黄金卷03（江苏专用）-备战2025年高考数学模拟卷（解析版）

PAGE1试卷第=page22页，共=sectionpages2222页【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1．重庆某校高三年级20个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，获得了10个班的比赛得分如下：，则这组数据的分位数为（

）A．93 B．93.5 C．94 D．94.5【答案】D【分析】将比分从小到大排序，再结合百分位数的定义，即可求解.【详解】将比分从小到大排序可得：，，即这组数据的第80百分位数为.故选：D.2．已知，则的虚部为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】应用复数运算法则化简式子求，根据求出即可知的共轭复数，求出的虚部即可.【详解】，所以，，，所以的虚部为13.故选：C.3．已知，则（

）A． B． C． D．-【答案】D【分析】根据角的变换及二倍角的余弦公式求解即可.【详解】因为，所以.故选：D4．设向量，，若，则A．5 B．2 C．1 D．0【解析】向量，，，，可得，．故选：．5．已知为抛物线的焦点，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】D【分析】利用抛物线的知识可以知道点，然后再利用切线和垂直即可求解.【详解】由题意易得，过上一点作圆的两条切线，切点分别为，且，且，将点代入抛物线方程可得，即，，解得.故选：D.6．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第四天走了（

）A．24里 B．48里 C．96里 D．192里【答案】A【分析】根据等比数列的前项和公式及通项公式直接求解.【详解】设第天走的路程里数为，因为从第二天起，每天走的路程为前一天的一半，所以是公比为的等比数列，设其前项和为，因为6天走完378里路，所以，由等比数列前项和公式得，所以，所以，即第四天走了24里路.故选：A.7．若函数，的值域为，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用可得，再由三角函数图像性质可得，解不等式即可求得的取值范围.【详解】根据题意可知若，则可得；显然当时，可得，由的值域为，利用三角函数图像性质可得，解得，即的取值范围是.故选：D8．已知函数的图象是连续不断的，其定义域为，满足：当时，；任意的x，，均有.若，则x的取值范围是（

）（e是自然对数的底数）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，解得，再令，得到，从而是奇函数，用替代，结合是奇函数，得到，再由时，，利用单调性定义得到在上递增，则在上递增，将转化为求解.【详解】解：令，即，则，令，即，则，因为定义域为，所以是奇函数，由，用替代，得，因为是奇函数，所以，，且，则，因为当时，，所以，，即，所以在上递增，又是定义域为的奇函数，所以在上递增，则等价于，解得，故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知曲线，下列说法正确的是（

）A．若，则是圆，其半径为B．若，，则是两条直线C．若时，则是椭圆，其焦点在轴上D．若时，则是双曲线，其渐近线方程为【答案】AB【分析】根据选项条件分别化简曲线为圆锥曲线的标准方程，然后逐一分析，即可求解．【详解】对于A，，，则是圆，半径为，故A正确；对于B，若，时，，则是两条直线，故B正确；对于C，若时，，则，则为焦点在轴的椭圆，故C错误；对于D，若时，则是双曲线，渐近线方程为，故D错误；故选：AB．10．若某正方体的棱长为，则（

）A．该正方体的体积为5 B．该正方体的内切球的体积为C．该正方体的表面积为30 D．该正方体的外接球的表面积为【答案】BCD【分析】根据正方体的体积表面积公式即可求解AC，根据内切球和外接球的直径即可得半径，由球的体积公式以及表面积公式求解BD.【详解】因为该正方体的棱长为，所以其体积为，表面积为，A错误，C正确．该正方体的内切球的直径为，所以内切球的体积为，B正确．该正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长，所以外接球的表面积为，D正确．故选：BCD

11．对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（

）A．的极大值点为B．有且仅有3个零点C．点是的对称中心D．【答案】BCD【分析】求出，得到函数的单调区间，即可求得极值，要注意极值点是一个数，可判断A项；根据极大值、极小值的正负，可得到函数零点的个数，即判断B项；根据的解的情况，可判断C项；由对称中心可推得，用倒序相加法即可求得式子的和，判断D项.【详解】由题意知.令，解得或，所以在上单调递增，在上单调递增；令，解得，所以在上单调递减.又，.所以，在处有极大值，在处有极小值.所以的极大值点为-2，A项错误；又极大值，极小值，作出的图象，有图象可知，有且仅有3个零点，故B正确；，令，解得，又，由题意可知，点是的对称中心，故C正确；因为点是的对称中心，所以有，即.令，又，所以，，所以.故D正确.故选：BCD.第II卷（非选择题）填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知集合，若，则的最小值为．【答案】【分析】由可得，解出集合后结合集合的关系计算即可得.【详解】由，故，由，得，故有，即，即，即的最小值为.故答案为：.13．在等差数列an中，若a8=6,a11【答案】20【分析】根据条件先计算出公差d，然后根据a8=a【详解】设等差数列的公差为d，因为a8=6,a所以d=−2，所以a8所以a1故答案为：20.14．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有种.【答案】105【详解】分析：根据题意，分4种情况讨论：①，小青蛙向左跳一次2个单位，向右跳4次，每次1个单位，②，小青蛙向左跳2次，每次2个单位，向右跳3次，每次2个单位，③，小青蛙向左跳2次，一次2个单位，一次1个单位，向右跳3次，2次2个单位，1次1个单位，④，小青蛙向左跳2次，每次1个单位，向右跳3次，1次2个单位，2次1个单位，由加法原理计算可得答案．详解：根据题意，分4种情况讨论：①，小青蛙向左跳一次2个单位，向右跳4次，每次1个单位，有C51=5种情况，②，小青蛙向左跳2次，每次2个单位，向右跳3次，每次2个单位，有C52=10种情况，③，小青蛙向左跳2次，一次2个单位，一次1个单位，向右跳3次，2次2个单位，1次1个单位，有C52A33=60种情况，④，小青蛙向左跳2次，每次1个单位，向右跳3次，1次2个单位，2次1个单位，有C52C32=30种情况，则一共有5+10+60+30=105种情况，即有105种不同的跳动方式．四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)求证：.【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）根据导数的几何意义求切线方程即可；（2）构造函数，利用导函数与单调性、最值的关系即可证明.【详解】（1）,，,所以切点为，由点斜式可得，，所以切线方程为：.（5分）（2）由题可得，设，，所以当时，，当时，，所以在单调递增，单调递减，所以，即.（13分）16．（15分）在中，内角所对的边分别为，且(1)求；(2)设为边的中点，，求线段长度的最大值.【答案】(1)(2).【分析】（1）由题设条件重新组合后将证明替换成，再利用正、余弦定理即可求得；（2）利用三角形中线的向量表达式和向量数量积的定义式，可推得，根据余弦定理和基本不等式求得，代入即可计算得到.【详解】（1）由，得(*).因为，所以，由正弦定理，得，代入（*）得，.由正弦定理，得，由余弦定理的推论，得.（7分）（2）由余弦定理，得，即，所以，当且仅当时等号成立，故得.又，两边平方可得，，所以，即线段长度的最大值为.（15分）17．（15分）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，，分别为和的中点，为棱上的动点..

(1)证明：；(2)求平面与平面所成的二面角正弦值的最小值及此时点的位置.【答案】(1)证明见解析(2)最小值为，点为靠近的的四等分点【详解】（1）因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，又底面，所以，，又因为，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，即两两垂直，以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则

，，，，，，，，设，所以，，因为，所以，即.（8分）（2）设平面的法向量为，因为，，所以，令，则，平面的一个法向量为，设平面与平面DEF所成的二面角为，则，当时，取最小值为，此时取得最大值，所以，所以平面与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值为，此时点为靠近的的四等分点.（15分）18．（17分）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.(1)求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）(2)为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；(3)以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.【答案】(1)，平均时间为小时(2)分布列见解析，期望(3)【分析】（1）根据频率和为，可得，再根据平均数公式直接计算平均数即可；（2）分别计算时间在，的频数，结合分层抽样可得两组分别抽取人，根据超几何分布的概率公式分别计算概率，可得分布列与期望；（3）根据频率分布直方图可知运动时间在内的频率，根据二项分布的概率公式可得，根据最值可列不等式，解不等式即可.【详解】（1）由已知，解得，所以平均数为.（4分）（2）这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生分别有人，和人；所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，所以随机变量的可能取值有，，所以，，则分布列为期望；（10分）（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，则，若为最大值，则，即，即，解得，又，且，则.（17分）19．（17分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：x2a2+y2b(1)求Γ的方程；(2)对于给定的点集M，N，若M中的每个点在N中都存在距离最小的点，且所有最小距离的最大值存在，则记此最大值为d(M,N).（ⅰ）若M，N分别为线段AB与圆O上任意一点，P为圆O上一点，当△PAB的面积最大时，求d(M,N)；（ⅱ）若d(M,N)，d(N,M)均存在，记两者中的较大者为H(M,N).已知H(X,Y)，H(Y,Z)，H(X,Z)均存在，证明：H(X,Z)+H(Y,Z)≥H(X,Y).【答案】(1)x2(2)（ⅰ）32【分析】（1）根据给定条件，求出a，再结合离心率求出b即得.（2）（ⅰ）在直线l的斜率存在时，设出直线方程并与椭圆方程联立，借助判别式求出圆心O到l距离，列出△PAB的面积关系求解，再验证斜率不存在的情况；（ⅱ）利用新定义，结合对称性推理即得.【详解】（1）因为当l垂直于x轴时，|AB|=26，而直线l:x=±a与Γ相切，则23a又椭圆Γ的离心率为63，则椭圆Γ的半焦距c=2，所以Γ的方程为x23（2）（i）当l的斜率存在时，设l的方程为：y=kx+m，由y=kx+mx2+3y2由直线l与椭圆Γ相切，得Δ=(6km)2于是圆心O到直线l的距离d=|m|则△PAB的面积为S△PAB设f(d)=(3−d)(d+3)3,1≤d<当1≤d<32时，f'(d)>0，函数f(d)单调递增，当32因此当d=32时，f(d)取得最大值，此时当l的斜率不存在时，由（1）知，S≤1由(934)2对于线段AB上任意点E，连接OE并延长与圆O交于点F，则F是