《分类加法计数原理与分类乘法计数原理》题型突破

高中数学精编资源2/2《分类加法计数原理与分类乘法计数原理》题型突破重难点突破1.解决计数问题的常用方法(1)枚举法将各种情况通过树状图、表格等方法一一列举出来分类计数时将问题分类,实际上就是将分类种数一一列举出来.枚举法是解决问题的一种基本方法,当计数的种数不是很多时,都可以用此方法解决.(2)特殊优先原则法解含有特殊元素、特殊位置的计数问题,一般应先安排特殊元素,优先确定特殊位置,再考虑其他元素与其他位置,体现解题过程中的主次思想(3)间接法若计数时分类较多,或无法直接计算时,可用间接法,先求出没有限制条件的种数,再减去不满足条件的种数,2.解决较为复杂的计数问题时,注意合理分类,准确分步(1)处理计数问题,应紧扣两个计数原理,根据具体问题弄清楚是要“分类”还是要“分步”,并搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准.(2)分类时要满足两个条件:①类与类之间要互斥(保证不重复);②总数要完备(保证不遗漏).也就是要确定一个合理的分类标准.(3)分步时应按事件发生的连贯过程进行分析,必须做到“步”与“步”之间互相独立,互不干扰,并确保连续性.典型例题剖析题型1用枚举法解决问题例1.4个人各写1张贺年卡,放在一起,然后每个人取1张不是自己写的贺年卡,共有多少种不同取法？解析:可以把4个人编号,用一、二、三、四表示,各自的卡片用1,2,3,4表示,用表格的形式一一列举出来.也可以将问题转化为组数问题来解决.答案:方法一:把4个人编号,分别为一、二、三、四,他们写的4张贺年卡依次为1,2,3,4号,则取1张不是自己写的贺年卡的各种方法全部列举出来如表所示:共有9种不同取法.方法二:将该问题转化为“用这4个数字组成无重复数字的四位数,要求1不在个位、2不在十位、3不在百位、4不在千位,则这样的四位数有多少个”.因此,可分三步,第1步,确定个位数,有3种不同的方法;第2步,确定把1放到十位、百位、千位中的任一位上,也有3种不同的方法;第3步,余下的两个数字只有一种方法.由分步乘法计数原理可得不同的分配方法数为.总结归纳:解此类“看似简单,实则烦琐”题的关键是选用枚举法求解.用枚举法需要注意做到不重不漏.变式训练1算筹是一种有效的计算工具,为我国古代数学的发展作出了很大贡献.在算筹计数法中,以“纵式”和“横式”两种方式来表示数字,如图:表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,依此类推,遇零则置空,如图:如果把5根算筹以适当的方式全部放入下面的表格中,那么可以表示的三位数的个数为()A.46 B.44 C.42 D.40 答案:B解析:按每一数位上算筹的根数分类,一共有15种情况,如下:,,1),.2根及2根以上的算筹可以表示两个数字,根据分步乘法计数原理,上面情况能表示的三位数的个数分别为:.根据分类加法计数原理,5根算筹能表示的三位数的个数为.题型2用特殊优先原则解决问题例2有共5个数字.(1)可以排成多少个三位数?(2)可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数?解析:(1)因为三位数的百位数字不能为0,所以百位是特殊位置,0是特殊元素,故可以优先排百位或优先排特殊元素0;(2)特殊位置是百位和个位,特殊元素是.答案:(1)三位数的百位数字不能为0,但可以有重复数字,首先考虑百位的排法,除0外共有4种方法,十位数字、个位数字可以为.因此,共有种排法.即可以排成100个三位数.(2)被2整除的数即偶数,个位数字可为,因此,可以分两类,一类是个位数字是0,则有种排法;另一类是个位数字不是0,则个位可能是2或4,因0不能在百位,所以百位有3种排法,十位有3种排法,因此有种排法.因而有种排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.易错提示:如果不分析特殊元素与特殊位置,在计算中容易出现“重”或“漏”的情况.因此,对于这一类问题,一般要先分析特殊元素与特殊位置.变式训练2已知集合,且.(1)可以表示多少个不同的二次函数?(2)可以表示多少个图象开口向上的二次函数?答案:(1)因为不能取0,所以有5种取法.有6种取法,有6种取法.所以可以表示个不同的二次函数.(2)二次函数的图象开口向上时,不能取小于等于0的数,所以有2种取法.有6种取法,有6种取法.所以可以表示个图象开口向上的二次函数.题型3用间接法解决问题例3从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种,分别种在不同土质的3块土地上,其中黄瓜必须种植,不同的种植方法有()A.24种 B.18种 C.12种 D.6种 解析:方法一:(直接法)若黄瓜种在第1块土地上,则不同的种植方法种数为.同理,黄瓜种在第2块、第3块土地上不同的种植方法种数均为.故不同的种植方法种数为.方法二:(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在3块土地上,不同的种植方法种数为,其中不种黄瓜的方法种数为,故不同的种植方法种数为.答案:B总结归纳:若计数时分类较多,或无法直接计算,可用间接法,先求出没有限制条件的种数,再减去不满足条件的种数.变式训练3从集合中任取2个不同的数,作为直线的系数,则最多形成不同的直线的条数为()A.18B.20C.25D.10答案:解析:第1步,给赋值有5种选择;第2步,给赋值有4种选择.由分步乘法计数原理可得不同选择的方法数为.又因为,与表示同一直线,与也表示同一直线,所以最多形成不同的直线的条数为.题型4两个计数原理的综合应用例4某艺术小组有9人,每人至少会钢琴和小号中的一种乐器,其中7人会钢琴,3人会小号,从中选出会钢琴与小号的各1人,有多少种不同的选法?解析:9人中有1人会两种乐器,所以以这个人是否入选为标准进行分类.答案:由题意可知,在艺术小组9人中,有且仅有1人既会钢琴又会小号(把该人称为“多面手”),只会钢琴的有6人,只会小号的有2人,把选出会钢琴、小号各1人的方法分为两类:第1类,多面手人选,另1人只需从其他8人中任选1人,故这类选法共有8种.第2类,多面手不人选,则会钢琴者只能从只会钢琴的6人中选出,会小号者也只能从只会小号的2人中选出,故这类选法共有种.因此,根据分类加法计数原理,共有种不同的选法.方法指导:利用两个计数原理的解题策略:应用两个计数原理解决实际问题时,可能会“先分类后分步”或“先分步后分类”,要根据题目要求进行选择.在“分类”时要道循“不重不漏”的原则,在“分步”时要正确设计“分步”的程序.变式训练4有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有()A.21种B.315种C.153种D.143种答案:D解析:由题意,选1本语文书1本数学书有种选法,选1本数学书1本英语书有种选法,选1本语文书1本英语书有种选法,所以共有种选法.规律方法总结1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本,也是最重要的原理,是解答计数问题的基础.2.应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事情独