2025年外研版三年级起点高一数学上册阶段测试试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年外研版三年级起点高一数学上册阶段测试试卷491考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四五六总分得分评卷人得分一、选择题(共8题，共16分)1、圆C1x2+y2-4y-5=0与圆C2x2+y2-2x-2y+1=0位置关系是（）

A.内含。

B.内切。

C.相交。

D.外切。

2、如下图给出的四个对应关系，其中构成映射的是（）．A.（1）（2）B.（1）（4）C.（1）（2）（4）D.（3）（4）3、【题文】若将函数(ω>0)的图象向右平移个单位长度后，与函数的图象重合，则ω的最小值为（）A.B.C.D.4、【题文】若关于的方程恒有实数解，则实数m的取值范围是（）A.［0，5］B.［1，8］C.［0，8］D.［1，+∞）5、函数f（x）=-cosx在（0，+∞）内（）A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点6、若则（）A.B.C.D.7、不是函数y=tan（2x-）的对称中心的是（）A.（0）B.（0）C.（0）D.（0）8、在△ABC中，内角A，B，C对应边分别是a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状是（）三角形．A.直角B.锐角C.钝角D.任意评卷人得分二、填空题(共8题，共16分)9、△A'B'C'斜二测画法画出的正△ABC的直观图，记△A'B'C'的面积为S'，△ABC的面积为S，则=____．10、函数y=2x+log2（x+1）在区间[0，1]上的最大值和最小值之和为____．11、下表给出一个“直角三角形数阵”满足每一列成等差数列，从第三行起，每一行的数成等比数列，且每一行的公比相等，记第i行第j列的数为等于.12、【题文】底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水____cm3.13、当执行完程序语句“wjilei＜=10”后，i的值变为____14、已知指数函数f（x）=ax（a＞0，且a≠1）的图象经过点（3，8），则f（1）=____．15、在鈻�ABC

中，角ABC

所对的边分别为abc.

已知sinB鈭�sinC=14sinA2b=3c

则cosA=

______．16、比较大小：(x鈭�2)(x+3)

______x2+x鈭�7(

填入“>

”，“<

”，“=

”之一)

评卷人得分三、计算题(共5题，共10分)17、同室的4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的拿法有____种．18、方程2x2-x-4=0的两根为α，β，则α2+αβ+β2=____．19、若不等式|2x+1|-|2x-1|＜a对任意实数x恒成立，则a的取值范围是____．20、关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根，则a的取值范围是____．21、已知x，y，z为实数，满足，那么x2+y2+z2的最小值是____评卷人得分四、证明题(共3题，共24分)22、如图；在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，E为AD的中点，DF⊥BE，垂足为F，CF交AD于点G．

求证：（1）∠CFD=∠CAD；

（2）EG＜EF．23、如图，已知：D、E分别为△ABC的AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于M，与DE交于N，求证：BM=MC．24、如图；过圆O外一点D作圆O的割线DBA，DE与圆O切于点E，交AO的延长线于F，AF交圆O于C，且AD⊥DE．

（1）求证：E为的中点；

（2）若CF=3，DE•EF=，求EF的长．评卷人得分五、解答题(共1题，共2分)25、【题文】如图；在三棱锥Ｐ－ABC中,AB="AC=4,"D；E、F分别为PA、PC、BC的中点,BE="3,"平面PBC⊥平面ABC,BE⊥DF.

（Ⅰ）求证：BE⊥平面PAF；

（Ⅱ）求直线AB与平面PAF所成的角.评卷人得分六、综合题(共1题，共9分)26、已知点A（-2，0），点B（0，2），点C在第二、四象限坐标轴夹角平分线上，∠BAC=60°，那么点C的坐标为____．参考答案一、选择题(共8题，共16分)1、A【分析】

由于圆C1：x2+y2-4y-5=0即x2+（y-2）2=9；表示已（0，2）为圆心，半径等于3的圆．

圆C2：x2+y2-2x-2y+1=0即（x-1）2+（y-1）2=1；表示以（1，1）为圆心，半径等于1的圆．

两圆的圆心距d==小于半径之差3-1，故两圆向内含；

故选A．

【解析】【答案】根据两圆的圆心距小于两圆的半径之差；可得两圆的位置关系是内含．

2、A【分析】试题分析：由映射的定义可知：集合A中的元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应；但是（2）中的元素1,4没有象与之对应，（3）中的1,2都有两个象，所以（1）（4）正确．考点：映射的定义．【解析】【答案】A3、D【分析】【解析】

试题分析：的图象向右平移得到的图象，与重合，得故∴的最小正值为．

考点：１、图象变换；2、正切函数的周期性.【解析】【答案】D4、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C5、B【分析】【解答】解：作函数y=与y=cosx的图象如下；

∵函数y=与y=cosx的图象有且只有一个交点；

∴函数f（x）=-cosx在（0；+∞）内有且仅有一个零点；

故选B．

【分析】作函数y=与y=cosx的图象，从而利用数形结合的思想判断．6、D【分析】【解答】取特殊值选D.

【分析】特殊值的方法使问题得到了简化，在选择题填空题中特殊值的方法是常用到的判定方法，在某些情况下这种方法可使比较复杂的问题迎刃而解。7、D【分析】解：由2x-=（k∈Z）得：x=+（k∈Z）；

∴函数y=tan（2x-）的对称中心为（+0）（k∈Z）；

当k=1时，其对称中心为（0），排除B；

当k=0时，其对称中心为（0），排除C；

当k=4时，其对称中心为（0），排除A；

故选：D．

由2x-=（k∈Z）可求得函数y=tan（2x-）的对称中心；再观察后对k赋值，排除即可．

本题考查正切函数的对称性，求得函数y=tan（2x-）的对称中心为（+0）是关键，考查理解与运算能力，属于中档题．【解析】【答案】D8、A【分析】解：△ABC中，∵bcosC+ccosB=asinA；

∴由正弦定理得：sinBcosC+sinCcosB=sin2A；

即sin（B+C）=sin（π-A）=sinA=sin2A；又sinA＞0；

∴sinA=1；A∈（0，π）；

∴A=．

∴△ABC的形状是直角三角形；

故选：A．

依题意，利用正弦定理和两角和的正弦公式，可知sin（B+C）=sinA=sin2A；易求sinA=1，从而可得答案．

本题考查三角形形状的判断，着重考查正弦定理与诱导公式，两角和的正弦公式的应用，考查转化思想．【解析】【答案】A二、填空题(共8题，共16分)9、略

【分析】

∵△A'B'C'是斜二测画法画出的正△ABC的直观图；

记△A'B'C'的面积为S'；△ABC的面积为S；

∵这两个三角形的底边长度不变；

高有原来的h变化为=

∴=

故答案为：．

【解析】【答案】△A'B'C'是斜二测画法画出的正△ABC的直观图，这两个三角形的底边长度不变，高有原来的h变化为根据面积公式写出面积之比．

10、略

【分析】

∵y=2x和y=log2（x+1）都是[0；1]上的增函数；

∴y=2x+log2（x+1）是[0；1]上的增函数；

∴最大值和最小值之和为：

2+log2（0+1）+21+log2（1+1）=4．

故答案为4．

【解析】【答案】先分别根据指数函数；对数函数单调性得出和式的两个函数都是单调增函数得到和函数也是增函数；故当自变量取最大最小时对应的函数值也是最大最小，从而求出结果．

11、略

【分析】由题意得表示第8行第3列的数，因为每一列成等差数列，首列为第二列首项是所以公差是第8行首项是每一行的数成等比数列，公比是=【解析】【答案】12、略

【分析】【解析】设四个实心铁球的球心为其中为下层两球的球心，所以注水高为其中为两异面直线的距离（在正四面体中求）。故应注水＝【解析】【答案】13、11【分析】【解答】当执行完程序语句“wjilei＜=10”

程序执行如下：

i=1；2，3，，10，11．

此时跳出循环。

i的值变为11

故答案为：11．

【分析】根据程序流程，分析并按照顺序进行执行，当执行结束，i的值变为11。14、2【分析】【解答】解：∵指数函数y=ax的图象经过点（3；8），（a＞0且a≠1）；

∴8=a3；解得a=2；

故f（x）=2x；

故f（1）=2；

故答案为：2．

【分析】把点（3，8）代入指数函数y=ax即可得出f（x）的解析式，求出f（1）的值即可．15、略

【分析】解：在鈻�ABC

中，隆脽2b=3c

隆脿

可得：b=3c2

隆脽sinB鈭�sinC=14sinA

隆脿

由正弦定理可得：b鈭�c=14a

可得：3c2鈭�c=14a

整理可得：a=2c

隆脿cosA=b2+c2鈭�a22bc=9c24+c2鈭�4c22脳3c2脳c=鈭�14

．

故答案为：鈭�14

．

由已知可得b=3c2

又利用正弦定理可得b鈭�c=14a

进而可得：a=2c

利用余弦定理即可解得cosA

的值．

本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．【解析】鈭�14

16、略

【分析】解：隆脽(x鈭�2)(x+3)鈭�(x2+x鈭�7)=x2+x鈭�6鈭�x2鈭�x+7=1>0

隆脿(x鈭�2)(x+3)>x2+x鈭�7

．

故答案为>

．

利用作差法即可比较出两个数的大小．

熟练掌握作差法比较两个数的大小是解题的关键．【解析】>

三、计算题(共5题，共10分)17、略

【分析】【分析】可以列举出所有的结果，首先列举甲和另外一个人互换的情况，共有三种，再列举不是互换的情况共有6种结果．【解析】【解答】解：根据分类计数问题；可以列举出所有的结果；

1；甲乙互换；丙丁互换；

2；甲丙互换；乙丁互换；

3；甲丁互换；乙丙互换；

4；甲要乙的乙要丙的丙要丁的丁要甲的；

5；甲要乙的乙要丁的丙要甲的丁要丙的；

6；甲要丙的丙要乙的乙要丁的丁要甲的；

7；甲要丙的丙要丁的乙要丁的丁要甲的；

8；甲要丁的丁要乙的乙要丙的丙要甲的；

9；甲要丁的丁要丙的乙要甲的丙要乙的．

通过列举可以得到共有9种结果．

故答案为：9．18、略

【分析】【分析】先根据根与系数的关系求出α+β、αβ的值，再根据完全平方公式对α2+αβ+β2变形后，再把α+β、αβ的值代入计算即可．【解析】【解答】解：∵方程2x2-x-4=0的两根为α；β；

∴α+β=-=，αβ==-2；

∴α2+αβ+β2=（α+β）2-αβ=（）2-（-2）=+2=．

故答案是：．19、略

【分析】【分析】将x的值进行分段讨论，①x＜-，②-≤x＜，③x≥，从而可分别将绝对值符号去掉，得出a的范围，综合起来即可得出a的范围．【解析】【解答】解：当①x＜-时；原不等式可化为：-1-2x-（1-2x）＜a，即-2＜a；

解得：a＞-2；

②当-≤x＜时；原不等式可化为：2x+1-（1-2x）＜a，即4x＜a；

此时可解得a＞-2；

③当x≥时；原不等式可化为：2x+1-（2x-1）＜a，即2＜a；

解得：a＞2；

综合以上a的三个范围可得a＞2；

故答案为：a＞2．20、略

【分析】【分析】先把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2-（x2+2x）a+x3-1=0，然后利用求根公式解得a=x-1或a=x2+x+1；于是有

x=a+1或x2+x+1-a=0，再利用原方程只有一个实数根，确定方程x2+x+1-a=0没有实数根，即△＜0，最后解a的不等式得到a的取值范围．【解析】【解答】解：把方程变形为关于a的一元二次方程的一般形式：a2-（x2+2x）a+x3-1=0；

则△=（x2+2x）2-4（x3-1）=（x2+2）2；

∴a=，即a=x-1或a=x2+x+1．

所以有：x=a+1或x2+x+1-a=0．

∵关于x3-ax2-2ax+a2-1=0只有一个实数根；

∴方程x2+x+1-a=0没有实数根；即△＜0；

∴1-4（1-a）＜0，解得a＜．

所以a的取值范围是a＜．

故答案为a＜．21、略

【分析】【分析】通过方程组进行消元，让yz都用含x的代数式表示，再代入x2+y2+z2，根据二次函数的最值问题得出答案即可．【解析】【解答】解：；

①×2+②；得x+y=5，则y=5-x③；

①+2×②；得x+z=4，则z=4-x④；

把③④代入x2+y2+z2得；

x2+（5-x）2+（4-x）2

=3x2-18x+41

=3（x-3）2+14；

∴x2+y2+z2的最小值是14；

故答案为14．四、证明题(共3题，共24分)22、略

【分析】【分析】（1）连接AF，并延长交BC于N，根据相似三角形的判定定理证△BDF∽△DEF，推出，=；再证△CDF∽△AEF，推出∠CFD=∠AFE，证出A；F、D、C四点共圆即可；

（2）根据已知推出∠EFG=∠ABD，证F、N、D、G四点共圆，推出∠EGF=∠AND，根据三角形的外角性质推出∠EGF＞∠EFG即可．【解析】【解答】（1）证明：连接AF，并延长交BC于N，

∵AD⊥BC；DF⊥BE；

∴∠DFE=∠ADB；

∴∠BDF=∠DEF；

∵BD=DC；DE=AE；

∵∠BDF=∠DEF；∠EFD=∠BFD=90°；

∴△BDF∽△DEF；

∴=；

则=；

∵∠AEF=∠CDF；

∴△CDF∽△AEF；

∴∠CFD=∠AFE；

∴∠CFD+∠AEF=90°；

∴∠AFE+∠CFE=90°；

∴∠ADC=∠AFC=90°；

∴A；F、D、C四点共圆；

∴∠CFD=∠CAD．

（2）证明：∵∠BAD+∠ABD=90°；∠CFD+∠EFG=∠EFD=90°，∠CFD=∠CAD=∠BAD；

∴∠EFG=∠ABD；

∵CF⊥AD；AD⊥BC；

∴F；N、D、G四点共圆；

∴∠EGF=∠AND；

∵∠AND＞∠ABD；∠EFG=∠ABD；

∴∠EGF＞∠EFG；

∴DG＜EF．23、略

【分析】【分析】延长AM，过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．根据平行线分线段成比例的性质和逆定理可得CF∥BE，根据平行四边形的判定和性质即可得证．【解析】【解答】证明：延长AM；过点B作CD的平行线与AM的延长线交于点F，再连接CF．

又∵DE∥BC；

∴；

∴CF∥BE；

从而四边形OBFC为平行四边形；

所以BM=MC．24、略

【分析】【分析】要证E为中点，可证∠EAD=∠OEA，利用辅助线OE可以证明，求EF的长需要借助相似，得出比例式，之间的关系可以求出．【解析】【解答】（1）证明：连接OE

OA=OE=＞∠OAE=∠OEA

DE切圆O于E=＞OE⊥DE

AD⊥DE=＞∠EAD+∠AED=90°

=＞∠EAD=∠OEA

⇒OE∥AD

=＞E为的中点．

（2）解：连CE；则∠AEC=90°，设圆O的半径为x

∠ACE=∠AED=＞Rt△ADE∽Rt△AEC=＞

DE切圆O于E=＞△FCE∽△FEA

∴，

∴

即DE•EF=AD•CF

DE•EF=；CF=3

∴AD=

OE∥AD=＞=＞=＞8x2+7x-15=0

∴x1=1，x2=-（舍去）

∴EF2=FC•FA=3x（3+2）=15

∴EF=五、解答题(共1题，共2分)25、略

【分析】【解析】

试题分析：解：（Ⅰ）证明：连结AF,∵AB="AC,"F为BC的中点,

∴AF⊥BC,（1分）

又平面PBC⊥平面ABC,且平面PBC平面ABC于BC,

∴AF⊥平面PBC.（2分）

又∵BE平面PBC,

∴AF⊥BE.（5分）

又∵BE⊥DF,DF

∴BE⊥平面PAF.（5分）

（Ⅱ）设BEPF="H,"连AH,由(1)可知AH为AB在平面PAF上的射影,

所以∠HAB为直线AB与平面PAF所成的角.（7分）

∵E；F分别为PC、BC的中点,

∴H为△PBC的重心,又BE=3,

∴BH=（9分）

在Rt△ABH中,（