大一经济应用数学试卷

大一经济应用数学试卷一、选择题

1.在数学中，线性方程组的解有（）种情况。

A.1种

B.2种

C.无限种

D.以上皆有可能

2.在经济学中，需求曲线向右下方倾斜的原因是（）。

A.需求量随价格上升而增加

B.需求量随价格上升而减少

C.需求量随价格下降而增加

D.需求量随价格下降而减少

3.在线性规划问题中，目标函数是（）。

A.要最大化或最小化的函数

B.限制条件的函数

C.变量的函数

D.上述都不正确

4.在数学中，以下哪个数是无理数？（）

A.√2

B.√4

C.√9

D.√16

5.在经济学中，价格弹性表示（）。

A.需求量对价格变化的敏感程度

B.价格对需求量变化的敏感程度

C.供给量对价格变化的敏感程度

D.价格对供给量变化的敏感程度

6.在数学中，以下哪个函数是偶函数？（）

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^3

C.f(x)=x^4

D.f(x)=x^5

7.在经济学中，需求交叉弹性表示（）。

A.一种商品的需求量对另一种商品价格变化的敏感程度

B.一种商品的价格对另一种商品需求量变化的敏感程度

C.一种商品的需求量对另一种商品需求量变化的敏感程度

D.一种商品的价格对另一种商品需求量变化的敏感程度

8.在数学中，以下哪个数是有限小数？（）

A.0.25

B.0.333...

C.0.5

D.0.625

9.在经济学中，以下哪个概念与机会成本有关？（）

A.边际效用

B.边际成本

C.边际收益

D.边际利润

10.在数学中，以下哪个函数是奇函数？（）

A.f(x)=x^2

B.f(x)=x^3

C.f(x)=x^4

D.f(x)=x^5

二、判断题

1.在线性代数中，一个矩阵如果其行列式不为零，则该矩阵是可逆的。（）

2.在经济学中，需求弹性大于1表示商品需求对价格变化非常敏感。（）

3.在微积分中，导数表示函数在某一点的瞬时变化率。（）

4.在概率论中，事件的概率值介于0和1之间，包括0和1。（）

5.在统计学中，样本方差是衡量样本数据离散程度的统计量。（）

三、填空题

1.在经济学中，消费者剩余是指消费者愿意支付的最高价格与实际支付价格之间的（）。

2.在线性代数中，若一个线性方程组有唯一解，则其系数矩阵的秩应等于（）。

3.在微积分中，函数的积分可以用来计算（）。

4.在概率论中，如果两个事件A和B相互独立，则它们的交集的概率可以表示为（）。

5.在统计学中，标准差是方差的（）次方根。

四、简答题

1.简述线性方程组解的判定条件，并举例说明。

2.解释边际效用递减规律，并说明其在经济学中的应用。

3.描述导数和微分在数学中的区别，并举例说明。

4.简要介绍概率论中的大数定律，并说明其意义。

5.解释统计学中样本与总体的关系，并讨论如何通过样本推断总体特征。

五、计算题

1.计算以下线性方程组的解：

\[

\begin{cases}

2x+3y-z=8\\

3x-2y+4z=-11\\

-x+y-2z=1

\end{cases}

\]

2.一个商品的需求函数为\(Q=100-2P\)，其中\(P\)是价格。如果价格从5元下降到4元，计算需求量的变化百分比。

3.计算函数\(f(x)=x^3-3x^2+4\)在\(x=2\)处的导数值。

4.设有事件\(A\)和\(B\)满足\(P(A)=0.4\)，\(P(B)=0.6\)，且\(P(A\capB)=0.2\)。计算\(P(A\cupB)\)。

5.计算一组数据的样本方差，数据如下：12,15,18,20,22。

六、案例分析题

1.案例分析：某公司生产一种产品，其成本函数为\(C(x)=50x+1000\)，其中\(x\)是生产的数量。该产品的市场需求函数为\(Q=100-P\)，其中\(P\)是销售价格。公司希望确定一个最优的销售价格，以便最大化利润。

问题：

（1）求出公司的收入函数\(R(x)\)和利润函数\(L(x)\)。

（2）求出使得利润最大化的销售价格\(P\)和相应的产量\(x\)。

（3）如果公司的目标是实现零利润，它应该生产多少产品？

2.案例分析：某城市正在考虑实施一项新的交通政策，该政策旨在减少交通拥堵。政策建议对进入市中心的车辆征收拥堵费。目前，市中心每天有10000辆车通行，平均每辆车产生10分钟的拥堵时间。拥堵费被设定为每辆车2元。

问题：

（1）计算在实施拥堵费之前，市中心交通拥堵的总成本。

（2）如果拥堵费实施后，每天有5000辆车选择不进入市中心，计算新的总成本和每辆车的平均拥堵时间。

（3）分析拥堵费对市中心交通拥堵的影响，并讨论该政策可能带来的经济和社会效益。

七、应用题

1.应用题：某商店销售商品，根据市场调查，发现商品的价格每增加1元，销量就会减少5件。已知当价格为10元时，销量为200件。求该商品的需求函数，并计算当价格降至8元时的销量。

2.应用题：一家公司生产两种产品，产品A和产品B。生产产品A的边际成本为10元，生产产品B的边际成本为15元。公司每天可以生产的产品总数为100个单位。如果公司希望最大化利润，且产品A和产品B的边际收益分别为20元和30元，请计算公司应该分别生产多少产品A和产品B。

3.应用题：某城市公共交通系统正在考虑引入一种新的票价结构，以鼓励市民使用公共交通工具，减少私家车使用。目前，单程票价为2元，日票为5元。假设市民对票价的敏感度较高，每增加1元，使用公共交通的乘客数量减少10%。计算新的票价结构，使得公共交通的使用率提高，同时确保收入不低于当前水平。

4.应用题：一家工厂生产某种产品，其生产过程可以描述为以下的生产函数：\(Q=100L-5L^2\)，其中\(Q\)是产量，\(L\)是劳动力投入。该工厂的劳动力成本为每单位劳动力20元，原材料成本为每单位产品10元。市场需求函数为\(P=50-0.5Q\)。求该工厂的利润最大化条件下的最优产量和价格。

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.A

2.B

3.A

4.A

5.A

6.A

7.A

8.C

9.B

10.B

二、判断题答案

1.√

2.√

3.√

4.√

5.√

三、填空题答案

1.差额

2.2

3.面积

4.\(P(A)+P(B)-P(A\capB)\)

5.二

四、简答题答案

1.线性方程组解的判定条件包括：方程组系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，并且等于方程组中变量的个数。例如，对于方程组\(\begin{cases}2x+3y=6\\x+y=2\end{cases}\)，系数矩阵的秩和增广矩阵的秩都是2，且等于变量的个数，因此方程组有唯一解。

2.边际效用递减规律指出，随着消费者消费某种商品数量的增加，每增加一单位商品所带来的额外满足感（效用）会逐渐减少。例如，吃第一个苹果可能非常满足，但吃第五个苹果时，额外满足感可能就很小了。

3.导数表示函数在某一点的瞬时变化率，即函数值随自变量变化的速度。例如，函数\(f(x)=x^2\)在\(x=2\)处的导数是\(f'(2)=2\times2=4\)，表示函数在该点的瞬时变化率为4。

4.大数定律是概率论中的一个重要定律，它表明在大量独立重复试验中，随机事件的频率会趋近于其概率。例如，抛硬币多次，正面出现的频率会趋近于0.5。

5.样本是从总体中随机抽取的一部分个体，用于推断总体的特征。例如，通过调查100名大学生的消费习惯，可以推断出所有大学生的消费习惯。

五、计算题答案

1.解线性方程组：

\[

\begin{cases}

2x+3y-z=8\\

3x-2y+4z=-11\\

-x+y-2z=1

\end{cases}

\]

得到解为\(x=2\)，\(y=3\)，\(z=-1\)。

2.需求函数为\(Q=100-2P\)，价格从5元下降到4元时，需求量从\(Q=100-2\times5=90\)增加到\(Q=100-2\times4=92\)，变化百分比为\(\frac{92-90}{90}\times100\%=4.44\%\)。

3.函数\(f(x)=x^3-3x^2+4\)在\(x=2\)处的导数为\(f'(x)=3x^2-6x\)，所以\(f'(2)=3\times2^2-6\times2=12-12=0\)。

4.\(P(A\cupB)=P(A)+P(B)-P(A\capB)=0.4+0.6-0.2=0.8\)。

5.样本方差计算公式为\(s^2=\frac{\sum(x_i-\bar{x})^2}{n-1}\)，其中\(x_i\)是样本数据，\(\bar{x}\)是样本均值，\(n\)是样本数量。对于数据12,15,18,20,22，样本方差为\(s^2=\frac{(12-18)^2+(15-18)^2+(18-18)^2+(20-18)^2+(22-18)^2}{5-1}=\frac{36+9+0+4+16}{4}=13.5\)。

六、案例分析题答案

1.（1）收入函数\(R(x)=P\timesQ=(100-2P)\timesx\)，利润函数\(L(x)=R(x)-C(x)=(100-2P)\timesx-(50x+1000)\)。

（2）利润最大化时，边际收益等于边际成本，即\(100-4P=50\)，解得\(P=12.5\)。此时产量\(x=100-2\times12.5=75\)。

（3）实现零利润时，收入等于成本，即\(100x-2P\timesx=50x+1000\)，解得\(x=40\)。

2.（1）拥堵成本为\(10000\times10\times10=1000000\)元。

（2）新的总成本为\(5000\times2\times10\times10=100000\)元，每辆车的平均拥堵时间为\(\frac{1000000}{5000}=200\)分钟。

（3）拥堵费可能减少市中心交通拥堵，提高公共交通的使用率，从而减少私家车使用，降低污染和交通拥堵成本。经济效益包括减少交通拥堵带来的时间节约和减少的维护成本，社会效益包括改善空气质量和生活质量。

七、应用题答案

1.需求函数为\(Q=200-5P\)，当价格降至8元时，销量为\(Q=200-5\times8=120\)件。

2.设生产产品A的数量为\(x\)，产品B的数量为\(y\)，则\(x+y=100\)，\(20x+15y=20x+30y\)。解得\(x=40\)，\(y=60\)。

3.新的票价结构下，设新票价为\(P\)，则\((P-2)\times(10000-10P)=5\times10000\)。解得\(P=3\)元。新的总收入为\(3\times10000=30000\)元，高于当前水平的20000元。

4.利润函数\(L(Q)=(50-0.5Q)Q-10Q-20\times100\)，利润最大化条件为\(L'(Q)=50-Q-10=0\)，解得\(Q=40\)。最优价格为\(P=50-0.5\times40=30\)元。

知识点总结：

本试卷涵盖了经济应用数学中的多个知识点，包括：

1.线性代数：线性方程组、矩阵、行列式、可逆矩阵。

2.微积分：导数、微分、积分、边际分析。

3.概率论：概率、期望、方差、大数定律。

4.统计学：样本、总体、均值、方差、标准差。

5.经济学：需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数。

6.案例分析：应用数学知识解决实际问题。

各题型知识点详解及示例：

1.选择题：考察对基本概念和定义的理解。例如，选择题中的第一题考察了线性方程组解的判定条件。

2.判断题：考察对基本概念和定义的判断能力。例如，判断题中