHBHHH2_BH

ECAE4AE

[AE=2BH,

设BH=x,则AE=2x,

：・OC=HE=2+2x,0B=4-xf

：.B(0,4-x),C(-2-2x,0),

*：BM=CM,

4—x

/.A/(-1-r,------),

2

VP(-1,0),

...PM="?=GTY，

・・.PM最小值为患=牛，

故选：C.

【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、两点间距离公式、二次函数的性质，正

确添加辅助线、掌握二次函数的性质、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关

键.

19.如图，在“3C和V4)E中，ZCAB=ZDAE=36°,AB=AC,AD=AE.连接

CD,连接8E并延长交AC,于点凡G.若BE恰好平分/ABC,则下列结论错误

的是（）

C.DE=GE

D.BF2=CFAC

【答案】c

【分析】根据a1S即可证明再利用全等三角形的性质以及等腰三角

形的性质，结合相似三角形的判定和性质，即可一一判断

【详解】AB=AC,AD=AE,XCA8=ZDAE=36°

:.ZDAC=ZEAB

AZMC^AEAB

:.ZADC=ZAEB,故选项A正确；

AB=AC^CAB=36°

ZABC=ZACB=72°

跖平分N43C

ZABE=4CBF=-ZABC=36°

2

△mC^AEAB

.\ZACD=ZABE=36°

.-.ZACD=ZCAB

S.CD//AB,故选项B正确；

AD=AE,ZDAE=36°

ZADE=72°

ZDGE=ZDAE+ZEAB+ZABE=72°+ZEAB

即ZADEwNDGE

:.DEwGE,故选项C错误；

ZABC=NAC8=72°,NCAB=NCBF=36°

ZCFB=12°

:.BC=BF

.\A4BC^ABFC

BFCF

VAB=AC

BFCF

"~AC~~BF

BF:CFAC，故选项D正确；

故答案选：C.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，相似三角

形的判定和性质，平行线的判定，能利用全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的

性质是解题关键.

20.如图，在即448C中，NACB=90。，点。是4B边的中点，过。作OE_LBC于点

E，点夕是边8c上的一个动点，A尸与C。相交于点Q.当AP+P0的值最小时，AQ

与PQ之间的数量关系是（）

Q

B.AQ=3PQC.AQ=-PQD.AQ=4PQ

【答案】B

【分析】作点4关于BC的对称点A,连接AT）交8C于点P,此时以+尸及最小.作

OA/〃8C交AC于M,交以于N,利用平行线的性质A2NP,利用全等三角形证明

NQ=PQ,即可解决问题.

【详解】如图，作点A关于8c的对称点4、连接4。交8c于点P,此时用+P。最

小.作交AC丁”，交乃1丁M

A

NACB=NDEB=90。,

:.DE"AC,

•・・NACB=90。，点。是A8边的中点

AD=DB=DC,

DELBC

：.CE=EB,

:.DE为色铝C的中位线

：,DE=^AC=^CA\

■:DEI心,

:,EP：PC=DE：C4=g,

■:DM//BC,AD=DB,

ADAM,

BDMC

同理，AN=NP,

:・DM=；BC=CE=EB,MN《PC，

:.MN=PE,ND=PC,

在AONQ和ACP。中，

ZNDQ=NQCP

•Z.NQD=NPQC,

DN=PC

9△CP。，

:・NQ=PQ,

,:AN=NP,

：.AQ=3PQ

故选：B.

【点睛】本题考查轴对称最短问题、全等三角形的判定和性质、平行线分线段成比例

定理等知识，解题的关键是利用对称找到点P位置，熟练掌握平行线的性质，属于中

考常考题型.解两条线段之和最小（短）类问题，一般是运用轴对称变换将处于直线

同侧的点转化为直线异侧的点，从而把两条线段的位置关系转换，再根据两点之间线

段最短来确定方案，使两条线段之和转化为一条线段.

二、填空题

21.在RsABC中，ZC=90°,若。=6,6=8,则c=.

【答案】10

【详解】根据勾股定理。2=々2+〃=36+64=100

c为三角形边长，故c=10.

22.在半径为5的圆中，弧所对的圆心角为90。，则弧所对的弦长是.

【答案】572

【分析】根据题意画出图形，再根据勾股定理计算即可.

【详解】解：依题意画图如在，48是。O的一条弦，连接OA,。&则OA=OB=5,

NAO8=90。，

则有AB=yJOA'+OB2=收+5?=而=5&

所以本题的正确答案应为5夜.

B

【点睛】本题考查利用半径和圆心角求弦长，难度不大，掌握勾股定理是解题的关

键.

23.在.ABC中，AB=ACfC。是A8边上的高，ZACD=40°,则28的度数为

【答案】65。或25。

【分析】分两种情况：当。在线段A8上时，根据题意，得出43=90。，再根据三

角形的内角和定理，得出NA=50。，再根据等边对等角，得出NB=NAC3,再根据三

角形的内角和定理，计算即可得出上6的度数；当£＞在线段的延K线上时，根据题

意，得出NADC=90。，再根据三角形的内角和定理，得出乙4=50°,再根据等边对等

角，得出4=NACB,再根据三角形的外角的性质，计算即可得出N8的度数，综合

即可得出答案.

【详解】解：如图，当O在线段A8上时，

•・・C。是A8边上的高，

JZADC=90。，

又,:ZACD=40°,

/.ZA=1800-90o-40o=50°,

VAB=AC,

NB=ZACB,

・•・2NB=180o-Z4=180°-50o=130°,

・•・ZB=65。：

如图，当。在线段班的延长线上时，

D

A

•••CD是48边上的高，

/.ZADC=90°f

又•；ZACD=40°,

ZZMC=180o-90o-40o=50°,

AB=AC,

：.ZB=ZACB,

又,:NDAC=NB+ZACB=2NB,

J2ZB=50°,

:.ZB=25°,

综上所述，NB的度数为65。或25。.

故答案为：65。或25。.

【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、等边对等角、三角形的外角的性质，解本

题的关键在熟练掌握相关的性质定理，分类讨论.

24.如图，分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作

一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为4,

则勒洛三角形的周长为：.

【答案】4乃

【分析】首先根据等边三角形的性质得出NA=N8=NC=60。，AB=BC=CA=4,再

AO万x4

利用弧长公式求出AB的长=BC的长=CA的长=，然后计算勒洛三角形的周长

loU

即可.

【详解】解：如图，

A

「△ABC是等边三角形，

■ZA=Z.B=NC=60°,AB=BC=CA=4,

.Ml/M,IZM,IZ60乃x44万

・・48的长=8C的长二CA的长;[QC-二刀-，

1OVJ

工勒洛三角形的周长为m4/7x3=4;r.

故答案为：44.

【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质和弧K的计算公式，熟记弧K计算公式是

解此题的关键.

25.边长为2的等边三角形的高与它的边长的比值为.

【答案】2

2

【分析】根据等边三角形的性质即可得出.

【详解】解：「等边三角形的边长是2,根据等腰三角形的三线合一，得底边上的高

也是底边上的中线，

，底边的一半是1.

根据勾股定理，得底边上的高是"7=6.

所以高与边长的比的比值是正,

2

故答案为：立.

2

【点睛】本题考查了比例线段以及等边三角形的性质.熟练掌握等边三角形的性质以

及灵活运用勾股定理，是解题的关键.

26.在RSABC中，ZC=90°,ZA=30°,BC=2,则AC=.

【答案】26

【分析】根据30。角所对的直角边等于斜边的一半求出BC与AB的关系从而得解.

【详解】如图，・・・NC=90。,ZA=30°,BC=2,

/.AB=BC=4

：•AC=y]AB2-BC2=26.

故答案为：273.

【点睛】本题主要考查了30。角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记性质是解

题的关键，作出图形更形象直观.

27.如图，在四边形A8CO中，ZA=90°,AD=AB=2,=CD=V10.则

【答案】1350##135度

【分析】如图连接BQ,ZABD=ZADB=45°t勾股定理知80的长，BC、BD、CD三

边满足勾股定理，知NQBC=90),进而求出N4BC的值即可.

【详解】解：如图连接用九

C

VZ4=90°,AD=AB=2

・・・NA8D=NAOB=45。，BD=j£+2,=2&

VBC=72,CD=V10

•••BG+BD2：(V2)2+(272)2=(V10)2=C3

•••△OBC是直角三角形

:./DBC=90°

JZABC=ZABD+ZDBC=45°+90°=135°

・・・N48C的度数是135°.

故答案为：135。

【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及勾股定理的逆定理；解题的关

键在于用勾股定理的逆定理说明三角形为直角三角形.

28.如图，在OO中，弦BC=2,点A是圆上一点，且NB4C=30°,则OO的半径是

【分析】连接OB,0C,先由圆周角定理求出/80C的度数，再由08=0C判断出

力OC是等边三角形，故可得出结论.

0C,

AZBOC=2ZfiAC=60°,

•：OB=OC,

・•・8OC是等边三角形,

：,OB=BC=2.

故答案为：2

【点睛】本题考查了圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的

关键.

29.如果等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm,那么它的周长笔于

【答案】25

【分析】分5cm为腰和10cm为腰，两种情况求解.

【详解】解：因为等腰三角形的两边长分别为5cm和10cm,

当腰长为5cm时，三边长分别为5cm,5cm,10cm,

因为5+5=10,

所以三角形不存在；

当腰长为10cm时，三边长分别为5cm,10cm,10cm,

因为5+10>10,

所以三角形存在；

所以三角形的周长为5+10+10=25(cm),

故答案为：25.

【点睛】本题考查了等腰三角形周长的分类计算，正确进行分类和判定三角形的存在

性是解题的关键.

30.等腰三角形的一边长为3,周长为15,则该三角形的腰长是.

【答案】6

【分析】分别从腰长为3与底边长为3,去分析求解即可•求得答案.

【详解】解：若腰长为3,则底边长为：15-3-3=9,

V3+3<9,

・•・不能组成三角形，舍去；

若底边长为3,则腰长为：罟=6：

.••该等腰三角形的腰长为：6.

故答案为：6.

【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系.注意分别从腰长为3

与底边长为3去分析求解是关键.

31.如图，€)。的半径为5cm,"BC内接于。0,BC=5cm,则的度数为

o・

B

【答案】30

【分析】连接。昆OC,锐角三角形A8C内接于。。，根据。。的半径为5cm,BC=

5cm,可得AOBC是等边三角形，根据圆周角定理即可得到NA的度数.

【详解】解：如图，连接OB,OC,锐角三角形ABC内接于。O,

•・・。0的半径为5cm,8c=5cm,

OB=OC=BC=5cm,

•••△O5C是等边三角形,

・・・N8OC=60。，

JZA=-ZBOC=30°,

2

:.NA的度数为30。，

故答案为：30.

【点睛】本题考查了圆周角定理，解决问题的关键是熟练掌握同弧圆周角等于圆心角

的一半.

32.如图，AD.AE分别是△ABC的角平分线和高，N8=60。，NC=70。，则

ZEAD=.

【答案】5°

【分析】根据角平分线的性质及三角形内角和定理进行求解.

【详解】解：由题意可知，ZB=60°,ZC=70°,

所以44=180-130=50。，

所以NB40=25。，

在三角形BAE中，N84E=90—60=30。，

所以NE4D=5。

故答案为：5°.

【点睛】本题属于对角平分线和角度基本知识，解题的关键是进行变换求解.

33.如图，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别在边AB、BC

上,且NEOF=90°,则S四边影OEBF:SiE方形ABCD=.

【答案】1:4

【分析】可以先求证△AEOgZSBFO,得出AE=BF,则BE=CF,那么求四边形OEBF

的面积=ZkABO的面积.于是得到结论.

【详解】•・•四边形ABCD是正方形

/.OA=OB,ZEAO=ZFBO=45°

又・・・NAOE+NEOB=90。，ZBOF+ZEOB=90°

AZAOE=ZBOF,

在AAOE与ABOF中,

2A0E=NBOF

<04=08,

N0AE=N0BF

•••△AEO丝△BFO,

AAE=BF,

ABE=CF,

・'・S四边形OEBF=SAAOB,

：•S四边形OEBF：SiE方彩ABCD=".

4

故答案是：y.

【点睛】考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质是解

题的关键.

34.图1是一个闭合时的夹子，图2是该夹子的主视示意图，夹子两边为AC,BD

（点A与点B重合），点0是夹子转轴位置，OE_LAC于点E,0F1B。于点尸，

OE=OF=\cm,AC=BD=6cm,CE=DF,CE:AE=2:3.按图示方式用手指按夹子，夹子

两边绕点0转动.

（1）当E,厂两点的距离最大值时，以点A,B,C,。为顶点的四边形的周长是

（2）当夹子的开口最大（点C与点。重合）时，A,B两点的距离为cm.

【答案】16—

【分析】（1）当E、O、F三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形ABCD

是矩形，可得AB=CD=EF=2cm,根据矩形的性质求出周长即可.

（2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接OC并延长交AB于点H,可得

12

CH±AB,AH=BH,利用已知先求出龙二六,加，在R^OEF中利用勾股定理求出

5

CO的长，由sinN比0=空=?,求出AH,从而求出AB=2AH的长.

COAAC

【详解】（1）当E、0、F三点共线时，E、F两点间的距离最大，此时四边形ABCD

是矩形，

AAB=CD=EF=2cm,

工以点4,B,C,。为顶点的四边形的周长为2+6+2+6=I6cm.

（2）当夹子的开口最大（点C与D重合）时，连接OC并延长交AB于点H,

：.CH±AB,AH=BH,

VAC=BD=6cm,CE：AE=2：3,

.”12

..CE=—cm,

5

在RtAOEF中，Q?=ylOE2+CE2=—,

5

30

vsinZ,.ErCeOc=——OE=A-H----,AH=—,

COAAC13

~60

.-.AB=2AH=—.

故答案为16,.

【点睛】本题主要考查了勾股定理与旋转的结合，做题时准确理解题意利用己知的直

角三角形进行求解是解题的关键.

35.如图，直线L】、Lz、L3分别过正方形ABCD的三个顶点A、D、C,且相互平

行，若Li、L2的距离为1,L2、L3的距离为2,则正方形的边长为.

【答案】逐

【分析】如图，过D作£尸，乙于D,交。于E,交“于F,根据平行的性质可得

EF±Li,EF±L3,再由同角的余角相等可得NC0尸=NDAE,即可证明

，,AE阻DFC,从而可得力E=C产=1,4£：=/）/=2,根据勾股定理即可求出AD的长

度.

【详解】如图，过D作用产I（于D,交。于E,交4于F

VRL111k

：.EFLL^EFLL.

:.由同角的余角相等可得4CDF=NDAE

,:AD=CD,^AED=ZCFD=90°

A^AED^^DFC

：.DE=CF=\,AE=DF=2

2

・•・AD=JAE'ED=x/F+F=45

故答案为：s/s.

【点睛】本题考查了正方形与平行线的问题，掌握平行线的性质、全等三角形的性质

以及判定定理、勾股定理是解题的关键.

36.正方形ABC。中.E是AD边中点.连接CE.作N8CE的平分线交AB于点

F.则以下结论：®ZECD=30°.②△BCF的外接圆经过点E；③四边形AFCO的面积

是ABC/面积的逐倍；④处=垦1.其中正确的结论有.（请填写所有正确

AB2

结论的序号）

【答案】③④##④③

【分析】由特殊角的三角函数值可判断结论①的正误；由直径所对的圆周角为直角，

利用勾股定理可判断结论②的正误；设AF=a,作阳_LCE,由角平分线的性质求得

直角三角形EFG的各边长，再由勾股定理求得。的值，进而可判断结论③、④的正

误.

【详解】解：如图，设正方形的边长为2,则DE=1

D

・・・tan”加”，立

CD23

AZECD^30°,故结论①错误;

△次才的外接圆以CP为直径，若点七在该外接圆上，则△(7所为直角三角形，必有

设A尸二小则肝=V77T,FB=2-a,CF=7（2-«）：+2J

,**CE=ylDE2+CD1=y/5

：.CF^EF+CE

・••点七不在该外接圆上，故结论②错误;

作FG_LCE于点G,Ye尸为NBCE的平分线

:•有FG=FB,易证-BCFDGCF

:・CG=BC,EG=4S-2

在直角三角形EFG中,有EF2=反;2+FG2即"+1=(石-2)'+(2-4

解得a=3-不

工四边形4%■。的面积S=jAF+CD)x4D=5-百

三角形BC尸的面积S：=gsCxe=岔一1

s

:・々=后,故结论③正确；

・・・竺=更二1,故结论④正确；

AB2

综上所述，正确的结论有：③④.

【点睛】本题考查勾股定理、特殊角的三角函数值、正方形的性质、直径所对圆周角

是直角，熟练掌握相关知识是解题的关键.

37.菱形A8CO中，AD=4tZDAB=60°,E、F、G、”分别是AD、AB、BC、CD

上的点，且DH=FB,DE=BG,当四边形EFG”为正方形时，DH=.

DH

E

【答案】26-2

【分析】过点E作A8的垂线分别交AB于N、交延长线于何，先证明

AEMHgAFNE得EM=NF,EN=MH,设用勾股定理表示OH=

-瓜-x，CH=AF=2…®,由OH+C"=4求出斯算出即可.

【详解】解：过点E作AB的垂线分别交A8于N、交CO延长线于M,如图,

则NEN/=NM=90。，

•・•四边形EFG”为正方形,

；・EH=EF,NHEF=90。,

,ZMEH+ZNEF=90°,

,:NNEF+NEFN=90。,

:.NMEH=NEFN,

在^EMH与八FNE中,

NM=NENF

-NMEH=NEFN,

EH=EF

:.REMH@4FNE(AAS),

:.EM=NF,EN=MH,

设MD=x,

在菱形ABC。中，AD=4,NOAB=60。,

/.NADM=30。，

：.MD=^DE,

：.DE=2x,

EM==底,

：.AE=4-2x,AN=-AE=2-x,NF=EM=底,

2

：,EN=JAE?-AN?=百(2-x)，

AHM=EN=y/3(2-x)tDH=MH-MD=®2-x)-x,

,AF=AN+NF=2-x+&,

*：AB=CD,BF=DH,

*.AF=CH=2-x+\/3x，

■:DH+CH=4,

-73(2-x)-x+2-x+>/3x=4:

解得：x=>J3—1>

:.DH=2/-2,

故答案为：26-2.

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，30。所对的直角边是斜边的一半，全等三角形的

判定与性质，勾股定理，作出辑助线MN构造全等三角形是解题的关键.

38.已知菱形ABCD中，AC=6cm,BD=4cm.若以BD为边作正方形BDEF,则

AF=_cm.

【答案】逐或屈

【详解】以BD为边作正方形BDEF分两种情况：

①如图1,正方形BDEF在点A一侧时，延长CA交EF于点M.

•・•四边形ABCD为菱形，AC=6cm,BD=4cm,

/.OB=2cm，OA=3cm.

丁四边形BDEF为正方形，

.\FM=B0=2cm,AM=DE-OA=lcm,

•**AF=V22+l2=yf5cm；

②如图2,正方形BDEF在点（：一侧时，延长AC交EF于点N,

•・•四边形ABCD为菱形，AC=6cm,BD=4cm,

/.0B=2cm,OA=3cm.

•・•四边形BDEF为正方形，

/.FN=BO=2cm,AN=DE+OA=7cm,

：•AF=722+72=753cm.

故答案为石或庖.

点睛：本题考查了菱形的性质、正方形的性质、勾股定理，主要利用了菱形的对角线

互相垂直平分，难点在于分情况讨论并作辅助线构造出直角三角形，作出图形更形象

直观.

39.如图，正方形A8CD中，AB=2,AC,BD交于点0.若E,尸分别是边A3,

上的动点，且OE_LOF,则AOEF周长的最小值是.

【答案】2+0

【分析】根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO,ZAOB=90%对角线平

分一组对角可得NOAE=NOBF,再根据AE=BF,然后利用“SAS”证明AAOE和ABOF

全等，根据全等三角形对应角相等可得NAOE=NBOF,可得NEOF=90。，然后利用勾

股定理列式计算即可得解.

【详解】解：在正方形ABCD中，AO=BO,ZAOB=90°,ZOAE=ZOBF=45°,

•・•点E、F的速度相等，

AAE=BF,

在AAOE和ABOF中，

OA=BO

<NOAE=NOBF,

AE=BF

AAAOE^ABOF(SAS),

.\ZAOE=ZBOF,

・•・ZAOE+ZBOE=90°,

/.ZBOF+ZBOE=90o,

JZEOF=90°,

在RsBEF中，设AE二x,则BF=x,BE=2-x,

EF=4BE?+BF?=7(2-X)2+X2=72(x-l)2+2.

.•.当x=l时，EF有最小值为近.

.*.OE=OF=1.

・•・2XOEF周长的最小值=2+&.

故答案为：2+应.

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性

质，熟记正方形的性质，求出三角形全等的条件是解题的关键.

40.如图，在平行四边形45CQ中，AC=3cm,ACLCD,。。是

△AB。的外接圆，则48的弦心距等于cm.

【答案】^##11

66

【分析】设AC、3。的交点为G,作圆的直径AN,连接8N,过点。作0〃_LA5于点

F,过点。作CMJ_8。于点M,利用勾股定理计算。C,利用三角函数计算GM,

CM

MC,根据tanZ4D3=tanNO8C=tan/AN3=——，计算8M利用垂径定理，三角

BM

形中位线定理求得OF.

【详解】解：设AC、BD的交点为G,

•・•平行四边形A8CO中，AC=3;BD=y/13,AC±CD,

[DG=>BD=叵,CG=-AC=-t

2222

AB=CD=1,NADB=NCBD,

过点C作。河_15。于点知

ono,

.・.CA/=CGsin/DGC=-x-==—713,

271513

339

G^=CGcosZDGC=-x-^==—Vl3,

2V1326

・•・BM=BG+GM=叵+上如=»屈,

22613

AtanZCBD=—=—,

BM11

作直径4N,连接BN,过点。作。尸_LA3,

贝lj：ZABN=90°,ZANB=ZADB,

:.B/V=AB-tanZCBD=lx—=—

33

：.OF=-BN=—

26

故答案为：U

6

【点睛】本题考查了圆的性质，勾股定理，垂径定理，三角形中位线定理，平行四边

形的性质，三角函数的综合运用，熟练掌握圆的性质，灵活运用三角函数是解题的关

键.

三、解答题

41.如图，AD//BC,N8AC=70。，DE_L4c于点E,ZD=20°.

(1)求N8的度数，并判断△ABC的形状；

(2)若延长线段OE恰好过点B,试说明OB是N4BC的平分线.

【答案】(1)△ABC是等腰三角形，NB=40。；(2)见解析.

【详解】分析：(1)、根据RSADE的内角和得出/DAC=70。，根据平行线的性质得

出NC=70。，从而根据有两个角相等的三角形是等腰三角形得出答案；(2)、根据等腰

三角形底边上的三线合一定理得出D