2025年仁爱科普版高二数学上册阶段测试试卷含答案

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年仁爱科普版高二数学上册阶段测试试卷含答案考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、圆绕直线旋转一周所得的几何体的体积为（）A.B.C.D.2、在三棱锥P-ABC中，若O是底面ABC内部一点，满足则=（）

A.

B.5

C.2

D.

3、若双曲线的焦距是6；则m的值是（）

A.±1

B.-1

C.1

D.8

4、在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为（）A.B.C.D.5、【题文】设等差数列的前项和为若则使的最小正整数的值是A.8B.9C.10D.116、已知a，b为异面直线．对空间中任意一点P，存在过点P的直线（）A.与a，b都相交B.与a，b都垂直C.与a平行，与b垂直D.与a，b都平行7、在样本的频率分布直方图中，共有8个小长方形，若最后一个小长方形的面积等于其它7个小长方形的面积和的且样本容量为200，则第8组的频数为（）A.40B.0.2C.50D.0.258、已知关于x的方程那么在下列区间中含有方程的根的是（）A.B.C.D.9、双曲线的离心率e=（）A.B.C.3D.评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)10、做一个无盖的圆柱形水桶，若要使体积是27π，且用料最省，则圆柱的底面半径为____．11、在回归分析中，对于x，y随机取到的n对数据（xi，yi）（i=1，2，，n），样本相关系数r具有下列哪些性质：

（1）|r|≤1；

（2）|r|越接近于1；x，y的线性相关程度越弱；

（3）|r|越接近于1；x，y的线性相关程度越强；

（4）|r|越接近于0；x，y的线性相关程度越强；

请将正确的序号写出：____．12、【题文】若直线上存在点满足约束条件则实数的取值范围____.13、【题文】求值：=____14、【题文】给出以下四个问题：

①输入一个数x，输出它的绝对值；②求面积为6的正方形的周长；③求三个数a，b，c中的最大数；④求函数f(x)＝的函数值．

其中需要用选择结构来描述算法的有________个．15、已知某商场新进3000袋奶粉，为检查其三聚氰胺是否超标，现采用系统抽样的方法从中抽取150袋检查，若第一组抽出的号码是11，则第六十一组抽出的号码为____16、命题“?x隆脢Rx2+6ax+1<0

”为假命题，则a

的取值范围是______．17、若复数z

满足1鈭�z1+z=i

则|z.+2|

的值为______．评卷人得分三、作图题(共9题，共18分)18、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

19、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）20、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）21、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

22、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）23、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）24、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、解答题(共3题，共9分)25、（本小题满分8分）在直角坐标系中,直线的参数方程为（为参数）.在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的方程为（I）求圆的参数方程;（II）设圆与直线交于点求弦长26、已知关于x，y的方程C：x2+y2-2x-4y+m=0．

（1）当m为何值时；方程C表示圆．

（2）若圆C与直线l：x+2y-4=0相交于M，N两点，且MN=求m的值．27、如图，四棱锥P鈭�ABCD

中，底面ABCD

为菱形，隆脧BAD=60鈭�Q

是AD

的中点．

(1)

若PA=PD

求证：平面PQB隆脥

平面PAD

(2)

若平面APD隆脥

平面ABCD

且PA=PD=AD=2

在线段PC

上是否存在点M

使二面角M鈭�BQ鈭�C

的大小为60鈭�.

若存在，试确定点M

的位置，若不存在，请说明理由．评卷人得分五、计算题(共3题，共12分)28、如图，已知正方形ABCD的边长是8，点E在BC边上，且CE=2，点P是对角线BD上的一个动点，求PE+PC的最小值．29、已知等式在实数范围内成立，那么x的值为____．30、设L为曲线C：y＝在点(1,0)处的切线．求L的方程；评卷人得分六、综合题(共4题，共24分)31、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．32、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．33、（2009•新洲区校级模拟）如图，已知直角坐标系内有一条直线和一条曲线，这条直线和x轴、y轴分别交于点A和点B，且OA=OB=1．这条曲线是函数y=的图象在第一象限的一个分支，点P是这条曲线上任意一点，它的坐标是（a、b），由点P向x轴、y轴所作的垂线PM、PN，垂足是M、N，直线AB分别交PM、PN于点E、F．则AF•BE=____．34、已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，S3=0．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、C【分析】试题分析：这种类型的问题要弄清直线和圆的位置关系，本题中直线恰好过圆心，故旋转后所得几何体为球，体积为选C考点：球的体积．【解析】【答案】C2、C【分析】

∵∴-=

延长OC到D，使=4延长OB到E，使=2

以OD、OE为邻边作平行四边形OEFD，可得=+

∴互为相反向量；得O为AF的中点。

∵△AOD中，=

∴△AOC的面积S△AOC=S△AOD，同理可得S△AOB=S△AOE

∵S△AOD=S△AOE=S平行四边形OEFD；

∴S△AOC=S△AOB，可得=2

===2

故选C

【解析】【答案】作出△ABC，并延长OC到D，使=4延长OB到E，使=2．可得S△AOC=S△AOD，同理S△AOB=S△AOE，因为△AOE的面积与△AOD的面积都等于平行四边形OEFD面积的一半，所以S△AOC=S△AOB，可得=2；最后利用体积公式可求所求．

3、D【分析】

因为双曲线所以a=1，b=

又双曲线的焦距是6，所以6=

解得m=8．

故选D．

【解析】【答案】利用双曲线的定义，求出a，b，c，利用双曲线的焦距是6；求出m的值．

4、D【分析】【解析】试题分析：切线斜率最小为由于切点为所以切线的方程为即故选D。考点：切线的方程【解析】【答案】D5、C【分析】【解析】解：∵a11-a8=3d=3；∴d=1；

∵S11-S8=a11+a10+a9=3a1+27d=3，∴a1=-8；

∴an=-8+（n-1）＞0；解得n＞9；

因此最小正整数n的值是10．

故选C．【解析】【答案】C6、B【分析】【解答】解：过直线a存在一个与直线b平行的平面；当点P在这个平面内且不在直线a上时，就不满足结论，故A错误；

a，b为异面直线，过空间任意一点P，一定能作一条且只能作一条直线l与a，b都垂直；故B正确．

a，b垂直时；C才正确；

若D成立，则a，b平行；D不正确．

故选：B．

【分析】对4个选项分别进行判断，即可得出结论．7、A【分析】【分析】因为样本的频率分布直方图中，共有8个长方形，又最后一个小长方形的面积等于其它7个小长方形的面积和的所以该长方形对应的频率为0.2。又因为样本容量为200，该组的频数为200×0.2=40。故选A。8、B【分析】解：令f（x）=-显然f（x）在（0，+∞）递减；

而f（）•f（）＜0；

故f（x）在（）有零点；

即关于x的方程在区间（）中含有方程的根；

故选：B．

根据函数的单调性以及函数零点的判断定理判断即可．

本题考查了函数的单调性以及函数零点的判定定理，是一道基础题．【解析】【答案】B9、A【分析】解：根据题意，双曲线的方程为：

则a=b=

即c2=3+6=9；即c=3；

则其离心率e==

故选：A．

根据题意，由双曲线的标准方程可得a、b的值；计算可得c的值，由双曲线的离心率公式计算可得答案．

本题考查双曲线的几何性质，关键是利用标准方程求出a、b的值．【解析】【答案】A二、填空题(共8题，共16分)10、略

【分析】

设圆柱的高为h，半径为r

则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π

S全面积=πr2+2πrh==

（法一）令S=f（r），（r＞0）

=

令f′（r）≥0可得r≥3，令f′（r）＜0可得0＜r＜3

∴f（r）在（0，3）单调递减，在[3，+∞）单调递增，则f（r）在r=3时取得最小值。

（法二）：S全面积=πr2+2πrh==

==27π

当且仅当即r=3时取等号。

当半径为3时；S最小即用料最省。

故答案为：3

【解析】【答案】设圆柱的高为h，半径为r则由圆柱的体积公式可得，πr2h=27π，即要使用料最省即求全面积的最小值，而S全面积=πr2+2πrh==

（法一）令S=f（r），结合导数可判断函数f（r）的单调性；进而可求函数取得最小值时的半径。

（法二）：S全面积=πr2+2πrh==利用基本不等式可求用料最小时的r

11、略

【分析】

根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判断：|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0；相关程度越弱，故可知（1（（3）正确。

故答案为（1）（3）

【解析】【答案】处理本题时可根据线性回归中，相关系数的定义，利用相关系数r进行判断：而且|r|越接近于1，相关程度越强；|r|越接近于0；相关程度越弱，即可得答案．

12、略

【分析】【解析】

试题分析：解：由题意，y=2x与x+y-3=0，可求得交点坐标为（1，2），要使直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件如图所示．

可得m≤1，∴实数m的最大值为1，故答案为．

考点：线性规划。

点评：本题考查线性规划知识的运用，考查学生的理解能力，属于基础题【解析】【答案】13、略

【分析】【解析】因为【解析】【答案】—214、略

【分析】【解析】①需要对x的值的情况进行讨论.③需要对a,b,c三值进行大小比较.④需要对给定的x值进行讨论求解.②直接求值不需要讨论.【解析】【答案】315、1211【分析】【解答】3000袋奶粉；用系统抽样的方法从抽取150袋，每组中有20袋；

第一组抽出的号码是11；则第六十一组抽出的号码为11+60×20=1211

故答案为：1211．

【分析】系统抽样中各组抽出的数据间隔相同，为等差数列，可用数列知识求解16、略

【分析】解：由命题“?x隆脢Rx2+6ax+1<0

”为假命题；

隆脿

命题的否定为“?x隆脢Rx2+6ax+1鈮�0

”为真命题；

隆脿鈻�=36a2鈭�4鈮�0

隆脿a

的范围为[鈭�13,13]

故答案为[鈭�13,13]

．

由命题间的逻辑关系可知；原命题为假命题，则命题的否定为真，只需判断命题的否定即可．

考查了命题间的逻辑关系和二次函数的性质，属于基础题型，应熟练掌握．【解析】[鈭�13,13]

17、略

【分析】解：由1鈭�z1+z=i

得z=1鈭�i1+i=(1鈭�i)2(1+i)(1鈭�i)=鈭�2i2=鈭�i

隆脿z.=i

．

则|z.+2|=5

．

故答案为：5

．

把已知等式变形；再由复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案．

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．【解析】5

三、作图题(共9题，共18分)18、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

19、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．20、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．21、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

22、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．23、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．24、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、解答题(共3题，共9分)25、略

【分析】

(Ⅰ)1分所以,圆的直角坐标方程为即3分所以,圆的参数方程为(为参数)4分(Ⅱ)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,得即5分设两交点所对应的参数分别为则7分8分【解析】略【解析】【答案】26、略

【分析】

（1）方程C可化为：（x-1）2+（y-2）2=5-m；应有5-m＞0．

（2）先求出圆心坐标和半径；圆心到直线的距离，利用弦长公式求出m的值．

本题考查圆的标准方程的特征，点到直线的距离公式、弦长公式的应用．【解析】解：（1）方程C可化为：（x-1）2+（y-2）2=5-m；显然，当5-m＞0时，即m＜5时，方程C表示圆．

（2）圆的方程化为（x-1）2+（y-2）2=5-m，圆心C（1，2），半径

则圆心C（1，2）到直线l：x+2y-4=0的距离为

∵有

∴解得m=4．27、略

【分析】

(1)

由已知得PQ隆脥ADBQ隆脥AD

由此能证明平面PQB隆脥

平面PAD

．

(2)

以Q

为坐标原点；分别以QAQBQP

为xyz

轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出存在点M

为线段PC

靠近P

的三等分点满足题意．

本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．【解析】(1)

证明：隆脽PA=PDQ

为AD

的中点，隆脿PQ隆脥AD

又隆脽

底面ABCD

为菱形，隆脧BAD=60鈭�隆脿BQ隆脥AD

又PQ隆脡BQ=Q隆脿AD隆脥

平面PQB

又隆脽AD?

平面PAD

隆脿

平面PQB隆脥

平面PAD

．

(2)

解：隆脽

平面PAD隆脥

平面ABCD

平面PAD隆脡

平面ABCD=ADPQ隆脥AD

隆脿PQ隆脥

平面ABCD

以Q

为坐标原点；分别以QAQBQP

为xyz

轴；

建立空间直角坐标系；如图。

则Q(0,0,0)P(0,0,3)B(0,3,0)C(鈭�2,3,0)

设PM鈫�=娄脣PC鈫�0<娄脣<1

则M(鈭�2娄脣,3娄脣,3(1鈭�娄脣))

平面CBQ

的一个法向量n1鈫�=(0,0,1)

设平面MBQ

的法向量为n2鈫�=(x,y,z)

由{QB鈫�鈰�n2鈫�=0QM鈫�鈰�n2鈫�=0

得n2鈫�=(3鈭�3娄脣2位,0,3)

隆脽

二面角M鈭�BQ鈭�C

的大小为60鈭�

隆脿cos60鈭�=|cos<n1鈫�,n2鈫�>|=|3(3鈭�3娄脣2位)2+3|=12

解得娄脣=13隆脿PMPC=13

隆脿

存在点M

为线段PC

靠近P

的三等分点满足题意．五、计算题(共3题，共12分)28、略

【分析】【分析】要求PE+PC的最小值，PE，PC不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PE，PC的值，从而找出其最小值求解．【解析】【解答】解：如图；连接AE；

因为点C关于BD的对称点为点A；

所以PE+PC=PE+AP；

根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值；

∵正方形ABCD的边长为8cm；CE=2cm；

∴BE=6cm；

∴AE==10cm．

∴PE+PC的最小值是10cm．29、略

【分析】【分析】先移项并整理得到=，然后两边进行6次方，求解即可．【解析】【解答】解：原式可化为=；

6次方得，（x-1）3=（x-1）2；

即（x-1）2（x-2）=0；

∴x-1=0；x-2=0；

解得x=1或x=2．

故答案为：1或2．30、解：所以当x=1时，k=点斜式得直线方程为y＝x－1【分析】【分析】函数的导数这是导函数的除法运算法则六、综合题(共4题，共24分)31、略

【分析】【分析】根据OA=OB，得到△AOB是等腰直角三角形，则△NBF也是等腰直角三角形，由于P的纵坐标是b，因而F点的纵坐标是b，即FM=b，则得到AF=b，同理BE=a，根据（a，b）是函数y=的图象上的点，因而b=，ab=，则即可求出AF•BE．【解析】【解答】解：∵P的坐标为（a，）；且PN⊥OB，PM⊥OA；

∴N的坐标为（0，）；M点的坐标为（a，0）；

∴BN=1-；

在直角三角形BNF中；∠NBF=45°（OB=OA=1，三角形OAB是等腰直角三角形）；

∴NF=BN=1-；

∴F点的坐标为（1-，）；

∵OM=a；

∴AM=1-a；

∴EM=AM=1-a；

∴E点的坐标为（a；1-a）；

∴AF2=（-）2+（）2=，BE2=（a）2+（-a）2=2a2；

∴AF•BE=1．

故答案为：1．32、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间