黄金卷07（江苏专用）-备战2025年高考数学模拟卷（解析版）

PAGE1试卷第=page22页，共=sectionpages2222页【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（江苏专用）黄金卷07（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．已知空间向量，，若，则（

）A．4 B．6 C． D．【答案】C【分析】求得，进而可得，求解即可.【详解】因为，因为，所以，解得.故选：C.2．若，则（

）A．10 B． C．5 D．【答案】C【分析】利用复数的除法运算法则计算可求，进而可求.【详解】因为，所以，所以.故选：C.3．已知实数x，y满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用三角换元，再结合三角函数的有界性，即可求解．【详解】由，则可设为参数，，故，其中，当时，取得最小值，最小值为．故选：D．4．已知集合，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解.【详解】由，得到，即，又，所以，故选：B.5．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知易得且，求解即可.【详解】由在上单调递增，故，又在上单调递减，在上单调递增，在上为增函数，要使在上为增函数，故，函数在上单调递增，则，解得，解得（舍去）或.故选：A.6．已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出、，再根据两角差和的正弦公式计算可得；【详解】因为且，,所以,因为且，,所以,所以故选：B.7．已知数列满足，，记为数列的前n项和.数列满足，下列结论一定正确的是（

）A． B．，C．， D．【答案】D【分析】首先分析出数列单调递减，，，推导出即可判断AD，通过作差法得和即可判断BC.【详解】，且，，即数列单调递减，又，，先来分析AD选项，，令，因为，则，则，因为，则，则，注意到D选项中的与的关系，构造出数列，因为函数在上单调递增，则单调递增，则，即，即，，累加得故A选项错误，D选项正确.对BC，注意到，对于B选项，则需要比较与的大小,作差可得,结合，故，故B错误；对于C选项，则需要比较与的大小，因为，则，待定系数并且令恒成立，因为，则，则，即恒成立，因为，则，则恒成立，则恒成立，则恒成立，因为，即，则，则，则，则，即，即，故，当足够大时，，此时，但小于，则存在，使得，故C错误；故选：D.【点睛】关键点点睛：本题B选项的关键是作差得，则.8．锐角中，，，，则AB边上的高CD长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知可得，，进而可求得，设边上的高长为，进而可得，可求解.【详解】因为且为锐角三角形，可得，所以，因为为锐角三角形，所以，又，所以，解得，由正弦定理可得，所认，设边上的高长为，所以，.故选：D.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知函数则（

）A．函数的图象关于点对称B．将函数的图象向左平移个单位长度后所得到的图象关于轴对称C．函数在区间上有2个零点D．函数在区间上单调递增【答案】ACD【详解】对于当时，而，故A正确；对于将向左平移个单位后可得，为奇函数，关于原点对称，故B错；对于当时，，因在上仅有2个零点，故在上也仅有2个零点，故C正确；对于当时，因在上单调递增，故在上单调递增，故D正确.故选：ACD．10．从地球观察，太阳在公转时会围绕着北极星旋转.某苏州地区（经纬度约120°E，31°N）的地理兴趣小组探究此现象时，在平坦的地面上垂直竖起一根标杆，光在宇宙中的弯曲效应可忽略不计，则杆影可能的轨迹是（

）A．半圆形 B．双曲线 C．直线 D．椭圆【答案】BC【详解】根据题意可知，杆影可能的轨迹即太阳的视运动轨迹.为了得到太阳投影轨迹的表达式，首先先建立竿测影时的观测站坐标系，再计算太阳每个瞬间在天球（与地球同球心，并具有相同的自转轴，半径无限大的球体）上的位置和观测平面上的投影，为投影轨迹的整体推导做好单点公式计算.苏州地区位于31°N，即太阳周年回归运动范围（23°26′N~0°~23°26′S）以北，全年太阳在正午时分位于该地的正南方.设地理兴趣小组所在的观测地的右手正交坐标系，立测竿处为原点，令分别是坐标轴的单位矢量，正南为轴，正东为轴，向上为轴（如下图）.那么当测竿指向天顶（杆的正上方）时，其太阳投影在平面上.结合苏州的纬度位置可知，正午时投影指向正北.图中立竿测影观测站右手坐标系，黄色点为观测站的位置，纬度为；轴指向正南，轴指向正东，轴指向天顶；贯穿地球南北极的蓝色轴为地轴，从地心出发的红色轴与观测站的轴平行，是以存在如坐标系描述的互余赤经差计算方式.球面三角形中，若已知两边弧角和夹角，求对边的弧角c的大小，由球面三角边的余弦定理可得：（1）由天文知识可知，赤经差（赤经差是指在天球赤道坐标系统中，两个天体之间的赤经之差.赤经是描述天体在天球赤道上的位置的一个坐标值，类似于地球上的经度.赤经差用于确定两个天体之间的相对位置）是绕天轴（地轴的无限延伸）的二面角，于是有以下替换关系：（2）如果天球上相同赤经的两点，赤纬分别为，点绕天轴旋转弧度到达点，令两点间大圆弧角为，那么：（3）如果太阳直射点纬度为，那么周日视运动即以地心为原点，围绕地轴以的夹角做圆周运动.当与观测点的经度差为时，令太阳方向与观测点的三个坐标轴的夹角分别为，则观测站到太阳的单位矢量为：（4）应用（2）式时参数系列可得如下的对应关系：，，根据球面三角边的余弦定理的等价公式（3），代入上述对应关系，则有：（5），（6），（7），令测竿投影与测竿矢量分别为：，（8），由于太阳距离地球距离较远，其光线可近似视作平行的直射光线，从杆顶到投影点的指向：（9），与太阳方向矢量平行则有：，解得投影坐标：（10），（11），即立杆测影的太阳投影坐标表达式.对立竿测影坐标计算公式（10）、（11），要得到这些坐标点的整体曲线方程，其关键在于消除这个与时间相关参数，让投影轨迹只用测竿长度、观测站和太阳直射点的纬度来表示.由（10）式可得：，再由（11）式并使用上式结果，可得：，通过三角恒等式，代入时角正余弦的计算式，则有：，两边同时加上：，化简可得：（12），即立竿见影时在观测平面上的太阳投影的轨迹公式.苏州地区位于31°N，因此可以将代入式（12）中，得到双曲线型的太阳投影（如下左图）.当，即直射赤道（即二分日）时，会出现结果是直线（如下右图）的特殊情况.故选：BC11．“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图，是一个八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，某玩具厂商制作一个这种形状棱长为，重量为的实心玩具，则下列说法正确的是（

）

A．将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为.B．将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为.C．将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为.D．将玩具放至水中，其会飘浮在水面上.【答案】AD【详解】将该几何体放置在如图的正方体中，

对于A，将玩具放到一个正方体包装盒内，包装盒棱长最小为图中正方体的棱长，由题意，该几何的棱长为，所以正方体的棱长为，正确；对于B，将玩具放到一个球形包装盒内，包装盒的半径最小为该几何体外接球的半径，根据正方体和多面体的对称性知，该几何体外接球直径为正方体面对角线，即，解得，所以包装盒的半径最小为，错误；对于C，将玩具以正三角形所在面为底面放置，该玩具的高度为两平行平面与平面的距离，证明求解过程如下：如图，

不妨记正方体为，，，故四边形是平行四边形，所以，又，分别为，的中点，所以，同理，所以，又平面，平面，所以平面，同理平面，又，，平面，所以平面平面，设对角线分别交平面和平面于点，，因为平面，平面，所以，连接，因为分别为的中点，故，又，平面，，所以平面，又平面，所以，同理，又，，平面，所以平面，又平面平面，所以平面，故即为平面与平面的距离，则，由正方体棱长为得，由题意得，为等边三角形，故，根据，得，解得，根据对称性知，所以，则平面与平面的距离为，即该玩具的高度为，错误；对于D，该几何体的体积为.因为玩具的密度为，小于水的密度，所以将玩具放至水中，其会飘浮在水面上，正确.故选：AD第II卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知函数的极小值点为2，则的极大值点为．【答案】3【详解】由题意，，因为函数的极小值点为2，所以，即，解得，则，令，则或，因为，函数的极小值点为2，所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，从而，所以，由，故，所以的极大值点为.故答案为：3.13．甲、乙、丙、丁四位同学坐在一排个座位上，由于某种原因，甲旁边要留一个空座位，则共有种坐法．【答案】【分析】先将四名同学任意排序，再插入空座位即可.【详解】将四名同学任意排序，有种排法；将空座位插入到甲左右两边的位置，有种方法；根据分步乘法计数原理可知：不同的坐法有种.故答案为：.14．已知双曲线的左焦点为直线与双曲线交于两点，若，则双曲线的离心率为．【答案】4【详解】方法一：可知直线过左焦点F1−c,0，斜率，且直线与双曲线相交，可知，则，联立方程，消去x可得，设Ax1,由可知，与联立可得，代入可得，则，所以双曲线的离心率；方法二：由题意可知：直线的斜率，则直线的倾斜角，可得，，因为，可知，即，整理可得，所以双曲线的离心率；方法三：因为直线过点，将直线方程写为参数方程，代入双曲线可得，整理得，可知两解为，由可知，则，即，整理可得，所以双曲线的离心率；方法四：若以为极点、轴方向为极轴建立极坐标系，则双曲线方程可以写为，其中为焦点到相应准线的距离．由直线的倾斜角为可知，取可得两点，由条件知在的延长线上，则当时为负值，可得，则，即，解得.故答案为：4.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15（13分）．在△ABC中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知tanB(1)若，求tanC的值：(2)已知中线AM交BC于M，角平分线AN交BC于N，且求△ABC的面积．【答案】(1)或；(2).【分析】（1）利用同角关系式可得或sin，然后利用和角公式即得；（2）由题可得，利用角平分线定理及条件可得，进而可得，，即得.【详解】（1）因为，所以，解得或sin,当时，，，所以，；当时，因为，所以，又，所以．（2）∵，∴，，∴，即，∴，由角平分线定理可知，，又，所以，由，可得，∴，，所以．16（15分）．某旅游景区在手机APP上推出游客竞答的问卷，题型为单项选择题，每题均有4个选项，其中有且只有一项是正确选项.对于游客甲，在知道答题涉及的内容的条件下，可选出唯一的正确选项；在不知道答题涉及的内容的条件下，则随机选择一个选项.已知甲知道答题涉及内容的题数占问卷总题数的(1)求甲任选一题并答对的概率;(2)若问卷答题以题组形式呈现，每个题组由2道单项选择题构成，每道选择题答对得2分，答错扣1分，放弃作答得0分.假设对于任意一道题，甲选择作答的概率均为，且两题是否选择作答及答题情况互不影响，记每组答题总得分为，①求和②求【答案】(1)(2)①，；②【分析】（1）利用条件概率以及互斥事件的概率加法公式求解得出结论；（2）①利用相互独立事件的概率乘法公式求解；②依题意，随机变量，，0，1，2，4，求出相应的概率，再利用期望公式可得期望.【详解】（1）记“甲任选一道题并答对”为事件M，“甲知道答题涉及内容”为事件A，依题意，，，，，因为事件与互斥，所以；（2）①，即两题均选择作答，且均正确作答，故，，即两题均选择作答，且均作答错误，故②依题意，随机变量，，0，1，2，4，由①得，，，即选择一道题作答且作答错误，另一题不作答，故，，即两题均不作答，故，，即选择两题均作答，且一题作答正确，另一题作答错误，故，，即甲选择一题作答且作答正确，另一题不作答，，故17（15分）．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，且，在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)已知不与轴垂直且过的直线与双曲线交于，两点，若，，且，求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据题意求出即可得解；（2）设直线的方程为，，，联立方程，利用韦达定理求出，，利用弦长公式求出，求出直线的方程，进而可求出点的坐标，再根据两点间的距离公式求出，即可得证.【详解】（1）依题意，解得，故双曲线的方程为；（2）依题意，得，设直线的方程为，，，联立整理得，因此当时，，，，则，即，故直线：，令，得，则，故，故.18（17分）．如图，已知斜四棱柱，底面为等腰梯形，，点在底面的射影为，且，，，.(1)求证：平面平面；(2)若为线段上一点，且平面与平面夹角的余弦值为，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）证明：等腰梯形中，，，作交于，如图，则是菱形，，是等边三角形，则，，，所以，即，又，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）点