【教无忧】2024-2025学年高一数学同步讲义（人教A版2019）3.2.2 奇偶性（九大题型）

3.2.2奇偶性目录TOC\o"1-2"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 3【知识点梳理】 3【典型例题】 5题型一：函数的奇偶性的判断与证明 5题型二：已知函数的奇偶性求表达式 11题型三：已知函数的奇偶性求值 12题型四：已知函数的奇偶性求参数 14题型五：已知奇函数+M 16题型六：抽象函数的奇偶性问题 19题型七：奇偶性与单调性的综合运用 22题型八：利用函数奇偶性识别图像 25题型九：奇偶性与对称性的综合运用 29

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一、函数的奇偶性概念及判断步骤1、函数奇偶性的概念偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．奇函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为奇函数．知识点诠释：（1）奇偶性是整体性质；（2）在定义域中，那么在定义域中吗？具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；（3）的等价形式为：，的等价形式为：；（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有；（5）若既是奇函数又是偶函数，则必有．2、奇偶函数的图象与性质（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数．3、用定义判断函数奇偶性的步骤（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性．若，则是奇函数；若=，则是偶函数；若，则既不是奇函数，也不是偶函数；若且，则既是奇函数，又是偶函数知识点二、判断函数奇偶性的常用方法（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等．（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证及是否成立即可．（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称．（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系．首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．知识点三、关于函数奇偶性的常见结论（1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称．（2）奇偶函数的图象特征．函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称．（3）若奇函数在处有意义，则有；偶函数必满足．（4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同．（5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则．（6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如．对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶．（7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．【典型例题】题型一：函数的奇偶性的判断与证明【典例1-1】（2024·重庆·三模）设函数，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为定义域为，则，所以函数的对称中心为，所以将函数向右平移个单位，向上平移个单位，得到函数，该函数的对称中心为，故函数为奇函数.故选：A.【典例1-2】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)；(3)；(4)．【解析】（1）函数的定义域为R，关于原点对称，又，∴为偶函数．（2）函数的定义域为，关于原点对称，且，又f-x=-fx∴既是奇函数又是偶函数．（3）函数的定义域为，不关于原点对称，∴是非奇非偶函数．（4）函数的定义域为，∵，都有，且，∴是奇函数．【方法技巧与总结】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域．函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功．【变式1-1】判断下列函数的奇偶性，并说明理由：(1)；(2)；(3)，（其中常数）.【解析】（1）是偶函数，理由如下：由题意得的定义域为，所以，所以是偶函数．（2）是奇函数，理由如下：由题意得的定义域为．因为，都有，且，所以是奇函数．（3），（其中常数），既不是奇函数也不是偶函数，理由如下：的定义域为，（其中常数），定义域不关于原点对称，所以，（其中常数），既不是奇函数也不是偶函数．【变式1-2】（2024·高一·浙江嘉兴·期末）设函数，则下列函数是奇函数的是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，对于A选项，，令，该函数的定义域为，，则为奇函数，A满足要求；对于B选项，，令，该函数的定义域为，则，所以，函数不是奇函数，B不满足条件；对于C选项，，令，该函数的定义域为，则，所以，函数不是奇函数，C不满足条件；对于D选项，，令，该函数的定义域为，则，所以，函数不是奇函数，D不满足要求.故选：A.【变式1-3】（多选题）（2024·高一·湖南娄底·期末）已知函数是定义在上的奇函数，则下列函数中为偶函数的是（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】因为的定义域为，又因为，所以是偶函数；故A是偶函数；令，则，所以是偶函数，故B是偶函数；令，则，所以是偶函数，故C是偶函数；令，则，所以是奇函数，故D是奇函数．故选：ABC.【变式1-4】（2024·高一·全国·专题练习）判断下列各函数是否具有奇偶性(1)(2)(3)(4)；(5)(6)【解析】（1）的定义域为R，它关于原点对称．，故为奇函数；（2）的定义域为不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数；（3）因为，所以，即函数的定义域为，不关于原点对称，故既不是奇函数也不是偶函数；（4）由，得，且，所以的定义域为，关于原点对称，所以．又，所以是奇函数；（5）对于函数，因为，所以，其定义域为，关于原点对称．因为对定义域内的每一个，都有，所以，f-x=-fx所以既是奇函数又是偶函数；（6）因为，所以，所以的定义域为，不关于原点对称，所以既不是奇函数也不是偶函数．故答案为：①奇函数；②非奇非偶函数；③非奇非偶函数；④奇函数；⑤即是奇函数也是偶函数；⑥非奇非偶函数【变式1-5】（2024·高一·江苏常州·期中）已知函数(1)判断并证明函数的奇偶性；(2)若函数在上的最小值为7，求实数的值.【解析】（1）若，则，定义域关于原点对称，，故是奇函数；若，则不是奇函数，又，故不是偶函数，所以既不是奇函数也不是偶函数.综上，当时，函数是奇函数；当时既不是奇函数也不是偶函数.（2）①当时，，对称轴为，所以函数在上单调递增.所以，即，解得（舍）或；②当时，，对称轴为，所以函数在上单调递增，所以，即（舍去）；③当时，，对称轴为，所以函数在上单调递增，在上单调递减，因为，当时，，所以，即，得，均舍；当时，，则，即，得（舍去），；④当时，，因为，则此时，函数在上单调递减，在上单调递增，，得，均舍.综上，或.题型二：已知函数的奇偶性求表达式【典例2-1】（2024·高一·贵州·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当x>0时，，则．【答案】【解析】设，则，则，函数y=fx是上的奇函数，则当时，.又，所以故答案为：.【典例2-2】（2024·高一·山东淄博·阶段练习）已知函数是定义在区间上的奇函数，当时，，则时.【答案】【解析】当时，，则有，因函数是定义在区间上的奇函数，故得.故答案为：.【方法技巧与总结】抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的解析式．【变式2-1】（2024·高一·吉林·期中）若定义在R上的偶函数和奇函数满足．则．【答案】【解析】由题意，，则由可得，即由，可得故答案为：【变式2-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知，都是定义在R上的函数，如果存在实数m，n使得，那么称为，在R上生成的函数．设，，若为，在R上生成的一个偶函数，且，则函数．【答案】【解析】．因为为偶函数．所以①；又，则②；联立①②解得，．所以．故答案为：【变式2-3】（2024·高一·全国·竞赛）已知是二次函数，且为奇函数，当时，的最小值为1，则的表达式是.【答案】或【解析】设.则.又为奇函数，，，对称轴为.当，即时，在上为减函数，的最小值为，又，故此时无解；当即时，的最小值，，此时；当即时，在上为增函数，的最小值为，，此时.综上，所求为或.故答案为：或.题型三：已知函数的奇偶性求值【典例3-1】（2024·高一·山东潍坊·期中）已知，是分别定义在上的奇函数和偶函数，且，则.【答案】【解析】和已知条件相加得故故故答案为：【典例3-2】（2024·高一·北京·期中）设是定义在R上的奇函数，当时，，则.【答案】【解析】是奇函数，则，即时，，所以，从而．故答案为：．【方法技巧与总结】充分利用奇偶性进行求解．【变式3-1】（2024·高一·河南洛阳·期末）已知函数是奇函数，且，则.【答案】/【解析】的定义域为，而为奇函数，故，而，故，故，所以，此时，故为奇函数，故，故答案为：【变式3-2】（2024·高三·广东珠海·期中）若函数是定义在上的偶函数，则．【答案】５【解析】函数是定义在上的偶函数，，即．，，，∴,∴,故答案为：.【变式3-3】（2024·高三·江苏扬州·期中）已知函数为偶函数，且时，，则.【答案】2【解析】因为时，，所以因为函数为偶函数，所以故答案为：2题型四：已知函数的奇偶性求参数【典例4-1】（2024·高一·全国·课后作业）已知定义在上的函数是奇函数，则实数的值为．【答案】或【解析】因为，为奇函数，又奇函数的定义域关于原点对称，所以，，解得或，故答案为：或．【典例4-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数，是奇函数，则.【答案】【解析】令，，因为是奇函数，所以，即，解得，所以.故答案为：【方法技巧与总结】利用函数的奇偶性的定义转化为，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时还显得比较麻烦，为了使解题更快，可采用特殊值法求解．【变式4-1】（2024·高一·全国·专题练习）已知函数为偶函数，则．【答案】【解析】因为函数为偶函数，所以f-x=fx即，即，两边平方，化简可得．要使上式恒成立，则，即．故答案为：【变式4-2】（2024·高一·吉林延边·期中）设是定义在上的奇函数，则【答案】【解析】是定义在的奇函数，，即，，且，解得，或当时，定义域为，不合题意，舍去；当时，定义域为，合题意，，.故答案为：.【变式4-3】（2024·高一·全国·专题练习）已知为偶函数，则.【答案】【解析】法一：特殊值法：因为为偶函数，所以，所以，解得，经检验，当时，为偶函数，符合题意.法二：定义法：因为为偶函数，所以，所以，化简得，所以，解得.故答案为：【变式4-4】（2024·高一·安徽·阶段练习）已知函数为奇函数，则．【答案】【解析】定义域为且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，所以，所以，所以，即，解得，所以.故答案为：.题型五：已知奇函数+M【典例5-1】（2024·高一·上海·随堂练习）已知函数，其中，且，则．【答案】【解析】，得构造函数，定义域为R．因为．所以函数是偶函数，所以，所以，从而，又，因此.故答案为：．【典例5-2】（2024·高一·上海·课后作业）设函数，则它的最大值与最小值的和为.【答案】0【解析】因为的定义域关于原点对称，且，所以是奇函数，不妨设，则，所以的最大值与最小值的和为0.故答案为：0.【方法技巧与总结】已知奇函数+M，，则（1）（2）【变式5-1】（2024·高一·上海·课后作业）设函数的最大值为，最小值为，则.【答案】2【解析】因为，令，定义域为.且，所以为奇函数.因为，所以的最大值为，的最小值为.所以，所以.故答案为：【变式5-2】（2024·高一·广东·期末）已知函数，若，则.【答案】【解析】因为，所以，则.故答案为：.【变式5-3】（2024·高一·江苏盐城·期末）若定义在区间上的函数满足：对于任意的，，都有，且时，有，若的最大值为，最小值为，则的值为.【答案】4048【解析】令得，所以，令得，所以，令，则，，因为，又定义域关于原点对称，所以是奇函数，所以，即，所以.故答案为：4048【变式5-4】（2024·高一·全国·单元测试）设函数在区间上的最大值为M，最小值为N，则的值为.【答案】1【解析】由题意知，（），设，则，因为，所以为奇函数，在区间上的最大值与最小值的和为0，故，所以.故答案为：1【变式5-5】（2024·高一·重庆云阳·阶段练习）若关于的函数的最大值为，最小值为，且，则实数的值为【答案】3【解析】函数定义域为R，且令，可得：，所以是奇函数，所以为奇函数，且定义域为R，故最大值与最小值互为相反数，所以，即，，解得：.故答案为：3【变式5-6】（2024·高三·河南周口·开学考试）已知定义在上的函数满足，若函数的最大值和最小值分别为，则．【答案】4048【解析】令，得，令，则，所以，令，所以，为奇函数，．令，则，即为奇函数，所以．而，所以．故答案为：4048题型六：抽象函数的奇偶性问题【典例6-1】（2024·山西·一模）已知函数是定义在上不恒为零的函数，若，则（

）A． B．C．为偶函数 D．为奇函数【答案】C【解析】令，则，故，A选项错误；令，则，故，B选项错误；令，则，故为偶函数，C选项正确；因为为偶函数，又函数是定义在上不恒为零的函数，D选项错误.故选：C【典例6-2】（多选题）（2024·高三·江苏南通·期中）设奇函数与偶函数的定义域均为，且在区间上都是单调增函数，则（

）A．不具有奇偶性，且在区间上是单调增函数B．不具有奇偶性，且在区间上的单调性不能确定C．是奇函数，且在区间上是单调增函数D．是偶函数，且在区间上的单调性不能确定【答案】ABD【解析】，在区间上都是单调增函数，单调增，单调性没有办法确定，C错.因为为奇函数，为偶函数，所以不具有奇偶性，A，B正确.，所以为偶函数，令，设任意，则，而所在区间无法确定，故的正负无法判断，所以单调性不能确定，D正确.故选：ABD.【方法技巧与总结】判断抽象函数的奇偶性，可用特殊值赋值法来求解．在这里，由于需要判断与之间的关系，因此需要先求出的值才行．【变式6-1】（2024·高一·全国·专题练习）定义在上的函数是单调函数，满足，且，.(1)求，f1；(2)判断的奇偶性，并证明；【解析】（1）取，得，即，所以，因为，又，得，可得；（2）因为函数是定义在上的函数，定义域关于原点对称，取，得，移项得，所以函数是奇函数.【变式6-2】（2024·高一·山东·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，且．(1)求；(2)判断的奇偶性，并说明理由；(3)判断在上的单调性，并说明理由．【解析】（1）令，，可得，解得；令，，可得，解得.（2）为奇函数，理由如下：，而，得故在上是奇函数（3）当时，，所以当，则，得，又在上是奇函数，所以当，则，设，则，所以，，故，在上单调递减.【变式6-3】（2024·高三·黑龙江牡丹江·阶段练习）定义在R上的连续函数满足对任意，，.(1)证明：；(2)请判断的奇偶性；(3)若对于任意，不等式恒成立，求出m的最大值.【解析】（1）令，则有，，因为是任意的，，由得，，；（2）令，由①②得，将代入，解得或（，舍去），代入③得；令，则有，两式相加得，由（1）的运算结果，代入上式，得：，由可知如果，则有，不可能，所以，，由于x是任意的，必有，两式相加得，是偶函数，，是奇函数；（3）由于，不等式即为：，由，得，令，则不等式转化为，其中，，，当且仅当时等号成立，所以m的最大值为；综上，m的最大值为.题型七：奇偶性与单调性的综合运用【典例7-1】（2024·高一·全国·随堂练习）已知定义在R上的奇函数，且当时，单调递增，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因是定义在R上的奇函数，由可得，又因时，单调递增，故在R上单调递增，故得，，解得，.故选：C.【典例7-2】（2024·高一·云南楚雄·期末）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题意知，解得，所以，即，易得在R上单调递增．因为，所以为奇函数．又，故等价于，则，解得.故选：B.【方法技巧与总结】函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．【变式7-1】（2024·高一·云南普洱·期末）已知定义在上的函数满足，且当时，恒有，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由得，的图象关于直线对称，令，则是偶函数，又当时，恒有，故在上单调递减，所以在上单调递减，则，即得解得或.故选：C.【变式7-2】（2024·高一·全国·课后作业）已知函数，若，则x的取值范围为．【答案】【解析】由题意可知：的定义域为，若，则，可得；同理可得：当时，；且时，；综上所述：是偶函数．因为开口向上，且对称轴为，可知函数在内单调递增，则函数在内单调递减，则不等式等价于，即，整理得，解得或，所以x的取值范围为.故答案为：.【变式7-3】（2024·高一·河南安阳·阶段练习）已知奇函数在其定义域上是减函数，且，则的取值范围为.【答案】【解析】因为是奇函数，所以等价于，又函数在定义域上是减函数，需满足，解得，即的取值范围为.故答案为：【变式7-4】（2024·高一·山东淄博·期中）已知函数为偶函数，且在上为增函数，若，则x的范围是．【答案】或【解析】由函数为偶函数，故，即，则的图象关于对称，由在上为增函数，则，即在上为增函数，则在上为减函数，则对可得，即，则，化简得，即或.故答案为：或.【变式7-5】（2024·高一·贵州·阶段练习）已知函数为定义在上的奇函数，且在为减函数，在为增函数，，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为为定义在上的奇函数，所以，且又因，所以，又因在为增函数，在上，在上，又因在为减函数，所以上，综上，当时，，当时，当时，则，所以，则，当时，则，所以，则，不等式可化简变形为，综上所述可知当时，.故选：D题型八：利用函数奇偶性识别图像【典例8-1】（2024·高一·安徽蚌埠·阶段练习）函数的图像大致是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】因为，所以函数为奇函数，图象关于原点成中心对称，故C错；令，则，故B错；令，则，故D错.选项A正确.故选：A【典例8-2】（2024·高一·重庆·期中）函数的图像大致是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】由，得函数为奇函数，排除B项，由，得，则排除C、D两项.故选：A.【方法技巧与总结】利用奇偶性进行排除．【变式8-1】（2024·高三·上海静安·期中）函数的图像大致为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】设，则，故为奇函数，A，D符合，排除B，C.又，所以当时，恒成立，故A满足，D排除.故选：A【变式8-2】（2024·高一·新疆乌鲁木齐·期中）函数的图像大致是（

）A．

B．C．

D．

【答案】B【解析】由函数，可得，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，又由时，，所以函数图象为B选项.故选：B.【变式8-3】（2024·高一·湖北·期中）函数的图像不可能是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为，且，所以该函数为偶函数，下面只讨论时的情况：，当时，，图象为C；当时，，图象为B；若时，函数单调递增，图象为D；所以函数的图象可能为：BCD.故选：A.【变式8-4】（2024·高一·云南昆明·期末）函数的图像可能是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】当时，函数的定义域为，当时，函数的定义域为，其定义域都关于原点对称，，即函数为奇函数，其图像关于原点对称，故AC错误；由选项图可知，都是讨论的情况，当时，，对勾函数在上单调递减，在上单调递增，若，则在上单调递增，在上单调递减，且当时，，故B正确；对于D选项，由图可知，.函数在和上单调递增，若，在和上单调递减，若，在和上单调递增，故D错误；故选：B题型九：奇偶性与对称性的综合运用【典例9-1】（2024·高一·广东佛山·期末）定义在上的函数满足：是偶函数，且函数的图像与函数的图像共有n个交点：，，…，，则（

）A．0 B．n C．2n D．4n【答案】C【解析】是偶函数，则，则关于轴对称，又也关于轴对称，则两个函数的交点两两关于轴对称，则,故选：C.【典例9-2】（2024·高一·上海·随堂练习）已知函数（常数）．条件：（1）在区间上是严格增函数；（2）在定义域上函数值恒为负值；（3）对称中心为．问：是否存在整数a，使该函数满足条件（1）（2）（3）中的两个条件，若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，请说明理由．【解析】，当时，函数值域．所以（2）成立只能．要使得在区间上是严格增函数，则；因为，所以函数的对称中心为，由（1）（3）得，．由（2）（3）可得．综上所述，且．【方法技巧与总结】奇偶性与对称性的综合运用在函数性质探讨中至关重要。技巧与方法包括：定义法：直接利用