2024-2025学年高中数学第四章函数应用4.1函数与方程学案含解析北师大版必修1

PAGE第四章函数应用§1函数与方程学问点一函数的零点[填一填]对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫作函数y＝f(x)的零点．[答一答]1．函数的零点是点吗？如何求函数的零点？提示：函数的零点不是点，是一个实数；由函数的零点定义可知，求函数的零点可通过解方程f(x)＝0得到．2．当二次函数通过零点时，函数值肯定变号吗？提示：不肯定．如下图，x0是函数的零点，当函数通过零点时，函数值不变号．学问点二方程的根、函数的零点、图像之间的关系[填一填]方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[答一答]3．怎样理解方程的根、函数的零点、图像之间的关系？提示：函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标．所以，函数y＝f(x)的图像与x轴有几个交点，函数y＝f(x)就有几个零点，方程f(x)＝0就有几个解．学问点三函数零点的存在性定理[填一填]假如函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连绵不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[答一答]4．若函数y＝f(x)满意在区间[a，b]上的图像是连绵不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在(a，b)内的零点唯一吗？提示：不肯定．如f(x)＝x3－x在区间[－2,2]上有f(2)·f(－2)<0，但f(x)在(－2,2)内有三个零点－1,0,1；如f(x)＝x＋1，在区间[－2,0]上有f(－2)·f(0)<0，在(－2,0)内只有一个零点－1.5．若函数y＝f(x)满意在区间[a，b]上的图像是连绵不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)>0，是不是说函数y＝f(x)在(a，b)内没有零点？提示：y＝f(x)在(a，b)内也可能有零点．如f(x)＝x2－1，在区间[－2,2]上有f(－2)f(2)>0，但在(－2,2)内有两个零点－1,1.学问点四二分法的概念[填一填]对于在区间[a，b]上连绵不断，且f(a)·f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步靠近零点，进而得到零点的近似值的方法叫作二分法．[答一答]6．用二分法求函数零点的适用条件是什么？提示：①f(x)的图像在区间[a，b]上连绵不断；②f(a)f(b)<0.学问点五用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤[填一填](1)确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度N；(2)求区间(a，b)的中点x1；(3)计算f(x1)；①若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈(a，x1))；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈(x1，b))．(4)推断是否达到精确度N：即若|a－b|<N，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．[答一答]7．“精确到”与“精确度”是一回事吗？提示：不是一回事，详细说明如下：(1)精确度：近似数的误差不超过某个数，就说它的精确度是多少，即设x为精确值，x′为x的一个近似值，若|x′－x|<N，则x′是精确度为N的x的一个近似值，精确度简称精度．用二分法求方程的近似解时，只要根的存在区间(a，b)满意|a－b|<N两端点或区间内的随意一个数均可作为方程的近似解．(2)精确到：按四舍五入的原则得到精确值x的前几位近似值x′，x′的最终一位有效数字在某一数位，就说精确到某一数位．如：π＝3.1415926…，若取3位有效数字，则x′＝3.14，精确到0.01(即百分位)；若取5位有效数字，则x′＝3.1416，精确到0.0001(即万分位)．1．函数的零点其实就是函数y＝f(x)的图像与x轴交点的横坐标，函数的零点不是点，而是一个实数．2．函数是否有零点是针对相应方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．反映在图像上就是函数图像与x轴无交点，如函数y＝1，y＝x2＋1就没有零点．3．推断函数的零点，可利用的结论若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．4．二分法的实质二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步靠近零点的方法，找到零点旁边足够小的区间，依据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点．5．理解二分法的概念时要留意的两点(1)二分法是求函数零点近似值的一种方法，依据题目要求的精确度，只需进行有限次运算即可．(2)它的依据是函数零点的判定定理，即根的存在性定理．6．用二分法求函数零点的近似值的两个关键点(1)初始区间的选取，既符合条件(包含零点)，又要使其长度尽量小(关键词：选初始区间)．(2)进行精确度的推断，以确定是停止计算还是接着计算(关键词：推断精确度).类型一零点的概念及求法【例1】(1)函数y＝lgx－1的零点是________；(2)已知函数f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2，则函数y＝logn(mx＋1)的零点是________．【思路探究】求函数的零点就是求其对应方程的实数根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法求出方程的根，从而得出函数的零点．假如能画出函数的图像，也可依据图像与x轴的交点求函数的零点．【解析】(1)∵函数y＝lgx－1在定义域内单调递增，∴函数y＝lgx－1在(0，＋∞)内只有一个零点，令lgx－1＝0，得x＝10.(2)因为f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点为1和2，所以1和2是方程x2＋3(m＋1)x＋n＝0的两个实数根，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋2＝－3m＋1，,1×2＝n，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝2.))所以函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1)，令log2(－2x＋1)＝0，得x＝0.所以函数y＝log2(－2x＋1)的零点为0.【答案】(1)10(2)0规律方法求函数零点主要有两种方法：(1)代数法，求方程f(x)＝0的实数根；(2)几何法，可以作出函数的图像，依据图像找出零点．函数的零点及其求法主要体现了逻辑推理与数学运算的核心素养．(1)函数f(x)＝eq\f(2,3x＋1)＋a的零点为1，则实数a的值为(B)A．－2 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,2) D．2解析：因为函数f(x)＝eq\f(2,3x＋1)＋a的零点为1，所以f(1)＝eq\f(2,3＋1)＋a＝0，解得a＝－eq\f(1,2).(2)函数f(x)＝eq\f(x－1lnx,x－3)的零点是1.解析：令f(x)＝0，得eq\f(x－1lnx,x－3)＝0，即x－1＝0或lnx＝0，得x＝1，故函数f(x)的零点为1.类型二函数的零点与方程根的关系【例2】已知函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，求g(x)＝bx2－ax的零点．【思路探究】先由f(x)的零点求a，b的关系，再求g(x)的零点．【解】∵函数f(x)＝ax＋b有一个零点是2，∴2a＋b＝0，∴eq\f(a,b)＝－eq\f(1,2).令g(x)＝0，即bx2－ax＝0，∴x＝0或x＝eq\f(a,b)＝－eq\f(1,2).因此g(x)＝bx2－ax的零点是0和－eq\f(1,2).规律方法(1)函数y＝f(x)的零点就是对应方程f(x)＝0的根．(2)二次函数的零点与一元二次方程的实根的关系如下表：判别式Δ＝b2－4Δ>0Δ＝0Δ<0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两相异实根x1，x2(x1<x2)有两相等实根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实根二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点有两个零点x1，x2有一个零点x1＝x2没有零点(1)函数f(x)＝ax2－x－1仅有一个零点，则实数a等于0或－eq\f(1,4).解析：①若a＝0，f(x)＝－x－1为一次函数，易知函数仅有一个零点．②若a≠0，f(x)为二次函数，ax2－x－1＝0仅有一个实根，Δ＝1＋4a＝0，a＝－eq\f(1,4).综上：a＝0或a＝－eq\f(1,4)时，函数仅有一个零点．(2)已知函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，求实数a取何值时函数f(x)＝|x2－2x－3|－a，①有两个零点；②有三个零点．解：令h(x)＝|x2－2x－3|和g(x)＝a，分别作出这两个函数的图像如图所示，它们交点的个数即函数f(x)＝|x2－2x－3|－a的零点个数．①若函数有两个零点，则a＝0或a>4.②若函数有三个零点，则a＝4.类型三函数零点的推断【例3】设定义域为R的函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|lgx|，x>0，,－x2－2x，x≤0，))若关于x的函数y＝2f2(x)＋2bf(x)＋1有8个不同的零点，则实数b【思路探究】结合函数f(x)的图像，探讨f(x)的零点个数，把f(x)看作一个整体，再依据函数y＝2f2(x)＋2bf(x)＋1有8个不同的零点，列出关于b【解析】令t＝f(x)，则y＝2t2＋2bt＋1，作出f(x)的图像如图所示：由图可知，当0<t<1时，直线y＝t与f(x)的图像有四个交点，要使关于x的函数y＝2f2(x)＋2bf(x)＋1有8个不同的零点，则y＝2t2＋2bt＋1有两个不同的零点t1，t2，且0<t1<1,0<t2令g(t)＝2t2＋2bt＋1，由零点的分布状况可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4b2－8>0，,g0＝1>0，,g1＝2b＋3>0，,0<－\f(2b,2×2)<1，))解得－eq\f(3,2)<b<－eq\r(2).【答案】－eq\f(3,2)<b<－eq\r(2)规律方法由于函数y＝f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，所以函数y＝g(x)－h(x)的零点就是函数g(x)与h(x)图像的交点的横坐标，所以与函数零点有关的问题可以先画出函数的图像并结合零点存在性定理，列出相应的相等关系或不等关系，进而解决与函数零点有关的问题．(1)函数f(x)＝2x＋log2x－3在区间(1,2)内的零点个数是(B)A．0B．1C．2D．3解析：由题意得，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝－1，f(2)＝2，f(1)·f(2)<0，依据零点存在性定理，可得函数f(x)在区间(1,2)内有1个零点．(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|2x－1|，x<2，,\f(3,x－1)，x≥2，))则函数g(x)＝f(x)－1的零点个数为(A)A．2B．3C．4D．5解析：由题意可得g(x)＝f(x)－1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，x<0，,2x－2，0≤x<2，,\f(3,x－1)－1，x≥2，))当x<0时，g(x)＝－2x<0恒成立，在此区间无零点；当0≤x<2时，令g(x)＝2x－2＝0，得x＝1，即1为其零点；当x≥2时，令g(x)＝eq\f(3,x－1)－1＝0，得x＝4，即4为其零点．综上可得函数g(x)的零点个数为2.类型四利用二分法求方程的近似解【例4】试推断方程x3＋3x－5＝0在区间(0,3)内是否有实数解？若有，求出该解的近似值(精确到0.01)．【思路探究】可利用函数零点存在性的判定方法推断方程在(0,3)内有实数解，然后再利用二分法求出其近似值．【解】设函数f(x)＝x3＋3x－5，由于f(0)＝－5<0，f(3)＝31>0，因此f(0)·f(3)<0，所以f(x)在(0,3)内至少存在一个零点，即原方程在(0,3)内必有实数解．以下用二分法求方程在(0,3)内的近似解．由于f(1)＝－1<0，f(2)＝9>0，所以方程的解又必在区间(1,2)内，故可取区间(1,2)为计算的初始区间．用二分法逐次计算，将方程的解所在的区间依次求出，列表如下：计算次数左端点右端点112211.5311.2541.1251.2551.1251.187561.1251.1562571.1406251.1562581.14843751.1562591.152343751.15625101.152343751.154296875由上表可知，区间[1.15234375,1.154296875]中的每一个数都精确到0.01，都等于1.15，所以1.15就是方程精确到0.01的近似解．规律方法二分法求解步骤(1)确定区间[a，b]．验证f(a)·f(b)<0，初始区间的选择不宜过大，否则将增加运算的次数；(2)求区间[a，b]的中点c.(3)计算f(c)：①若f(c)＝0，则c就是函数的零点．②若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈[a，c])．③若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈[c，b])．(4)推断a，b的两端的近似值是否相等且满意要求的精确度，若是，得零点的近似解；否则，重复(2)～(4)步．特殊留意要运算彻底．(1)用二分法求函数f(x)的一个正实数零点时，经计算f(0.64)<0，f(0.72)>0，f(0.68)<0，f(0.74)>0，则函数的一个精确到0.1的正实数零点的近似值为(C)A．0.64 B．0.74C．0.7 D．0.6解析：题中精确到0.1说明白“二分法”计算的终止条件，故选C.(2)用二分法求函数f(x)＝x3－x－2的一个正实数零点(精确到0.1)．解：由f(1)＝－2<0，f(2)＝4>0，可以确定区间[1,2]作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，详细如表：端点或中点横坐标计算端点或中点的函数值定区间a0＝1，b0＝2f(1)＝－2，f(2)＝4[1,2]x0＝eq\f(1＋2,2)＝1.5f(x0)＝－0.125<0[1.5,2]x1＝eq\f(1.5＋2,2)＝1.75f(x1)≈1.6094>0[1.5,1.75]x2＝eq\f(1.5＋1.75,2)＝1.625f(x2)≈0.6660>0[1.5,1.625]x3＝eq\f(1.5＋1.625,2)＝1.5625f(x3)≈0.2522>0[1.5,1.5625]由上表的计算可知，区间[1.5,1.5625]的长度不大于0.1，因此可取1.5作为所求函数的一个正实数零点的近似值．所以f(x)＝x3－x－2的一个正实数精确到0.1的近似零点为1.5.——易错误区——忽视函数类型的探讨致误【例5】函数y＝ax2－4x＋2只有一个零点，则实数a的值为()A．0 B．2C．0或2 D．1【错解】选A或选B【正解】C当a＝0①时，y＝－4x＋2，由－4x＋2＝0，得x＝eq\f(1,2)，故函数有唯一零点，a＝0成立；当a≠0时，二次函数y＝ax2－4x＋2有唯一零点，则有Δ＝16－8a＝0，得a＝2②综上，a＝0或a＝2.【错因分析】1.忽视①处对二次项系数等于零的探讨．2．把②处一元二次方程有两相等实根的状况当作对应函数有两个零点．【防范措施】特殊状况的处理二次式是我们常见的一种形式，在求解其中参数的值或取值范围时，要警惕二次项系数为零这一状况，如本例中只交待“函数y＝ax2－4x＋2”，那这个函数可以为一次函数，即a已知函数f(x)＝kx2－3x＋1的图像与x轴在原点的右侧有公共点，则实数k的取值范围为(D)A．(0，eq\f(9,4)) B．[0，eq\f(9,4)]C．(－∞，eq\f(9,4)) D．(－∞，eq\f(9,4)]——易错误区——因对二分法的原理理解不到位而致误【例6】已知连续函数f(x)在区间(0，a)上有唯一的零点(a>0)，在用二分法找寻零点的过程中，依次确定了零点所在的区间为(0，eq\f(a,2))，(0，eq\f(a,4))，(0，eq\f(a,8))，则下列说法中正确的是()A．函数f(x)在区间(0，eq\f(a,16))内肯定有零点B．函数f(x)在区间(0，eq\f(a,16))或(eq\f(a,16)，eq\f(a,8))内有零点C．函数f(x)在(eq\f(a,16)，a)内无零点D．函数f(x)在区间(0，eq\f(a,16))或(eq\f(a,16)，eq\f(a,8))内有零点，或零点是eq\f(a,16)【错解】选A或选B【正解】D依据二分法原理，依次“二分”区间后，零点应存在于更小的区间，因此，零点应在(0，eq\f(a,16))或(eq\f(a,16)，eq\f(a,8))中或f(eq\f(a,16))＝0.①【错因分析】在①处，受思维定式的影响错选A.在①处，因遗忘端点“eq\f(a,16)”也可能为零点，而导致错选B.【防范措施】留意二分法的求解原理(1)二分法是不断把区间一分为二渐渐靠近零点的方法．有时中点值会恰好为函数的零点．如本例中“f(eq\f(a,16))＝0”有可能成立．(2)要留意区间的取舍．运用二分法把区间一分为二，要保留端点值异号的区间，但需检验舍弃哪个区间，如本例中在检验之前并不知道区间(0，eq\f(a,16))和(eq\f(a,16)，eq\f(a,8))哪个会被舍弃．对于连续函数f(x)在定义域内用二分法的求解过程如下：f(2011)<0，f(2012)<0，f(2013)>0，则下列叙述正确的是(D)A．函数f(x)在(2011,2012)内不存在零点B．函数f(x)在(2012,2013)内不存在零点C．函数f(x)在(2012,2013)内存在零点，并且仅有一个D．函数f(x