2025年岳麓版高二数学下册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年岳麓版高二数学下册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共7题，共14分)1、若函数f（x）=2x（x-c）2+3在x=2处有极小值；则常数c的值为（）

A.2或6

B.6

C.2

D.4

2、“”是“”成立的()A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3、若函数f(x)＝x3－12x在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是()A.k≤－3或－1≤k≤1或k≥3B.－3<k<－1或1<k<3C.－2<k<2D.不存在这样的实数4、【题文】巳知函数有两个不同的零点且方程有两个不同的实根若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数的值为（）A.B.C.D.5、已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（）A.B.C.或D.或76、下列命题正确的是（）A.若p∨q为真命题，则p∧q为真命题B.“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件C.命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x≥﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”D.已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则¬p：∃x∈R，x2+x﹣1≥07、复数z=-1+2i，则复数的虚部是（）A.1B.-1C.2D.-2评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)8、经问卷调查，某班学生对摄影分别持“喜欢”、“不喜欢”和“一般”三种态度，其中持“一般”态度的学生比持“不喜欢”的学生多12人，按分层抽样的方法（抽样过程中不需要剔除个体）从全班选出部分学生进行关于摄影的座谈．若抽样得出的9位同学中有5位持“喜欢”态度的同学，1位持“不喜欢”态度的同学和3位持“一般”态度的同学，则全班持“喜欢”态度的同学人数为____．9、已知随机变量X服从正态分布N（0，），且P（－2≤X≤0）＝0.4，则P（X>2）＝________.10、如果一组数据为6，4，3，5，2，则这组数据的方差S2=____．11、【题文】已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a＋b与向量ka－b垂直，则k＝________.12、【题文】△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为那么b＝___________.13、【题文】已知且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是_________14、已知向量=（cosθ，sinθ，1），=（﹣1，2），则|2﹣|的最大值为____．15、已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共6分)23、已知函数．（1）若函数在区间内是减函数，求实数的取值范围；（2）求函数在区间上的最小值24、用反证法证明：如果那么．25、【题文】解关于x的不等式其中评卷人得分五、计算题(共2题，共20分)26、如图，正三角形ABC的边长为2，M是BC边上的中点，P是AC边上的一个动点，求PB+PM的最小值．27、已知a为实数，求导数评卷人得分六、综合题(共4题，共40分)28、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．29、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．30、（2015·安徽）设椭圆E的方程为+=1(ab0),点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足=2直线OM的斜率为31、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共7题，共14分)1、C【分析】

∵函数f（x）=2x（x-c）2+3在x=2处有极值；

∴f′（2）=0；

∴2（2-c）（3×2-c）=0

解得c=2或6

又由函数在x=2处有极小值；故c=2

故选C

【解析】【答案】根据函数在x=1处有极小值-1，得到f′（1）=0，f（1）=-1，代入数据写出关于a，b的方程组；就方程组即可．

2、B【分析】【解析】试题分析：∵∴x>0或x<0，故“”是“”成立的充分不必要条件，故选B考点：本题考查了充要条件的判断【解析】【答案】B3、B【分析】【解析】试题分析：由题意得；区间（k-1，k+1）内必须含有函数的导数的根2或-2，即k-1＜2＜k+1或k-1＜-2＜k+1，从而求出实数k的取值范围．【解析】

由题意得，f′（x）=3x2-12在区间（k-1，k+1）上至少有一个实数根，而f′（x）=3x2-12的根为±2，区间（k-1，k+1）的长度为2，故区间（k-1，k+1）内必须含有2或-2．∴k-1＜2＜k+1或k-1＜-2＜k+1，∴1＜k＜3或-3＜k＜-1，故选B考点：函数的单调性与导数的关系【解析】【答案】B4、D【分析】【解析】不妨设由题意知

又因为【解析】【答案】D5、C【分析】【分析】因为构成一个等比数列，所以所以当时，圆锥曲线为表示焦点在x轴上的椭圆，此时所以即所以离心率当时，圆锥曲线为表示焦点在y轴上的双曲线，此时所以即所以综上可得或故C正确。6、B【分析】【解答】解：选项A，若p∨q为真命题，则p与q有一个为真，但p∧q为不一定为真命题，故不正确；选项B，“x=5”能得到“x2﹣4x﹣5=0”，“x2﹣4x﹣5=0”不能推出“x=5”，则“x=5”是“x2﹣4x﹣5=0”的充分不必要条件；故正确；

选项C，命题“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3＞0”的否定为：“若x＜﹣1，则x2﹣2x﹣3≤0”；故不正确；

选项D，已知命题p：∃x∈R，x2+x﹣1＜0，则¬p：∀x∈R，x2+x﹣1≥0；故不正确．

故选B．

【分析】根据p∨q，p∧q的真值表可判定选项A；根据充分不必要条件定义可判定选项B；根据命题的否定可知条件不变，否定结论，从而可判定选项C；根据含量词的否定，量词改变，否定结论可判定选项D．7、D【分析】解：∵复数z=-1+2i；

∴复数=-1-2i；

∴复数的虚部是-2；

故选D．

根据所给的复数写出复数的共轭复数；得到的是共轭复数的标准形式，写出虚部即可．

本题考查复数的基本概念，本题解题的关键是不管给出什么样的复数，这种问题若出现，都是要先写出复数的标准形式，再进行其他的运算．【解析】【答案】D二、填空题(共8题，共16分)8、略

【分析】

设持“不喜欢”的学生有x人；则持“一般”态度的学生有12+x人；

由题意可得=x=6．

再由持“喜欢”态度的同学数是持“不喜欢”的学生数的5倍；

故持“喜欢”态度的同学人数为6×5=30；

故答案为30．

【解析】【答案】设持“不喜欢”的学生有x人，则持“一般”态度的学生有12+x人，由题意可得=x=6，再由持“喜欢”态度的同学数是持“不喜欢”的学生数的5倍，求出结果．

9、略

【分析】试题分析：因为随机变量X服从正态分布N（0，），且P（－2≤X≤0）＝0.4，所以考点：随机变量、正态分布.【解析】【答案】0.110、略

【分析】

这组数据的平均数为（6+4+3+5+2）÷5=4

方差S2=[（6-4）2+（4-4）2+（3-4）2+（5-4）2+（2-4）2]==2

故答案为：2

【解析】【答案】先求出数据的平均数；再利用方差公式计算即可．

11、略

【分析】【解析】由题意，知(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2－a·b＋ka·b－b2＝0，(k－1)a·b＋(k－1)＝0，∴(k－1)(a·b＋1)＝0，∴k＝1.【解析】【答案】112、略

【分析】【解析】略【解析】【答案】1＋13、略

【分析】【解析】

试题分析：因为与的夹角为锐角,所以即所以又因为与不共线,所以所以

考点：向量夹角范围的探讨,向量共线.【解析】【答案】＜1且14、4【分析】【解答】解：∵向量=（cosθ，sinθ，1），=（﹣1，2）；

∴||==||==2

=cosθ﹣sinθ+2=2﹣2sin（θ﹣）．

∴|2﹣|===

=

则sin（θ﹣）=1时；取最大值4．

故答案为：4．

【分析】运用向量的模的公式和数量积的坐标表示，求出向量a，b的模和数量积，再由|2﹣|=化简整理，即可得到最大值．15、略

【分析】解：∵圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆；

∴圆锥的轴截面为边长为2的正三角形；

则圆锥的高h=2×sin60°=．

由圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆知；圆锥的轴截面为边长为2的正三角形．

考查了学生的空间想象力．【解析】三、作图题(共7题，共14分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共6分)23、略

【分析】【解析】试题分析：【解析】

（1）∵令得当时，在递减，不合舍去当时，在递减，（2）∵令得①若则当时，所以在区间上是增函数，所以．②若即则当时，所以在区间上是增函数，所以．③若即则当时，当时，．所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．所以．④若即则当时，所以在区间上是减函数．所以．综上所述，函数在区间的最小值：考点：导数的应用【解析】【答案】（1）（2）24、略

【分析】先对结论否定，然后再结合条件及定理推出与条件矛盾，从而说明假设不成立，即原命题成立假设则4分容易看出下面证明要证明：成立，只需证：成立，只需证：成立，上式显然成立，故有成立.10分综上，与已知条件矛盾.因此，【解析】【答案】见解析25、略

【分析】【解析】

试题分析：分式不等式可转化为因式不等式求解；含参不等式要注意对参数的讨论.

试题解析：不等式可化为即

上式等价于(x－a)(x+2)<0，∴当a>－2时，原不等式的解集是

当a<－2时，原不等式的解集是

当a=－2时，原不等式的解集是

考点：1、分式不等式的解法；2、含参不等式的分类讨论思想.【解析】【答案】当a<－2时，原不等式的解集是

当a=－2时，原不等式的解集是五、计算题(共2题，共20分)26、略

【分析】【分析】作点B关于AC的对称点E，连接EP、EB、EM、EC，则PB+PM=PE+PM，因此EM的长就是PB+PM的最小值．【解析】【解答】解：如图；作点B关于AC的对称点E，连接EP；EB、EM、EC；

则PB+PM=PE+PM；

因此EM的长就是PB+PM的最小值．

从点M作MF⊥BE；垂足为F；

因为BC=2；

所以BM=1，BE=2=2．

因为∠MBF=30°；

所以MF=BM=，BF==，ME==．

所以PB+PM的最小值是．27、解：【分析】【分析】由原式得∴六、综合题(共4题，共40分)28、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）29、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥