【教无忧】2024-2025学年高一数学同步讲义（人教A版2019）5．4．1 正弦函数、余弦函数的图象（五大题型）

5．4．1正弦函数、余弦函数的图象目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 3题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图 3题型二：含绝对值的三角函数 6题型三：解三角不等式问题 8题型四：与三角函数有关的零点问题 11题型五：识图问题 14

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一：正弦函数图象的画法1、描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法．2、几何法利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象．3、五点法先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象．在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是知识点诠释：（1）熟记正弦函数图象起关键作用的五点．（2）若，可先作出正弦函数在上的图象，然后通过左、右平移可得到的图象．知识点二：正弦曲线（1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线．（2）图象知识点诠释：（1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质．（2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如，方程根的个数．知识点三：用三角函数图象解三角不等式的方法1、作出相应正弦函数或余弦函数在上的图象；2、写出适合不等式在区间上的解集；3、根据公式一写出不等式的解集．【典型例题】题型一：五点作图法作正弦函数、余弦函数的简图【典例1-1】用“五点法”作出，的简图.【解析】列表：x0001021232描点、连线，如图.【典例1-2】（2024·高一·全国·专题练习）用“五点法”作出下列函数，的简图：【解析】列表001000描点，连线，如图所示：【方法技巧与总结】1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即或的图象在内的最高点、最低点和与x轴的交点．2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换．【变式1-1】（2024·高一·全国·单元测试）已知，画出在上的图象．【解析】∵，∴，列表：x02112描点，连线，如图所示．【变式1-2】作出下列函数的大致图像：(1)，；(2)，x∈R．【解析】（1）列表如下π作出图象，如图所示.（2）函数的图象如下图所示：函数的图象可由函数在x轴下方的图象沿轴翻折得到：【变式1-3】（2024·高三·全国·专题练习）已知函数．完成下面表格，并用“五点法”作函数在上的简图：

x0π2π【解析】补充完整的表格如下：x0π2π13531描点、连线得函数的图象如图所示，题型二：含绝对值的三角函数【典例2-1】（2024·高三·全国·专题练习）画出函数的简图．【解析】，的图象如下图所示，【典例2-2】（2024·高一·全国·课后作业）作出函数，的大致图像．【解析】函数，其图如下所示：【方法技巧与总结】分类讨论解决绝对值问题【变式2-1】（2024·高一·江苏盐城·期末）已知函数，．（1）作出函数的图象；（2）求方程的解．【解析】（1）当时，，则；当时，，则.，函数的图象如下图所示：（2）当时，令，即，得，解得；当时，令，得，该方程无解.综上所述，方程的解为.【变式2-2】（2024·高一·全国·课前预习）作函数的图象.【解析】故的图象实际就是的图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方后得到的图象，如图【变式2-3】（2024·高一·上海·课后作业）作出函数的图像．【解析】由三角函数的基本关系式，可得，，当时，函数；当时，函数；当时，函数；结合余弦函数的图象，可得函数图象，如图所示：题型三：解三角不等式问题【典例3-1】（2024·高一·北京延庆·期中）不等式的解集为．【答案】【解析】在的解集为，结合的周期为可知，不等式的解集为.故答案为：.【典例3-2】（2024·高一·广东深圳·期末）已知函数，则不等式的解集为．【答案】【解析】由得，所以，解得不等式的解集为故答案为：【方法技巧与总结】用三角函数的图象解（或）的方法（1）作出直线，作出（或）的图象．（2）确定（或）的x值．（3）确定（或）的解集．【变式3-1】（2024·高三·全国·专题练习）在内，不等式的解集是．【答案】【解析】因为在上单调递减，且，所以在上，由，得；而在上单调递增，且，所以在上，由，得；综上，，即.故答案为：.【变式3-2】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）当时，不等式的解集是．【答案】【解析】由可得：，所以，解得：，因为，所以，，所以原不等式的解集为：，故答案为：【变式3-3】（2024·高一·上海·课后作业）在内，不等式的解集是.【答案】【解析】画出，的草图如下：当时，由，得，又，观察图象，当时，所以不等式的解集是.故答案为：【变式3-4】（2024·高一·全国·课后作业）不等式，的解集为.【答案】【解析】作出在上的图象如图所示，由图象可知：不等式的解集为.故答案为：.题型四：与三角函数有关的零点问题【典例4-1】（2024·高一·上海·随堂练习）函数，的图象与直线的交点个数为．【答案】2【解析】令，，，，所以或，故所求为2.故答案为：2.【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）函数的图像与直线的交点有个.【答案】2【解析】作出函数的图像与直线，如图所示：所以交点个数为2.故答案为：2【方法技巧与总结】方程的根（或函数零点）问题：三角函数的图象是研究函数的重要工具，通过图象可较简便的解决问题，这正是数形结合思想方法的应用．【变式4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则实数k的取值范围是．【答案】【解析】由题意，得画出函数的图象，如下图所示：由图象可知，当时，函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点．故答案为：【变式4-2】（2024·高一·全国·课后作业）函数的图象与的图象在上的交点个数为.【答案】【解析】作出函数与在上的图象，如图所示：由图可知，两函数图象在上有个交点.故答案为：【变式4-3】（2024·高一·上海浦东新·期中）定义在区间上的函数与的图象的交点个数为.【答案】16【解析】由于，故为偶函数，因为也为偶函数，故考虑的情况，画出图像，如图所示：共有个交点，且时，没有交点，故共有16个交点.故答案为：16【变式4-4】（2024·高一·全国·课后作业）函数，的图像与直线的交点坐标为．【答案】或【解析】因为，令，即，则，所以或，因为，所以或，所以函数，的图像与直线的交点坐标为或.故答案为：或【变式4-5】（2024·高一·湖南·课后作业）函数，的图象与直线的交点有个．【答案】2【解析】作，的图象及直线如下所示，知两函数图象有两个交点．故答案为：2【变式4-6】（2024·高一·上海·随堂练习）若函数在上有两个零点，则实数a的取值范围是．【答案】【解析】令得．作出在上的图像，如图所示．要使函数在上有两个零点，需满足，所以．故答案为：．题型五：识图问题【典例5-1】（2024·高三·河南·阶段练习）函数的大致图像为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】D【解析】函数定义域为，又因为，所以函数是奇函数，函数图像关于原点对称，故A和B错误；当时，则，故C错误.故选：D.【典例5-2】（2024·青海海东·模拟预测）函数在上的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】易知f(x)是偶函数，排除B，C项；当时，，所以，排除A项.故选：D【方法技巧与总结】利用排除法，从定义域、奇偶性、代数三个方面进行排除．【变式5-1】（2024·高三·江西宜春·期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休，在数学的学习和研究中，函数的解析式常用来琢磨函数图象的特征.函数在的图像大致为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】根据奇偶性排除A，取特殊值，得到答案D，为奇函数，排除A，，，故选：D【变式5-2】图中的曲线对应的函数解析式是（

）

A． B． C． D．【答案】C【解析】对于A选项，当时，，A选项不满足条件；对于B选项，当时，，，B选项不满足条件；对于C选项，令，该函数的定义域为，，故函数为偶函数，当时，，由三角函数图象可知，C选项满足条件；对于D选项，当时，，D选项不满足条件.故选：C.【变式5-3】（2024·高一·河南省直辖县级单位·期末）华罗庚是享誉世界的数学大师，国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”“华氏不等式”“华氏算子”“华—王方法”等，其斐然成绩早为世人所推崇．他曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，告知我们把“数”与“形”，“式”与“图”结合起来是解决数学问题的有效途径．在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数图象的特征．已知函数y=fx的图象如图所示，则的解析式可能是（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】由的图象在纵轴右侧先单调递增再递减，又和在纵轴右侧均先递增，而和在纵轴右侧均先递减，由复合函数的单调性可排除B、C，若，则根据复合函数单调性有时函数单调递减，与图象不符，故D错误；而，则根据复合函数单调性有时函数单调递减，与图象相符，故A正确.故选：A【变式5-4】（