2025年人教A版高一数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年人教A版高一数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、【题文】幂函数y＝f(x)的图像经过点(4，)，则f()的值为()A.1B.2C.3D.42、【题文】函数的零点一定位于下列哪个区间A.B.C.D.3、已知点点向量若则实数的值为（）A.5B.6C.7D.84、设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥n，m⊥α，则n⊥αD.若m∥α，α⊥β，则m⊥β5、函数f（x）=ax2+（2+a）x+1是偶函数，则函数的单调递增区间为（）A.[0，+∞）B.（-∞，0]C.（-∞，+∞）D.[1，+∞）6、若a、b、c∈R，a＞b，则下列不等式成立的是（）A.B.a2＞b2C.＞D.a|c|＞b|c|7、有960人，现采用系统抽样方法抽取32人进行调查．为此将他们随机编号为1，2，，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9，抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，700]的人做问卷B，其余的人做问卷C，则抽到的人中，做问卷B的人数为（）A.8B.9C.10D.158、实数932鈭�3log32?log214+lg4+2lg5

的值为(

)

A.25

B.28

C.32

D.33

评卷人得分二、填空题(共5题，共10分)9、已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有____个．10、若则的最大值是____。11、将函数y=sinx的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的得到函数y=f（x）的图象，再将函数y=f（x）的图象沿着x轴的正方向平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，则g（x）的解析式____．12、【题文】．已知数列｛｝满足：定义使为整数的数叫做幸运数，则内所有的幸运数的和为____.13、一个匀速旋转的摩天轮每12分钟转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上一定点，从P在最低点时开始计时，则16分钟后P点距地面的高度是____．评卷人得分三、证明题(共5题，共10分)14、初中我们学过了正弦余弦的定义，例如sin30°=，同时也知道，sin（30°+30°）=sin60°≠sin30°+sin30°；根据如图，设计一种方案，解决问题：

已知在任意的三角形ABC中，AD⊥BC，∠BAD=α，∠CAD=β，设AB=c，AC=b；BC=a

（1）用b；c及α，β表示三角形ABC的面积S；

（2）sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ．15、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．16、如图；已知AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PC切⊙O于C，AD⊥PC于D，CE⊥AB于E，求证：

（1）AD=AE

（2）PC•CE=PA•BE．17、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．18、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分四、计算题(共2题，共10分)19、相交两圆半径分别是5厘米、3厘米，公共弦长2厘米，那么这两圆的公切线长为____厘米．20、规定两数a、b通过”*”运算得到4ab，即a*b=4ab．例如，2*6=4×2×6=48．若不论x是什么数时，总有a*x=x，则a=____．评卷人得分五、作图题(共2题，共6分)21、某潜艇为躲避反潜飞机的侦查，紧急下潜50m后，又以15km/h的速度，沿北偏东45°前行5min，又以10km/h的速度，沿北偏东60°前行8min，最后摆脱了反潜飞机的侦查．试画出潜艇整个过程的位移示意图．22、绘制以下算法对应的程序框图：

第一步；输入变量x；

第二步，根据函数f（x）=

对变量y赋值；使y=f（x）；

第三步，输出变量y的值．评卷人得分六、综合题(共4题，共24分)23、数学课上；老师提出：

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A点的坐标为（1，0），点B在x轴上，且在点A的右侧，AB=OA，过点A和B作x轴的垂线，分别交二次函数y=x2的图象于点C和D，直线OC交BD于点M，直线CD交y轴于点H，记点C、D的横坐标分别为xC、xD，点H的纵坐标为yH．

同学发现两个结论：

①S△CMD：S梯形ABMC=2：3②数值相等关系：xC•xD=-yH

（1）请你验证结论①和结论②成立；

（2）请你研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1；0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，其他条件不变，结论①是否仍成立（请说明理由）；

（3）进一步研究：如果上述框中的条件“A的坐标（1，0）”改为“A的坐标（t，0）（t＞0）”，又将条件“y=x2”改为“y=ax2（a＞0）”，其他条件不变，那么xC、xD与yH有怎样的数值关系？（写出结果并说明理由）24、如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax2+c与x轴正半轴交于点F（4；0）；与y轴正半轴交于点E（0，4），边长为4的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；

（1）求拋物线的函数表达式；

（2）如图2；若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q．设点A的坐标为（m，n）

①当PO=PF时；分别求出点P和点Q的坐标及PF所在直线l的函数解析式；

②当n=2时；若P为AB边中点，请求出m的值；

（3）若点B在第（2）①中的PF所在直线l上运动；且正方形ABCD与抛物线有两个交点，请直接写出m的取值范围．

25、在直角坐标系xoy中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点B和点A，点C的坐标是（0，1），点D在y轴上且满足∠BCD=∠ABD．求D点的坐标．26、（2011•青浦区二模）如图，已知边长为3的等边三角形ABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是____．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、B【分析】【解析】

试题分析：设幂函数由得

考点：幂函数【解析】【答案】B2、B【分析】【解析】设f（x）=lnx-6+2x；

∵f（2）=ln2-2＜0；

f（3）=ln3＞0；

∴函数y=lnx-6+2x的零点一定位于的区间（2；3）．

故选B．【解析】【答案】B3、C【分析】【解答】由已知得又所以存在实数使即解得所以正确答案为C.4、C【分析】【解答】解：A；m∥α；n∥α，则m∥n，m与n可能相交也可能异面，所以A不正确；

B；m∥α；m∥β，则α∥β，还有α与β可能相交，所以B不正确；

C；m∥n；m⊥α，则n⊥α，满足直线与平面垂直的性质定理，故C正确．

D；m∥α；α⊥β，则m⊥β，也可能m∥β，也可能m∩β=A，所以D不正确；

故选C．

【分析】用直线与平面平行的性质定理判断A的正误；用直线与平面平行的性质定理判断B的正误；用线面垂直的判定定理判断C的正误；通过面面垂直的判定定理进行判断D的正误．5、B【分析】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），∴ax2-（2+a）x+1=ax2+（2+a）x+1；化为（2+a）x=0，对于任意实数x恒成立，∴2+a=0，解得a=-2．

∴f（x）=-2x2+1；其单调递增区间为（-∞，0]．

故选B．

利用函数f（x）是偶函数；可得f（-x）=f（x），解出a．再利用二次函数的单调性即可得出单调区间．

熟练掌握函数的奇偶性和二次函数的单调性是解题的关键．【解析】【答案】B6、C【分析】解：∵a＞b，不妨令a=-2、b=-3，不成立，a2＞b2不成立；故排除A；B；

当c=0时，a|c|＞b|c|不成立；故排除D．

由于＞＞0，a＞b，∴＞故C正确；

故选：C．

通过举反例；可得A；B、D不正确；利用不等式的基本性质，可得C正确，从而得出结论．

本题主要考查不等式的基本性质的应用，通过举反例来说明某个结论不正确，是一种比较有效的方法，属于基础题．【解析】【答案】C7、B【分析】解：根据系统抽样的定义先确定每组人数为960÷32=30人；即抽到号码的公差d=30；

∵第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9；

∴等差数列的首项为9；

则抽到号码数为an=9+30（n-1）=30n-29；

由451≤30n-29≤700；

得480≤30n≤730；

即16≤n≤24

n为正整数,则16≤n≤25；即编号落入区间[451，700]的人数为25-16+1=9人；

故做问卷B的人数为9人；

故选：B

根据系统抽样的定义先确定每组人数为960÷32=30人；即抽到号码的公差d=30，然后根据等差数列的公式即可得到结论．

本题主要考查分层抽样的应用；根据条件建立比例关系是解决本题的关键．

【解析】【答案】B8、D【分析】解：932鈭�3log32?log214+lg4+2lg5=932鈭�2隆脕(鈭�2)+lg(4隆脕25)=27+4+2=33

故选D．

根据对数的性质及其运算法则进行计算．

此题主要考查对数的运算性质，比较简单，计算时要小心．【解析】D

二、填空题(共5题，共10分)9、略

【分析】

∵集合A={1；2}有两个元素；

若A∪B={1；2}；

则B⊆A

故满足条件的集合B有22=4个。

故答案为：4

【解析】【答案】根据集合B满足A∪B={1，2}，可得B⊆A，进而根据n元集合有2n个子集；得到答案．

10、略

【分析】【解析】试题分析：根据题意，由于那么可知c=2,b=可知=由于余弦定理可知，那么=故答案为考点：解三角形【解析】【答案】11、略

【分析】

将函数y=sinx的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标变为原来的得到函数y=f（x）=sin2x的图象；

再将函数y=f（x）的图象沿着x轴的正方向平移个单位长度，得到函数y=g（x）=sin2（x-）=sin（2x-）的图象。

∴g（x）的解析式为g（x）=sin（2x-）

故答案为g（x）=sin（2x-）

【解析】【答案】利用函数图象的伸缩变换理论，横坐标变为原来的即将自变量x乘以2，即由f（x）到f（2x），再利用函数图象的平移变换理论，将函数y=f（x）的图象沿着x轴的正方向平移个单位长度，只需将x减即由f（2x）到f[2（x-）]；从而得所求函数解析式。

12、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】202613、14【分析】【解答】设P与地面高度与时间t的关系；f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π））；

由题意可知：A=8，B=10，T=12，所以ω=即

又因为f（0）=2，故得

所以f（16）==14．

故答案为：14．

【分析】由实际问题设出P与地面高度与时间t的关系，f（t）=Asin（ωt+φ）+B（A＞0，ω＞0，φ∈[0，2π）），由题意求出三角函数中的参数A，B，及周期T，利用三角函数的周期公式求出ω，通过初始位置求出φ，求出f（16）的值即可．三、证明题(共5题，共10分)14、略

【分析】【分析】（1）过点C作CE⊥AB于点E；根据正弦的定义可以表示出CE的长度，然后利用三角形的面积公式列式即可得解；

（2）根据S△ABC=S△ABD+S△ACD列式，然后根据正弦与余弦的定义分别把BD、AD、CD，AB，AC转化为三角形函数，代入整理即可得解．【解析】【解答】解：（1）过点C作CE⊥AB于点E；

则CE=AC•sin（α+β）=bsin（α+β）；

∴S=AB•CE=c•bsin（α+β）=bcsin（α+β）；

即S=bcsin（α+β）；

（2）根据题意，S△ABC=S△ABD+S△ACD；

∵AD⊥BC；

∴AB•ACsin（α+β）=BD•AD+CD•AD；

∴sin（α+β）=；

=+；

=sinαcosβ+cosαsinβ．15、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．16、略

【分析】【分析】（1）连AC；BC；OC，如图，根据切线的性质得到OC⊥PD，而AD⊥PC，则OC∥PD，得∠ACO=∠CAD，则∠DAC=∠CAO，根据三角形相似的判定易证得Rt△ACE≌Rt△ACD；

即可得到结论；

（2）根据三角形相似的判定易证Rt△PCE∽Rt△PAD，Rt△EBC∽Rt△DCA，得到PC：PA=CE：AD，BE：CE=CD：AD，而CD=CE，即可得到结论．【解析】【解答】证明：（1）连AC、BC，OC，如图，

∵PC是⊙O的切线；

∴OC⊥PD；

而AD⊥PC；

∴OC∥PD；

∴∠ACO=∠CAD；

而∠ACO=∠OAC；

∴∠DAC=∠CAO；

又∵CE⊥AB；

∴∠AEC=90°；

∴Rt△ACE≌Rt△ACD；

∴CD=CE；AD=AE；

（2）在Rt△PCE和Rt△PAD中；∠CPE=∠APD；

∴Rt△PCE∽Rt△PAD；

∴PC：PA=CE：AD；

又∵AB为⊙O的直径；

∴∠ACB=90°；

而∠DAC=∠CAO；

∴Rt△EBC∽Rt△DCA；

∴BE：CE=CD：AD；

而CD=CE；

∴BE：CE=CE：AD；

∴BE：CE=PC：PA；

∴PC•CE=PA•BE．17、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．18、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=四、计算题(共2题，共10分)19、略

【分析】【分析】①连接CD交EF于O；连接CE，CA，DB，过D作DQ⊥CA于Q，根据勾股定理求出CO；DO，求出CD，证矩形DQAB，推出AQ=DB，AB=DQ，根据勾股定理求出DQ即可；

②求出CD=2-2，根据勾股定理求出即可．【解析】【解答】解：有两种情况：

①连接CD交EF于O；连接CE，CA，DB，过D作DQ⊥CA于Q；

∵EF是圆C和圆D的公共弦；

∴CD⊥EF；EO=FO=1；

在△CDE中，由勾股定理得：CO==2；

同理求出DO=2；

∴CD=2+2；

∵AB是两圆的外公切线；

∴QA⊥AB；DB⊥AB；

∵DQ⊥CA；

∴∠DQA=∠CAB=∠DBA=90°；

∴四边形AQDB是矩形，

∴AB=DQ；AQ=DB=3；

∴CQ=5-3=2；

在△CDQ中，由勾股定理得：DQ==4+2；

②如图所示：

同理求出AB=4-2．

故答案为：4±2．20、略

【分析】【分析】根据a*b=4ab得到4ax=x，求出方程的解即可．【解析】【解答】解：∵a*x=x；

∴4ax=x；

当x≠0时；

∴a=．

故答案为：．五、作图题(共2题，共6分)21、解：由题意作示意图如下；

【分析】【分析】由题意作示意图。22、解：程序框图如下：

【分析】【分析】该函数是分段函数，当x取不同范围内的值时，函数解析式不同，因此当给出一个自变量x的值时，必须先判断x的范围，然后确定利用哪一段的解析式求函数值，因为函数解析式分了三段，所以判断框需要两个，即进行两次判断，于是，即可画出相应的程序框图．六、综合题(共4题，共24分)23、略

【分析】【分析】（1）可先根据AB=OA得出B点的坐标；然后根据抛物线的解析式和A，B的坐标得出C，D两点的坐标，再依据C点的坐标求出直线OC的解析式．进而可求出M点的坐标，然后根据C；D两点的坐标求出直线CD的解析式进而求出D点的坐标，然后可根据这些点的坐标进行求解即可；

（2）（3）的解法同（1）完全一样．【解析】【解答】解：（1）由已知可得点B的坐标为（2；0），点C坐标为（1，1），点D的坐标为（2，4）；

由点C坐标为（1；1）易得直线OC的函数解析式为y=x；

故点M的坐标为（2；2）；

所以S△CMD=1，S梯形ABMC=

所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3；

即结论①成立．

设直线CD的函数解析式为y=kx+b；

则；

解得

所以直线CD的函数解析式为y=3x-2．

由上述可得，点H的坐标为（0，-2），yH=-2

因为xC•xD=2；

所以xC•xD=-yH；

即结论②成立；

（2）（1）的结论仍然成立．

理由：当A的坐标（t；0）（t＞0）时，点B的坐标为（2t，0），点C坐标为（t，t2），点D的坐标为（2t，4t2）；

由点C坐标为（t；t2）易得直线OC的函数解析式为y=tx；

故点M的坐标为（2t；2t2）；

所以S△CMD=t3，S梯形ABMC=t3．

所以S△CMD：S梯形ABMC=2：3；

即结论①成立．

设直线CD的函数解析式为y=kx+b；

则；

解得

所以直线CD的函数解析式为y=3tx-2t2；

由上述可得，点H的坐标为（0，-2t2），yH=-2t2

因为xC•xD=2t2；

所以xC•xD=-yH；

即结论②成立；

（3）由题意，当二次函数的解析式为y=ax2（a＞0），且点A坐标为（t，0）（t＞0）时，点C坐标为（t，at2），点D坐标为（2t，4at2）；

设直线CD的解析式为y=kx+b；

则：；

解得

所以直线CD的函数解析式为y=3atx-2at2，则点H的坐标为（0，-2at2），yH=-2at2．

因为xC•xD=2t2；

所以xC•xD=-yH．24、略

【分析】【分析】（1）已知抛物线的对称轴是y轴；顶点是（0，4），经过点（4，0），利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）①过点P作PG⊥x轴于点G；根据三线合一定理可以求得G的坐标，则P点的横坐标可以求得，把P的横坐标代入抛物线的解析式，即可求得纵坐标，得到P的坐标，再根据正方形的边长是4，即可求得Q的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得Q的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线PF的解析式；

②已知n=2；即A的纵坐标是2，则P的纵坐标一定是2，把y=2代入抛物线的解析式即可求得P的横坐标，根据AP=2，且AP∥y轴，即可得到A的横坐标，从而求得m的值；

（3）假设B在M点时，C在抛物线上或假设当B点在N点时，D点同时在抛物线上时，求得两个临界点，当B在MP和FN之间移动时，抛物线与正方形有两个交点．【解析】【解答】解：（1）由抛物线y=ax2+c经过点E（0；4），F（4，0）

，解得；

∴y=-x2+4；

（2）①过点P作PG⊥x轴于点G；

∵PO=PF∴OG=FG

∵F（4；0）∴OF=4

∴OG=OF=×4=2；即点P的横坐标为2

∵点P在抛物线上。

∴y=-×22+4=3；即P点的纵坐标为3

∴P（2；3）

∵点P的纵坐标为3；正方形ABCD边长是4，∴点Q的纵坐标为-1

∵点Q在抛物线上，∴-1=-x2+4

∴x1=2，x2=-2（不符题意；舍去）

∴Q（2；-1）

设直线PF的解析式是y=kx+b；

根据题意得：；

解得：，

则直线的解析式是：y=-x+6；

②当n=2时；则点P的纵坐标为2

∵P在抛物线上，∴2=-x2+4

∴x1=2，x2=-2

∴P的坐标为（2，2）或（-2；2）

∵P为AB中点∴AP=2

∴A的坐标为（2-2，2）或（-2-2；2）

∴m的值为2-2或-2-2；

（3）假设B在M点时；C在抛物线上，A的横坐标是m，则B的横坐标是m+4；

代入直线PF的解析式得：y=-（m+4）+6=-m；

则B的纵坐标是-m，则C的坐标是（m+4，-m-4）．

把C的坐标代入抛物线的解析式得：-m-4=-（m+4）2+4，解得：m=-1-或-1+（舍去）；

当B在E点时；AB经过抛物线的顶点，则E的纵坐标是4；

把y=4代入y=-x+6，得4=-x+6，解得：x=；

此时A的