2024-2025学年新教材高中数学第五章统计与概率5.3.3古典概型训练含解析新人教B版必修第二册

PAGE7-第五章5.35.3.3请同学们仔细完成[练案19]A级基础巩固一、选择题1．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为(B)A．eq\f(1,5) B．eq\f(2,5)C．eq\f(8,25) D．eq\f(9,25)[解析]设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种状况，其中甲被选中的状况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种，所以甲被选中的概率为eq\f(4,10)＝eq\f(2,5)．2．从1、2、3、4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的肯定值为2的概率是(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[解析]从1、2、3、4中任取2个不同的数有以下六种状况：{1,2}、{1,3}、{1,4}、{2,3}、{2,4}、{3,4}，满意取出的2个数之差的肯定值为2的有{1,3}、{2,4}，故所求概率是eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)．3．有五条线段，长度分别为1,3,5,7,9.从这五条线段中任取三条，则所取三条线段不能构成一个三角形的概率为(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(7,10)C．eq\f(3,10) D．eq\f(9,10)[解析]从这五条线段中任取三条，全部基本领件为(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,7)，(3,5,9)，(3,7,9)，(5,7,9)共10个，其中不能构成三角形的有(1,3,5)，(1,3,7)，(1,3,9)，(1,5,7)，(1,5,9)，(1,7,9)，(3,5,9)，共7个，所以所取三条线段不能构成一个三角形的概率为eq\f(7,10)．4．在第1、3、4、5、8路公共汽车都要停靠的一个站(假定这个站只能停靠一辆汽车)，有一位乘客等候第4路或第8路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性相等，则首先到站正好是这位乘客所需乘的汽车的概率等于(D)A．eq\f(1,2) B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,5)[解析]由题知，在该问题中基本领件总数为5，一位乘客等车这事务包含2个基本领件，故所求概率为P＝eq\f(2,5)．5．某学校食堂推出两款实惠套餐，甲、乙、丙三位同学各从中任选一款，则三人恰好选择同一款套餐的概率为(C)A．eq\f(1,10) B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,2)[解析]设两款实惠套餐分别为A，B，甲、乙、丙三位同学各从中任选一款套餐，列举基本领件如图所示．可得三人恰好选择同一款套餐的概率为eq\f(2,8)＝eq\f(1,4)．二、填空题6．盒子里共有大小相同的3只白球、1只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们的颜色不同的概率是__eq\f(1,2)__．[解析]记3只白球分别为A、B、C,1只黑球为m，若从中随机摸出两只球有AB、AC、Am、BC、Bm、Cm有6种结果，其中颜色不同的结果为Am、Bm、Cm有3种结果，故所求概率为eq\f(3,6)＝eq\f(1,2)．7．4张卡片上分别写有数字1、2、3、4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为__eq\f(2,3)__．[解析]由题意知，基本领件空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，记“取出的2张卡片上的数字之和为奇数”为事务A，∴A＝{(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)}，∴P(A)＝eq\f(4,6)＝eq\f(2,3)．8．从集合A＝{2,3}中随机取一个元素m，从集合B＝{1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m，n)，则点P在圆x2＋y2＝9内部的概率为__eq\f(1,3)__．[解析]点P(m，n)的全部结果有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)共6种状况，每种结果等可能出现，属于古典概型，记“点P在圆x2＋y2＝9内部”为事务A即m2＋n2＜9，则A包含的结果有(2,1)，(2,2)共2种∴P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)．三、解答题9．下列概率模型是古典概型吗？为什么？(1)从区间[1,10]内随意取出一个实数，求取到实数2的概率；(2)向上抛掷一枚不匀称的旧硬币，求正面朝上的概率；(3)从1,2,3，…，100这100个整数中随意取出一个整数，求取到偶数的概率．[解析](1)不是古典概型，因为区间[1,10]中有无限多个实数，随意取出一个实数有无限多种结果，与古典概型定义中“全部可能结果只有有限个”冲突．(2)不是古典概型，因为硬币不匀称导致“正面对上”与“反面对上”的概率不相等，与古典概型定义中“每一个试验结果出现的可能性相同”冲突．(3)是古典概型，因为在试验中全部可能出现的结果是有限的，而且每个整数被抽到的可能性相等．10．A、B两个箱子分别装有标号为0,1,2的三种卡片，每种卡片的张数如表所示．标号张数箱012A213B212(1)从A，B箱中各取1张卡片，用x表示取出的2张卡片的数字之积，求x＝2的概率；(2)从A，B箱中各取1张卡片，用y表示取出的2张卡片的数字之和，求x＝0且y＝2的概率．[解析]记A箱中标号为0的2张为A01，A02，标号为1的1张为A11，标号为2的3张为A21，A22，A23；B箱中标号为0的2张为B01，B02，标号为1的1张为B11，标号为2的2张为B21，B22．则从A，B箱中各取一张卡片全部样本空间Ω＝{A01B01，A01B02，A01B11，A01B21，A01B22，A02B01，A02B02，A02B11，A02，B21，A02B22，A11B01，A11B02，A11B11，A11B21，A11B22，A21B01，A21B02，A21B11，A21B21，A21B22，A22B01，A22B02，A22B11，A22B21，A22B22，A23B01，A23B02，A23B11，A23B21，A23B22}共30个基本领件．(1)记事务C为“从A，B箱中各取1张卡片，2张卡片的数字之积等于2”则C包含5个基本领件，即A11B21，A11B22，A21B11，A22B11，A23B11，由古典概型的概率公式得P(C)＝eq\f(5,30)＝eq\f(1,6)．(2)记事务D为“从A，B箱中各取1张卡片，其数字之和为2且积为0”，则包含A01B21，A01B22，A21B01，A21B02，A22B01，A22B02，A23B01，A23B02，A02B21，A02B22共10个基本领件，则P(D)＝eq\f(10,30)＝eq\f(1,3)．B级素养提升一、选择题1．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有1件次品的概率为(B)A．0.4 B．0.6C．0.8 D．1[解析]5件产品中有2件次品，记为a，b，有3件合格品，记为c，d，e，从这5件产品中任取2件，有10种，分别是(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)，恰有一件次品，有6种，分别是(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，设事务A＝“恰有一件次品”，则P(A)＝eq\f(6,10)＝0.6，故选B．2．有3个爱好小组，甲、乙两位同学各自参与其中一个小组，每位同学参与各个小组的可能性相同，则这两位同学参与同一个爱好小组的概率为(A)A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)[解析]记3个爱好小组分别为1,2,3，甲参与1组记为“甲1”，则基本领件为“甲1，乙1；甲1，乙2；甲1，乙3；甲2，乙1；甲2，乙2；甲2，乙3；甲3，乙1；甲3，乙2；甲3，乙3”，共9个．记事务A为“甲、乙两位同学参与同一个爱好小组”，其中事务A有“甲1，乙1；甲2，乙2；甲3，乙3”，共3个．因此P(A)＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3)．3．有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们12个月大的婴儿拼排3块分别写有“20”，“12”和“伦敦”的字块，假如婴儿能够排成“2012伦敦”或者“伦敦2012”，则他们就给婴儿嘉奖．假设婴儿能将字块挨着正排，那么这个婴儿能得到嘉奖的概率是(B)A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,6)[解析]3块字块的排法为“2012伦敦”，“20伦敦12”，“1220伦敦”，“12伦敦20”，“伦敦2012”，“伦敦1220”，共6种，婴儿能得到嘉奖的状况有2种，故所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)．4．已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a2－2)·ex＋b为减函数的概率是(C)A．eq\f(3,10) B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,5)[解析]由题意知a，b的组合共有10种，函数f(x)＝(a2－2)·ex＋b为减函数，则a2－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a＝0，a＝1满意题意，又b∈{3,5}，所以当a＝0时，b可取3,5；当a＝1时，b可取3,5，满意题意的组合有4种，所以函数f(x)＝(a2－2)ex＋b为减函数的概率是eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).故选C．二、填空题5．连续掷3枚硬币，视察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．“恰好3枚正面都朝上”的概率是__eq\f(1,8)__；“至少有2枚反面朝上”的概率是__eq\f(1,2)__．[解析]基本领件有(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)，共8个，“恰好3枚正面都朝上”包含1个基本领件，其概率P1＝eq\f(1,8)，“至少有2枚反面朝上”包含4个基本领件，其概率P2＝eq\f(4,8)＝eq\f(1,2)．6．在平面直角坐标系中，从五个点A(0,0)、B(2,0)、C(1,1)、D(0,2)、E(2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是__eq\f(4,5)__．[解析]如下图所示，则从这五点中任取三点的全部结果为：ABC、ABD、ABE、ACD、ACE、ADE、BCD、BCE、BDE、CDE，共10个．而事务M“任取三点构不成三角形”只有ACE、BCD2个，故构成三角形的概率P(eq\x\to(M))＝1－P(M)＝1－eq\f(2,10)＝eq\f(4,5)．三、解答题7．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1、2、3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a、b、C．(1)求“抽取的卡片上的数字满意a＋b＝c”的概率；(2)求“抽取的卡片上的数字a、b、c不完全相同”的概率．[解析](1)由题意，(a，b，c)全部的可能为(1,1,1)、(1,1,2)、(1,1,3)、(1,2,1)、(1,2,2)、(1,2,3)、(1,3,1)、(1,3,2)、(1,3,3)、(2,1,1)、(2,1,2)、(2,1,3)、(2,2,1)、(2,2,2)、(2,2,3)、(2,3,1)、(2,3,2)、(2,3,3)、(3,1,1)、(3,1,2)、(3,1,3)、(3,2,1)、(3,2,2)、(3,2,3)、(3,3,1)、(3,3,2)、(3,3,3)，共27种．设“抽取的卡片上的数字满意a＋b＝c”为事务A，则事务A包括(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)，共3种．所以P(A)＝eq\f(3,27)＝eq\f(1,9)．因此，“抽取的卡片上的数字满意a＋b＝c”的概率为eq\f(1,9)．(2)设“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”为事务B，则事务eq\x\to(B)包括(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)，共3种．所以P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(3,27)＝eq\f(8,9)．因此，“抽取的卡片上的数字a，b，c不完全相同”的概率为eq\f(8,9)．8．袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2；现从袋中任取两张卡片．(1)若把所取卡片的全部不同状况作为基本领件，则共有多少个基本领件？是古典概型吗？(2)若把所取出卡片的标号之和作为基本领件，则共有多少个基本领件？是古典概型吗？(3)求所取卡片标号之和小于4的概率．[解析](1)样本空间为Ω＝{(红1，红2)，(红1，红