2024-2025学年上海七宝中学高二上学期数学期末试卷（2025.01）（含答案）

七宝中学2024学年第一学期高二年级数学期末2025.1一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．椭圆的右焦点坐标为.2．已知球的体积为，则球的表面积为.3．若一个圆柱侧面积为，高为2，则这个圆柱的体积为.4．若平面与平面都相交，则这三个平面的交线有条.5．在三棱锥中，，则点在平面上的投影点是的心．6．如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为.（第6题）（第7题）（第8题）7．如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了2周，则圆锥的表面积为.8．如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，则点到平面的距离为.9．球是棱长为1的正方体的外接球，则球的内接正四面体体积为.10．已知空间向量满足：，则的最小值为.11．已知分别是双曲线渐近线上的两点，且轴，点是坐标原点．现将所在平面沿轴折成平面角为锐角的二面角，翻折后如图，此时．若，则的离心率为.12．如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中分别在棱上．若是正方形，则截面的面积为.二、选择题（本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）

13．已知是空间中两个不重合的平面，是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）.

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则

14．已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则＂＂是＂＂的（）.

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

15．如图，正方体中，分别为线段的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（）.A．点B．点C．点D．点

16．已知抛物线，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，点为点关于原点的对称点，且，若，则（1）点在一条定直线上：（2）是定值（）.

A．（1）正确，（2）不正确B．（1）不正确，（2）正确

C．（1）正确，（2）正确D．（1）不正确，（2）也不正确

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.

17．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）

已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点．

（1）求圆的方程；

（2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程．

18．（本题满分14分，第一小题满分8分，第二小题满分6分）

如图，在四棱锥中，平面为的中点，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

19．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）

水平通常指的是与水平面平行的状态.一个保持水平的桌面能够确保使用的舒适性和稳定性，从而提高工作效率和精度.我们可以使用水平仪检测桌面是否水平，水平仪可以被用于检测某一条直线是否处于水平状态.

（1）请设计一个利用水平仪来检测桌面是否处于水平状态的方案，并借助数学知识来说明其测量原理：

（2）现有一张边长为1米的正方形四脚木桌（四条桌腿的长度均为1米），被放置在倾斜的地面上．通过测量发现，此时桌面的两条对角线分别呈现出和的倾斜角度．为了将这张桌子平稳地放置在地面上并使桌面保持水平，我们需要通过锯短桌腿来进行调整，请提供一个最省力的方案．（答案精确到0.01米）20．（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分）如图，在平行六面体中，，．点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足．

（1）若三点共线，求的值；

（2）若对角线，求的最大值；

（3）若，直线和的所成角为，求的取值范围．21．（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分）已知椭圆，点，点是椭圆上的三个动点．

（1）若，求的值；

（2）已知，若，求的取值范围；

（3）已知，请研究面积的最大值．

七宝中学2024学年第一学期高二年级数学期末2025.1一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第1-6题每题4分,第7-12题每题5分）

1．椭圆的右焦点坐标为.

【答案】（1,0）2．已知球的体积为，则球的表面积为.

【答案】3．若一个圆柱侧面积为，高为2，则这个圆柱的体积为.

【答案】4．若平面与平面都相交，则这三个平面的交线有条.

【答案】1或2或35．在三棱锥中，，则点在平面上的投影点是的心．

【答案】垂6．如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为.【答案】（第6题）（第7题）（第8题）7．如图，底面半径为4的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了2周，则圆锥的表面积为.

【答案】8．如图，在四棱台中，底面是菱形，棱平面，，则点到平面的距离为.

【答案】9．球是棱长为1的正方体的外接球，则球的内接正四面体体积为.

【答案】10．已知空间向量满足：，则的最小值为.

【答案】11．已知分别是双曲线渐近线上的两点，且轴，点是坐标原点．现将所在平面沿轴折成平面角为锐角的二面角，翻折后如图，此时．若，则的离心率为.【答案】12．如图，棱长为1的正方体有一个截面，其中分别在棱上．若是正方形，则截面的面积为.【答案】二、选择题（本大题共有4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分）

13．已知是空间中两个不重合的平面，是空间中两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）.

A．若，则B．若，则

C．若，则D．若，则【答案】D

14．已知直线的斜率分别为，倾斜角分别为，则＂＂是＂＂的（）.

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D

15．如图，正方体中，分别为线段的中点，联结，对空间任意两点，若线段与线段不相交或与线段不相交，则称两点可视，下列选项中与点不可视的为（）.A．点B．点C．点D．点【答案】B

16．已知抛物线，点为抛物线的焦点，点在抛物线上，点为点关于原点的对称点，且，若，则（1）点在一条定直线上：（2）是定值（）.

A．（1）正确，（2）不正确B．（1）不正确，（2）正确

C．（1）正确，（2）正确D．（1）不正确，（2）也不正确【答案】C

三、解答题（本大题共有5题，满分78分）.

17．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）

已知圆的圆心在轴上，且与直线相切于点．

（1）求圆的方程；

（2）若直线经过点且与圆相切，求直线的方程．

【答案】（1）（2）或．【解析】（1）由题意，设圆心，半径，因为圆与直线相切于点，则，解得（2分）

则圆心为（4分）

所以圆的方程为（6分）

（2）由题意，圆心到直线的距离为，且经过点，

①若直线的斜率不存在，其方程为，

圆心到直线的距离为，显然符合题意；（8分）

②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，圆心到直线的距离为，解得（10分）则此时直线的方程为，即（12分）综上，直线的方程为或．（14分）18．（本题满分14分，第一小题满分8分，第二小题满分6分）

如图，在四棱锥中，平面为的中点，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）证明见解析（2）【解析】（1）因为平面平面所以．（2分）

由题知，，所以，由余弦定理得，

所以，又，所以，即（4分）

因为平面，所以平面（6分）

因为平面，所以平面平面（8分）

（2）由（1）知，在平面内的射影为，所以在平面内的射影也为，故直线与平面所成角即为（10分）

因为，所以，

所以，又因为为的中点，所以，所以（12分）所以（14分）

19．（本题满分14分，第一小题满分6分，第二小题满分8分）

水平通常指的是与水平面平行的状态.一个保持水平的桌面能够确保使用的舒适性和稳定性，从而提高工作效率和精度.我们可以使用水平仪检测桌面是否水平，水平仪可以被用于检测某一条直线是否处于水平状态.

（1）请设计一个利用水平仪来检测桌面是否处于水平状态的方案，并借助数学知识来说明其测量原理：

（2）现有一张边长为1米的正方形四脚木桌（四条桌腿的长度均为1米），被放置在倾斜的地面上．通过测量发现，此时桌面的两条对角线分别呈现出和的倾斜角度．为了将这张桌子平稳地放置在地面上并使桌面保持水平，我们需要通过锯短桌腿来进行调整，请提供一个最省力的方案．（答案精确到0.01米）【答案】（1）见解析（2）三条桌腿，分别锯掉0.02米，0.10米，0.12米．【解析】（1）在桌面上找两条相交直线和，且（2分）（只要说明两条直线相交即可得2分，选择对角线或者桌边都可，意思到了就给分）

利用水平仪来检测这两条直线是否处于水平：

若直线水平面，且直线（4分）

由面面平行的判定定理，桌面.（6分）

若直线不平行，或直线不平行，则桌面不平行.

（2）解答一：假设桌腿的粗细忽略不计，且对角桌腿间的距离和．不妨设对角线的倾斜程度为，对角线的倾斜程度为.

假设不锯桌腿，要使得水平面，则桌腿需要锯掉，即.（8分）同理，.（10分）

此时对角线和的交点在线段上的投影为（如图所示），为了使得桌子平稳地放置在地面上，则.由梯形的中位线定理可知，，所以，.（12分）

所以三条桌腿，分别锯掉0.02米，0.10米，0.12米．

（锯掉三条桌腿的答案不唯一，在不锯桌腿的假设下，只需要满足，，其中即可）

解答二：假设桌腿的粗细忽略不计，且对角桌腿间的距离和．

以对角线和的交点为原点，以平面与水平面的交线为轴，以与水平面的交线为轴，以坚直方向为轴，建立空间直角坐标系.

设水平面，倾斜地面.由题意可知，未锯腿时的桌面平行于地面，即．

不妨设（8分）

设地面的一个法向量为，

令，则，即（10分）可以通过旋转桌面，使得，此时只需要锯两条桌腿．

则平面与平面的夹角（12分）则桌腿分别锯掉米．（14分）

说明解答二只需要锯掉两条桌腿，比起解答一锯掉三条桌腿更省力.所以解答一只能得6分．20．（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分）如图，在平行六面体中，，．点是棱的中点，点是对角线上一点（包括端点），且满足．

（1）若三点共线，求的值；

（2）若对角线，求的最大值；

（3）若，直线和的所成角为，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）设基向量，则．

因为，所以．

因为三点共线，设，即，解得．

所以（4分）（用公理3也可以证明是的中点）

（2）因为，且，

所以（6分）

配方得即（8分）故，即．所以的最大值为．．．．．．．（10分）

（3），

则，即．即（12分）．（14分）

令

解法二：因为，所以．

又因为，所以，即．

所以，直线和的所成角为．（12分）

当点和点重合时，最小为0，即最大为1．

当点和点重合时，最大，即最小．（16分）

此时．所以，．（18分）

解法三：如图，以点为原点，为轴，为轴，建立空间直角直角坐标系．

则．

由点，得，则．

又，则（12分）．

令

21．（本题满分18分，第一小题满分4分，第二小题满分6分，第三小题满分8分）已知椭圆，点，点是椭圆上的三个动点．

（1）若，求的值；

（2）已知，若，求的取值范围；

（3）已知，请研究面积的最大值．

【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）由题意可知，代入椭圆，得到，化简得到．（4分）

（2）设，由