教学课件-《简明线性代数》

§1.3逆矩阵第一章矩阵与行列式§1.1矩阵及其运算§1.2行列式§1.4矩阵分块法二、矩阵的乘法运算§1.1矩阵及其运算

一、矩阵及其线性运算三、矩阵的转置运算

用粗体大写字母表示矩阵,以上矩阵记为

A

(aij).m

n

矩阵

aij:矩阵的第i

行第j列的元素,简称(i,j)元.一、矩阵及其线性运算

由m

n个数aij(i

1,2,,m;j1,2,,n)排成的m

行n

列的矩形数表称为m

n矩阵,矩阵是一个整体,总是加一括号.

当标明矩阵

A

的行列数时,表示为Am

n,或(aij)m

n.并称m

n为矩阵的型.

相等矩阵

设A=(aij)与B=(bij)都是m

n矩阵,如果那么称矩阵A

与矩阵B

相等,记为

A=B.

零矩阵

所有元素为0的矩阵称为零矩阵,用

O

记之.注:不同型的零矩阵是不相等的.

只有一行(列)的矩阵称为行(列)矩阵或行(列)向量.

为避免元素间的混淆,行矩阵A

(a1

a2

an)也记为(2)数与矩阵的乘积(数乘运算)

矩阵的加法与数乘两种运算统称为矩阵的线性运算.

线性运算律

设A,B,C

为同型矩阵,k,l为数,则成立

矩阵的线性运算

设A=(aij)和B=(bij)是m

n

矩阵,k

为数.(1)矩阵的加法运算矩阵的减法A

的负矩阵

A(1)A例1设A+2B

-C=O,其中解求x,y,u,v

的值.解得由A+2B

-C=O,得二、矩阵的乘法运算

设有从变元x1,

,xn

到变元

y1,

,ym

的线性变换记称矩阵A

为线性变换的系数矩阵.

设有两个线性变换将(2)代入(1)得线性变换其中推导:

两矩阵的乘积

设有两个线性变换将(2)代入(1)得线性变换其中

线性变换(1)-(3)的系数矩阵依次记为A,B,C,定义C=

AB.

设A=(aik)m

l,B=(bkj)l

n,记称矩阵C=(cij)m

n为矩阵A

与B

的乘积,记为C=

AB.

两矩阵的乘积

设A=(aik)m

l,B=(bkj)l

n,记称矩阵C=(cij)m

n为矩阵A

与B

的乘积,记为C=

AB.

AB

中的(i,j)元为A

的第i

行与B

的第

j

列的乘积.

乘积AB

存在时,要求

A

的列数与B

的行数相等.

很可能AB

有意义,而BA

没有意义.

零矩阵的运算性质例2计算解解例3设计算AB,BA.

矩阵的乘法不满足交换律.

在AB

中,称用

A

左乘B,或称用B

右乘A.

由AB=O,不能断言A=O

或B=O.

乘法运算律

假设以下有关运算可行,则成立(1)(2)(3)

线性变换可写成矩阵形式利用矩阵乘法,上式记为矩阵形式

y=Ax,其中

线性方程组可记为矩阵形式

Ax=b,其中当b0时,称方程组为非齐次的.当b=0时,称方程组为齐次的;称矩阵A为线性方程组的系数矩阵.称矩阵为线性方程组的增广矩阵.例4已知两个线性变换解求从x1,x2,x3

到z1,z2,z3

的线性变换.所求为n

阶方阵

行数和列数都等于n

的矩阵称为

n

阶方阵.

当标明方阵

A

的阶数时,用An

表示.

三角矩阵上三角[矩]阵

上(下)三角阵的乘积也是上(下)三角阵下三角[矩]阵

对角矩阵

单位矩阵(单位矩阵也用I

记之)

单位矩阵的运算性质

对角阵的运算性质

方阵的幂

设A

是方阵,由k

个

A

组成的乘积

A

A,称为方阵A

的k

次幂,记为Ak.规定A0=

E.

方阵幂的性质

当方阵A与

B可交换(AB=BA)时,有下列几个公式:(1)(2)(3)

对角阵的幂解先计算低次幂,观察特点.例5设求An.假设因此则解1因此例6设

求An.

解2假设则解其中例7设求An.

因aE与B

可交换,于是

>>>

>>>

转置矩阵三、矩阵的转置运算

把矩阵

A

的各行作为相同序号的列,形成矩阵B,称矩阵B

为矩阵A的转置矩阵,记为AT

或A

.

例如,设矩阵则矩阵A的转置矩阵为试观察矩阵A有何特点?——3阶幻方>>>

转置运算的性质(1)(2)(3)(4)(4)的证明设记则于是所以D

=

CT,即(穿脱律)

对称矩阵

设A

为方阵,若AT

=

A,则称A

为对称矩阵.

反对称矩阵

设A

为方阵,若AT

=

-A,则称A

为反对称矩阵.

任一方阵都可表示为一个对称阵与一个反对称阵之和.证明设A

为方阵,因为所以B

为对称阵,而C为反对称阵,记且有A

=

B

C.作业

习题1-1例7设求An.

当方阵A与

B可交换(AB=BA)时,有下列几个公式:(1)(2)(3)5阶幻方

§1.2行列式

二、n

阶行列式的定义一、二阶和三阶行列式三、行列式的性质四、行列式值的计算五、行列式乘法定理

设有二元线性方程组一、二阶和三阶行列式①②①

a22-②

a12

消去x2,②

a11-①

a21

消去x1

得

二阶行列式记——Cramer法则方程组的解为当系数行列式

D

0时,②

a32

-③

a22

消去x2,

设有三元线性方程组①②③④⑤①(a22a33-a23a32)-⑤

a12

+

④

a13

消去x2,x3

得

三阶行列式②

a33

-③

a23

消去x3

得记

三阶行列式当D

0时,

设有三元线性方程组——Cramer法则

三阶行列式对角线法则例1

解关于变量

l

的方程解原方程的解为

>>>记方程左边的行列式为D(l),则

三阶行列式按行列展开

行和等于D

观察:对换D的第1,2行;对换D的第2,3行.结果:D

的值反号.

列和等于D

三阶行列式按行列展开

行和等于D

对

3阶矩阵A=(aij),删去其第i行及第

j

列后得到一个2阶行列式,称此行列式为元素aij

的余子式,记为Mij.

三阶行列式按行列展开

称(-1)i+j

Mij

为元素aij

的代数余子式,记为

Aij.

对

3阶矩阵A=(aij),记其行列式为|A|(=D),则(按第

j列展开)(按第

i行展开)

行和等于D

列和等于D

称(-1)i+j

Mij

为元素aij

的代数余子式,记为

Aij.

假设n-1阶行列式已定义.对

n

阶矩阵A=(aij),删去其第i行及第

j

列后得到一个n-1阶行列式,称此行列式为元素aij

的余子式,记为Mij.

n

阶方阵A

的行列式记为detA(或|A|),定义为

n

阶行列式|A|完全展开后是一个代数和式,共有n!项,每一项由方阵A中不同行不同列的n

个元素的乘积构成,带有确定的正负号.二、n

阶行列式的定义对计算更有好处.

将n

阶行列式detA记为

n

阶行列式|A|完全展开后是一个代数和式,共有n!项,每一项由方阵A中不同行不同列的n

个元素的乘积构成,带有确定的正负号.

对角线法则只适用于二、三阶行列式提问:>>>

三阶行列式对角线法则提示:Laplace[按行列展开]定理

行列式等于任一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和:>>>例2

计算n阶上三角行列式

解

上(下)三角行列式之值等于其对角元素的乘积.例3计算行列式解按第1列展开得三、行列式的性质性质1

行列式detA

与它的转置行列式

detAT

相等.例如:提示:用数学归纳法证明.

将|A

|按第1行展开,而|AT|按第1列展开.注:由该性质可知,以下对行而言的性质,对列也成立.性质2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.推论1有一行元素全为零的行列式值为零.推论2

设A

为n

阶矩阵,则det(kA)=

kndetA.性质3若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.例如:提示:按第2行展开.例如:提示:按第2行展开.性质4对换两行,行列式值反号.例如:

四阶行列式对换第2,3行.

对换相邻两行,行列式值反号.证明设对换n

阶行列式D=det(aij)的第r,r+1行而得D1.记D

的余子式为Mij,则D1

的第r

+1行及其余子式分别为D

的第r行及其余子式.由Laplace定理,D1按第r

+1行展开,而

D按第r

行展开,得性质4对换两行,行列式值反号.

对换相邻两行,行列式值反号.

对换任意两行,行列式值反号.提示:行标变化:k-1次相邻对换k次相邻对换对换第r,r+k行推论有两行全同的行列式,其值为零.性质5若有两行元素对应成比例,则行列式值为零.性质6

把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.例如:提示:对换行列式D

全同的两行得D=-

D.提示:性质4对换两行,行列式值反号.证明

左式例4

证明=

右式四、行列式值的计算(2)利用Laplace定理的降阶法.(1)化为上(下)三角形行列式的所谓化三角形法;

行列式值的计算,基本上就是利用行列式的性质,逐步简化行列式的结构.

为了便于检查,引进以下记号:

用ri

↔rj

表示对换第i,j行;

用kri

表示第i行乘以非零数

k;

用rj

kri

表示把第i

行的k

倍加到第j行.

用

ci

表示第

i

列,有相仿的记号.

主要方法有两个:>>>解1(化上三角形法)例5

计算行列式解2(降阶法)例5

计算行列式注:利用行列式的性质,想方设法将某一行(列)变出尽可能多的0,再按该行(列)展开,使行列式的阶数降低.

对于整数为元素的数字行列式,找出(或变出)1,将其所在行(列)的其它元素化为0,再按该行(列)展开而降阶.例6

计算行列式解(特点是行和相等)解例7计算行列式例8

计算

n

阶Vandermonde行列式

解按第

n列展开,第

i列提取公因式xi-xn(i=1,…,n-1),得递推公式:由V2=

x2-x1

及递推公式,得证明经若干次行变换ri+krj

将|A|,|B|化为上三角行列式:在相同的变换下

设A,B都是方阵,则五、行列式乘法定理证明

行列式乘法定理

设A,B

为n

阶方阵,则|AB|=|A|

|B|.以2阶方阵为例证之.作业

习题1-2

韦达定理设n

次多项式的n

个根为

x1,x2,,xn,则有下列关系式:提示:例如3次多项式

3

-12

2

+21

-10的整数根只能是经验证

1

=1是其根.

韦达定理设n

次多项式的n

个根为

x1,x2,,xn,则有下列关系式:多项式除法:

n

阶矩阵A

的行列式可定义为其中和式对1,2,

,n

的所有全排列

p1

p2

pn

求和.

其中ti

为pi+1

pn(p1

pi-1)中小(大)于pi

的数的个数.

逆序数

三阶行列式对角线法则例在四阶行列式detA中,含a14a22a31a43的项取___号.解1其逆序数为a14a22a31a43的列标排列为4213,或+因此含

a14a22a31a43的项取正号.

n

阶矩阵A

的行列式可定义为其中和式对1,2,

,n

的所有全排列

p1

p2

pn

求和.

其中ti

为pi+1

pn(p1

pi-1)中小(大)于pi

的数的个数.

逆序数>>>解2

含

a14a22a31a43的项为=

a14a22a31a43.

把矩阵A

的第1,,

i行及第p1,,

pi

列删去后得到一个n-i

阶行列式,记此行列式为Di

.

|A

|

展开式中含a1p1

的项为

Di-1

展开式中含ai

pi

的项为

项a1p1a2p2

an

pn

带有的正负号为

n

阶矩阵A

的行列式可定义为其中和式对1,2,

,n

的所有全排列

p1

p2

pn

求和.

其中ti

为pi+1

pn(p1

pi-1)中小(大)于pi

的数的个数.

逆序数

M1j

按第k-1列展开(j<k),

Mik

按第1行展开(i>1)n

阶行列式按第k

列展开(n=4,k=2)M1j

按第k列展开(j>k).Laplace[按行列展开]定理证明思路图表分析性质2行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.

行列式的性质性质1

行列式与它的转置行列式相等.性质4对换两行,行列式值反号.性质3若行列式某一行的元素都是两数之和,则该行拆开,原行列式可以表为相应的两个行列式之和.性质6

把行列式某一行的各元素乘以同一数加到另一行对应的元素上去,行列式的值不变.Laplace[按行列展开]定理

行列式等于任一行(列)的元素与其对应的代数余子式乘积之和.性质5若有两行元素对应成比例,则行列式值为零.§1.3逆矩阵

一、伴随矩阵二、逆矩阵一、伴随矩阵由Laplace定理知

设A

(aij)为n

阶方阵,Aij

为元素aij

的代数余子式,当i

j

时,取b1

a1i,,bn

ani,则i,j

列相同,于是

代数余子式的性质代数余子式的性质可写成两个矩阵等式

代数余子式的性质

伴随矩阵

称

A

为方阵A

的[转置]伴随矩阵.

设Aij为n

阶方阵A

的(i,j)元的代数余子式,记代数余子式的性质可写成两个矩阵等式

n阶方阵A

的伴随阵A

具有下列性质:

伴随矩阵的性质(1)(2)证明由(1)两边取行列式,得当|A|

0时,由上式即得(2).注:

当|A|

0时,记则

当|A|

0时,|A

|

0:从而A

O,与|A

|

0矛盾.若不然,则(A

)-1

存在,于是

方阵A可逆时,其逆矩阵唯一,记为

A-1.证明

逆矩阵

如果存在矩阵B,使AB=BA=E那么称方阵A为可逆的,并称B

为A

的逆矩阵.二、逆矩阵设C

也为方阵A的逆矩阵,则E

AC,注:

当|A|

0时,记则于是

逆矩阵计算公式

非奇异矩阵A

可逆,且其逆矩阵为

如果|A|

0,那么称方阵A为非奇异矩阵.

如果|A|=0,那么称方阵A为奇异矩阵.

可逆方阵A

为非奇异矩阵,且|A-1|=|A|-1.证明由AA-1

=E,得|A|

|A-1|=1.于是|A|

0,方阵A

为非奇异矩阵,且注:

当|A|

0时,记则解

例1

设矩阵求

A-1

.解

例2

设且AX

A

2X,求

X.由AX

A

2X,得(A

2E)X

A,

设A可逆,则矩阵方程AX=B

有唯一解X=A-1

B.

设A可逆,则矩阵方程XA=B

有唯一解X=BA-1

.

设A可逆,则矩阵方程AX=B

有唯一解X=A-1

B.

设A可逆,则矩阵方程XA=B

有唯一解X=BA-1

.注:当|A|

0时,A可逆,方程组Ax=

b

有唯一解因此记

则

——Cramer法则解例3求线性变换的逆变换.线性变换的系数矩阵所求逆变换为

设A可逆,则线性变换

y=

Ax

的逆变换为x=A-1

y.证明由AB=E,得|A|

|B|=1,

定理1

设A,B为n

阶方阵,若AB=E,则A,B

可逆,且因此A,B可逆.于是|A|

0,|B|

0,例4

设A3

=O,证明

证明

因此等式E=AB

两边左乘A1

及右乘B1,得提示例5

设方阵

A满足关系式A2

-2A-4E=O,证明A+2E可逆,并求其逆.证明

因此A+2E可逆,且

定理1

设A,B为n

阶方阵,若AB=E,则A,B

可逆,且

逆矩阵的性质

设A,B为n

阶可逆矩阵,则有下列性质:(5)的证明

(3)的证明

解例6

已知A

为三阶方阵,且|A|=2,求|2A-1|,|A

|和

作业

习题1-3§1.4矩阵分块法

用若干条横、竖线将矩阵划分成块,各小块称为子矩阵.以子矩阵为元素的[形式上的]矩阵,称为分块矩阵.例1

将3

4矩阵分块,分块法有多种.例如:试问:

共有多少种分块法?2

2分块:2

3分块:例2

设a,a1,a2,a3,b

均为4维列向量,且解若|A|=a,|C|=c,则|A+2B|=__________.

设m

l

矩阵A

按行分块为按矩阵的乘法运算l

n

矩阵B

按列分块为(1)式可写成下列两种形式:(1)注意注:

将ai

改为矩阵Ai(列数l),bj

改为矩阵Bj(行数l),以上两式也成立.于是(1)式可推广为(1)式可写成下列两种形式:(1)注意注:

将ai

改为矩阵Ai(列数l),bj

改为矩阵Bj(行数l),以上两式也成立.于是(1)式可推广为

设ej

为n

阶单位阵

E

的第

j列,于是A

的第

j

列可表示为

对于m

n

矩阵A,(2)例3

设记则于是即注:

一般地,我们有(Ai的列数等于Bi

的行数)推导

记则例4

设Ai1,Ai2

的列数分别等于B1j,B2j

的行数,试推导注:

一般地,我们有(Ai的列数等于Bi

的行数)解由已知|A|

0,|B|

0,于是|D|=|A|

|B|

0,设其中方阵X,Y分别与A,B

同阶,解得因此则例5设A为n

阶可逆方阵,B为

r

阶可逆方阵,C为r

n

矩阵,证明可逆,并求D-1.D可逆.因此于是有

矩阵的分块运算

只要保证子矩阵之间的运算可行,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相仿.(1)设矩阵A

与B

为同型矩阵,采用相同的分块形式其中

Aij

与Bij

为同型矩阵,则

矩阵的分块运算

只要保证子矩阵之间的运算可行,分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则相仿.(2)设A为

m

l

矩阵,B

为

l

n

矩阵,分块成注意:

一定要保证Aik

的列数等于Bkj

的行数.则其中注:

例3和例4为特殊情形,而一般情形可仿例4推知.

分块对角阵(3)A可逆的充要条件是Ai(i=1,

,s)都可逆.此时有其中

Ai(i=1,

,s)都是方阵,空白处元素全为零.

性质解例6

设求A-1.令则解令则例7

设

求An.作业

习题1-4

第二章线性方程组与矩阵的初等变换§2.1线性方程组消元法的形式化§2.2初等变换与初等矩阵§2.4线性方程组的解§2.3矩阵的秩一、消元法与矩阵的初等行变换二、矩阵的行最简形

三、线性方程组的行最简形解法§2.1线性方程组消元法的形式化消元过程同解方程组的变化例1

解线性方程组用相应的增广矩阵表示一、消元法与矩阵的初等行变换

下列三种变换称为矩阵的初等行变换：

矩阵的初等行变换

(3)把矩阵的第i

行的k

倍加到第j行,用rj

kri记之.(2)用非零数

k乘矩阵的第i行,用kri

记之;(1)对换矩阵的第i,j行,用ri↔

rj

记之;

线性方程组的消元过程,同解方程组的变化,用相应的增广矩阵(行变换)的变化来表示,显得更加清晰.一、消元法与矩阵的初等行变换

如果矩阵A经过有限次初等行变换化为矩阵B

,那么称矩阵A

与B行等价.

增广矩阵行等价的两个线性方程组同解.例2解线性方程组解对方程组的增广矩阵施行初等行变换:此增广矩阵相应的方程组第三个方程为0=a

1.当a

1

时,原方程组无解.当a

1

时,原方程组可解,此时同解方程组为求得原方程组的解为其中

x3,x4

可取任意数.行阶梯形(a

1)行最简形

称满足下列条件的矩阵为行阶梯形矩阵:(1)零行(元素全为零的行)都位于矩阵的下方;(2)各非零行的首非零元(自左至右第一个不为零的元素)的列标随着行标的增大而严格增大.

行阶梯形矩阵二、矩阵的行最简形其中a1

ar

0.左边的零列、下方的零行可能空缺.

行最简形矩阵

称满足下列条件的行阶梯形矩阵为行最简形矩阵:(1)各非零行的首非零元都是1;(2)每个首非零元所在列的其余元素都是零.解例3化矩阵为行最简形.对矩阵A

施行初等行变换:

线性方程组的行最简形解法三、线性方程组的行最简形解法

对方程组的增广矩阵施行初等行变换,化增广矩阵为行最简形,写出同解方程组,解便一目了然.

对于齐次线性方程组,增广矩阵改用系数矩阵即可.解化增广矩阵为行最简形:于是得同解方程组令自由未知元

x2=k1,x4=k2,得原方程组的通解为例4解线性方程组其中

k1,k2

为任意数.提示:

其中

k1,k2

为任意数.于是得同解方程组令自由未知元

x3

k1,x4

k2,得原方程组的通解为解化增广矩阵为行最简形:例5解线性方程组于是得同解方程组解化系数矩阵为行最简形:例6解线性方程组令自由未知元

x3=k1,x5=k2,得原方程组的通解为其中

k1,k2

为任意数.作业

习题2-1一、矩阵的初等变换

三、逆矩阵的初等变换求法

§2.2矩阵的初等变换与初等矩阵四、矩阵方程的初等变换解法

五、矩阵的分块初等变换

二、初等矩阵

下列三种变换称为矩阵的初等列变换：

矩阵的初等列变换

(3)把矩阵的第i

列的k

倍加到第j列,用cj+kci记之.(2)用非零数

k乘矩阵的第i列,用kci

记之;(1)对换矩阵的第i,j列,用ci↔cj

记之;一、矩阵的初等变换

如果矩阵A经过有限次初等(行,列)变换化为矩阵B,就称矩阵A与B(行,列)等价,记为A～B.

矩阵的(行,列)等价具有以下性质:(1)反身性

A～A;(2)对称性如果A～B,则B～A;(3)传递性如果A～B,B～C,则A～C.(标准形矩阵)

对矩阵的行最简形再施行初等列变换,可得到一种结构最为简单的形式.

例如,行最简形矩阵再经初等列变换化为

任一m

n矩阵A经过有限次初等变换可化为如下的等价标准形:其中下方的零行,右边的零列可能空缺.

可逆阵的等价标准形(行最简形)是一个单位阵.

定理1

行列式不为零的方阵,其等价矩阵的行列式也不为零.

可逆阵的等价矩阵也为可逆阵.提示:

可逆的标准形矩阵是一个单位阵.二、初等矩阵

初等矩阵

由单位矩阵经一次初等变换而得的矩阵称为初等矩阵.

相应于矩阵的三种初等变换,初等矩阵有三种:(1)E(i,j):

由单位矩阵交换第i,j行(列)而得的方阵;(2)E(i(k)):

由单位矩阵的第i

行(列)乘非零数

k而得的方阵;(3)E(j,i(k)):

由单位矩阵的第i行乘以数k加于第j行而得的方阵,也即由单位矩阵的第j列乘以数k加于第i列而得的方阵.

定理2

设A为m

n矩阵.对矩阵A

施以某种初等行变换得到的矩阵,等于用同种的m

阶初等方阵左乘

A.(2)对矩阵A

施以某种初等列变换得到的矩阵,等于用同种的n

阶初等方阵右乘

A.证明以第三种初等列变换为例证之.

将矩阵A

和单位阵E按列分块,经列变换ct+kcs,矩阵A和单位阵E分别变换为和于是

定理2

设A为m

n矩阵.例如:特别地,令A

=E,则有

初等矩阵可逆,其逆阵也为初等矩阵.具体如下:对矩阵A

施以某种初等行变换得到的矩阵,等于用同种的m

阶初等方阵左乘

A.(2)对矩阵A

施以某种初等列变换得到的矩阵,等于用同种的n

阶初等方阵右乘

A.例1设A

是3阶可逆矩阵,A

的第2列乘以4为矩阵B,则解

A-1

的()为B-1

.(A)第二行乘以4;(B)第二列乘以4;(C)第二行乘以(D)第二列乘以C

定理2

设A为m

n矩阵.对矩阵A

施以某种初等行变换得到的矩阵,等于用同种的m

阶初等方阵左乘

A.(2)对矩阵A

施以某种初等列变换得到的矩阵,等于用同种的n

阶初等方阵右乘

A.

定理3

n

阶方阵A

为可逆阵的充要条件是:方阵A

可以表成若干初等方阵的乘积.证明若A

可表成若干初等方阵的乘积,

若A

可逆,则A的行最简形为单位阵,因此

定理2

设A为m

n矩阵.则由初等方阵可逆,即知A

可逆.于是由定理2知,存在初等方阵P1,

,Pk,使得Pk

P1A=E,对矩阵A

施以某种初等行变换得到的矩阵,等于用同种的m

阶初等方阵左乘

A.(2)对矩阵A

施以某种初等列变换得到的矩阵,等于用同种的n

阶初等方阵右乘

A.

定理4设A为m

n矩阵.(1)A

与B

行等价的充要条件是:存在m

阶可逆方阵

P,使B=PA.(2)A

与B

列等价的充要条件是:存在n

阶可逆方阵

Q,使B=AQ.

定理2

设A为m

n矩阵.对矩阵A

施以某种初等行变换得到的矩阵,等于用同种的m

阶初等方阵左乘

A.(2)对矩阵A

施以某种初等列变换得到的矩阵,等于用同种的n

阶初等方阵右乘

A.

定理3

n

阶方阵A

为可逆阵的充要条件是:方阵A

可以表成若干初等方阵的乘积.三、逆矩阵的初等变换求法

设A

可逆,则由定理4知,(A,E)经若干次初等行变换可化为(E,A-1).

逆矩阵的初等变换求法

定理4设A为m

n矩阵.(1)A

与B

行等价的充要条件是:存在m

阶可逆方阵

P,使B=PA.(2)A

与B

列等价的充要条件是:存在n

阶可逆方阵

Q,使B=AQ.逆矩阵的初等变换求法:解例2

已知求A-1.四、矩阵方程的初等变换解法

设A可逆,则矩阵方程AX=B

的解为X=A-1B.提示:

矩阵方程AX=B的初等行变换解法

矩阵方程XA=B的初等列变换解法

设A可逆,则矩阵方程XA=B

的解为X=BA-1

.

(A,B)经若干次初等行变换可化为(E,A-1B).

AX=B的初等行变换解法:例3

已知求线性方程组Ax=b1

和Ax=b2的解.解设Ax1=b1,Ax2=b2.记则两个线性方程组可合成一个矩阵方程AX=B.

AX=B的初等行变换解法:例3

已知求线性方程组Ax=b1

和Ax=b2的解.解设Ax1=b1,Ax2=b2.记则两个线性方程组可合成一个矩阵方程AX=B.

Ax=b1

和Ax=b2的解依次为

XA=B的初等列变换解法:例4

设求解XA=B.

解五、矩阵的分块初等变换

下列三种变换称为分块矩阵的初等行变换:(1)对换分块矩阵的两行;(2)以可逆矩阵

C

左乘分块矩阵的某一行;注:C

的阶数与该行子矩阵的行数相等.

以上定义中的行换成列,左乘换成右乘,即得分块矩阵的初等列变换的定义.(3)以矩阵C

左乘分块矩阵的第i

行加于第j

行.

分块矩阵的初等行列变换也称为矩阵的分块初等行列变换.注:C的列(行)数与第i行(第

j行)子矩阵的行数相等.

对矩阵施行一次分块初等变换,实际上就是对矩阵施行若干次初等变换：1.一次第一种分块初等变换相当于若干次第一种初等变换.2.一次第二种分块初等变换相当于若干次初等变换.3.一次第三种分块初等变换相当于若干次第三种初等变换.情形3的简例:设A,B,C

为2阶方阵,则相当于例5

设A为m

阶可逆矩阵,D为n

阶可逆矩阵,求分块解

的逆矩阵.矩阵作业

习题2-2§2.3矩阵的秩

行阶梯形矩阵行最简形矩阵←r

行标准形矩阵>>>

矩阵的秩

如果矩阵A

的等价标准形为那么称F

中单位阵的阶数r为矩阵A

的秩,记为R(A).规定零矩阵的秩等于0.

定理1

任一矩阵的等价标准形唯一.

矩阵秩的性质性质1

等价矩阵有相等的秩.

设

P,Q

可逆,则R(PAQ)

R(A).性质2R(Am

n)min{m,n}.性质3行阶梯形矩阵的秩为非零行的行数.>>>

性质4n阶方阵A

可逆的充分必要条件是R(A)

n.

性质5性质7矩阵的秩不小于它的子矩阵的秩性质6证明性质8由矩阵秩的性质6,性质1和性质7得性质9证明注意由矩阵秩的性质7和性质1得类似可证两式合起来,即为证明于是其中C

为r

l矩阵.存在可逆方阵P,Q,使也即记得C

=O.因此由

定理2若Am

nBn

l

O,则R(A)R(B)n.例1设n

阶矩阵

A

满足A2

=

A,证明证明

由A2

=

A,得由定理2得由矩阵秩的性质8得又因由(1),(2)即得所证.(2)(1)即性质8推论当R(A)=n

时,矩阵方程Am

nXn

l

=O只有零解.

定理2若Am

nBn

l

O,则R(A)R(B)n.

矩阵的k

阶子式

在m

n矩阵A

中,任取

k行与k列(k

m,k

n),位于这些行列交叉处的k2

个元素,不改变它们在A中所处的位置次序而得的k

阶行列式,称为矩阵A的一个k

阶子式.

矩阵的最高阶非零子式

设在矩阵A中有一个不等于零的

r阶子式D,且所有高于

r阶的子式(如果存在的话)全等于零,那么称D为矩阵A

的一个最高阶非零子式.

基本子式定理>>>

矩阵的最高阶非零子式的阶数等于该矩阵的秩.解化A

为行阶梯形矩阵:例2求矩阵A

的秩和一个最高阶非零子式,其中解化A

为行阶梯形矩阵:例2求矩阵A

的秩和一个最高阶非零子式,其中可知解化A

为行阶梯形矩阵:例2求矩阵A

的秩和一个最高阶非零子式,其中记A=(a1,a2,a3,a4,a5),则B=(a1,a2,a4)的行阶梯形矩阵为计算B的前3行构成的子式则这个子式便是A的一个最高阶非零子式.作业

习题2-3

定理1

任一矩阵的等价标准形唯一.证明设m

n矩阵A有两个等价标准形假设r

s,不妨设r>s.将P,Q

-1

相应分块其中P1为r

r矩阵,Q1为s

s矩阵.存在可逆方阵P,Q,使由PF1

F2Q1

得因r>s,可知P3=

O或空缺,P1的第r行元素全为0,于是|P1|=0.反证得r=s.由此而得|P|=0,与P可逆矛盾.

基本子式定理

矩阵的最高阶非零子式的阶数等于该矩阵的秩.提示:

对换行列,矩阵的最高阶非零子式的阶数也不变.证明

不妨设矩阵A有如下分块形式其中|Pr

|为A的最高阶非零子式.

对换行列,矩阵的秩是不变的.

矩阵的最高阶非零子式的阶数等于该矩阵的秩.证明

不妨设矩阵A有如下分块形式其中|Pr

|为A的最高阶非零子式.Tj

为T

的第

j列,记Si

为S

的第i行,则于是由Schur公式,矩阵A的r+1阶零子式因此所以

基本子式定理

§2.4线性方程组的解

一、线性方程组的可解性二、线性方程组解的结构一、线性方程组的可解性

不妨设n元线性方程组

Ax=b

系数矩阵A的行最简形为

当R(A,b)>R(A)=

r

时,增广矩阵(A,b)的行最简形为出现方程0=1,方程组无解.

当R(A,b)=R(A)=

r

时,增广矩阵的行最简形为即得同解方程组当r=n时,方程组有唯一解;当r<n

时,方程组有无穷解.

综上即得可解性定理.>>>推论

n元方程组Ax=0有非零解的充要条件是R(A)<

n.

当方程个数少于未知元个数时,方程组Ax

0有非零解.

当A为方阵时,Ax=0有非零解的充要条件是|A|=0.

可解性定理

(1)当R(A,b)>R(A)时,方程组无解;(2)当R(A,b)=R(A)=n

时,方程组有唯一解;(3)当R(A,b)=R(A)

<n

时,方程组有无穷多解.

设n

元线性方程组Ax=b.例1

a

取什么值时,线性方程组(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解.解对方程组的增广矩阵施行初等行变换(1)当a

1,-2时,R(A,

b)

R(A)3,方程组有唯一解;(2)当a=-2时,R(A,

b)3R(A)2,方程组无解;

(3)当a=1时,R(A,b)

R(A)13,

方程组有无穷多解.

解当l=-1或l=8时,方程组有非零解.例2l

取什么值时,以下齐次线性方程组有非零解：齐次线性方程组的系数行列式记X

(x1,x2,,xn),B(b1,b2,,bn),例3

证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是证明充分性:由矩阵秩的性质知因为R(A)

R(A,

B),所以Axi

=

bi

有解(i1,2,,n),因此,由上式即得R(A)

R(A,

bi),也即AX=

B有解.必要性:由矩阵秩的性质知设X=K为AX=

B的解,也即AK=

B,于是2.当AX=

B有解,但A不可逆时,如何求出所有解？记X

(x1,x2,,xn),B(b1,b2,,bn),例3

证明:矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是证明充分性:由矩阵秩的性质知因为R(A)

R(A,

B),所以Axi

=

bi

有解(i1,2,,n),因此,由上式即得R(A)

R(A,

bi),也即AX=

B有解.讨论:1.当AX=

B有解,但A不可逆时,解是否唯一？

当R(A)=n

时,n元齐次方程组Ax=0只有零解.

当R(A)=r

<n

时,不妨设

Ax=0

的同解方程组为>>>其中注意:二、线性方程组解的结构

则

Ax=0的通解可表示为向量形式

齐次通解结构定理则

Ax=0的通解可表示为向量形式

设x1,

,xn-r

(r=

R(A))为n

元方程组Ax=0的解,且满足条件

R(x1,

,xn-r)=n-r,则Ax=0的通解为(k1,

,kn-r

为任意数)

称x1,

,xn-r为方程组Ax=0的一个基础解系.>>>其中注意:解化系数矩阵为行最简形:例4求线性方程组的一个基础解系.于是得同解方程组分别令

x3=7,x4=0

和x3=0,x4=7,得基础解系为

非齐次通解结构定理(k1,

,kn-r

为任意数)

设

x

=h

是n元非齐次线性方程组Ax=

b的一个解(称特解),x1,

,xn-r

是导出组

Ax=0的一个基础解系,则

Ax=

b的通解为证明直接验证知,上式为Ax=

b的解.

设

x

=h

为Ax=

b的任一解,则所以x=h-h

为Ax=0的一个解,由齐次通解结构定理,存在一组数k1,

,kn-r,使于是例5

已知四元非齐次线性方程组Ax=b的三个特解且R(A)=2,求Ax=b的通解.解取则

x1,

x2

为

Ax=0的两个解.易知故x1,

x2

为

Ax

0的基础解系.于是方程组Ax=b的通解为作业

习题2-4易知证明为方程组Ax=0的解.设x=x为方程组Ax=0的任一解.记则因此因由(1)式得根据可解性定理,n-r元线性方程组By=x有唯一解即(1)

齐次通解结构定理

设x1,

,xn-r

(r=

R(A))为n

元方程组Ax=0的解,且满足条件

R(x1,

,xn-r)=n-r,则Ax=0的通解为(k1,

,kn-r

为任意数)得通解为令自由未知元若交换原方程组x2,x3的次序例解线性方程组

化方程组的增广矩阵为行最简形:则方程组的增广矩阵为第三章向量空间初步§3.1向量组的线性关系§3.2向量组的秩§3.3向量空间§3.4欧氏空间一、n维向量及其线性运算二、向量组的线性组合三、向量组的线性相关性§3.1向量组的线性关系一、n维向量及其线性运算n维向量空间Rn

Rn

中任一元素称为一个n维向量.

称ai为向量a=(a1,

,an)的第i个坐标[分量].以ai(i=1,

,n)为第i个坐标的向量可写成列形式

坐标全为零的向量称为零向量,记为0.

坐标完全一样的两向量a,b

称为相等向量,记为a=b.

向量的加法运算

设向量a=(a1,

,an),b=(b1,

,bn),定义称a+

b

为

a与b的和.

向量的数乘运算规定称ka为数k

与向量a

的乘积.

称(-1)a

为向量a

的负向量,记为-a.

设向量a=(a1,

,an),k为实数,定义

向量的加法与数乘两种运算统称为向量的线性运算.例2

设x1,

,xn-r为方程组Ax=0的一个基础解系,二、向量组的线性组合

Ax=0的任一解向量x,

若干同维向量的集合,称向量组.

向量组的一部分称部分组.例1

设称e1,e2,

,en

为n

维单位坐标向量组.

任一向量a

(a1,a2,

,an)可唯一地表示为

则对存在一组数k1,

,kn-r

,使>>>

线性组合

给定向量组a1,

,am,对任一数组k1,

,km,称向量为向量组a1,

,am

的一个线性组合,称k1,

,km为这个线性组合的[表示]系数.并称b可由a1,

,am线性表示.例3

设矩阵A

=(a1,

,am),则方程组Ax=

b有一组解

xi

=

ki(i=1,

,m),也即

线性方程组Ax=

b有解的充分必要条件是:

向量b

可由矩阵

A的列向量组线性表示.

约定:非特别交待时,向量都采用列形式.例4

判断向量与是否为向量组的线性组合.若是,写出表示式.解同时解方程组和的解为因此无解,因此

b2

不可由a1,a2

线性表示.三、向量组的线性相关性

线性方程组Ax=

b有解的充分必要条件是:

向量b

可由矩阵

A的列向量组线性表示.

若线性方程组Ax=

b有无穷多解,则向量b

可用矩阵

A的列向量组的无穷多个线性组合来线性表示.

设向量b有两个线性表示式和则b

的两个表示式不同,也即存在一组不全为零的数使成立此时,称向量组a1,

,am

线性相关.那么称a1,

,am

线性相关.k1,

,km

,使

线性相关性

设有向量组a1,

,am

,如果存在一组不全为零的数

基本性质

(1)若向量

b

可由向量组a1,

,am

线性表示,

当a1,

,am

线性相关时,表示式不唯一;

当a1,

,am

线性无关时,表示式唯一.(2)若部分组线性相关,则整个向量组也线性相关.(3)若向量组线性无关,则任一部分组也线性无关.则向量组b,a1,

,am

线性相关.否则,称a1,

,am

线性无关.

a1,

,am

线性无关,也即向量方程只有零解.

定理1

m元方程组Ax=0只有零解的充要条件是R(A)=

m.

线性相关性

那么称a1,

,am

线性相关.k1,

,km

,使

设有向量组a1,

,am

,如果存在一组不全为零的数否则,称a1,

,am

线性无关.

设矩阵

A

(a1,

,am),的充分必要条件是R(A)=

m.

则向量组

a1,

,am

线性无关

设矩阵

A

(a1,

,am),

定理1的充分必要条件是R(A)=

m.

线性相关性

方阵A的列向量组线性相关的充要条件是|A|=0.

齐次线性方程组的基础解系线性无关.>>>则向量组

a1,

,am

线性无关那么称a1,

,am

线性相关.k1,

,km

,使

设有向量组a1,

,am

,如果存在一组不全为零的数否则,称a1,

,am

线性无关.

a1,

,am

线性无关,也即向量方程只有零解.解1

例5讨论向量组

的线性相关性.设方阵化A

为行阶梯形:当a

-1,4时,R(A)=3,a1,a2,a3

线性无关;当a=-1或

a

=4时,R(A)