2025年人民版高一数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人民版高一数学下册月考试卷801考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共5题，共10分)1、已知两条直线和互相垂直，则等于()A.B.C.D.2、直线2x-3y-6=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b；则（）

A.a=3，b=2

B.a=3，b=-2

C.a=-3，b=2

D.a=-3，b=-2

3、如果用表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用表示3个立方体叠加，那么图中由7个立方体摆成的几何体，从正前方观察，可画出平面图形是()4、设则（）A.3B.1C.0D.-15、函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点是－3，则它的另一个零点是()A.－1B.1C.－2D.2评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)6、如图．M是棱长为2cm的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是____cm．7、从10个篮球中任取一个，检验其质量，则应采用的抽样方法为____．8、已知a≥0，化简（）4=____．9、将边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起，使BD=a，则三棱锥D—ABC的体积为_______10、记[x]表示不超过实数x的最大整数．设则f（3）=____；如果0＜x＜60，那么函数f（x）的值域是____．11、若则的表达式为．12、若函数的定义域为R，则实数a的取值范围是____．13、已知函数f(x)={lgx,(x>0)10鈭�x,(x鈮�0)

函数g(x)=f2(x)鈭�4f(x)+t(t隆脢R)

若函数g(x)

有四个零点，则实数t

的取值范围是______．评卷人得分三、证明题(共9题，共18分)14、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．15、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．16、求证：（1）周长为21的平行四边形能够被半径为的圆面所覆盖．

（2）桌面上放有一丝线做成的线圈，它的周长是2l，不管线圈形状如何，都可以被个半径为的圆纸片所覆盖．17、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．18、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．19、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．20、如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．21、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．22、AB是圆O的直径，CD是圆O的一条弦，AB与CD相交于E，∠AEC=45°，圆O的半径为1，求证：EC2+ED2=2．评卷人得分四、解答题(共1题，共10分)23、【题文】借助“世博会”的东风，某小商品公司开发一种纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量得到提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为那么月平均销售量减少的百分率为记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是元.

（1）写出与的函数关系式；

（2）改进工艺后，试确定该纪念品的销售价，使得公司销售该纪念品的月平均利润最大.评卷人得分五、作图题(共4题，共40分)24、作出下列函数图象：y=25、请画出如图几何体的三视图．

26、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．27、已知简单组合体如图；试画出它的三视图（尺寸不做严格要求）

评卷人得分六、计算题(共2题，共12分)28、己知方程x2-x-1=0的根是方程x6-px2+q=0的根，则p=____，q=____．29、分解因式：（1-x2）（1-y2）-4xy=____．参考答案一、选择题(共5题，共10分)1、A【分析】【解析】试题分析：因为两直线垂直，所以=0.，解得a=－1，故选A。考点：本题主要考查两直线的位置关系。【解析】【答案】A2、B【分析】

因为直线2x-3y-6=0，当x=0，可得直线在y轴上的截距为：b=-2．

令y=0；可得直线在x轴上的截距为a=3．

故选B．

【解析】【答案】通过x=0求出直线在y轴上的截距；y=0求出直线在x轴是的截距．

3、B【分析】【解析】试题分析：根据题意和图可知；左边和右边各为一个正方体，当中为三个正方体，上面为两个正方体，然后根据题中定义好的表示方法组合在一起即可．【解析】

由题意和图可知，左边和右边各为一个正方体，用表示，当中为三个正方体，用表示，上面为两个正方体，用表示，所以答案B是符合题意的，故选B．考点：几何体的正视图【解析】【答案】B4、A【分析】【解答】根据题意，由于那么可知f(-1)=1,那么故答案选A.

【分析】主要是考查了分段函数解析式的运用，属于基础题。5、B【分析】【解答】由根与系数的关系得－3＋x＝－，∴x＝1.即另一个零点是1；故选B.

【分析】由根与系数的关系求出另一个根，从而求出零点二、填空题(共8题，共16分)6、略

【分析】

由题意；若以BC为轴展开，则AM两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2，3；

故两点之间的距离是

若以以BB1为轴展开；则AM两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1，4；

故两点之间的距离是

故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是cm

故答案为

【解析】【答案】求解此类问题一般采取展开为平面的方法，化体为面，在平面中求两点之间距离的最小值，从图形可以看出图形的展开方式有二，一是以底棱BC，CD为轴，可以看到此两种方式是对称的，所得结果一样，另外一种是以侧棱为轴展开，即以BB1，DD1为轴展开，此两种方式对称，求得结果一样，故解题时选择以BC为轴展开与BB1为轴展开两种方式验证即可。

7、略

【分析】

由于总体的个数较少；故应采用简单随机抽样。

故答案为：简单随机抽样．

【解析】【答案】由于总体的个数较少；故应采用简单随机抽样．

8、略

【分析】

因为a≥0，所以===a．

故答案为a．

【解析】【答案】把给出的式子由内向外依次化根式为分数指数幂；然后进行4次方运算，即可得到结果．

9、略

【分析】试题分析：如图，过D点作DE⊥AC，由于AC=BE=DE=又BD=aDE⊥BEDE⊥底面△ABC，△ABC的面积S=AB·BC=V=S·DE=考点：三棱锥的体积.【解析】【答案】10、略

【分析】

f（3）==0×（-4）=0；

∵0＜x＜60，

当0＜x＜11时，=0；∴f（x）=0；

当11≤x＜22时，=1，∴f（x）=-1；

当22≤x＜33时，=2，∴f（x）=-2；

当33≤x＜44时，=3，∴f（x）=-3；

当44≤x＜55时，=4，∴f（x）=-4；

当55≤x＜60时，=5，∴f（x）=-5；

故函数f（x）的值域是{0；-1，-2，-3，-4，-5}

故答案为：0；{0；-1，-2，-3，-4，-5}．

【解析】【答案】利用题中条件：“[x]表示不超过x的最大整数”；令x=3，代入函数的解析式即可求得结果；对区间（0，60）中的x进行分类讨论，从而求出相应的函数值即可．

11、略

【分析】试题分析：令所以所以即考点：函数解析式的求法【解析】【答案】12、0≤a≤1【分析】【解答】解：函数的定义域为R，∴﹣1≥0在R上恒成立。

即x2﹣2ax+a≥0在R上恒成立。

该不等式等价于△=4a2﹣4a≤0；

解出0≤a≤1．故实数a的取值范围为0≤a≤1

故答案为：0≤a≤1

【分析】利用被开方数非负的特点列出关于a的不等式，转化成x2﹣2ax+a≥0在R上恒成立，然后建立关于a的不等式，求出所求的取值范围即可．13、略

【分析】解：作出函数f(x)={lgx,(x>0)10鈭�x,(x鈮�0)

的图象如图；

令f(x)=m

则g(x)=0

化为m2鈭�4m+t=0

由图象可知当m鈮�1

时；f(x)=m

有两解；

隆脽g(x)

有四个零点；隆脿m2鈭�4m+t=0

在[1,+隆脼)

有两个不等实数根；

隆脿{12鈭�4+t鈮�0鈻�=16鈭�4t>0

解得3鈮�t<4

．

隆脿

实数t

的取值范围是[3,4)

．

故答案为：[3,4)

．

做出f(x)

的图象；判断f(x)=m

的根的情况，根据g(x)=0

的零点个数判断m2鈭�4m+t=0

的根的分布，利用二次函数的性质列出不等式组解出t

的范围．

本题考查了函数零点的个数判断，基本初等函数的性质，属于中档题．【解析】[3,4)

三、证明题(共9题，共18分)14、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．15、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．16、略

【分析】【分析】（1）关键在于圆心位置；考虑到平行四边形是中心对称图形，可让覆盖圆圆心与平行四边形对角线交点叠合．

（2）“曲“化“直“．对比（1），应取均分线圈的二点连线段中点作为覆盖圆圆心．【解析】【解答】

证明：（1）如图1；设ABCD的周长为2l，BD≤AC，AC；BD交于O，P为周界上任意一点，不妨设在AB上；

则∠1≤∠2≤∠3，有OP≤OA．又AC＜AB+BC=l，故OA＜．

因此周长为2l的平行四边形ABCD可被以O为圆心；半径为的圆所覆盖；命题得证．

（2）如图2，在线圈上分别取点R，Q，使R、Q将线圈分成等长两段，每段各长l．又设RQ中点为G，M为线圈上任意一点，连MR、MQ，则GM≤（MR+MQ）≤（MmR+MnQ）=

因此，以G为圆心，长为半径的圆纸片可以覆盖住整个线圈．17、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．18、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．19、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=20、略

【分析】【分析】作DE⊥AC于E，由切割线定理：AG2=AF•AC，可证明△BAF∽△AED，则∠ABF+∠DAB=90°，从而得出AD⊥BF．【解析】【解答】证明：作DE⊥AC于E；

则AC=AE；AB=5DE；

又∵G是AB的中点；

∴AG=ED．

∴ED2=AF•AE；

∴5ED2=AF•AE；

∴AB•ED=AF•AE；

∴=；

∴△BAF∽△AED；

∴∠ABF=∠EAD；

而∠EAD+∠DAB=90°；

∴∠ABF+∠DAB=90°；

即AD⊥BF．21、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．22、略

【分析】【分析】首先作CD关于AB的对称直线FG，由∠AEC=45°，即可证得CD⊥FG，由勾股定理即可求得CG2=CE2+ED2，然后由△OCD≌△OGF，易证得O，C，G，E四点共圆，则可求得CG2=OC2+OG2=2．继而证得EC2+ED2=2．【解析】【解答】证明：作CD关于AB的对称直线FG；

∵∠AEC=45°；

∴∠AEF=45°；

∴CD⊥FG；

∴CG2=CE2+EG2；

即CG2=CE2+ED2；

∵△OCD≌△OGF（SSS）；

∴∠OCD=∠OGF．

∴O；C，G，E四点共圆．

∴∠COG=∠CEG=90°．

∴CG2=OC2+OG2=2．

∴EC2+ED2=2．四、解答题(共1题，共10分)23、略

【分析】【解析】本试题主要是考出了函数在实际生活中的运用。

（I）由题易知每件产品的销售价为20（1+x），则月平均销售量为a（1-x2）件；利润则是二者的积去掉成本即可．

（II）由（1）可知；利润函数是一元三次函数关系，可以对其求导解出其最值。

解：

5分。

8分。

令解得

令解得

又10分。

12分【解析】【答案】（1）

（2）当时，即单价为元时利润最大，最大值为五、作图题(共4题，共40分)24、【解答】幂函数y={#mathml#}x32

{#/mathml#}的定义域是[0；+∞），图象在第一象限，过原点且单调递增，如图所示；

【分析】【分析】根据幂函数的图象与性质，分别画出题目中的函数图象即可．25、解：如图所示：

【分析】【分析】由几何体是圆柱上面放一个圆锥，从正面，左面，上面看几何体分别得到的图形分别是长方形上边加一个三角形，长方形上边加一个三角形，圆加一点．26、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。27、

解：几何体的三视图为：

【分析】【分析】利用三视图的作法，画出三视图即可．六、计算题(共2题，共12分)28、略

【分析】【分析】根据