2024-2025学年高中数学第一章常用逻辑用语1.2充分条件与必要条件课时作业含解析北师大版选修2-1

PAGEPAGE4课时作业2充分条件与必要条件时间：45分钟——基础巩固类——一、选择题1．“1<x<2”是“x<2”成立的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当1<x<2时，必有x<2；而x<2时，如x＝0，推不出1<x<2，所以“1<x<2”是“x<2”的充分不必要条件．2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于直线x＝1对称的充要条件是(A)A．m＝－2 B．m＝2C．m＝－1 D．m＝1解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图像关于x＝1对称⇔－eq\f(m,2)＝1⇔m＝－2.3．下面四个条件中，使a>b成立的充分而不必要的条件是(A)A．a>b＋1 B．a>b－1C．a2>b2 D．a3>b3解析：由a>b＋1得a>b＋1>b，即a>b；且由a>b不能得出a>b＋1.因此，使a>b成立的充分不必要条件是a>b＋1，故选A.4．一次函数y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是(B)A．m>1，且n<1 B．mn<0C．m>0，且n<0 D．m<0，且n<0解析：因为y＝－eq\f(m,n)x＋eq\f(1,n)经过第一、三、四象限，故－eq\f(m,n)>0，eq\f(1,n)<0，即m>0，n<0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn<0，故选B.5．已知直线l⊥平面α，直线m平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的(C)A．充要条件 B．必要不充分条件C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：∵α∥β，l⊥平面α，∴l⊥平面β，又直线m平面β，∴l⊥m.而l⊥m，m平面β，不能得出l⊥平面β，又直线l⊥平面α，故得不出α∥β，选C.6．直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为eq\f(1,2)”的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件解析：圆心O(0,0)到直线l：kx－y＋1＝0的距离d＝eq\f(1,\r(1＋k2))，弦长为|AB|＝2eq\r(1－d2)＝eq\f(2|k|,\r(1＋k2))，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×|AB|·d＝eq\f(|k|,k2＋1)＝eq\f(1,2)，∴k＝±1，因此当“k＝1”时，“S△OAB＝eq\f(1,2)”，故充分性成立．“S△OAB＝eq\f(1,2)”时，k也有可能为－1，∴必要性不成立，故选A.7．“a>3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：当a>3时，f(－1)f(2)＝(－a＋2)(2a＋2)<0，即函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点；但当函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点，不肯定是a>3，如当a＝－3时，函数f(x)＝ax＋2＝－3x＋2在区间[－1，2]上存在零点．所以“a>3”是“函数f(x)＝ax＋2在区间[－1,2]上存在零点”的充分不必要条件，故选A.8．b>0是函数f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上单调的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件解析：函数f(x)＝x2＋bx＋c＝(x＋eq\f(b,2))2＋c－eq\f(b2,4).由函数在[0，＋∞)上单调，知－eq\f(b,2)≤0，即b的取值范围是N＝{b|b≥0}，记M＝{b|b>0}，从而知MN，从而b>0是函数f(x)＝x2＋bx＋c在[0，＋∞)上单调的充分不必要条件．二、填空题9．“a＝1”是“y＝cos2ax－sin2ax的最小正周期为π”的充分不必要条件．解析：由a＝1，得y＝cos2x－sin2x＝cos2x，T＝eq\f(2π,2)＝π；反之，y＝cos2ax－sin2ax＝cos2ax，由T＝eq\f(2π,|2a|)＝π，得a＝±1.10．命题p：x1、x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，命题q：x1＋x2＝－5，那么命题p是命题q的充分不必要条件．解析：∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1＋x2＝－5.当x1＝－1，x2＝－4时，x1＋x2＝－5，而－1，－4不是方程x2＋5x－6＝0的两根．11．已知集合A＝{x|logeq\s\do8(\f(1,2))(x＋2)<0}，集合B＝{x|(x－a)(x－b)<0}，若“a＝－3”是“A∩B≠∅”的充分条件，则实数b的取值范围是b>－1.解析：由题意知，A＝{x|x>－1}，当a＝－3时，B＝{x|(x＋3)(x－b)<0}，由A∩B≠∅，得b>－1.三、解答题12．指出下列各组命题中，p是q的什么条件(充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件，既不充分也不必要条件)?(1)p：△ABC中，b2>a2＋c2，q：△ABC为钝角三角形；(2)p：△ABC有两个角相等，q：△ABC是正三角形；(3)若a，b∈R，p：a2＋b2＝0，q：a＝b＝0；(4)p：△ABC中，A≠30°，q：sinA≠eq\f(1,2).解：(1)△ABC中，∵b2>a2＋c2，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)<0，∴B为钝角，即△ABC为钝角三角形，反之若△ABC为钝角三角形，B可能为锐角，这时b2<a2＋c2.∴p⇒q，q⇒p，故p是q的充分不必要条件．(2)有两个角相等不肯定是等边三角形，反之肯定成立，∴p⇒q，q⇒p，故p是q的必要不充分条件．(3)若a2＋b2＝0，则a＝b＝0，故p⇒q；若a＝b＝0，则a2＋b2＝0，即q⇒p，所以p是q的充要条件．(4)转化为△ABC中sinA＝eq\f(1,2)是A＝30°的什么条件．∵A＝30°⇒sinA＝eq\f(1,2)，但是sinA＝eq\f(1,2)⇒A＝30°，∴△ABC中sinA＝eq\f(1,2)是A＝30°的必要不充分条件．即p是q的必要不充分条件．13．已知M＝{x|(x－a)2<1}，N＝{x|x2－5x－24<0}，若M是N的充分条件，求a的取值范围．解：由(x－a)2<1得，x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0，∴a－1<x<a＋1.又由x2－5x－24<0得－3<x<8.∵M是N的充分条件，∴M⊆N，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－1≥－3,a＋1≤8))，解得－2≤a≤7.故a的取值范围是－2≤a≤7.——实力提升类——14．祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是假如两个等高的几何体在同高处截得两几何体的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等．设A，B为两个等高的几何体，p：A，B的体积不相等，q：A，B在同高处的截面面积不恒相等，依据祖暅原理可知，p是q的(A)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为A，B两个几何体等高，所以由祖暅原理得，若A，B的体积不相等，则等高处的截面面积不恒相等，若恒相等，则A，B的体积相等，所以p⇒q；当等高处截面面积不恒相等时，A，B的体积有可能相等，例如，A，B为两个一模一样的棱台，一个上底面对上放置，一个下底面对上放置，则在等高处的截面面积不恒相等，但它们体积相等，故q⇒p，因此p是q的充分不必要条件．15．设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°.证明：(1)必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋b2＝0，xeq\o\al(2,0)＋2cx0－b2＝0，两式相减可得x0＝eq\f(b2,c－a)，将此式代入xeq\o\al(2,0)＋2ax0＋b2＝0，可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°.(2)充分性：∵∠A＝90°，∴b2＋c2＝a2